1.1 연구배경 및 목적

건설 구조물의 종류가 다양화, 대형화 그리고 고층화됨에 따라 건설재료는 복잡하고 다양한 성능을 요구받고 있으며, 그 수준 또한 매우 고도화되고 있다. 이에 따라 콘크리트 기술 은 기본적인 성능을 훨씬 뛰어넘는 고강도화 및 자기충전형 화를 실현하기 위해 연구 개발되고 있으며, 특히 자기충전형 화기술은 콘크리트의 고품질을 유지하면서도 시공편이와 급 속시공 혹은 경제적인 시공을 실현하기 위해서 건설 공학적 으로 매우 효과적인 기술이다(^{Fardis, 2012}). 국내의 경우 ^{Do and Kim(2013)}은 여러 폴리머 디스퍼전을 사용한 고유동성 폴리머 개질 시멘트 모르타르에 관한 연구를 수행하였으며, ^{Ko et al.(2015)}은 고유동 고강도 콘크리트용 거푸집의 측압측 성에 대한 연구를 발표하였다.

고유동성을 가지는 자기충전형 콘크리트(self compacting concrete; SCC)는 다양한 재료를 사용하고, 성능에 대한 재료 함량의 민감도가 보통 콘크리트보다 높기 때문에 보다 정교 하면서도 합리적인 공학적 재료설계가 이뤄져야 한다. 하지 만 현재 SCC에 대한 재료설계과정은 명확하게 정립되어 있 지 않고, 언어적(lexical) 표현으로 배합과정을 설명하거나 재 료의 구성비율을 대략적인 범위로 제시하고 시험배합을 통 하여 최종 배합비를 결정하는 과정을 따르고 있는 실정이다 (^{EFNARC, 2002}). 즉, 매우 높은 수준의 실현기술을 목표로 삼고 있음에도 불구하고 과학적 방법이라 할 수 없는 경험에 기초한 실험을 계획하고 있는 실정이며, 성능파악은 객관적 인 절차에 따라 유효하게 시행되었음에도 불구하고 최종배합 을 도출하는 과정은 주관적 수준에 머물러 있다. 이러한 방법 으로 얻은 최종 배합비를 여러 제한조건과 목표성능을 만족 하는 최적해로 받아들이기에는 공학적으로 확신을 주지 못하 는 절차라는 것은 자명한 사실이다(^{Atcin, 2011}).

즉, 한 개의 인자씩 순차적으로 배합구성비를 결정해나가 는 기존 콘크리트배합설계과정－초보적인 인자결정법이라 고 분류할 수 있음－은 간결한 구조라는 장점이 있지만, 인자 와 성능 사이의 비선형적 관계를 각 과정 중에서 1개 인자씩 만 고려하는 전형적인 one factor at a test의 단점을 가지고 있 다(^{Baykasoglu et al., 2009}).

다변량 처리기술 면에서 뛰어난 성능을 보이는 ANN을 사 용한 연구를 살펴보면, ANN의 구조적 특징으로 인해 실험인 자(입력)와 성능(출력) 사이의 적합(fitting)은 매우 뛰어난 면 을 보여주고 있다. 하지만 일정 수준 이상의 정확도를 유지하 거나 확보하기 위해서는 매우 많은 수의 학습자료 및 검증자 료가 필요하다. 이는 실험에 많은 인적 물적자원을 투입하고 전산해석비(computational cost)가 고가라는 단점이 있다 (^{Yeh, 1998}; ^{Khan, 2012}).

또한 수집자료를 학습하는 과정에서 과도적합(overfitting) 의 문제는 ANN의 예측성능을 좌우하는 고질적인 위험요인 이다. 마지막으로 ANN은 입력과 출력 사이의 관계를 알 수 없는 소위 블랙박스(blackbox) 모델이기 때문에 ANN에 의해 도출된 예측값 혹은 최적해에 대해 그 과정에 대한 정보를 알 수 없어 근거를 설명하기 어렵다는 단점이 있다(^{Myers, et al., 2009}; ^{Siddique, et al., 2011}).

