2.1 지진계용 가속도 센서

본 논문에서는 Photo 1과 같이 자체 개발한 지진계를 대 상으로 동적범위를 향상하는 방법을 제시한다. 개발된 지진 계는 MEMS 공정으로 3축의 가속도계를 하나의 모듈에 일 체화하였으며 최대 2g 이상의 입력이 가능하다. 개발된 센서 에 대한 자세한 설명은 센서 개발이 본 논문의 주제가 아니 므로 생략한다.

지진계용 가속도 센서가 가져야 할 성능 중에서 가장 중요 한 것은 동적 범위로 다음과 같이 정해진 최대 입력에 대한 센서 신호의 최대값과 배경잡음의 표준편차 비율로 표시한다.

본 연구에서는 최대 입력으로서 국내 지진계 규격에 정해 진 2g를 사용한다.

센서의 배경잡음에 대한 이론적 한계는 다음식과 같이 스 프링에 연결된 관성 질량의 열역학적 거동으로 설명할 수 있다

여기에서 v 는 Hz 단윈의 배경잡음 밀도, k_B 는 Boltzmann 상수, T는 온도, ω_o 는 2차 진동계의 고유진동수, Q는 quality factor, M은 관성 질량을 의미한다. 이와 같이 MEMS 가속도 센서의 배경잡음은 센서의 구조 개선 및 온 도 보상 등의 방법으로 개선은 가능하나 기본적으로 한계가 있다. 그러므로 센서 출력에 대한 후처리 과정을 통하여 배 경잡음에 의한 영향을 억제하는 필터가 필요하다.

2.2 센서 저주파수 잡음의 MA 모델링 및 계수추정

지진계 센서에 포함된 잡음들의 혼합은 등가의 ARMA(Auto Regressive Moving Average) 모델로 나타낼 수 있다(^{Seong et al., 2000}). 본 논문에서는 저주파 대역 잡음을 ARMA로 모델링하고 나타내고 칼만필터 방법으로 입력 신호를 추정 하는 방법을 사용한다.

저주파 대역의 잡음을 모델링하기 위해 먼저 센서에 입력 을 가하지 않는 상태에서 측정된 센서의 데이터를 LPF를 통 과시켜 저주파 대역의 잡음 데이터를 획득하여야 한다. LPF 는 통과대역에서 지진파 입력이 가해지는 경우에도 신호의 왜곡이 발생하지 않도록 리플(ripple)을 최소화하도록 해야 한 다. 이와 같은 필터 중의 하나로 타원형 필터(elliptic filter)를 사용한다. 통과 대역은 국내 지진계 주파수 규격인 인 0Hz ~ 50Hz로 정한다.

LPF를 통과한 저주파 대역 잡음을 ARMA 모델로 표현한 다. ARMA 모델은 일반적인 식은 다음과 같다.

여기에서 y_t 는 센서 출력, e_t 는 백색 가우시안 잡음, a_i는 AR 부분의 계수, 그리고 c_i는 MA 부분의 계수이다. 또한 t - 1은 현재시간 t로부터 한 샘플 이전 시간을 의미한다. 식 (3)을 간략화된 형태로 표현하면 다음과 같다.

여기에서 A(z) = 1 + a₁z^-1 + ⋯ + a_naz^-na ,

C(z) = 1 + c₁z^-1 + ⋯ + c_ncz^-nc, 그리고 z^-1 은 지연 연산자로 예를 들어 z^-1y_t = y_{t - 1} 을 의미한다. 식 (4)를 출 력에 대해 다시 정리하면 다음과 같다.

A(z) 및 C(z)의 계수를 추정하여야 하는데 시스템 식별 방법 중 잡음 백색화(whitening)에 최적방법으로 알려진 예 측오차법(prediction error method)를 사용한다(^{Ljung, 1999}). 대상 센서의 시험 데이터로부터 추정한 결과 A(z)의 차수 na = 5 그리고 C(z)의 차수 nc = 0를 사용하면 충분히 잡 음이 백색화가 됨을 확인하였다.

2.3 칼만필터 구성

칼만필터는 선형시불변시스템에 상태변수를 추정하는 최 적필터로 알려져 있으며 여러 분야에 널리 사용되고 있다. 본 논문에서는 ARMA 모델로 표현된 저주파 잡음을 상태변 수 방정식에 포함시켜 칼만필터에 의해 지진파 입력 신호를 추정한다.

식 (5)는 C(z) = 1로 추정되었으므로 다음과 같이 변경된다.

식 (6)의 우변을 새로운 변수를 사용하여 b t = 1 A z e t 로 정의하자. 그러면 다음과 같은 관계가 성립한다.

지진파 입력이 가해졌을 경우에 그 입력은 출력에 그대로 더해진다. 따라서 지진파 입력을 u_t로 정의하고 식 (6)을 다 시 표현하면 다음과 같다.

입력 u_t 는 다음과 같이 1차 마코프 프로세스로 가정한다.

