2.2.1. 반응모델 및 다목적함수 생성

TMD의 성능을 좌우하는 목적함수의 반응모델을 얻기 위해 외부 지진동에 대한 구조물의 운동방정식을 MATLAB 코드로 작성한 후 전산실험(computer experiment)의 형식으로 반응특 성을 파악하는 과정을 실시하였다. 이 단계에서 수행되는 연구 내용은 Fig. 2에 설명되어진 것처럼 반응모델생성, 반응모델의 상대적 중요도 도출, 그리고 이를 반영한 호감도함수를 이용한 다목적 최적화 함수생성으로 구성되어 있다. 좀 더 구체적으로 보면, 먼저 반응 모델을 생성하는 과정은 실험점 준비, 전산실험 을 통한 각 실험점에서의 반응값 파악, 통계적 방법에 따른 반응 모델생성 마지막으로 분산분석(ANOVA)를 통한 반응모델의 통계적 검정 및 모델의 적합성(model adequacy)판정으로 구성 되어 있다. 두 번 째로 실험점의 결정은 크게 표준실험계획법, 공 간충진법, 격자법, 균등분할법 등이 존재하며, 전산실험을 통해 설계변수와 반응 사이의 관계를 파악하기 위해서 표준실험계획 법 중 2인자 중심합성계획법을 이용하여 설계점을 준비하였다. 마지막으로 반응모델은 아래 식 (1)의 형태로 널리 알려진 선형 회귀계수를 산정하는 절차에 따라 설계변수와 반응변수 사이의 함수관계가 완전2차모형으로 가정하여 식 (2)의 형태로 생성되 었으며, 이후 통계적 검정과 적합성이 검토되었다.

Fig. 2.

Proposed RSM based weighted multi-Objective optimization procedure

여기서, y ^ = 추정벡터, X = 설계변수 수준의 벡터, β = 회 귀계수벡터.

여기서, y = 예측 반응값, β₀ = 절편, β_i = 1차 선형 계수, β_ii =2계 이차 계수, β_ij = 교호작용영향 계수, X_i 와 X_j = 각각 독립 변수의 코드화 수준, ε = 오차.

이어서 Fig. 2의 중간 단계에서 설명된 것처럼 TMD 설계변수 의 결정에 대한 각 반응변수의 영향정도를 고려하기 위해 계층 분석법(AHP)를 이용하여 각 반응모델 사이의 상대적 중요도가 수치적으로 계산되어지며, 이를 통해 가중된(weighted) 반응모 델을 준비하였다. 본 연구에서는 다중반응모델의 최적화를 위해 ^{Derringer and Suich(1980)}이 제안한 호감도함수를 이용하여 다 목적 최적화 문제를 아래 식 (3)에 보이는 종합만족도함수라는 단일함수화한 최적화 목적함수를 구성하였다.

여기서, d(y)는 반응변수 y의 개별만족도함수I이며, I는 각 반 응변수의 상대적중요도, D는 종합만족도함수임.

2.2.2. 최적해 탐색

앞선 단계에서 구성된 종합만족도함수는 단일함수이지만 비 선형이므로 이 함수로부터 최적 지점은 “n”차원으로 구속된 비 선형 최적화 문제를 풀어서 찾는다. Minitab, Design Expert와 같은 상용 DOE(실험설계) 소프트웨어는 최급강하법(Steepest descent method)으로 목적함수를 구하므로 목적함수가 복잡하 고 비선형성이 클 때는 수렴속도가 매우 느린 것으로 알려져 있 다. 따라서 본 연구에서는 최급강하법의 단점을 보완하기 위해 Fletcher-Reeves의 알고리즘을 이용한 공액구배방법(Conjugate Gradient Method) 방법을 사용하였다. Fig. 3에는 종합만족도함 수로 표현된 목적함수의 최적해를 찾기 위해 공액구배방법을 적 용하여 계산하는 절차가 도시되어 있다. 공액구배방법(Conjugate Gradient Method)으로 최적해를 효율적으로 찾기위해서는 초 기값의 위치가 중요하다. Fig. 3의 왼쪽에는 직접법 중 무작위탐 색법을 이용하여 반복적으로 최적해 후보점을 찾는 절차가 설명 되어 있다. 이 후보점을 초기 시작점으로 하여 Fig. 3의 오른쪽에 설명되어 있는 공액구배방법의 Fletcher-Reeves 알고리즘을 이 용하여 최적해을 찾았다.

Fig. 3.

