2.1 구조요소의 파괴확률과 신뢰성

구조물의 파괴확률은 일반적으로 특정시간에서의 상태함 수(state function)로 표현된다. [g(X) > 0]일 경우는 “안전상 태)(safe state)”, [g(X) = 0]일 경우는 “한계상태(limit state)”, 그리고 [g(X) < 0]일 경우는 “파괴상태(failure state)”로 파괴 확률 p_F과 신뢰성 p_S은 다음과 같이 표현된다.

여기서, X = (X₁, X₂, ..., X_n)는 확률변수 벡터이고, f_X(x)는 벡터 X의 공동 확률 밀도 함수(joint probability density function) 이다.

2.2 구조시스템의 파괴확률과 신뢰성

구조시스템의 파괴확률이나 신뢰성을 평가하기 위해서는 구조요소와 가능 파괴모드를 모두 고려할 필요가 있다. 예를 들어, 교량의 파괴확률 혹은 신뢰성을 구하기 위해서는 그 구 성요소인 deck, girder 그리고 pier 등의 요소를 전체 구조시스 템으로 모델링 하고, 파괴를 초래하는 요인인 휨, 전단, 좌굴, 피로 등 또한 구조시스템으로 고려할 수 있다.

일반적으로 구조시스템은 직렬(series), 병렬(parallel), 그 리고 혼합(combined) 모델을 활용하게 되는데(^{Ramakumar, 1993}), 각 각의 파괴확률은 다음과 같다.

여기서, N = 직렬 혹은 병렬 모델의 구조요소 개수, M = 혼 합모델의 병렬시스템 개수이며, j번째 병렬 시스템은 J개의 구조요소를 갖는다. Fig. 1에서는 N = 3에 해당하는 직렬 혹은 병렬 시스템 모델과 M = 1을 가지는 혼합모델을 도식화하였 다. 식 (5)에서의 상태함수는 g₁(X) = g_1,1(X), g₂(X) = g_2,1(X), g₃(X) = g_1,2(X)의 관계를 가진다.

구조시스템의 파괴확률은 구조요소의 상관관계에 따라 다 음과 같은 범위를 가진다.

직렬 시스템일 경우 각 요소가 완전 상관관계를 가지면 식 (6)의 하한값을, 독립관계인 경우는 상한값을 가지게 된다. 또 한, 병렬 시스템일 경우 식 (7)의 하한값과 상한값은 각각 독립 관계와 완전 상관관계에 해당된다.

2.3 유지보수에 따른 수명연장

구조물의 수명은 일반적으로 그 구조성능이 특정 성능을 만족하지 못하는 시점을 말한다. 구조물의 최초의 수명은 적 절한 유지보수를 통해 연장되는데, 유지보수의 방법을 일반 적으로 예방유지보수와 필수유지보수로 구별한다(^{Das, 1999}).

예방유지보수는 정해진 시간에 적용되며 이를 통해 구조열 화의 진행을 완화/지연시키며, 구조요소의 성능향상으로 전 체 구조시스템의 부분적 성능향상을 유발시킬 수 있다. 예방 유지보수의 방법으로는 구조요소의 부분적 교체, 균열 제거, 부식제거 및 도색 등이 포함된다. ^NCHRP(2006)에서는 콘크 리트 교량 부식의 예상 감염지수(susceptibility index)에 따른 예방유지보수 방법을 제시하고 있으며, 이에 따른 기대 수명 연장을 정량적으로 제시하고 있다. i번째 예방유지보수에 따 른 연장된 수명 t^(PM)_life,i는 다음과 같이 표현할 수 있다(^{Kim et al., 2011}).

여기서, t^(PM)_ex는 시간 t^(PM)_i에 적용된 예방유지보수로 연장 되는 수명을 의미한다. 또한, i번째 예방유지보수에 의한 수명 연장 t^(PM)_ex는 t^(PM)_life,i-1 전에 적용되어야 유효하다. Fig. 2에서 는 최초의 구조물의 수명이 평균 20년과 표준편차 4년을 가지 는 로그정규분포로 표현될 때 확률밀도함수(PDF: probability density function)를 Monte Carlo Simulation을 이용하여 도식 화하였다. 또한, 10, 20, 25, 30년에 예방유지보수가 적용되고, 연장된 수명시간 t^(PM)_ex이 로그정규분포로 표현되고, 평균과 표준편차가 각각 5년과 1년일 경우 식 (8)을 이용하여 PDF를 Fig. 2와 같이 구하였다. 10년 후에 적용되는 첫번째 예방유지 보수(t^(PM)₁ = 10)로 연장된 수명인 t^(PM)_life,1는 t^(PM)_life,0을 최초 수 명으로 계산하게 되는데, 평균 20년과 표준편차 4년의 로그정 규분포로 표현되는 최초수명이 첫번째 예방유지보수 적용시 점인 10년보다 적을 경우 식 (8)에서 정의된 바와 같이 구조물 의 수명은 더 이상 연장되지 못하게 된다. 이를 고려하여 연속 적으로 20, 25, 30년에 적용되는 예방유지보수로 인한 연장된 최종수명 t^(PM)_life,4를 구하여, 이를 PDF로 표현하면 Fig. 2가 된 다. 여기서 20년과 40년 사이 3개의 불연속 구간은 i번째 예방 유지보수가 수명 t^(PM)_life,i-1 이전에 적용되지 못해 발생한 것이 다.