이에 본 연구에서는 ANN의 본질적인 문제점을 극복할 수 있으면서 최소의 비용으로 최대의 정보를 얻는 목적으로 고안 된 실험계획법 중 보통 중심합성계획으로 알려진 Box-Wilson 실험계획법을 활용하여 60 MPa급 고강도 자기충전형 콘크리 트(high strength self compacting concrete; HSSCC)를 대상으 로 다양한 성능에 대한 여러 배합인자들의 효과를 효율적으로 파악하고 최적배합을 찾는 과정에 대하여 연구를 수행하였다.

1.2 연구범위 및 절차

본 연구에서는 HSSCC의 배합인자(요인)와 물리적 성능 (반응) 사이의 관계는 선형보다는 비선형성을 띄는 것이 알려 져 있으므로(^{Ghafari, 2014}) 이들의 관계를 Fig. 1에 설명되어 있는 연구절차에 따라 실험계획 및 성능시험을 실시하여 2차 다항식(second order polynominal)으로 근사화 모델링을 시도 하였다. 각 요구성능 별 근사화 모델식의 통계적 타당성은 F-test(유의수준=0.05)를 통하여 검정하였으며, 각 모델식을 구성하는 구성항(term)들은 t-test(유의수준=0.05)를 통하여 통계적 유의성을 검정하였다. HSSCC에 요구되는 각 성능에 대한 최적해는 정준분석을 통하여 제시되었다. 또한 일정 범 위의 요구성능을 갖는 일종의 다목적 최적해를 찾는 과정에 대해서는 도시적 해법(graphical solution)을 통하여 최적해를 제시하였다.

Fig. 1

Optimization procedure of HSSCC by box-wilson experimental design

2.1 Box-Wilson 실험계획법

Box-Wilson 실험계획법을 사용하면 2차 모형의 제곱항의 효율적인 추정이 가능하고, 실험계획의 바람직한 특성인 회 귀계수의 변동을 최소화하기 위한 직교블록화(orthogonal blocking) 및 예측분산을 일정하게 하는 성능질을 가지고 있 는 회전성(rotatability)의 구현이 용이하다.

Fig. 2에 도시적으로 표현된 3인자 Box-Wilson 실험계획 법은 중심점(center point, n_c), 축점(axial point, n_a), 요인점 (factorial point, 2k)으로 구성되어 있다. 만약 요인(독립변수) 의 수가 k라면, 요인점의 수는 2 ^k이고, 축점의 수는 2k이고, 중 심점에서의 반복회수가 n_c이라면, 총 실험횟수는 2 ^k +2k+n_c가 된다(^{Montgomery, 2013}).

Fig. 2

Design points of 3factor Box-Wilson Response surface method

만약 요인과 반응사의 관계로 구성되어지는 어떤 시스템에 곡률(curvature)이 존재한다면, 실험계획법에서는 보통 2차 다항식으로 다음과 같이 근사화모델을 추정한다. 근사화 반응 모델이 y = f(x₁, x₂, x₃, ⋯, x_k) + ϵ, ϵ = N(0, σ²) 이라면, E(y) = f(x₁, x₂, x₃, ⋯, x_k) = η 이고, η는 반응표면이다. 함수 f를 x=0을 중심으로 2차 Taylor 급수전개를 하면,

가 되며, $partial$ f $partial$ x i x = 0 를 β i , $partial$ 2 f $partial$ x i 2 x = 0 / 2 ! 를 β_ii 로 놓고, β_ij $partial$ 2 f $partial$ x i x j x = 0 로 놓으면,

이 된다. 따라서, 회귀계수는

이 된다.