Composite desirability function for multi-objective optimization

2.2.3. 동특성 해석

제안된 최적화 기법으로 설계된 TMD의 제진 성능을 확인하 기 위한 구조시스템의 운동방정식을 다음 식과 같이 구성한 후 MATLAB에서 코딩하여 구조물의 동적특성을 파악하였다.(4)

여기서, x ,   x ˙ ,   x ¨ 와 x ¨ g 는 각각 구조물의 변위, 속도, 가속도를 나 타내고, 각 벡터의 크기는 (N + 1) × 1이다. M, C 와 K는 전체 질량, 감쇠 그리고 강성 행렬을 나타내며, M, C 와 K는 다음과 같다.(5)(6)(7)

여기서, m_d, c_d 그리고 k_d는 각각 TMD의 질량, 감쇠 그리고 강성을 나타낸다.

대상 구조물에 다양한 진동수 영역을 포함하는 El Centro, California 그리고 Northridge 지진을 입력지진으로 하여 시간이 력 지진해석을 수행하였다. El Centro 지진에 대한 해석 결과를 이용하여 응답모델을 생성하기 위한 전산실험를 실시하였고, California와 Northridge 지진에 대해 추가적으로 동적특성을 파 악하여 본 연구에서 제안한 최적화 기법으로 설계한 TMD의 제 진 성능을 검증하였다. 더불어 Den hartog(1947), ^{Sadek et al.(1997)}, ^{Warburton(1982)}등이 제안한 기존 TMD설계법과 본 연구의 방법으로부터 얻은 각각의 결과를 비교 검토하였다.

3.2.1. 구조모델특성

전산 실험을 기반으로 TMD 동적 특성과 반응모델을 준비하 고 최적화 기법과 그 결과를 검증하기 위하여 Fig. 4의 10층 중규 모 건물에 대하여 지진해석을 수행하였으며, 건물 각 층 질량과 강성, 그리고 Rayleigh 감쇠를 이용하여 산출한 구조물의 감쇠 계수가 Table 1에 정리되어 있다.

Fig. 4.

Structural models with TMD installed

3.2.2. 적용 지진 및 모드해석

앞서 2.2.2절에서 설명한 바와 같이 대상 구조물의 지진성능 해석을 위해 적용한 지진은 다양한 진동수 영역을 포함하는 El-Centro, California 그리고 Northridge이었으며(^{Rahman 2017}), 특히 El-Centro 지진에 대한 해석 결과를 이용하여 응답모델을 생성하기 위한 전산실험(computer experiment)를 실시하였다. California지진과 Northridge지진은 본 연구에서 제안한 최적화 기법으로 설계한 TMD의 제진 성능을 비제진시의 경우, 그리고 기존 설계 방법에 의한 경우와 비교 검토하였다. 여기서, 비제진 혹은 제진을 적용할 때 구조물의 지진해석은 앞서 2.2.3절에서 기술한 구조물의 운동방정식을 MATLAB을 이용하여 수치해 석적으로 수행하였다.

3.3.1. 설계점 및 구조반응

본 연구에서 설정한 TMD 반응변수인 1차 모드 진동수의 최 대 크기(J₁)와 구조물 최상층의 평균제곱변위(J₂)를 최소로 하 는 TMD 설계변수의 최적값을 찾기 위해 표준실험법 중 중심합 성설계로 전산실험을 설계하였다. Fig. 5에 표현되어 있는 바와 같이 실험 설계는 요인점 4개, 축점 4개 그리고 중심점 1개로 총 9개의 실험점(설계점)으로 구성되었다. 실제변수공간(real variable space)에서 진동수비(x₁)와 감쇠비(x₂)의 관심설계영역은 각각 (0.85~1.0)과 (0.05~0.2)로 설정하였으며, Fig. 5에 보이는 -1에 서 1로 코드화된 변수공간(coded variable space)에서의 설계점 은 선형변환을 통해 각 설계점을 대응시킬 수 있다. 구조물의 동 적특성을 파악하기 위해 작성된 MATLAB코드를 작성하여 이 설계점에서의 TMD제진 시 구조 동적 반응을 얻었으며, 이 결과 는 Table 2에 나열되어 있다.

Fig. 5.

Design points of 2-factor CCD in coded space

3.3.2. 반응모델생성 및 모델 적정성

상관계수(R-squared)는 관측 혹은 실험 자료가 적합 회귀식 에 근접한 정도(precision)를 나타내는 척도이다. 일반적으로, 관 측 자료와 예측 자료 간의 표준편차가 작고 불편한 경우(unbiased) 모델과 자료가 잘 적합되었다고 판단한다. Table 3과 4는 각각 추정된 반응모델에 대한 분산분석결과와 TMD응답 변수의 완 전 2차 모델에 대한 R² 값을 보여주고 있다. Table 4에 보이는 반 응모델의 상관계수인 R²의 값은 상당히 높은 값을 보이므로 MATLAB 코드로부터 계산된 반응자료와 Table 3의 반응모델 사이에는 높은 상관성을 가지고 있어, 공학의 관점에서 각 반응 에 대하여 충분한 설명력을 가지고 있는 것으로 판단할 수 있다.

