2.1. 연구의 목적과 범위

Fig. 1에 보이는 대상 빗물저류를 위한 보도블럭이 탄성지 반 또는 탄성매트 상에 있을 때, 이동하는 보행인의 하중에 의 하여 블록구조는 지반 및 측면 다른 블록과의 접촉과 변형을 보이게 될 것이다. 블록내부에 빗물저류를 위한 공간을 설계 하기 위해서 다음과 같은 연구목적을 가지게 된다.

위와 같은 연구목표를 위한 가정과 제약조건은 다음과 같다.

2.2. 이동랜덤하중의 근사화

빗물저류용 보도블럭은 Fig. 1에 보이는 바와 같이 탄성지 반위에 위치하며, 주변 블록과의 접촉은 연직방향 자유도를 가지는 롤러(힌지)경계조건을 가정하였다. 탄성지반에 의한 반력을 모두 구하기 위한 정확한 해석은 고차 부정정 문제가 된다.

그러므로 2차원 근사구조해석을 위하여 전체좌표계를 수 평축에 대하여 180도 회전시켜서, Fig. 2와 같이 지반반력을 등분포하중으로 가정하고, 이동하중의 위치에서의 하중을 이 동 경계조건에서의 반력으로 모델링하였다. 또한, 이동하중 에 의한 응력집중에 의한 지반반력의 부등분포의 경우를 고 려하는 경우에 대하여는 Fig. 3과 같이 임의의 추가적 인 하중 폭과 등분포하중의 크기를 변수(x3)로 한 모델을 고려하였다.

Fig. 2

Reversed brick model on elastic foundation in pedestrian walkway for reserving water inside

Fig. 3

Reversed brick model on elastic foundation considering uneven reactions in springs

이 두가지 경우에 대한, 이동하중에 의한 x1구간과 x2구간 에서의 전단력은 각각 다음 식 (1), (2), (3), (4)와 같다.

CASE I(Fig. 2) :

CASE II(Fig. 3) :

여기서 반력은 Fig. 2, Fig. 3의 자유물체도로부터 다음과 같이 구한다.

CASE I(Fig. 2) :

CASE II(Fig. 3) :

이동하중에 의한 x1구간과 x2구간에서의 휨모멘트는 각각 다음 식 (5)~(8)와 같다.

CASE I(Fig. 2) :(6)

CASE II(Fig. 3)(7):

Fig. 2 및 Fig. 3과 같이 등분포하중이 작용하는 단순보로 가 정된 CASE I의 빗물저류블럭에서 이동하는 좌측 경계조건이 x1위치에 반력(실제는 이동 보도활하중)으로 작용하여, Fig. 4(a)에서 보이는 바와 같이 하중위치의 좌측 및 우측에 최대크 기의 전단력을 발생시킬 수 있으며, 또 다른 최대전단력은 우 측 끝단의 경계조건에 작용할 수 있다. 그러므로 X1위치에서 의 전단력의 크기와 우측끝단 전단력 크기의 비교가 필요하 다. Fig. 4(b)의 CASE II에서는 추가적인 등분포하중 w2에 의 한 추가적인 반력을 고려하며, Fig. 4(c)의 휨모멘트 선도에서 는, CASE I, II 각각의 경우에 대한 이동경계조건에 의한 반력 의 영향으로 반력하부의 부모멘트와 우측 경계조건사이의 어 느 지점 (x2지점)에서 최대정모멘트가 발생할 것이다.

Fig. 4

(a) Shear force diagram for CASE I, (b) for CASE II, and (c) Bending moment diagram due to a walking load on rainwater harvesting block located on an elastic foundation

x1이 정해지면, x2가 결정되지만, 이동경계조건까지의 거 리 x1은 임의의 지점이 될 수 있으므로, 설계방안은

그러므로 본 연구에서는 Fig. 3(a), (b)의 기하조건으로부터 x1지점의 좌우 최대전단력(식 (1)~(4))의 차이가 최소화 되도록 목적함수를 구성하고, 최대 정모멘트와 부모멘트(식 (5)~(8))가 각각 같은 값에 가까워지도록 제약조건을 설정하는 최적설계 를 하고, 결정된 위치의 표면을 돌출시키거나 또는 경사를 주 어서 보도블럭상의 이동하중이 결정된 위치에 주로 작용하도 록 다음절과 같이 유도하고자 한다.