2.2 정준분석(carnonical analysis)

정준분석은 반응모델식의 곡면형태를 파악하고, 정상점 (stationary point)이 최소점, 최대점, 혹은 안부점인지를 결정 하는 데 유용하게 사용되는 RSM의 분석기법이다. 기본적인 원리를 기술하면 다음과 같다. 독립변수가 2개인 식 (2)에 대 하여 행렬을 이용하여 간략하게 바꾸어 쓰면

으로 표현된다. 따라서 식 (2)를 식 (4)의 행렬 형식으로 표현 하면, 항 열벡터 x = [x₁, x₂, x₃, ⋯, x_k]^T, 계수 열벡터 b = β ˆ 1 , β ˆ 2 , β 3 , ..., β ˆ k T 이고

계수행렬 B = β ˆ 11 β ˆ 12 / 2 β ˆ 13 / 2 . . . β ˆ 1 k / 2 β ˆ 22 β ˆ 23 / 2 . . . β ˆ 2k / 2 β ˆ 33 . . . β ˆ 3k / 2 . . . . . . sym β ˆ kk 과 같다.

식 (4)에서 y ˆ 을 x로 미분하면

식 (5)의 b + 2Bx = 0 을 만족하는 임의의 어떤 점 x₀를 정상 점이라고 부르며,

정상점 x₀의 특성은 계수행렬 B의 고유벡터(eigenvector)에 영향을 받는다. 즉 고유치(eigenvalue)가 모두 음수(negative) 이면 최대점, 모두 양수(positive)이면 최소점, 그렇지 않으면 최대 최소가 아닌 안부점(saddle point)이 된다(^{Myers, et al., 2009}).

3.1 Box-Wlson 실험계획

본 연구에서는 HSSCC의 배합인자와 성능 사이의 관계가 비선형적이라는 특징을 고려하여 2차 다항식으로 근사화하 는 5인자 2차 반응모델링을 실시하였으며, Fig. 3에 도시적으 로 설명되어 있는 바와 같이 요인점=2 ⁵ =32개, 축점=2k=10개, 중심점은 각 축에서 2번 씩 10개, 총 52개의 실험점에서 반응 을 파악하기 위한 실험이 실시되었다. 각 실험점에서의 각 성 능시험 별 시험은 1개씩 수행하였으며, 반복실험은 수행하지 않았다.

Fig. 3

Illustration of experimental point in this study

성능변수 즉 반응에 영향을 미치는 요인변수들로는 물결합 재비, 시멘트량, 잔골재비, 플라이애시량, 자기충전형화제 량이 배합인자로 선택되었다. 각 요인 수준들의 관심영역 (interest region)이 Table 1에 나열되어 있으며, 각 uncoded 요 인들은 수치계산이 편하도록 식 (7)과 같은 방법으로 선형변 환(linear transformation)을 시켜 coded variable(x_i)로 정의하 였다(^{Ozbay, et al., 2009}).

3.2 사용재료 및 배합

고강도 자기충전형 콘크리트의 반응표면과 최적수준을 파 악하기 위해 보통포틀랜드시멘트(밀도 3.15 g/cm ³ , 분말도 3,408 cm ² /g)와 모래(밀도 2.62 g/cm ³ , 조립율 2.31), 부순 굵은 골재(최대치수 <19 mm, 밀도 2.63 g/cm ³ , 조립율 6.32), 플라 이애시(밀도 2.19 g/cm ³ , 분말도 3,552 cm ² /g), 폴리카보산계 (polycarboxylic type) 자기충전형화제(밀도 1.12 g/cm ³ , 액상 형)가 사용되었다. 본 연구의 모든 혼합물은 Fig. 4에 보여지 는 바와 같이 총 13분의 혼합시간동안 강제혼합믹서(rotating pan compulsory mixer)를 통하여 혼합되었다.

Fig. 4

Mixing procedure

3.3 시험체 준비 및 시험방법

^EFRNC(2002) 가이드라인에 따르면, 자기충진콘크리트 (국내에서는 자기충전형 콘크리트로 칭함)의 기본 요구성능 으로 압축강도, 탄성계수, 충진성능, 통과능력, 재료분리저항 성, 시공연도 등을 제시하고 있다. 적용부위 및 사용조건 등에 따라 요구성능이 달라지겠지만, 본 연구에서는 편의상 압축 강도와 통과능력, 재료분리저항성에 대한 재료특성 3가지 시 험을 실시하였으며, 재료의 최적설계에 제조비용과 재료의 단위무게를 고려하기 위해 추가적인 요구성능으로 설정하여 최적화 설계를 실시하였다.