3.3.3. 반응모델의 반응면 탐색

Table 4에 나열된 반응모델은 진동수비와 감쇠비로 구성된 설계변수들의 변화에 따른 반응변수의 변화를 설명할 수 있다. 이런 의미에서 Figs. 6과 7은 TMD의 진동수비 및 감쇠비에 따른 El-Centro 지진을 받는 구조물의 1차 모드 최대 진동수응답과 최 상층 평균제곱변위의 변화를 보여주고 있다. 진동수와 평균변위 는 설계변수에 대하여 비선형적인 특성을 보이고 있으며, 그림 을 통해 직관적으로 판단할 때 각자 서로 다른 최적점을 보이고 있다. 즉 진동수 응답과 평균 변위를 단일 최적해문제로 간주하 여 앞서 2.2.2절에서 기술한 최적해 탐색방법을 통해 코드변환 공간에서의 최적해를 구하면, 각각(0.963, 0.549)와 (0.681, 0.472) 를 얻는다. 이로부터 하나의 반응변수, 즉 목적함수를 최소화하 더라도 다른 목적함수를 동시에 최소화하는 것은 불가능하며, 이는 목적함수 상호 간의 타협점(trade-off point)의 탐색이 필요 하다는 것을 알 수 있다.

Fig. 6.

Frequency responses vs. design variables

Fig. 7.

Top floor root mean squared displacement vs. design variables

4.1.1. 최대 진동수응답

Fig. 12은 지진하중이 작용하는 경우 RSM에 기반한 다목적 최적화방법에 의해 얻어진 최적해가 적용된 TMD에 의해 제어 된 경우의 구조물 진동수 응답을 구조물이 제어되지 않은 경우 그리고 Warburton의 방법에 의해 설계된 TMD에 의해 제어된 경우와 서로 비교한 결과를 보여주고 있다.

Fig. 12.

Kinematic 1^st mode frequency response of the structure

Fig. 12(a)는 El-Centro 지진이 적용된 경우 TMD 제어 유무 에 따른 최대 진동수 응답을 나타내고 있다. TMD제어를 받지 않 은 구조물의 진동수 응답은 34.73 dB이고, 본 연구의 RSM기반 다목적최적화의 방법으로부터 얻은 최적해를 가진 TMD에 의 해 제어된 경우의 응답은 6.15 dB이었다. 이에 반해 Warburton 방법으로 설계한 TMD에 의해 제어된 경우의 진동수 응답은 8.67 dB으로 분석되었다. 즉, 본 연구의 RSM기반 최적화된 TMD는 비제어된 경우보다는 약 82.3%, Warburton의 방법에 비해서는 41.0% 개선된 성능을 보였다.

Figs. 12(b)와 (c)는 각각 California 지진과 Northridge 지진 이 작용할 때 구조물의 진동수 응답을 나타내는 것으로 본 연구 의 RSM기반 다목적최적화의 방법으로부터 얻은 최적해를 가진 TMD에 의해 제어된 경우의 응답은 TMD제어를 받지 않은 구조 물의 진동수 응답과 비교하여 각각 66.3%와 71.4% 만큼 개선되 었으며, Warburton의 방법과 비교하자면, 각각 약 32.3%와 47.0%만큼 성능이 개선되었다. 이 결과로부터, 본 연구의 RSM 기반 가중다목적최적화의 방법을 이용하여 TMD의 설계변수를 최적화하는 경우 변위응답에 비하여 진동수 응답의 개선이 두드 러지는 것으로 분석되었다.

