1. 서 론

해양에 설치되는 해양구조물은 육상에 설치되는 토목 시설 물에 비해 삼차원적으로 더 큰 복잡성을 가지고 구성된다. 유 연한 제작을 위하여 대부분은 강재를 이용한 구조물로 제작 되는데, 부재의 면적이나 길이에 비해 두께가 상대적으로 작 은 판형 부재를 서로 연결하여 제작된다. 그러므로 설계 시 면 내의 변형에 의해 발생하는 인장응력이나 압축응력을 평가하 는 것 뿐 만 아니라 면 외의 변형으로 인한 좌굴에 대한 안정성 을 평가하는 것도 매우 중요하다.

설계단계에서 신속한 좌굴평가를 위해서 사용되는 기준은 사각형 판부재를 대상으로 한 DNV-RP-C201과 원통형 쉘부 재의 좌굴평가에 사용되는 DNV-RP-C202가 있다. 대부분의 구조부재는 사각형으로 정형화되어 있으므로 DNV-RP-C201 이 주로 설계단계에서 참조된다. 설계단계에서 참조되기 때 문에 부재 경계에 작용하는 응력상태는 등분포 또는 선형 형 태로 단순화되어 있으며, 경계에 작용하는 응력이 부재의 좌 굴시 최대 응력 값 대비 소정의 안전율을 확보하고 있으면 안 전한 것으로 판단한다. DNV-RP-C201의 작용응력 대 응력강 도의 비율을 속칭 사용계수(usage factor)로 정의하여 목표 안 전율 확보여부를 판단한다.

복수의 단면력 성분이 존재하는 경우는 모든 단면력의 조 합을 검토하여 한계상태면을 구성하고, 복수의 단면력의 상 호비율에 해당하는 사용계수를 사용한다. 이때 개별 하중의 작용 순서는 고려하지 않는다. 하지만, 경계면의 길이가 부재 의 크기에 비해 클 경우는 경계면 내 개별 단면력의 분포를 간 단한 선형함수로 근사화하기가 어려우므로 고려해야 하는 한 계상태면의 수는 무수히 증가한다. 또한 비선형 조건에서는 사용하중 상태의 경계면 내 단면력의 상대 크기나 분포가 극 한상태에 도달하는 과정에서 변화하는 것이 일반적이며, 한 계상태면의 크기와 형상도 이에 영향을 받을 수 밖에 없다. 그 러므로 경계면의 길이가 부재의 크기에 비해 크고, 비선형성 이 존재하는 경우 한계상태면을 미리 구성하는 것은 어렵다.

^Paik(2008)은 ANSYS/FEA, DNV-PLUS, ALPS/ULSAP 등 을 이용하여 이방향 압축과 측면 압축 하중(lateral pressure load)이 작용하는 비보강판의 극한강도에 대한 벤치마크 연 구를 수행하였으며 판부재의 극한강도는 초기 처짐 형태, 경 계조건, 하중조건 등 다양한 변수에 크게 영향을 받는 것을 확 인하였다. 장범선(2009)은 비보강판, 횡하중이 없는 보강판, 횡하중이 있는 보강판 이 세 부재를 DNV-Ship-Rule, DNVRP- C201, DNV-PLUS을 기반으로 좌굴강도를 산정하고 비 교 분석하였다. 비보강판의 경우 세 식의 좌굴 강도 값은 비교 적 비슷하지만, 보강판의 경우 DNV-RP-C201의 계산 과정에 서 횡방향 응력이 횡방향 좌굴강도를 넘어서게 되며 다른 기 준에 비해 좌굴 강도 값이 작게 산출됨을 확인하였다. 김을년 (2011)은 설계자가 손쉽게 좌굴강도 평가를 수행할 수 있도록 DNV-RP-C201을 기반을 둔 좌굴강도 평가 프로그램을 개발 하였다.

