1. 서 론

나노빔은 선폭 및 두께가 나노스케일의 크기를 가지는 빔 이다. 나노빔은 원자 현미경의 탐침봉으로써 힘이나 질량 측 정과 바이오 분자 센서 그리고 무선 통신 분야등 많은 범위에 서 사용된다. 나노빔과 같은 나노구조의 기계적인 거동을 해석 하는데, 분자동역학 시뮬레이션(molecular dynamics simulation) 과 연속체 역학을 사용해왔다. 이러한 방법은 비용과 시간이 많이 들기 때문에 나노빔의 해석이 어려웠다. 이를 해결하기 위해 최근에 널리 사용되고 있는 이론 중 하나가 Eringen에 의 해 처음 시작된 비국지 탄성이론(nonlocal elasticity theory)이 다. 이 탄성이론에서 작은 척도효과(small scale effect)는 어떤 점에서의 응력은 그 점에서의 변형률뿐만 아니라 영역내의 다른 모든 지점에서의 변형률의 함수로 가정함으로써 얻어진 다. 나노빔의 연구는 ^{Aydogdu(2012)}이 탄성매질속 균일한 CNT (carbon nano tube)를 비국지 탄성이론을 이용한 축 방향 진동해석을 하였으며, ^Kim(2014)이 광결정 나노빔 레이저와 그 응용에 관한 연구를 하였고, ^Jeong(2014)이 전기로 구동되 는 나노빔 레이저에 대한 연구를 하였다.

나노빔과 같은 나노스케일의 구조물은 크랙에 대한 영향이 중요하다. 나노빔의 크랙에 관한 연구는 ^{Hsu et al.(2011)}이 크 랙을 가진 균일한 나노빔을 비국지 탄성이론을 이용한 축 방 향 진동해석을 하였다. 하지만 이 연구는 크랙이 한 개만 발생 했을 경우의 연구이다. 나노빔의 크랙이 다중으로 발생하면 나노빔의 물성치는 많은 변화가 생기며 이를 정확하게 해석 할 필요성이 있다. 또한 나노빔의 물성치를 높이기위해 탄성 매질속에 박아서 사용하는 경우가 많다. 그러므로 탄성매질 속에서의 나노빔의 기계적 거동을 해석하는 것 또한 매우 중 요하다. 나노빔은 나노스케일에서 단면적이 가변이거나 밀도 나 재료 특성이 비선형적인 경우도 존재하는데, 이러한 경우 비선형적인 문제를 해석하여야 할 필요성이 있다. 비선형적 인 문제를 해석하는 수치해석 방법 중 하나인 미분변환법 (Differential transformation method)은 수치해석의 수렴도가 빠르며 해의 정확도 또한 높기 때문에 이를 사용한다.

본 연구는 비국지 탄성이론과 미분변환법을 이용하여 탄성 매질속 다중 크랙을 가진 비균질 나노빔의 지배방정식을 유 도하고, 유도된 지배방정식과 경계조건에 미분변환법을 적용 하여 축 방향의 진동해석을 하며, 나노빔의 첫단과 끝단의 경 계조건이 각각 고정단(Clamped end)과 자유단(Free end)의 경 우에 대하여 수치해석들을 수행하였다. 이 연구에서는 비국 지 작은 척도효과 (nonlocal small scale effect), 탄성매질의 강 성, 크랙의 위치, 크랙의 강성 그리고 비국지 탄성이론의 모델 에 대한 진동해석 결과를 고찰하고자 한다.

2. 지배방정식

2.1. 나노빔의 비국지 탄성 모델

Fig. 1은 본 연구에서 사용된 탄성매질속 다중 크랙이 포함 된 나노빔의 모델이다. 여기서 L은 보의 전체 길이이며, A와 B는 크랙이 발생한 위치이다. Fig. 1에 나타낸 나노빔의 지배 방정식을 유도하기 위해 비국지 탄성이론을 적용한다.

Fig. 1.

Configuration of multi cracked nanobeam embedded in a elastic medium

비국지 탄성이론에 따르면, 물체의 기준점 x에서의 응력이 그 점에서의 응력 뿐만 아니라 영역내의 다른 모든 점에서의 응력의 함수로 표현된다. 이것은 음향양자 분산에서 격자 역 학의 원자이론과 실험관찰이 일치한다. 균질 등방성 탄성체 의 구성방정식은 식 (1)과 같이 표현된다.

