2.1. 확률론적 위험도평가 기법

확률론적 구조물 위험도평가는 구조신뢰성해석을 통하여 구조물의 설계목표에 부합하는 성능기준인 한계상태(limit state)의 범위를 초과할 확률을 정량적인 수치로 표현하는 것 이다. 한계상태란 구조물 및 부재가 공용수명 기간 내에 파괴 에 이르거나 과도한 균열 및 처짐 등의 사용성 문제로 인한 구 조적 기능상실 상태로서 극한강도(ultimate strength) 한계상 태와 사용성(serviceability) 한계상태 등으로 분류한다. 이를 하중과 저항 관련 확률변수(random variable, RV)의 함수관계 로 표현한 것이 한계상태함수이고 명시적인 형태나 유한요 소·유한차분 알고리즘과 같은 암시적 형태로 표현된다. 전자 의 경우에는 정량화된 안전지표인 신뢰도지수를 산정하는 Level II 신뢰성기법[일계이차모멘트법(MVFOSM), 일차신 뢰도법(FORM), 이차신뢰도법(SORM) 등]과 직접적으로 파 괴확률을 산정하는 Level III 신뢰성기법(직접적분법, MCS 등)에 의해서 신뢰성해석을 용이하게 수행할 수 있다. 그러나 설계실무에서 일상적으로 적용되는 유한요소법 또는 유한차 분법 등과 같이 한계상태함수가 알고리즘 형태로 표현되는 경우의 신뢰성해석에서는 Level II 신뢰성기법을 독립적으로 직접 적용할 수 없다(^{Haldar and Mahadevan, 2000}). 이런 경우 에는 직접 MCS(Direct or Crude MCS)기법이나 개선된 MCS (Advanced MCS)기법 등이 사용될 수 있다. 하지만 직접 MCS 기법을 이용한 신뢰성해석은 파괴확률이 작은 경우 일정수준 의 정확도를 확보하기 위해서 시뮬레이션 횟수를 충분히 크 게 해야 하며, 이는 시뮬레이션 횟수와 동일한 확정적 유한요 소해석의 수행을 의미하므로 이 방법을 실무에 적용하는 것 은 비현실적이다. 이에 따라 매우 적은 시뮬레이션 횟수로 파 괴확률을 비교적 정확히 산정할 수 있는 방법이 요구되었고, Importance Sampling Method, Directional Simulation, LHS Method 등의 개선된 MCS기법이 개발되었다. 이 중 Importance Sampling Method는 적절한 중요도추출함수를 선택하여 상대 적으로 적은 횟수의 모사로도 만족할 만한 결과를 얻을 수 있 으나, 함수 선택의 적절성과 미리 파괴확률이 큰 영역을 파악 해야 하는 문제가 있다. Directional Simulation은 극좌표 공간 으로 변환된 다차원 정규변수 공간에 대해 n-1차원의 각을 이 용하여 파괴확률을 추정하므로 한계상태함수가 닫힌 폐곡선 인 경우에만 효율적이다. 이 연구에서는 직접 MCS의 비효율 성을 극복하고, 매우 적은 샘플링에도 편향성을 갖지 않는 LHS-based MCS기법을 적용한 신뢰성평가 기법의 절차를 확립하고 실질적인 해안구조물의 위험도평가 문제에 적용하 였다.

2.2. LHS (Latin Hypercube Sampling)-based MCS기법 (Jung et al., 2012)

상대적으로 매우 적은 수의 시뮬레이션으로 일정 수준이 상의 정확성을 보장하는 것으로 입증된(^{Olson and Sandberg, 2002}; ^{Yang et al., 2006}) LHS는 아래 Fig. 1에 나타낸바와 같 이 확률변수 공간에서 난수 값을 추출할 때 균등한 분포빈도 로 추출되도록 각 확률변수의 범위를 n개의 영역으로 나눈 다 음, 각 구간에서 하나씩 추출하되 중복되지 않게 n개를 샘플 링하는 방법이다. 즉 어떤 변량에 대해 n개의 값을 추출할 때 원하는 수 n개의 배열을 형성한 후 중복되지 않게 이 중 하나 의 배열에서만 추출하는 방법으로 n은 추출하고자 하는 값의 수를 나타낸다.

Fig. 1.