하지만 위에서 언급한 연구는 대부분 정형 부재를 대상으 로 수행되었다. 해양구조물은 사각형 형태의 정형부재가 다 수를 차지하지만, 주요 구조부위를 연결하는 부분은 불가피 하게 비정형적인 기하학적 형상을 가진 부재들로도 구성되어 있다. 비정형 부재에서는 경계면에 작용하는 응력상태가 등 분포 또는 선형으로 단순화할 수가 없는 경우가 많으며, 또한 대상 부재의 형상이 정형화된 사각형 등 형태에서 벗어나는 경우는 DNV-RP-C201을 이용해서 좌굴저항성을 평가하는 것은 무리가 있다. 또한 사각형 부재일지라도 전단지연(shear lag) 때문에 선형적으로 단면력이 분포하는 경우는 매우 드물 며, 대부분 비선형 형태로 분포한다.

^Harada(2002)는 정형 판부재 내에 큰 구멍이 있는 유공판 의 좌굴 고유치 분석을 수행한 후, 그 결과에 기초하여 유공으 로 인한 감소 인자를 고려한 새로운 탄성 좌굴강도 공식을 제 시하였다. ^Kim(2015)은 유한요소 해석을 통해 유공판의 종횡 비, 세장비, 구멍의 형상과 크기, 위치 등 설계변수를 포함한 좌굴강도 설계식을 도출하였다. 이승정 외(2009)는 고인성 강 관의 좌굴안정성을 비선형 유한요소해석법으로 분석하였다. 최근 도형민(2016)은 한국선급의 자체적인 방법과 공통구조 규칙에서 규정된 방법으로 비정형 패널을 직사각형으로 이상 화 한 후 좌굴강도 평가를 수행하도록 제시하였지만, 직사각 형으로 이상화하는 과정에 주관적인 판단이 개입될 필요가 있다.

본 연구에서는 검토대상 부재의 크기에 비해 경계면의 크 기가 상대적으로 커서 DNV-RP-C201의 가정과 같은 선형의 단면력 분포를 가정하기가 어렵거나, 부재의 형상이 비정형 으로서 좌굴평가를 DNV-RP-C208의 비선형 유한요소기법 을 통해 수행해야 하는 경우 좌굴안정성을 에너지 기법에 의 해 수행하는 방안을 제시하였다. 이 기법에 의해 평가한 부재 의 좌굴안정성의 안전여유를 DNV-RP-C201의 절차에서 사 용되는 사용계수의 개념으로 정량화하는 방안을 제안하였다. 이 절차를 이용해 실제 해양구조물의 비선형 좌굴해석에 적 용한 예를 제시하였다.

2. DNV-RP-C201 기준에 의한 직사각형 판부재의 좌굴 안전성 평가

DNV-RP-C201은 판부재의 좌굴 극한강도를 평가를 위한 설계기준이며 Fig. 1과 같이 직교 이방성으로 보강된 구조의 직 사각형 부재를 평가하기 위해 개발된 기준이다(^{DNV, 2010}). 평가 대상 판의 경계에 작용하는 응력은 등분포 형태를 기본 적으로 고려하나, Fig. 2와 같은 선형분포 형태도 고려가 가능 하다. 이 응력 분포를 계산하기위해 사용하중 조건을 적용한 선형탄성 해석기법을 사용하며, 해당 부재가 최대 좌굴강도 에 도달한 후에도 동일한 분포를 유지하는 것이 가정된다. 즉 Fig. 2와 같이 선형의 응력분포를 고려한 경우, 사용하중 조건 의 최대 응력과 최소 응력의 비 Ψ는 최대 좌굴강도에 도달한 시점에도 동일한 조건에 적용할 수 있다.

좌굴안전성의 평가를 위해 다음과 같이 작용하중과 좌굴강 도를 비교한다.

S_d는 평가대상에 해당하는 하중효과에 의한 작용력, R_d는 설계강도이다. 설계강도는 공칭강도 R_k에 재료계수 γ_M를 도 입하여 다음과 계산된다.

DNV-RP-C201에서는 작용력 S_d와 공칭강도 R_k의 비를 사 용계수(usage factor) η =S_d/R_k로 정의하여 이 사용계수가 허 용사용계수 η_p보다 작도록 설계를 수행하도록 하고 있다.

허용사용계수 η_p는 DNV-RP-C201의 정의에 의해 다음과 같이 계산된다.(4)

좌굴분석 시 β =1.0이며, 사용하중효과를 고려할 경우, η₀ =0.6을 사용한다.