(1)

E A ∂ u ∂ X = N − ( e 0 a ) 2 ∂ 2 N ∂ X 2

여기서, u는 종 방향 좌표(X) 방향의 변위이고, N = ∫ A σ x x d A 는 국지 탄성에 대한 단위길이당 축 방향 힘이며, EA와 σ x x 는 각각 축 방향의 강성도와 xx방향으로의 국지 응 력이다. e₀a는 척도계수(scale coefficient)이며, 재료상수(material constant)를 표현하는 곳에 사용되는데, 이를 τ = e 0 a L 로 표현 한다. 여기서 e₀는 상수이며, a와 L 은 각각 내부와 외부 특성 길이를 나타낸다. 내부 특성길이(internal characteristic length) 가 외부 특성 길이(external characteristic length)와 비교해서 무시할 정도이면 τ는 0에 접근하고 내부 특성길이가 외부 특 성길이와 상당히 가까워지면 τ는 1에 접근한다. τ는 0에 접근 할수록 척도효과가 작아지며, τ가 1에 접근에 접근할수록 척 도효과가 커진다. 척도효과가 커질수록 무차원 고유진동수의 크기는 작아진다.

비균일 나노빔의 비국지 탄성이론 구성 관계식을 유도하기 위하여 단면적을 임의의 다항식으로 정의한다. 임의의 다항 식으로 표현된 가변 단면적은 비균일성을 의미하며 다음과 같이 표현한다. 즉, 임의의 위치 x에서의 단면적 A(x)는 식 (2)와 같이 표현된다.

(2)

A ( x ) = A 0 ( 1 + η 1 x + η 2 x 2 + ⋯ η i x i ) = A 0 η ( x )

여기서 A₀ 는 x = 0에서의 단면적이고, η ( x ) 1 + η 1 x + η 2 x 2 + ⋯ η i x i 로 x =0에 대한 임의 위치 x에서의 단변적 비를 나타낸다.

식 (2)를 식 (1)에 대입하면 비균일 나노빔의 비국지 탄성이 론의 구성관계식이 다음과 같이 표현된다.

(3)

E A 0 η ( x ) ∂ u ∂ X = N − ( e 0 a ) 2 ∂ 2 N ∂ X 2

나노빔의 축 방향 진동 방정식은 다음과 같이 표현된다.

(4)

∂ N ∂ X + f = m ∂ 2 u ∂ t 2

여기서, f는 나노빔 위에 작용하는 분포하중이고, m은 단 위길이당 질량이다.

식 (2)를 식 (4)에 대입하면 비균일 나노빔의 축 방향 진동 방정식이 다음과 같이 표현된다.

(5)

∂ N ∂ X = ρ A 0 η ( x ) ∂ 2 u ∂ t 2 − f

식 (5)에서 만약 η ( x ) = 1 이면, 식 (6)은 탄성매질속 균일한 나노빔의 축 방향 진동 방정식이 된다.

식 (5)를 식 (3)에 대입하여 정리하면

(6)

E A 0 η ( x ) ∂ u ∂ X = N − ( e 0 a ) 2 ∂ ∂ X [ A 0 η ( x ) ∂ 2 u ∂ t 2 − f ]

로 되고, 국지 탄성에서 축 방향의 힘 N은 다음과 같다.

(7)

N = [ E A 0 η ( x ) + ( e 0 a ) 2 ρ A 0 η ( x ) ∂ 2 ∂ t 2 ] ∂ u ∂ X − ( e 0 a ) 2 ∂ f ∂ X

비국지 탄성이론이 적용된 탄성매질속 나노빔의 지배방정 식을 유도하기 위해 식 (3)을 양변을 X로 편미분하면 식 (8)과 같은 편미분 방정식을 얻는다.

(8)

E A 0 ∂ ∂ X [ η ( x ) ∂ u ∂ X ] = ∂ N ∂ X − ( e 0 a ) 2 ∂ 3 N ∂ X 3

식 (8)에 식 (5)를 대입하여 정리하면 식 (9)와 같은 비국지 탄성이론이 적용된 탄성매질속 비균일 나노빔의 지배방정식 을 얻는다.

(9)

[ E A 0 η ( x ) + ( e 0 a ) 2 ρ A 0 η ( x ) ∂ 2 ∂ t 2 ] [ ∂ 2 u ∂ X 2 ] + [ E A 0 η ( x ) ′ + 2 ( e 0 a ) 2 ρ A 0 η ( x ) ′ ∂ 2 ∂ t 2 ] [ ∂ u ∂ X ] + [ − ρ A 0 η ( x ) + ( e 0 a ) 2 ρ A 0 η ( x ) ′ ​ ′ [ ∂ 2 u ∂ t 2 ] + f − ( e 0 a ) 2 ∂ 2 f ∂ X 2   =   0

상기 식은 비국지 탄성이론이 적용된 탄성매질속 비균일 나노빔 모델의 기본방정식이고, 만약 e₀a=0이라면 이 식은 고전적 빔 모델의 운동방정식이 된다.