Sampling concept using LHS

표본추출을 위해서 먼저 입력변수들이 [0, 1]의 범위를 갖 도록 표준화한다. 추출영역 [0, 1]에서 각각 독립인 확률변수 (X ₁, . . . . ,X _d)와 각 확률변수의 분포형태에 해당하는 누적분 포함수(Cumulative Distribution Function, CDF)를 F ₁ , . . . . . F _d 라 하고 s_i,j를 j번째 변수 (X _j)의 i번째 추출점이라고 하면, Fig. 2와 같이 α =(α_i,j)는 n×d행렬로서 α의 각 열(1, . . . . , n) 은 임의순열(random permutation)이 되며, 여기서 d는 확률변 수의 수로서 변량의 차원을 나타낸다. 이러한 각 열들은 확률 적으로 독립이라고 가정하고 식 (1)과 같이 LHS를 정의할 수 있다.

Fig. 2.

Sampling procedure for 2 RV's using LHS (^{Jung et al., 2012})

여기서 U _i,j는 각각이 독립적으로 균등분포 [0, 1]을 따르는 확률변수로 위의 식에서 순열 α_i,j,......,α_n,d에 의해서 결정된다.

LHS-based MCS 기법에 대한 이해를 돕기 위하여 두 개의 확률변수(random variable, RV)에 대하여 총 5개의 샘플을 획 득하는 과정을 아래 Fig. 2에 예시하였다. 두 확률변수 X와 Y 는 대수정규분포를 따르며 평균은 각기 40과 10 그리고 표준 편차는 각기 6과 3을 갖는 것으로 고려하였다. 즉 X~LN(40, 6)이며 Y~LN(10, 3)으로 가정하였다.

2.3. 제안된 LHS기반 신뢰성해석 기법의 절차

이 연구에서는 이상에서 기술한 LHS에 기초한 신뢰성해석 기법을 제안하였으며, 다음과 같은 분석단계를 거쳐 신뢰성 해석이 수행된다.

Step 1) 신뢰성해석에서 고려하는 한계상태함수 G(X)와 확 률변수(X)를 정의하고, 확률변수의 통계특성치인 평 균, 변동계수 및 분포형태를 결정

Step 2) 각 확률변수에 대해 구간이 겹치지 않는, 즉 동일한 확 률 값을 갖도록 n개의 분포구간으로 분할

Step 3) 모든 확률변수들에 대하여 n개의 샘플링을 위한 임의 순열 α =(α_n,d)를 생성

Step 4) 식 (1)을 이용하여 모든 구간에서 해당 확률변수의 확 률밀도조건에 적합한 임의변수(random number)를 하 나씩 생성

Step 5) 모든 확률변수에 대하여 Step 4)를 반복

Step 6) 생성된 n개의 샘플(확률변수에 대한 벡터) 값을 적용 한 확정적 유한요소해석이나 유한차분해석을 통하여 일련의 한계상태함수의 값들을 구하고, 그 평균(μ_g)과 표준편차(σ_g) 값을 산정

Step 7) 위의 결과로부터 신뢰성지수(β =μ_g/σ_g) 및 대응 파괴 확률(P _f≅1-Φ[β], 여기서 Φ는 표준정규변량의 누적 분포함수)을 구하여 구조물의 안전성과 위험성을 평가

2.4. 검증예제

본 연구에서 제안한 LHS기반 신뢰성해석에 대한 방법과 절차를 보다 상세하게 설명하고 해석결과의 효율성, 정확성 및 타당성을 검증하기 위하여 아래와 같이 7개의 확률변수로 표현되는 명시적 한계상태함수를 갖는 검증예제를 고려하였 다. 최대 휨모멘트 M이 작용하는 단철근 직사각형 철근콘크 리트 보의 여유모멘트(M _m)와 관련된 한계상태함수는 식 (2) 로 표현된다(^{Haldar and Mahadevan, 2000}).

여기서, A _s : 인장철근량

f_y : 항복응력

d : 단면의 유효높이

η : 콘크리트의 응력 블록 계수

f'_c : 콘크리트 압축강도

b : 단면 폭

M _R : 보의 저항모멘트

M : 보에 작용하는 최대 휨모멘트

확률변수로 고려하는 설계변수들의 불확실성을 나타내는 통계적 특성치가 다음 Table 1에 제시되었고, 계산의 간편성 을 위해 확률변수들은 정규분포(N) 및 대수정규분포(LN)를 가지는 것으로 가정하였다.