평가대상 판부재의 경계에 작용하는 작용력이 수직응력과 전단응력이 동시에 작용하는 경우와 같이, 두 개 이상의 작용 력이 동시에 작용하는 경우는 Fig. 3과 같이 다중 작용력을 제 곱평균한 값 L을 이용하여 사용계수 η의 계산을 일반화시킨 다. 즉,(5)(6)

여기서 σ₀, τ₀은 평가대상 작용에 해당하는 하중효과에 의 한 수직응력과 전단응력, σ_u , τ_u은 조합상태의 극한수직응력 강도 및 극한전단응력강도이다. 원칙적으로는 Fig. 2와 같이 응력성분의 모든 조합비에 따라 L를 계산하여 (σ_u, τ_u) 의 상 관도를 작성하고, 작용력에 의한 (σ₀, τ₀)가 한계상태면 내에 위치하는지 확인하여 평가한다.

하지만 모든 부재를 대상으로 응력성분의 모든 조합비를 고려해서 (σ_u, τ_u )로 표현되는 한계상태면을 구성하는 것은 매우 어렵다. Fig. 2와 같이 부재 경계면에 작용하는 응력의 분 포가 상수가 아닌 경우는 경계에서 형성될 수 있는 모든 응력 비와 분포를 고려해야 하므로 Fig. 3의 한계상태면 계산을 위 한 경우의 수가 무수히 증가한다. 그러므로 현실적으로 DNV-RP-C201의 절차에서는 Fig. 3과 같이 부재 경계에 작용 하는 σ 및 τ와 같은 작용력의 분포나 비율적인 특성은 하중 작 용시나 극한상태에서도 동일한 것으로 가정해서 사용계수를 계산하여 식 (3)에 의해 평가한다.

3. 유한요소법에 의한 좌굴안전성 평가

평가 대상 부재가 직사각형 형태에서 크게 벗어나는 프레 임 시스템, 이차부재 등과 같은 경우는 유한요소법을 이용해 서 좌굴안전성을 평가할 수 있는데, 이 절차는 DNV-RP-C208 를 따른다. DNV-RP-C208은 해양구조물의 좌굴 비선형 해석 기법에 대해 기술하였다. 적용범위는 항복강도가 최대 500 MPa인 구조용 강재로 설계된 해양구조물로 규정되어 있으며 부재 형상에 대한 제한은 없다.

요소망의 구성, 탄소성 재료모델의 선택, 단면력의 판독 방 법 등이 자세히 기술되어 있다. 좌굴안전성의 평가는 DNVRP- C201의 경우와 유사하게 다음 식을 이용한다.

여기서 S_k는 공칭하중이므로 γ_L S_k는 식 (1)의 S_d와 동일하 다. 허용응력설계법을 채택하는 경우 하중계수 γ_L =1.0이다. Fig. 4와 같이 평가대상 부재의 경계면에 작용하는 작용력이 상대적으로 분명하게 구별되는 경우 S_k나 R_k는 작용력의 합 력으로 간단히 정의할 수 있으며, 안전율 확보 정도를 평가하 기 위해 식 (3)과 (7)의 절차와 유사하게 사용계수를 도입하여 평가할 수도 있다.

하지만 식 (8)을 사용할 때 경계 내에서 작용력의 분포나 방 향이 변화하는 경우, 예를 들어 작용력의 방향이 양에서 음으 로 변화하는 경우는 S_k나 R_k를 계산하기 위해 작용력을 적분 하는 것은 엉뚱한 수치적인 결론을 초래할 수도 있다. 분포의 크기가 같고, 방향이 반대인 작용력 분포를 적분하면 S_k 또는 R_k의 값이 영으로 계산된다.

4. 경계면의 변위로 재하되는 부재의 변형 특성

2 절에서 언급했듯이 DNV-RP-C201의 적용범위는 등분포 혹은 선형분포하중이 작용하는 직사각형 강판에 국한된다. 하지만 실제 해양구조물은 다양한 기하학적 형상을 가진 부 재로 구성되어 있으므로 DNV-RP-C201를 직접 적용할 수 없 는 부재들도 다수 있다.

