2.1. 유연도법에 근거한 보-기둥 요소 정식화

유연도법에 근거한 보 - 기둥 섬유요소 모델은 강도법에 비 해 적은 수의 요소로 재료의 축방향 구성관계만을 사용하여 부재의 비탄성 거동을 기술한다. 또한 휨모멘트-축력의 상호 작용을 합리적으로 고려할 수 있는 섬유요소모델의 장점을 그대로 유지하며 결합된 모델이다. 요소 정식화는 요소내에 서 평형을 만족하는 내력의 분포함수를 표현하는 것으로부터 적분점에서 단면변형에 대응하는 요소형상함수를 선택하는 혼합법(Mixed Method)을 기초로 함으로써 요소에서 힘의 평 형조건과 변형 적합조건을 항상 만족한다.

유연도법에 근거한 정식화를 위해 Fig. 1에서와 같이 강체 거동과 비틀림 자유도를 제외한 2개의 절점을 갖는 일반적인 보-기둥 요소에서의 요소력(Q)과 그에 대응되는 변위 벡터 (q) 및 요소 단면에서 발생하는 단면력 (D(x))과 그에 따른 변 형벡터(d(x))를 식 (1)～(4)에 각각 나타내었다.

정식화 유도는 요소력과 그에 상응하는 요소변형과의 행렬 관계를 이끌어내기 위해 평형방정식의 적분형태와 단면력 - 단면변형 관계를 도입한다. 식 (5)에서와 같이 반복계산 과정 에서 선형화된 요소력 - 요소변형의 관계를 얻기 위해 단면력 - 단면변형 관계를 현재 상태에 대해서 가상 힘의 원리로부터 선형화하며 허용 오차 내에서 비선형의 요소력-요소변형 관 계가 수렴할 때까지 반복 알고리즘이 사용된다.

단면 유연도 행렬을 요소에 대해 적분함으로써 요소 유연 도 행렬은 식 (6)과 같이 간단히 나타낼 수 있다.

여기서, Δ는 증분, F 는 요소 유연도 행렬, T 는 보간 함수 행렬에 따라 결정되는 행렬, i는 Newton - Raphson 반복 단계 3차원 철근콘크리트 비선형 골조 구조물의 비선형 해석을 위해 각 단면은 Fig. 1에서와 같이n(x)개의 파이버(Fiber)로 나누어지며 각 파이버의 변형을 변형전 평면인 단면은 변형 후에도 평면을 유지한다는 가정을 이용해서 계산한다. 요소 의 축을 따라서 각각의 파이버 변형률(e(x))에 상응하는 응 력(E(x))은 국부적인 거동을 나타내는 재료의 축방향 구성 모델로부터 구할 수 있으며 각각 식 (7)～(8)과 같다 . 또한, 이 파이버들의 거동을 적분해서 각 요소의 전체 거동을 예측할 수 있으며 모든 요소의 거동을 조합해서 전체 구조물의 거동 특성을 알 수 있다.

2.2. 전단변형 효과를 고려한 보-기둥 요소 정식화

이 연구에서는 ^{Spacone, E. (2000)}의 연구 내용과는 달리 단 면 자유도, 힘 보간 함수 및 단면 유연도 행렬의 확장과 같은 추가적인 정식화 과정 없이 기존의 유연도법에 근거한 보 - 기 둥 섬유 요소 정식화를 그대로 유지하면서 간단한 수치해석 적 반복 수렴 계산 과정으로 전단변형 효과를 고려할 수 있는 방안을 제시한다.

우선, 기존의 요소 정식화 과정 중 j로 표시한 요소 변형에 대한 요소 저항력을 결정하는 반복과정에서 첫 번째 반복은 j = 1에서 시작되며 j = 0으로 표현되는 요소의 초기 상태는 (i-1)번째 Newton - Raphson 반복과정에서 반복루프 j의 수 렴된 상태에 대응한다. 첫 번째 반복 j = 1에서 대응되는 요소 력 증분을 식 (9)～(10)와 같이 계산한다.

전단변형 효과가 고려된 새로운 보 - 기둥 섬유 요소 정식 화는 식 (6)과 같이 휨과 축력만에 의한 영향을 고려한 기존 5×5의 요소 유연도 행렬 F에 단면의 전단 유연도 항을 고려 할 수 있도록 식 (11)에서와 같이 이 연구에서 새로이 제안한 요소 유연도 행렬 F_s을 적용하는 것으로부터 시작된다.

식 (9)와 식 (10) 및 Fig. 2로부터 축방향 변형률 Q s 1 j = 1 을 제 외한 요소 양단 모멘트로 인한 각 방향으로의 단면 전단력을 식 (12)～(13)과 같이 정의하며 계산된 단면 전단력은 요소 길

이에 걸쳐 일정하다.

각 방향으로 계산된 단면 전단력 V y j = 1 과 V z j = 1 을 2.3절에 서 새로이 제안한 비탄성 전단응답이력 구성관계식에 적용하 여 내부 반복 수렴을 통해 대응하는 전단변형률 γ y j 과 γ z j 및 증 분 전단변형 Δ γ y j j 과 Δ γ z j j 을 각각 계산한다.

식 (14)와 같이 전체 증분 요소 변형 성분에서 순수 증분 요 소 회전변형 성분을 계산한다.