우선 식 (2)에 제시된 한계상태함수의 틍계특성치, 즉 평균 과 표준편차의 추정에 대한 제안기법의 정확성과 효율성 검 증을 위하여 직접 MCS 기법과 본 연구에서 적용한 LHS기반 MCS기법을 수행한 후 그 결과를 비교하여 아래 Fig. 3에 도시 하였다. Fig. 3에 보이는 바와 같이 샘플 개수에 따른 두 방법 의 평균과 표준편차 추정 값의 비교 결과 LHS기반 MCS의 평 균과 표준편차 값이 직접 MCS 보다 정확한 해에 상당히 신속 하게 수렴하는 것을 확인하였고, 특히 평균값에 대한 수렴도 는 주목할 만하다.

Fig. 3.

Comparison between LHS-based MCS(LHS) and Direct MCS(MCS)

또한 이 연구에서 제안한 LHS기반 신뢰성해석 기법의 정 확성과 효율성을 검증하기 위해 최대 300개 샘플 개수에 대한 제안기법의 신뢰성해석 결과와 10,000,000회의 직접 MCS기 법 결과를 아래 Table 2에 비교하였다. Table 2에 제시된바와 같이 천만 회의 MCS 해석 결과와 300개의 샘플을 적용한 제 안기법에 의한 해석 결과가 약 4.5%의 차이를 나타내고 있다. 특히 단지 30개의 샘플을 적용한 경우에서도 M _m의 평균은 약 -4% (194.0 / 201.9 = 0.961), M _m의 표준편차는 약 +3% (189.0 / 184.2 = 1.026) 그리고 파괴확률은 약 +5%의 근소한 차이를 보이고 있다. 이와 같이 LHS기반 신뢰성해석 기법은 상대적 으로 아주 적은 수의 샘플로도 적정한 수준의 정확성을 확보 할 수 있는 매우 효율적인 신뢰성평가 방법인 것으로 판단된 다. 그러므로 제안기법은 유한요소 프로그램 등과 같은 알고 리즘을 이용하여 복잡한 구조물의 신뢰성분석을 다루는 실제 적인 문제에 용이하게 적용할 수 있는 합리적인 방법으로 사 료된다.

3.1. 신뢰성해석을 위한 선행 작업

3.1.1. 해석대상 방파제 구조물

구조물의 위험도평가에서는 구조형식·특성에 따른 하중 전달체계 및 전체 구조계의 거동에 대한 이해가 필요하다. 사 례분석의 유공 슬릿 케이슨식 방파제는 독립 유닛 케이슨을 보강하기 위한 횡방향 및 종방향 격벽과 하중 경감을 위한 유 공 슬릿부로 인해 등가 2차원 평면변형률 문제[Fig. 4(a)]로 해 석할 수 없으므로 Fig. 4(b)와 같은 개별 유닛을 대상으로 3차 원 해석을 수행해야한다.

Fig. 4.

Perforated slit-caisson breakwater

3.1.2. 설계파랑 및 파랑조건

각 한계상태 및 구조요소별 극한상태의 파랑조건에 따른 하중조합을 적용하기 위해 설계시 고려된 설계파랑특성 (Table 3)의 파랑조건과 하중조합을 고려하였다. 즉, 파봉시 의 압파_I(Case A-1), 압파_IIa(Case A-2), 압파_IIb(Case A-3) 및 파곡시의 인파_I(Case B-1), 인파_II(Case B-2), 인파_III (Case B-3)의 총 6가지 파랑조건에 따른 모든 하중조합을 고 려한 확정적 유한요소해석을 수행하여, 부재요소별 극한강도 와 전체구조계의 사용성 한계상태에 대하여 극한인 파랑조건 과 하중조합 상태를 결정하고 그에 대한 신뢰성해석을 수행 하였다. 여기서는 지면의 제한으로 인파 III(Case B-3)에 대한 파랑조건만을 Fig. 5에 대표적으로 제시하였다.

Fig. 5.

Typical design wave force (Case B-3)

Table 3

Characteristics of design wave

Significant wave height (H1/3)	Period(T1/3)	Wave length (L, depth h)	Return period
4.10	10.83	132.70	50years

3.2. 한계상태함수의 정의

전술한바와 같이 제체의 활동, 전도 및 지지력 등의 제체안 정성에 대한 신뢰성분석이 아닌 케이슨 구조물에 대한 구조 적 측면의 위험도평가에 중점을 두고 아래와 같이 극한강도 및 사용성 한계상태를 고려한 신뢰성해석을 수행하였다.