필수유지보수는 구조성능이 한계에 도달하였을 경우 적용 하는 유지보수로 예방유지보수보다 더 큰 구조적 성능 향상 을 기대할 수 있으며, 연장되는 수명 또한 길지만, 더 많은 비 용이 필요하다. 구조요소의 전면적 강화 및 교체가 필수유지 보수로 볼 수 있다. 필수유지보수와 예방유지보수의 사례분 석에 대한 상세한 내용은 ^NCHRP(2006), ^{Alampalli(2014)}, ^Cheng(2014) 등에서 찾아볼 수 있다. 필수유지보수에 따른 구 조물 또는 구조요소의 연장되는 수명과 성능이 최초수명이나 성능과 동일할 경우 i번째 필수유지보수에 따른 연장된 수명 t^(EM)_life,i는 다음과 같이 표현할 수 있다(^{Kim et al., 2011}).

여기서, t_life,o는 최초 수명을 나타낸다. Fig. 3에서는 Fig. 2에 서와 동일한 최초의 수명을 가지는 구조물에 대해 식 (9)를 바 탕으로 15년과 35년에 필수유지보수가 적용되어 연장된 수명 t^(EM)_life,2의 PDF를 도식화하였다.

3.1 구조요소의 상관관계에 따른 사용수명

구조시스템의 파괴확률은 식 (6)과 (7)에 명시된 바와 같이 구조요소의 상관관계에 따라 그 값이 달라진다. 구조요소의 파괴확률 p_F,i는 사용수명 t_life가 시간 t보다 작을 확률로 다음 과 같다(^{Ang and Tang, 1984}; ^{Leemis 1995}).

이는 구조요소의 파괴확률 p_F,i는 t_life,i의 누적분포함수(CDF : cumulative distribution function) P(t_life,i ≤t)로부터 구할 수 있 는 것을 의미한다. Fig. 1의 시스템 모델을 구성하는 3개 요소 의 수명과 유지보수가 Table 1에서 제시된 값을 가질 경우 직 렬과 병렬 시스템 모델의 CDF를 각각 Figs. 4와 5에 나타내었 다. CDF는 식 (11)에서 언급된 바와 같이 구조물의 연장된 수 명이 특정시간 t보다 작을 확률을 도식화한 것으로 Fig. 4에서 보는 바와 같이 수명이 50년보다 작을 확률이 1.0에 가까워지 며, 반대로 수명이 50년보다 길 확률은 0에 가까워짐을 알 수 있다.

구조요소의 상관관계는 상태함수 g(X)의 확률변수 벡터 X 를 고려하여 계산된다. 구조시스템의 시간 의존적 신뢰성 평 가에 있어서, 구조요소들이 동일하게 제작되고, 작용하는 하 중과 경련열화 조건 또한 동일한 경우 구조요소가 서로 완전 상관관계에 있다고 볼 수 있다.

3.2 유지보수의 상관관계에 따른 사용수명

유지보수에 따른 구조신뢰성은 생존함수(survivor function) 를 이용하여 구할 수 있다. 생존함수는 일반적으로 exponential distribution, lognormal distribution, Weibull distribution을 이용 하여 표현하는데, 생존함수를 기반으로 하는 확률론적 구조안 전성 평가는 계산절차가 간단하고, 신속히 결과를 얻을 수 있 다. 하지만, 유지보수에 따른 구조열화의 지연이나, 구조성능 의 향상을 복합적으로 표현하기 어렵다. 구조요소의 생존함수 는 파괴확률을 이용하여 다음과 같이 정의된다(^{Leemis, 1995}).

또한, 다수의 필수유지보수에 의한 구조요소의 생존함수 S_i(t)는 일반적으로 다음과 같이 표현된다(^{Klaassen et al., 1989}; ^{Kececioglu, 1995}; ^{Yang et al., 2006}).

식 (13)은 필수유지보수에 의해 연장되는 구조물의 수명이 최초 수명과 동일하고, 유지보수간 서로 독립이라는 가정 하 에 제한적으로 적용될 수 있다. 앞서 살펴본 바와 같이 구조요 소의 상관관계에 따라 구조물 사용수명의 누적분포함수가 상이한 값을 가지는 것과 마찬가지로 유지보수의 상관관계 에 따라 사용수명의 확률론적 분포가 다를 수 있다. 유지보수 가 서로 동일한 방법과 위치에 적용되어 그 연장되는 수명이 같을 경우 유지보수간 상관관계는 서로 독립이라고 보기 어 렵다. 본 연구의 예방유지보수에 있어서의 상관관계는 식 (8)과 (9)에서 i번째 유지보수에 의해 연장되는 시간과 i-1번 째 유지보수에 의해 연장되는 시간과의 상호 상관관계를 고 려한다.