기존 요소 유연도 행렬 F과 전단 유연도 항이 고려된 새로 운 요소 유연도 행렬 F_s 및 식 (15)～(16)을 통한 순수 증분 요 소 저항력 Δ Q j j = 1 과 전단변형이 고려되지 않은 순수 요소력 Q j j = 1 을 각각 계산한다. 식 (12)～(13)을 이용하여 새로이 수 렴된 V y j j = 1 과 V z j j = 1 을 계산하여 이전 결과와의 비교를 통해 주어진 허용 오차 범위 이내로 수렴할 때까지 식 (9)～(16)의 내부 반복 수렴 계산 과정 jj을 수행한다.

2.3. 비선형 단면 전단력 - 전단변형률 구성관계식

이축 응력 상태(Bi-axial)에서의 콘크리트 이력 거동특성을 일축 응력 상태(Uni-axial)로 묘사함으로써 하중 증분에 따른 전단변형 거동 특성을 적절히 묘사하기 위해서는 신뢰성 있 는 전단응답 이력 구성관계식의 마련이 필요하다.

이 연구에서는 신뢰도 기반 한계상태설계법을 근간으로하 는 도로교 설계기준(2012)에서 제시하고 있는 전단설계 기준 을 기본으로 콘크리트 전단균열 발생 이후의 인장증강효과를 고려한 새로운 전단응답 구성관계식을 제안하였다(^{Cheon, J. H., 2013}). 우선, 전단보강철근이 배근되지 않은 철근콘크리 트 부재에 대한 단면 전단강도 V_cc와 그에 해당하는 전단변형 률 γ_c, 및 전단탄성계수 (oa)를 식 (17)～(19)으로부터 각각 계산한다. 전단보강철근의 항복응력을 기준으로 식 (20)으로 계산되는 단면 전단강도 V_d와 그에 대응하는 전단변형률 γ_d 및 전단탄성계수 (ab)를 식 (21)～(22)으로부터 계산한다. 여 기에, 콘크리트 전단균열 발생 이후의 인장증강효과가 고려 된 가정한 최대 전단변형률 γ x ( = 3 ∈ y ¯ ) 과 이에 대응하는 최대 전단강도 V_x 및 그때의 전단탄성계수 G_x(bc) 을 각각 식 (2 3)～(25)로부터 계산함으로써 Tri - linear으로 구성된 파괴 포 락 곡선(Failure Envelope Curve)을 기본으로 반복하중에 의 한 비탄성 전단응답 이력 구성관계식을 Fig. 2에서와 같이 제 안하였다.(19)(23)(24)

여기서, ϕ_c = 콘크리트 강도감소계수, ρ = A_s/(b_wd) 는 주 철근비, f_ck = 콘크리트 압축강도(N/mm²), f_ctk = 콘크리트인 장강도(N/mm²), G_c = 콘크리트 전단탄성계수, κ = 전단계 수(Shear Coefficient), f_n = N_u /A_c ≤ 0.2ϕ_cf_ck(N/mm²)은 종 방향 직각응력, A = 단면적, ∈ y ¯ = 전단보강철근의 평균 항복 변형률, f_y = 전단보강철근의 평균 항복응력, f_υs = 인장경 화효과를 고려한 전단보강철근의 평균 최대응력, θ_s는 콘크 리트 압축 스트럿의 경사각으로 부재의 전단강도에 큰 영향 을 미치는 인장철근비(ρ_s), 전단경간비(a/d), 축력비(f_n) 및 기 초와의 접합부에서의 추가적인 구속효과 등과 같은 주요 인 자를 계산과정에 간접적으로 적용함으로써 이들의 영향에 대 하여 고려할 수 있도록 이 연구에서 새로이 제안하였다.

한편, 제하시(Unloading) 및 재재하시(Reloading)의 기울기 는 모두 원점(O)을 향하는 직선으로 가정하며, 제하가 완전히 끝나지 않고 재재하가 일어날 경우에는 제하가 시작된 점까 지는 초기 강성과 같은 기울기를 같고 재재하가 일어난다고 가정하였다.

2.4. 철근 및 콘크리트 재료모델

보 - 기둥 섬유요소의 비선형 거동 특성은 부재를 구성하는 콘크리트와 철근의 일축(Uni-axial) 재료모델에 의존적이며 이를 각각의 파이버에 적용함으로써 나타낼 수 있다. 저자 등 에 의해 기존에 개발된 분산균열 개념에 근거한 콘크리트의 재료모델을 바탕으로 콘크리트의 압축모델, 균열 직각 방향 의 인장모델, 균열면에서 전단전달모델, 그리고 콘크리트에 포함된 철근의 해석모델을 각각 적용하였다(^{Cheon, J. H., 2013}). 여기에, Shima et al.(1987)이 제안한 기초로부터의 철 근의 정착슬립에 관한 해석모델을 기본으로 새로이 수정 제 안된 철근의 변형률-슬립 관계를 적용하였다(^{Lee, J. H., 2000}).

2.5. 비선형유한요소 해석프로그램(RCAHEST)

Table 1에서와 같은 비선형 유한요소해석 프로그램 RCAHEST (Reinforced Concrete Analysis in Higher Evaluation System Technology)를 사용하였다. 해석프로그램(RCAHEST)은 미 국 버클리 대학의 Taylor가 개발한 범용 유한요소해석 프로그 램인 FEAP ver. 7.2에 저자 등에 의하여 그 동안 개발된 철근 콘크리트 평면응력요소 등을 이식하여 모듈화된 프로그램으 로 대상 구조물에의 적용을 통해 해석 결과에 대한 검증을 수 행하였다(^{Kim et al., 2003}; ^{Seong et al., 2011}; ^{Cheon et al., 2012}).