3.3. 확률변수의 통계특성치 결정

초기 신뢰성해석 결과에서 확인한 확률변수들의 민감도와 관련문헌(^{Melchers, 2001}; ^{Huh and Haldar, 2001}; ^{Oumeraci et al., 2001}; ^{Nagao, 2001}; ^{PIANC, 2003})을 참고하여, 방파제에 대한 구조신뢰성해석에 필요한 각기 9개(극한강도 한계상태) 와 7개(사용성 한계상태)의 확률변수를 Table 4와 같이 선정 하였다. 확률변수의 통계적 특성치인 평균값, 변동계수(COV, coefficient of variation), 그리고 분포형태 또한 다음과 같이 다양한 문헌자료에 기초하여 결정하였다. Table 4에 보이는 재료관련 확률변수(γ_RC , E _RC , f_ck , f_y , γ_S , k_z )의 통계특성치 는 ^{Melchers(2001)}, ^{Huh and Haldar(2001)} 및 ^PIANC(2003)의 연구결과에 근거하고, 하중관련 확률변수(U _FH , U _FU , U _qR )의 통계특성치는 ^{Oumeraci et al.(2001)}, ^Nagao(2001) 및 ^{PIANC (2003)}의 연구결과를 준용하여 결정하였다.

3.4. 구조신뢰성해석 및 결과분석

확정적 유한요소해석 결과로부터 선정된 케이슨식 방파제 의 전면벽 단부(E①), 전면벽 돌출부(E②), 전면 유수실 종격 벽(E③), 횡격벽 중앙부(E④) 및 저판의 항외측 Toe(E⑤) 등 총 5개 요소에 대한 극한강도 한계상태와 구조물 수직처짐의 사용성 한계상태에 대하여 제안기을 적용한 구조신뢰성해석 을 수행하였다. 이 사례분석에서는 2.4의 검증예제 결과, 저자 의 신뢰성평가 경험 및 3차원 유한요소 구조해석에 따른 계산 상의 고비용(high computational costs)을 종합적으로 고려하 여 30개의 샘플을 적용한 신뢰성해석을 수행하였다. 여기서 한 개의 샘플은 각 확률변수의 확률특성과 불확실성을 반영 하여 추출된 확률변수 벡터를 이용한 1회의 유한요소해석을 뜻한다. 제안 기법에 의한 결과를 Table 5에 한계상태함수 및 구조요소 별로 신뢰도지수와 대응파괴확률 그리고 최대응답 의 파랑하중조건으로 요약·정리하였다.

또한 확정변수로 고려한 각 구조요소별 최대값이 발생하는 위치에서의 인장철근량(A _s), 단면의 유효높이(d) 및 단면폭(b) 의 설계 값도 표에 제시하였으며, 이와 함께 케이슨 방파제의 대표적인 구조요소에 대한 극한강도 및 전체구조계의 사용성 한계상태에 대한 신뢰도지수 등치선도(等値線圖) (reliability index contour)를 Fig. 6(a)~(d)에 나타내었다.

Fig. 6.

Reliability index contour

Table 5와 Fig. 6에 나타난 신뢰성해석 결과를 살펴보면, 케 이슨 방파제의 주요 구조요소에서 극한강도 한계상태에 대한 신뢰도지수의 범위는 약 4.78~6.80으로 이는 최소 약 5.23× 10 ^-12에서 최대 약 8.77×10 ^-7의 파괴확률에 해당하는데, 통상 적인 강구조 부재의 목표신뢰도지수로 고려되는 3.0(^{AISC, 2010})과 교량하부구조물의 구조설계 및 지반설계에 고려되 는 각기 3.5와 3.0(^{AASHTO, 2007})을 훨씬 상회하는 것으로 케이슨 방파제는 극한강도 한계상태에 대한 구조안전도를 충 분히 확보한 것으로 판단된다.

케이슨 방파제의 수직처짐에 대한 사용성 한계상태의 신뢰 성지수는 6.486으로 약 4.41×10 ^-11의 파괴확률에 해당하며, 일 반적으로 사용성 한계상태의 목표신뢰도 지수는 극한강도에 비해 상대적으로 작은 값으로 결정되는 점을 고려하면 방파 제의 수직처짐에 대한 사용성도 충분한 것으로 판단된다. 여 기서 사용성에 대한 목표신뢰도지수는 일본의 사례(^{Nagao, 2001})에서 방파제의 제체안정성에 대한 적정 목표신뢰도지 수로 제시한 2.0~2.35와 2.0~2.45 보다 큰 2.5를 적용하였다.