Figs. 2, 3, 4, 5에서의 유지보수에 따른 PDF와 CDF는 유지 보수간 상호관계가 완전상관관계에 있다는 가정하에서 도식 화된 것이다. Fig. 6은 Table 1에서 정의된 3개의 요소가 서로 독립인 직렬 시스템 모델의 유지보수간 상관관계가 독립인 경우와 완전상관관계의 경우를 모두 고려하여 나타내었다. 즉, 예방유지보수는 (a), 필수유지보수는 (b)에 각각 도식화 하 였다. 또한, Fig. 7은 병렬 시스템 모델의 경우 요소의 상관관 계가 서로 독립인 경우, 유지보수간 상관관계가 독립인 경우 와 완전상관계인 경우를 Fig. 6에서 마찬가지로 나타내었다. Figs. 6과 7에서 보는 바와 같이 예방유지보수에 비해 필수유 지보수에 있어서 유지보수간 상관관계가 CDF에 더 큰 영향 이 있음을 알 수 있다. 또한, 필수유지보수에 있어서 직렬과 병렬시스템 모두 독립관계에서의 파괴확률이 완전상관관계 에서의 파괴확률보다 큰 값을 제공함으로 유지보수간 독립관 계를 고려한 수명평가가 좀 더 보수적이라고 할 수 있다.

3.3 유지보수의 상관관계를 고려한 최적화 유지보수

유지보수간 상관관계는 구조물의 수명평가와 더불어 유지 보수 계획 수립에 영향을 줄 수 있다. 본 연구에서는 그 영향을 알아보기 위해 Table 2에서 정의된 최적화 문제를 적용한다.

일반적으로 최적화 문제는 목적함수, 설계변수, 그리고 설 계변수조건과 일반조건으로 구성되며, 주어진 조건에 만족함 과 동시에 목적함수를 충족하는 설계변수를 찾는 것이 최적 화 과정이라고 할 수 있다. Table 2에서 정의된 최적화 문제의 목적함수는 Fig.1 병렬시스템의 3개 구성요소에 필수유지보 수를 적용하였을 경우 목표수명인 60년에서의 병렬시스템의 파괴확률의 최소화이며, 이를 위해 각 구성요소별 유지보수 적용 시간간격 t_int,i이 설계변수가 된다. 또한, 유지보수 적용 시간 간격은 2년에서 40년 사이로 제한한다. 즉, 구조요소 1, 2 와 3에 2, 3, 6회의 필수유지보수를 적용할 경우, 전체 병렬시 스템의 60년 이후 파괴확률이 최소가 되는 유지보수 시간간 격을 구하는 것이 본 최적화문제이다.

Table 3에서는 구조요소의 상관관계와 유지보수의 상관관 계 모두를 고려한 최종 결과를 제시하고 있으며, Fig. 8에서는 Table 3에서의 결과 일부를 CDF로 도식화하였다. 최적화기 법은 Matlab R2013a Optimization Tool의 fminsearch을 적용 하여 결과를 얻었으며, genetic algorithm을 이용하여 검토하 였다. 여기서, fminsearch는 최적화문제의 목적함수인 파괴확 률 p_F,paral과 같은 불연속 비선형 함수에 적합하나 초기 가정값 (Initial value)에 따라 그 결과가 상이할 수 있어(^{Mathwork, 2015}) 이를 보완하기 위해 genetic algorithm을 적용하여 최종 결과의 타당성 여부를 검토하였다.

Table 3에서 보는 바와 같이, 구조요소가 서로 독립이고 유 지보수 또한 서로 독립관계를 가질 경우, 목표 수명 60년에서 의 최소파괴확률인 0.023을 기대하기 위해 구조요소 1, 2, 3에 대해 필수유지보수를 각각 20.09년, 15.02년, 5.7년 간격으로 적용해야 한다. Table 3과 Fig. 8에서 보는 바와 같이, 필수유 지보수의 상관관계는 유지보수 시점에 큰 영향을 키친다고 볼 수 없으나, 평가된 파괴확률에는 상이한 차이를 보임을 알 수 있다.

본 최적화 문제에서 구조요소 1, 2과 3에 대해 각각 2, 3, 6회 로 가정된 유지보수 적용 횟수는 일반적으로 구조물의 최초 수명 및 성능을 고려하여 최소유지보수 비용이 발생되도록 결정하게 되는데, 유지보수 비용의 최소화와 구조물의 목표 수명에서의 파괴확률 최소화를 목적으로 다중 목적 최적화문 제(Multi-objective optimization problem)로 확대적용이 가능 하다.