3. 미분변환법

미분변환법(Differential Transformation Method)은 ^{Zhou (1986)}가 전기회로의 선형과 비선형 문제를 풀기위해 제안했 다. 미분변환법은 테일러 시리즈(Taylor series expansion)를 기초로 연구되었다. 이 방법은 선형과 비선형의 공학 문제에 적용할 수 있고, 간단한 순환 관계에 의해서 해를 구할 수 있으 며 해의 정확도가 대단히 높다.

임의의 원함수(original function)에 대한 미분변환은

와 같이 정의 되고, 여기서Y(k)를 T-function이라 한다. Y(k)의 미분역변환 (differential inverse transformation)은

로 정의 되므로, 원함수y(x)는 다음 식으로 유도된다.

상기 식 (26)에서 미분변환법은 테일러 시리즈에서 유래되 었다는 것을 알 수 있다.

실제의 적용에 있어서는 y(x)는 근사적으로 유한개의 항 만을 고려한다.

여기서 n은 자연수이며 해의 수렴도를 결정한다.

Table 1은 미분변환법에 관한 기본적인 연산의 예를 나타 낸 것이다.

4. 미분변환법의 적용

탄성매질속 다중 크랙을 포함한 비균일 나노빔 무차원 지배방정 식중 ( η ( x ) − ∈ Ω η ( x ) + ∈ C ¯ ) d 2 U 1 d ξ 2 + ( n ( x ) ′ L − 2 ∈ Ω L η ′ ( x ) ) d U 1 d ξ + ( Ω η ( x ) − ∈ Ω L 2 η ″ ( x ) − C ¯ ) U 1 를 미분변환법의 기본연산을 적용하면 식 (31)과 같이된다.

여기서 Y i , N 함수는 U i , η 의 미분변환을 나타낸다.

식 (31)과 같은 형태로 탄성매질속 다중 크랙을 포함한 비 균일 나노빔의 무차원 지배방정식 (22)에 미분변환법의 기본 연산을 적용하면 식 (32)와 같이 표현된다.

탄성매질속 다중 크랙을 포함한 나노빔의 무차원 경계조건 식 (23)과 식 (24)에 미분변환법의 기본연산을 적용하면 다음 과 같이 표현된다.

5. 수치해석 및 고찰

본 연구에서 탄성매질속의 다중 크랙을 포함한 비균일 나 노빔의 진동해석을 하기위하여 미분변환법이 적용된 무차원 지배방정식 식 (30)과 경계조건 식 (31), 식 (32) 그리고 연속 방정식 식 (33), 식 (34)를 다음과 같은 행렬 방정식으로 구성 한다.

상기 행렬의 해인 Y ( 0 ) ,   Y ( 1 ) ,   Y ( 2 )   ⋯   Y ( n ) 의 근이 0이 아닌 근을 가지기 위해서 상기 행렬의 행렬식이 0이 되어야 한다.

상기 식은 고유진동수 방정식(natural frequency equation) 으로 미분변환법에 의한 나노빔의 고유진동수를 구할 수 있다.

본 연구는 수치해석 타당성을 입증하기 위해 기존 연구 결 과와 본 연구의 결과를 비교하여 Table 2와 Table 3에 나타낸 다. Table 2는 싱글 크랙이 발생한 균일한 나노빔의 연구 결과 를 비교하였고, Table 3는 다중 크랙이 발생한 보의 연구 결과 를 비교하였다.

Table 2의 수치해석 자료값은 경계조건이 고정단-고정단 이며, 크랙의 위치가 0.25일 때, e 0 a L 의 크기가 각각 0.2, 0.4 이 고, 크랙의 강성이 각각 0, 0.065, 0.35, 2일 때의 무차원 고유 진동수의 크기를 나타낸다.

Table 3의 수치 해석 자료값은 자료값은 경계조건이 고정 단-자유단이며, 크랙의 위치가 ξ₁ = 0.175, ξ₂ = 0.45 일 때, 크 랙의 강성이 K₁ = 0.1446, K₂ = 0.1455 일 때의 무차원 고유진 동수의 크기를 나타낸다.

수치해석 결과는 본 연구의 미분변환법(DTM)과 기존 연구 의 결과가 소수 4자리까지 일치함을 나타낸다. 이를 근거로 본 연구의 수치해석이 타당하기에 탄성매질속 다중 크랙을 포함한 비균일 나노빔의 수치해석을 수행하였다.

탄성매질속 다중 크랙을 포함한 비균일 나노빔의 축 방향 진동해석을 위하여 양단의 경계조건을 고정단-고정단과 고정 단-자유단 두 가지의 경우에 대해 수치해석을 수행하였다. 비 균일 경우 η ( x ) = − 0.4 x 3 + 0.2 x 2 − 0.3 x + 1 로 두었으며 E₀ = 1.03 Tpa, ρ₀ = 5300 Kg/m³, r = 0.5nm의 물성치를 사용하였다.