Fig. 5는 대형 해양구조물인 TLP의 예이다. 수직방향의 원 형 컬럼과 수평방향의 거더의 강성은 매우 크며, 컬럼과 거더 를 연결하기 위해 브라켓 부재가 배치된다. 이 브라켓 거더는 상대적으로 강성이 큰 컬럼과 거더의 변위에 의해 하중이 재 하된다. 또한 브라켓 거더의 면적에 비해 경계면의 길이가 상 대적으로 크므로 경계면 내의 단면력 분포를 단순히 선형이 나 등분포로 가정할 수 없다. 재하과정 중 단면력의 분포 특성 도 초기 분포와는 상이하게 변동한다.

이러한 부재의 좌굴안전성을 평가시 다음과 같은 문제점이 발생한다.

5. 변형에너지를 이용한 좌굴임계점의 정의

하중이 작용하고 있는 구조시스템의 좌굴안정성에 관한 에 너지 이론은 이미 잘 정립이 되어 있다. 외부 하중이 작용하고 있는 구조시스템의 포텐셜 에너지는 다음과 같다.

여기서 Π는 대상 구조시스템의 총포텐셜에너지, U는 변형 에너지, W_p는 하중의 포텐셜, q는 구조시스템의 변위계를 제 어하는 매개변수 벡터이다. 이때, 유한요소법에서의 요소 내 변위계는 절점변위로 완벽히 제어되므로 절점 변위 세트를 매개변수로 정의할 수도 있다. 위 포텐셜에너지의 매개변수 에 대한 일차변분이 영인 매개변수 값이 해당 구조시스템이 평형조건을 만족하는 점을 의미한다. 이 매개변수 값을 평형 값에서 변화하면 평형경로에서 벗어나게 된다. 구조부재를 시험해서 얻거나, 또는 해석을 통해 계산하는 하중-변위 선도 의 모든 점에서 δΠ =0을 만족한다(^{Bazant 외 1991}).

좌굴안정성은 이 총포텐셜의 이차변분이 모든 매개변수 벡 터에 대해 양일 때 확보되는 것으로 정의되어 있다. 이때, 자 기부상력, 수압, 풍압 등은 변위에 의존하는 대표적인 하중의 종류이며, 변위가 크면 하중을 계산하기 위해 작용점의 변위 를 고려해야 한다. 하지만 하중이 하중작용점의 변위와 상관 없이 작용하는 경우 위 식 (9)에서 하중 포텐셜의 이차변분은 사라지고 단순히 변형에너지의 이차변분만 남으며, 에너지 평형조건에 따라 총포텐셜에너지의 이차변분량은 다음과 같 이 단순화된다(^{Bazant 외 1991}).

여기서 δt(q)는 매개변수 벡터 q의 변화 때문에 발생하는 하 중작용점의 표면력의 변분, δu(q)는 매개변수 벡터 q의 변화 때문에 발생하는 하중작용점의 변위의 변분, δσ(q)와 δε(q)의 매개변수 벡터 q의 변화 때문에 발생하는 응력과 변형률의 변 분이다. 이 식 (10)에서 t(q)와 u(q)는 평형상태에서는 외부 작 용력과 작용점의 변위와 동일하나, 안정성 검토를 위한 변분 분석시에는 δt(q)와 δu(q)가 q에 의해 제어되며 구조시스템의 적합조건, 구성방정식, 평형조건의 조합에 의해 결정된다.

특정 하중상태의 좌굴여부를 판독하기 위해서는 식 (10)의 δ²Π(q)의 부호를 확인하며, 특정 q에 대해 δ²Π(q)가 양의 값을 유지하지 못하는 경우 좌굴로 판정한다. 식 (10)을 실제 문제 에 직접 적용하기 위해서는 모든 하중 값에 대해 적절히 선택 된 q에 해당하는 δσ와 δε을 계산하는 절차가 필요하며, 계산 량이 기하급수적으로 증가한다.