여기에서 f_t 는 백색잡음이며 α 는 상수로서 필터 구성시 적절하게 튜닝이 필요하다.

식 (7) 및 (9)를 결합하면 다음과 같은 시스템 식을 얻을 수 있다.

x_t는 상태변수로 x_t = [b_{t - na} ⋯ b_{t - 2} b_{t - 1} u_t] ^T 이며 w_t 는 공정잡음으로 w_t = [e_{t - 1} f_t]^T 이다. 행렬 F 와 G 는 다 음과 같다.

출력 식은 식 (8)로부터 다음과 같이 표현된다.

여기에서 vt 는 측정 잡음이며 행렬 H 는 다음과 같다.

칼만필터는 출력과 출력의 예측값과의 차이를 이득행렬을 곱하여 상태변수 값을 보정하는 필터로 간단하게 나타내면 다음과 같이 표현된다.

여기에서 x $\circ$ t 는 상태변수 추정값, y $\circ$ t - 1 f 은 y^f_{t - 1} 의 추정값 으로 y $\circ$ t - 1 f = H x $\circ$ t 로 계산되는 값이다. K 는 칼만이득 행렬 로 시스템 및 측정 행렬과 잡음의 분산으로부터 계산된다 (^{Lewis, 1986}).

2.4 시험에 의한 검증

제안한 방법을 실제 시험 데이터로 검증하기 위하여 Photo 2와 같이 시험장치를 구성하였다. 무진동 테이블 위에 가진 기를 장착하였으며 가진기 윗 부분에 개발된 지진계를 부착 하여 가진 시험을 하였다. 시험은 배경잡음의 표준편차를 구 할 때는 가진기 동작을 멈춘 정적 상태에서 데이터를 수집하 였다. 입력을 인가하는 경우에는 국내 지진계 규격에서 정한 최대입력인 2g의 크기로 정현파 입력을 가하였다. 정현파의 주파수는 지진계 규격에서 정한 주파수 범위의 중간 정도인 27Hz를 사용하였다. 데이터 수집을 위하여 NI사의 는 24bit ADC가 내장된 NI-9239 DAQ 장치를 사용하였다. NI-9239 DAQ에서 PC로 데이터를 전송하고 PC에서 제안된 알고리 즘을 수행하였다.

고주파 잡음을 제거하기위한 LPF로서 타원형 필터를 사용 하였는데 Fig. 1에 그 주파수 응답을 도시하였다. 그림에서 알 수 있듯이 고주파의 잡음을 120dB이상 억제하도록 설계 하여 고주파 잡음이 충분히 제거될 것으로 판단된다.

정적 상태에서 시험한 데이터로 고주파수 잡음을 제거한 후 예측오차법을 이용하여 ARMA 모델의 계수를 추정하였 다. 추정된 모델은 AR 5차, MA 0차로 나타났다.

추정된 모델로 충분히 백색화가 가능한지 확인하기 위하여 Fig. 2 및 Fig. 3에 자기상관함수(auto correlation function) 을 비교하였다. 그림에서 알 수 있듯이 LPF만 통과한 데이 터에 비해 ARMA 모델을 통과한 데이터는 백색화에 매우 근접하므로 추정된 ARMA 모델이 타당하다고 판단된다.

추정된 ARMA 모델의 계수로 칼만필터를 구성하고 지진 파 입력을 추정하였다. 먼저 지진파 입력이 없는 동적 상태 에서 추정한 결과이다. 이 경우에는 추정되는 값이 배경잡음 으로 그 표준편차를 Table 1에 나타내었다. 결과를 보면 센 서 출력에 비해 LPF 통과 후 배경잡음이 약 0.5배 감소하며 칼만필터 통과 후에는 약 0.35배로 감소함을 알 수 있다.

다음으로 지진파 입력이 가해진 경우 추정 결과이다. 27Hz 정현파로 2g 입력을 가하여 LPF 통과 후 결과와 칼만필터 추정 후 결과를 비교하였다. Fig. 4에 센서 출력 데이터, LPF 통과 데이터, 칼만필터 통과 데이터를 도시하였다. 결과를 보면 칼만필터 추정값은 센서 출력 및 LPF 통과 데이터와 잘 일치함을 보여준다.

동적범위를 구하기 위해 최대값을 구해보면 세 가지 데이 터 모두 2g에 거의 근접한 1.8g 정도의 값을 나타낸다. 그러 므로 동적범위를 식 (1)에 의해 구해보면 Table 2와 같다. 표 에서 알 수 있듯이 센서 출력에 비해 LPF 통과 후 6dB정도 개선되었으며 칼만필터 통과 후는 9dB 정도 개선됨을 알 수 있다. 그러므로 제안된 ARMA 모델링 및 칼만필터 방법은 흔히 사용하는 LPF 방법보다 동적범위를 더 개선 시킬 수 있는 방법임을 알 수 있다.