압축강도 시험용 공시체는 100 mm×200 mm원통형 몰드에 타설 후 추가 다짐작업없이 제조되었으며, KS F 2405의 시험 방법에 따라 수중양생 재령 28에서 측정되었다. 통과능력은 슬럼프 프로우, V-funnel등의 SCC유동특성값과 관련있는 J-ring실험의 플로우값을 측정하여 파악하였다. 재료분리저 항성은 GTM test를 통하여 지름350 mm의 5 mm체를 통과한 시료의 중량을 측정하여 그 비율을 계산한 값으로 사용하였 다. 제조비용은 HSSCC 1 m ³를 제조하는 필요한 각 재료비의 합계로 계산하였으며, 밀도는 KS F 2406의 시험방법에 따라 서 측정되었다.

3.4 요인과 최적수준결정방법

HSSCC의 성능에 영향을 미치는 요인(factor)으로는 물결 합재비, 시멘트량, 잔골재비, 플라이애시량, 자기충전형화제 량의 배합인자가 선택되어 5인자 실험이 Box-Wilson 실험계 획법에 따라 계획되었다. 본 연구에서 제작한 HSSCC의 각 성 능(반응)과 배합인자(요인) 사이의 관계(반응함수 혹은 반응 면)를 2차식으로 근사화(2차 반응모델)하고 모델식의 통계적 유의성과 적합성은 분산분석(ANOVA)을 통하여 검정하였 다. 2차 반응모델의 각 항(term)의 계수가 통계적으로 유의한 지를 파악하기 위해 t-test를 통하여 검정값을 계산하고, 상수 항, 1차항, 2차항, 2원 교차항으로 구성된 2차 반응모델식에서 유의수준 0.15에서 stepwise regression에 따라 유효한 항을 선 택하였다. 각 성능에서 최적의 반응치를 얻을 수 있는 배합인 자의 수준을 파악하기 위해 도시적 해석법(graphical soloution) 을 통하여 pareto optimality를 가지는 feasible region을 도시적 으로 제시하는 방법과 정준분석(canonical analysis)과 같은 단 일함수(single function) 최적화를 실시하였다.

4.1 분산분석 및 통계적 검정

Table 2에는 Box-wilson 설계에 의해 생성된 표준설계점에 서의 시험결과가 나열되어 있다. Table 2의 결과를 토대로 압 축강도, 통과능력, 재료분리저항성, 제조비용, 밀도의 HSSCC 반응변수들은 요인에 대하여 1차항(linear), 2차항(quadratic), 교호작용항(interaction)을 가지는 2차식으로 근사화 모델링 을 하였으며, Table 3에 보이는 바와 같이 F검정을 통하여 모 델의 유의성과 적합성 검정을 실시하였다. 압축강도, 통과능 력, 재료분리저항성, 제조비용, 밀도의 각 모델식의 계수가 모 두 0일 때 이것이 일어날 확률은 유의수준 0.05보다 낮으므로 (p<0.000), 귀무가설(null hypothesis, H₀)은 기각되어 각 반응 모델식은 통계적으로 유의하다고 판정된다. 적합성결여(lack of fit)검정은 실험을 통하여 구한 반응모델식이 반응을 설명 하는 데 적합하지 않아서 발생한 변동의 영향 여부를 판정하 는 데 적용되며, 검정결과 제조비용을 제외한－제조비용은 순수오차가 0이므로 적합성결여 검정을 수행할 수 없음－모 든 반응변수에서 각 반응모델식이 적합하지 않아 발생한 변 동이 0일 확률이 유의수준 0.05보다 크다. 따라서 본 연구에서 제시하고 있는 각 2차 반응모델식은 적합성결여 검정의 귀무 가설이 채택되므로 Table 3에 나열된 모든 반응변수의 모델식 이 적합하다고 판정된다.