Fig. 2는 탄성매질속 다중 크랙을 포함한 비균일 나노빔의 길이가 변할 때, 무차원 고유진동수를 나타낸 그래프이다. 크 랙의 위치가 ξ₁ = 0.3, ξ₂ = 0.7 이며, 나노빔의 길이가 1nm ~ 30nm까지 증가할 때, 무차원 고유진동수의 크기를 나타 낸다.

Fig. 2.

Variation of non-dimensional natural frequency with length(L) for multi cracked non-uniform nanobeam embedded in an elastic medium

Fig. 2는 나노빔의 길이가 증가함에 따라 무차원 고유진동 수가 커졌으며, 나노빔의 길이가 1nm ~ 10nm 증가할 때, 무차 원 고유진동수의 변화가 큰 것을 볼 수 있다. 이는 척도계수에 의한 척도효과가 나노빔의 길이가 짧을수록 큰 영향을 끼치 기 때문이다. 위 그래프에서 보이듯 척도효과는 고정단-고정 단에 비해 고정단-자유단에서 영향이 크게 나타난다.

Fig. 3은 나노빔의 길이에 대한 척도효과를 알아보기 위해 나노빔의 길이가 1nm ~ 30nm까지 증가할 때 비국부 탄성이 론이 적용된 탄성매질속 다중 크랙을 포함한 비균일 나노빔 과 비국부 탄성이론이 적용되지 않은(국부탄성이론이 적용 된)나노빔의 무차원 고유진동수 비(non-dimensional frequency parameter ratio)를 나타낸 그래프이다.

Fig. 3.

Variation of non-dimensional natural frequency ratio with length(L) for multi cracked non-uniform nanobeam embedded in an elastic medium

Fig. 3은 1nm ~ 5nm에서 척도효과가 크게 나타나는 것을 볼 수 있으며, 나노빔의 길이가 길어질수록 척도효과가 작아 지는데, 이는 외부 특성 길이가 길어짐에 따라 τ의 크기가 0에 가까워지기 때문이다.

Fig. 4는 탄성매질속 다중 크랙을 포함한 비균일 나노빔의 크랙의 위치가 변할 때, 무차원 고유진동수를 나타낸 그래프 이다. 나노빔의 길이가 10nm이고, 첫 번째 크랙의 위치인 ξ₁ 이 0.2~0.7까지 변하며, 두 번째 크랙의 위치인 ξ₂가 0.8일 때, 무차원 고유진동수의 크기를 나타낸다.

Fig. 4.

Variation of non-dimensional natural frequency with cracked location for multi cracked non-uniform nanobeam embedded in an elastic medium

Fig. 4는 고정단-고정단일 때, 첫 번째 크랙의 위치가 0.2에 서 0.6까지는 무차원 고유진동수가 커지며, 0.6일 때 가장 큰 값을 가진다. 0.6 이후에선 무차원 고유진동수가 작아진다. 고 정단-자유단에서는 첫 번째 크랙의 위치가 자유단 방향으로 이동하면 무차원 고유진동수가 커진다.

Fig. 5는 탄성매질속 다중 크랙을 포함한 비균일 나노빔의 탄성매질의 강성이 변할 때, 무차원 고유진동수를 나타낸 그 래프이다. 나노빔의 길이가 10nm이고, 크랙의 위치가 ξ₁ = 0.3, ξ₂ =0.7 이며, 탄성매질의 강성이 0 ~ 10 × 10⁹ (N/m²) 까지 증 가할 때, 무차원 고유진동수의 크기를 나타낸다.

Fig. 5.

Variation of non-dimensional natural frequency with stiffness of the elastic medium for multi cracked non-uniform nanobeam embedded in an elastic medium

Fig. 5는 탄성매질의 강성의 크기가 커질수록 무차원 고유 진동수의 크기가 커졌다. 탄성매질의 강성의 영향은 고정단- 고정단, 고정단-자유단모두 비슷한 양상이 나타난다.

6. 결 론

본 연구에서는 비국지 탄성이론이 적용된 탄성매질속 다중 크랙을 포함한 비균일 나노빔의 지배방정식을 유도하였다. 유도된 지배방정식에 미분변환법을 적용하여, 양단이 고정단 -고정단, 고정단-자유단인 경우에 대해 수치해석을 수행하였 다. 본 연구의 수치해석 결과를 기존 연구결과와 비교하여 타 당성을 입증한 후, 다양한 수치해석을 한 결과, 아래와 같은 결론을 얻었다.