4.1.2. 최상층에서의 최대 변위

Fig. 13은 각각 El-Centro, California, 그리고 Northridge 지 진 하중을 받는 구조물의 비제어할 때와 앞선 다목적최적화 과 정을 통해 얻은 Table 6의 최적화된 매개변수를 갖는 TMD에 의 해 제어될 때의 최상층 변위 응답을 보여주고 있다. 여기서 이들 변위 응답은 Warburton의 방법에 따라 설계된 TMD에 의해 제 어될 때의 동적 응답과 도시적으로 비교되었다. Fig. 13(a)는 El-Centro 지진이 작용 하중일 때 제어 전후에 대한 구조물의 변 위 응답으로 제어 전 최대 변위는 32.87 cm이고, 이에 반해 RSM 기반 최적의 TMD로 제어 후 최대 변위는 22.49 cm이었기 때문 에 비제어 시에 비하여 약 31.6% 개선된 것으로 분석되었다. Figs. 13(b)와 (c)는 각각 California지진과 Northridge지진이 작 용할 때 제어 전후에 대한 구조물의 변위 응답을 보여주고 있다. 제어 전 구조물의 최대 변위는 각각 3.95 cm와 9.81 cm이고, 반면 RSM으로 최적화한 TMD에 의해 제어된 후 변위는 각각 3.12 cm 와 4.96 cm으로 평가되어, 각각 21.1%와 49.5%가 개선되었다. Warburton의 방법에 따라 설계된 TMD의 경우와 비교하여 볼 때, 거의 비슷하거나 부분적으로 개선된 변위 응답을 보여주고 있어 본 연구에서 수행한 RSM 기반 다목적최적화 방법에 의한 TMD최적설계결과는 공학적으로 충분히 인정될 수 있는 수준 의 성능을 보여주고 있는 것으로 판단된다.

Fig. 13.

Kinematic displacement response at top floor

Table 8은 본 연구의 최적해를 가지는 TMD에 의해 제어할 때 의 각 층에서의 최대변위응답을 비제어 시의 응답과 비교한 결 과를 3개의 입력지진 별로 보여 주고 있다. El Centro지진이 작 용하는 경우 각 층의 최대 변위가 19.3에서 31.8%, California 지 진이 작용하는 경우 19.7에서 36.8% 그리고 Northridge지진이 작용하는 경우 28.6%에서 53.0%까지 변위 응답이 개선되는 것 으로 분석되었다.

4.1.3. 최상층에서의 평균제곱변위

Fig. 14는 Den-Hartog, Sadek 그리고 Warburton 설계 방법과 같은 여러가지 방법들에 의해 설계된 TMD에 의해 구조물이 제 어될 경우 각각의 방법들에 의해 초래되는 최상층 평균제곱변위 (RMSD)를 TMD제어하지 않은 경우와 비교한 결과를 나타내고 있다. El Centro 지진을 적용했을 경우 제어를 하지 않은 구조물 의 RMSD는 11.85 cm이었고, 본 연구의 RSM으로 최적화한 TMD로 제어된 경우의 RSMD는 4.4 cm이었다. 또한, Den-Hartog, Sadek 그리고 Warburton 설계 방법으로 제어한 경우의 RMSD 는 각각 4.44 cm, 4.83 cm 그리고 4.53 cm이었다. 본 연구의 다 목적 최적화방법에 의한 TMD최적설계는 기존 설계법과 비교 하여 동등 혹은 다소 개선된 성능을 보이는 것으로 분석되었다.

Fig. 14.

Comparison of RMSD at top floor of each TMD design method per the different applied earthquake load

California와 Northridge 지진의 경우도 El Centro지진의 경 우와 비슷한 결과를 보여주었다. 즉 TMD를 적용하지 않은 구조 물의 RMSD응답은 각각 1.8 cm와 4.08 cm이었고, Den-Hartog, Sadek 그리고 Warburton 설계 방법으로 제어한 경우의 RMSD는 각각 0.96 cm, 0.97 cm, 1 cm와 1.69 cm, 1.87 cm, 1.66 cm이었다.

4.1.4. 에너지 응답

Fig. 15는 입력지진 별 RSM에 기반하여 최적화된 TMD를 적 용한 구조물의 모드 에너지 분석결과를 TMD 제어가 되지 않는 경우와 War모드 에너지 관점에서의 에너지 응답을 보여주고 있 으며, Fig. 15(a)의 El-Centro 지진이 작용하는 경우, TMD 제어 가 적용되지 않은 경우의 모드 에너지는 4.12 kN이고, 이에 반하 여 RSM 기반으로 최적화한 TMD로 제어한 경우의 모드에너지 는 약 93%개선된 0.29 kN이었다. 또한 Warburton의 방법으로 설계한 TMD가 적용된 경우와 비교하면 약 7%정도 개선되어 상 당히 우수한 성능을 발휘하는 것으로 판단된다.

Fig. 15.

Energy response in terms of modal energy of the structure under the applied seismic loads

Figs. 15(b)와 (c)는 각각 California 지진과 Northridge 지진 이 적용된 경우의 모드에너지 응답을 보여주며, RSM 기반으로 최적화한 TMD로 제어한 경우의 모드에너지는 비제어한 경우 와 Warburton의 방법으로 설계한 TMD가 적용된 경우와 비교 하여, California 지진이 적용된 경우 각각 약 86%와 62%만큼 개선되었으며, Northridge지진이 적용된 경우에는 각각 약 91% 와 약 14%만큼 개선된 분석결과를 보여줬다.