Table 4에는 각 반응변수들의 코딩되지 않은(uncoded) 회 귀함수가 제시되어 있으며, 각 회귀함수는 상당히 높은 결정 계수(y1=94.7, y2=95.8, y3=94.3, y4=92.3, y5=95.3)를 보이고 있어 각 반응 현상에 대한 충분한 설명력을 가지고 있다고 판 단된다.

Table 5와 6에는 t-test를 통한 각 반응변수 2차 모델식의 상 수항, 1차항, 2차항, 교호작용항의 계수의 통계적 유의성 검정 을 수행한 결과가 나타나 있다. 각 반응변수 별로 선택된 모델 식의 항이 다르다. 이는 완전2차모델식을 구성하는 상수항, 1 차항, 2차항, 교호작용항 중에서 반응값에 기여가 높은 항을 선별하기 위해 forward selection(모델에 포함될 기준: p-value ≦0.15) stepwise regression을 수행한 결과이며, 본 연구에서 는 공정관리 및 품질관리용으로 널리 사용되어 오고 있는 통 계해석프로그램인 미니탭 17에서 이 과정이 수행되었다. stepwise regression을 수행한 결과 압축강도(y1)의 경우 상수 항을 포함하여 1차항과 2차항은 모두 반응값에 유의한 영향 을 미치는 것으로 확인되었으며, x1*x2, x1*x5와 x3*x4의 교 효작용항이 압축강도의 반응값에 유의한 영향을 미치는 것으 로 분석되었다. 마찬가지로 통과능력을 나타내는 반응변수 y2의 경우에는 상수항1개, 1차항, 5개, 2차항 5개, 교호작용항 10개 총 21개항의 완전2차식(full quadratic)에서 14개항이 선 택되었고, 재료분리저항성(y3) 14개항, 제조비용(y4) 11개항, 밀도(y5) 11개항이 선택되어 각 반응모델식을 구성하고 있다. 분산분석 및 통계적 검정결과, HSSCC 성능영향요인들과 각 반응변수들 사이의 관계는 2차 반응모델이 매우 타당한 것으 로 확인되었으며, 각 반응모델식 별로 반응값에 중요한 영향 을 미치는(통계적으로 유의한) 항(term)을 선택함으로써 완전 2차식에 비해 단순하면서 매우 효과적인 반응모델식이 얻어 졌다.

4.2 요인효과 분석

각 반응변수 별 반응값에 대한 HSSCC 배합요인의 효과는 Table 5와 6의 세 번째 열에 나열된 effect 값으로 확인할 수 있 다. Table 5에 나열되어 있는 반응변수 압축강도에 대한 각 항 (term)들의 영향을 나타내는 Effect열의 값을 보면 x1요인 즉 W/B는 반응값에 대한 효과가 –3.827로써 다른 요인에 비하여 가장 높은 효과를 보이고 있다.

앞서 설명한 제조비용에 대한 요인들의 효과를 Table 5를 통하여 확인해보면 단위 플라이애시량 x4의 제조비용 반응값 에 대한 효과는 4.874이며, x2변수 즉 단위시멘트량의 제조비 용의 반응값에 대한 효과는 7.026으로 단위플라이애시량은 단위시멘트량의 약 70%수준이다. 따라서 시멘트를 플라이애 시로 대체하는 경우 대체량의 약 30%정도의 제조비용을 절약 할 수 있을 것으로 판단된다.

4.3 반응표면

5인자 실험에서 두 요인 사이의 관계에서 얻어지는 반응표 면은 총 10개가 존재하지만, 대략적인 설명을 위해 각 반응변 수의 반응모델의 항으로 선택된 교호작용에 대한 반응표면을 그래프로 표현하였다. 또한 각 반응변수의 반응표면을 도시 적으로 표현하는 것은 3차원이 한계이므로 반응변수 1개에 요인2개만이 가능하다. 본 연구에서는 요인으로 5인자가 선 택되었으므로 각 반응변수에 대한 이들의 영향을 표현하기 위해서는 2개의 요인을 제외한 나머지 요인은 고정값으로 지 정되어야 한다. Fig. 5에는 각 반응변수에 대한 코딩된(coded) 요인들의 영향을 나타내는 반응표면이 제시되어 있으며, 그 래프의 x, y변수 이외의 요인들은 중심점으로 고정되었다.