본 연구에서는 (1) 식 (10)의 마지막 항이 단순히 매개변수 q의 선택에 의해 발생하는 변형에너지 U의 이차량인 점과, (2) 경계면에 작용하는 외부 하중이 하중작용점의 변위와는 상관없다는 가정을 도입하여 매개변수를 이용해서 외부 하중 이나 경계면의 변위를 제어하는 경우에 식 (10)을 적용할 수 있도록 하였다. 이 경우의 가정은 좌굴평가 대상 부재가 큰 구 조시스템의 일부인 경우 해당 부재에 작용하는 하중은 변위 의 함수이지만, 개별 부재의 좌굴 평가시의 하중은 독립적인 것으로 보는 것으로 대부분의 기준과 평가 기법에서도 적용 하고 있다.

일반적으로 부재를 비선형 해석할 때 경계면에 작용하는 외부 하중이나 경계면의 변위는 제어 매개변수 λ를 이용해서 제어된다. 경계면에 작용하는 하중이나 변위는 매개변수 λ에 비례하여 선형적으로 증가하며, 각 스텝 별로 이에 해당하는 응력, 변형률, 에너지를 계산한다.

Fig. 6은 단일 하중에 의해 변형하는 구조물의 하중-변위 선 도를 도식화한 것이다. 매개변수 λ를 하중에 적용하면 매 단 계별 하중은 매개변수에 비례한 값인 λ_i P₀이며, 이에 해당하 는 변위 u_i = u(λ_i P₀)는 구조해석을 통해 계산한다. 반대로 매 개변수를 변위에 적용하면 변위는 λ_iu₀이고, 반력 R_i = R(λ_iu₀) 은 구조해석을 통해 계산한다. 여기서 P₀과 u₀은 각각 기준 하 중과 변위이고, i는 스텝을 의미한다.

변위를 제어하여 u_i를 u_i+1로 증가시키면 Fig. 6과 같이 외 부 일도 ΔW_i 만큼 증가한다. 이 외부 일의 증분은 다음과 같 이 계산할 수 있다.

여기서 i는 매개변수 λ로 제어되는 해석 스텝을 의미하고, ΔW_i =W_i+1 - W_i , ΔP_i =P_i+1 -P_i , Δu_i =u_i+1 -u_i이다. 식 (11)의 첫 번째 항은 선형 일이며, 두 번째 항은 이차 일이다. 위 일의 증분에서 ΔP_i를 P_i와는 독립적으로 선택할 수 있으 며, Δu_i를 ΔP_i에 종속되게 계산하면 Δu_i의 선택에 대한 외부 일의 증분을 계산할 수 있다. 에너지 평형조건에 의해 식 (11) 의 스텝별 외부일의 증분은 변형에너지의 증분과 동일하므 로, 식 (11)의 두 번째 항은 식 (10)과 같다. 그러므로 Δu_i의 선 택에 대한 좌굴 여부는 변형에너지의 이차량의 부호가 양이 아니면 좌굴로 평가한다.

하중상태가 매우 복잡한 경우는 식 (10)이나 (11)을 직접 적용 하기가 거의 불가능하므로, 대신 각 스텝별 변형에너지 U를 각 스텝별로 계산하고, 이 변형에너지를 매개변수 i에 대해 이 차 미분하여 좌굴임계점을 판별하는 방안을 제안하였다. 즉,

위 이차 미분보다는 이차 변분량을 사용하는 것이 더 편리하 며, 유한차분법에 의해 다음과 같이 이차 변분량을 계산한다.

스텝 j에서 위 식 (12)의 안정조건이 상실되면, 스텝 j는 외 력 조건 또는 경계의 변위조건에 대한 임계점임을 의미한다. 문제에 따라서는 변형에너지 대신 경계면의 하중이나 반력의 변화를 다음과 같이 직접 계산하여, 그 부호를 사용하는 것이 용이할 수도 있다.(14)

최대 강도 대 현재 작용력의 비인 식 (7)의 사용계수는 외부 일 W 또는 변형에너지 U를 이용해서 다음과 같이 정의한다.

여기서 W^ser 및 U^ser는 검토대상 하중 또는 변위에 의한 외 부일과 변형에너지, W^crt 및 U^crt는 Δ²W=0인 상태에 해당 하는 외부일과 변형에너지이다. 선형탄성이고, 하중 성분의 분포와 방향이 일정하게 유지되는 경우는 식 (7)과 동일하다.

6. 적용 예제

7. 결 론