Fig. 5

Response surface of each response

각각 압축강도와 통과능력의 반응표면을 나타내고 있는 Fig. 5의 (a)와 (b)를 보면, 위로 볼록한 형태의 정상점(stationary point)이 존재하는 것을 확인할 수 있다. 그림 a)에서 보이는 반응표면을 보면 최고점이 자기충전형화제의 실험수준의 중 간부분에서 발생하지 않고, +1(요인점)과 +2.378(축점)사이 에 존재하는 것으로 보인다. 나머지 재료분리저항성, 제조비 용, 밀도의 반응표면을 나타내는 Fig. 5의 (c),(d),(e)를 보면 반응 모델의 구성항(term) 중 1차항과 2차항에 비하여 교호작용항 의 효과(effect)가 큰 이유로 인하여 최댓값이나 최솟값과 같 은 정상점이 뚜렷하게 보이지 않고, 최대도 아니고 최소도 아 닌 안부점(saddle point)이 존재하고 있는 것으로 추측된다. 이 런 각 반응모델의 정상점의 종류에 대한 판별은 이어지는 정 준분석을 통하여 수치해석적으로 분석되었다.

4.4 정준분석 및 도시적 최적해

4.4.2 도시적 분석

Fig. 6과 7은 각각 압축강도(y1)과 통과능력(y2)의 정상점 을 도시적으로 찾아본 결과로써 x3, x4와 x5 요인들을 Table 7 의 정준분석으로 얻은 수치로 고정한 후 W/B와 시멘트량의 등고선 그래프를 작성하여 확인하였다. 두 반응변수 모두 정 준분석의 결과와 잘 일치하는 것을 확인할 수 있다. 다음으로 재료분리저항성의 반응변수에 대하여 도시적으로 분석한 결 과 Fig. 8에 보이는 바와 같이 재료분리저항성은 본 연구의 관 심영역(interest region)에서 안부점이 존재하고 있었다. 하지 만, 같은 방법으로 제조비용과 밀도의 등고선을 파악한 결과 이 두 반응변수는 본 연구의 관심영역 밖에 안부점이 존재하 는 것으로 파악되었다. 즉 관심영역에서는 단조증가 혹은 감 소의 경향을 보이고 있었다.

Fig. 6

Graphical solution to stationary point of compressive strength, y1

Fig. 7

Graphical solution to stationary point of Fludity and passibility, y2

Fig. 8

Graphical analysis in stationary point of segregation resistance, y3

지금까지의 최적점을 찾거나 확인하는 과정은 모두 단일함 수(singular function)를 대상으로 한 것으로써 여러 목적함수 중 오로지 하나의 목적함수만을 고려한 해석이었다. 이에 반 하여 Fig. 9는 5개 반응변수 모두를 하나의 등고선지에 중첩되 게 작성하여 여러 변수를 동시에 고려함으로써 2가지 이상의 다목적을 타협적으로 만족하는 해의 집합(compromise set)－ 이른바 파레토 최적면－을 도시적으로 제시하는 것이다. 즉 Fig. 9는 요인변수의 코딩하지 않은 값이 (x3, x4, x5)=(45, 75, 6)으로 고정되었을 때 y1≧64 MPa, y2≧640mm이상, 8≦y3 ≦10, y4≦57천원, y5≦2380 kg/cm ³을 만족하는 W/B(x1)과 시멘트량(x2)의 최적해가능영역(feasible region)이 그래프에 서 하얀색으로 표시되어 있다. 따라서 이 하얀색 영역은 위의 요구성능조건을 만족하는 x1과 x2의 부분집합(subset)으로써 제조가 필요에 따라 적절한 대응집합을 선택하여 최종배합을 결정하면 된다.

Fig. 9

Overlaid contour plots of responses dependent on W/B and cement content