2.3. 이동랜덤하중의 최적위치

본 연구에서는 보행자의 랜덤한 하중 작용위치를 결정하는 문제를 해결하기 위하여 적용한 방법은 주응력의 최소화를 위한 최적화 문제의 해결과, 정해진 결과를 위한 하중작용위 치의 고정을 위한 돌출된 보도블럭의 제작을 제안하였다.

최적화 기법은 Microsoft 사의 Excel Spread sheet프로그램 에서 제공하는 GRG(Generalized Reduced Gradient Method, ^{Waren et al., 1987})방법을 적용하였다. 설계 최적화는 GRG방 법 에 의해 일반화 된 감소된 차원 구배 방법이 적용된다. GRG 설계 방법은 종속 변수를 지운 후에 남아있는 변수에 대 한 현재의 제약 조건을 최소화하기위한 문제를 개선하기 위 해서 개선된 후에도 활성 상태로 유지되는 방법으로, 등가 제 약 조건을 이용한다(^{Vanderplaats, 1988}).

Convex simplex 방법과 GRG 알고리즘은 LP의 Simplex 방 법과 비슷한 근사방법이다. 감소된 GRG 방법과 CSM은 비음 수의 결정변수로 설정된 선형제약 조건에서 작동하는 반면, GRG 방법은 의사 결정 변수에서 상한 및 하한 경계를 갖는 비 선형 제약 조건으로 절차를 일반화한다.

따라서 GRG 방법은 본질적으로 기초의 체적을 최소화하 기 위한 convex simplex 방법의 일반화이다.(9)(10)(11)

SIMPLEX 방법과 비교할 때 GRG 방법은 비용 절감 대신 감소된 GRG방법을 사용한다. 독립변수는 GRG 방법의 경계 에 있을 필요가 없으며, 반복되는 각 평가에서 값을 변경할 수 있다.

목적 함수는 독립 변수를 조정하기 위해 감소되며, 가용성 은 선형제약 문제를 목표로 하는 개발된 방법을 조정하기 위 해서 종속 변수를 포함하도록 유지되었다. 비선형 제약 조건 은 Newton-Raphson 방법을 사용하여 일반화 될 수 있으며, 기 본 변수의 변경과 변수 제거 공식을 사용하여 감소된 차원 차 감 벡터를 연속적으로 얻을 수 있다.

전단응력과 휨응력의 계산 비교를 통하여 대부분의 구간에 서 각각 발생하는 최대 모멘트의 크기를 같게 함으로써, 경계 조건의 위치에 의하여 발생하는 응력을 최소화하였다. 이동 하중에 의한 전단력과 전단응력의 최소화를 위해서는 하중 작용점 좌우의 전단력의 절대값의 크기가 같거나 최소화 되 도록 식 (12)와 같이 목적함수를 정하였다.

Fig. 5(a) Case I와 (b) Case II의 제약조건은 각각 최소부모 멘트 M-와 M+의 절대값이 같아지도록 설정하였다.

Fig. 5

Converged optimum locations for minimizing principal stresses in the block structure

CASE I에서 결정된 최적해에 대한 간단한 검증을 위하여, Appendix I와 같은 Visual Basic Application을 작성하여 x1을 0부터 140 mm까지 증가시키면서 하중(이동경계조건) 작용 점에 근접된 좌우측 전단력의 합력과 x1지점의 부모멘트와 x2지점의 정모멘트의 합력을 Fig. 6과 같이 나타내고, 각 위치 에서의 전단응력, 휨응력 및 주응력을 Fig. 7과 같이 구하였다.

Fig. 6

Variation of total shear forces and total bending moments (a) at x=x1, and (b) x=x2

Fig. 7

Found minimum principal stress on neutral axis and location x2 in CASE I via developed program

빗물저류블럭에서의 최소 주응력 발생을 위한 최적 위치 (x1)는 Fig. 5와 같이 CASE I에서는 x1=58.58 mm(폭 200 mm 의 29.29% 위치)로, CASE II에서는 x1=54.68 mm로 결정되었 으며, 이동위치별 전단응력과 휨응력 및 주응력(식 (13))을 구 하였다.

여기서, 휨응력 σ x = M   ·   y I ; M은 지반반력(w=2 N/mm, w2=3.105 N/mm)에 의한 모멘트, y는 중립축으로부터의 거 리, I는 단면2차모멘트, 전단응력 τ = V   ·   Q I   ·   b ; V는 지반반력 에 의한 전단력, Q_x는 중립축으로부터의 단면에 대한 단면1 차모멘트, b는 블록단면의 z축방향 폭의 길이이다.

응력의 연산과 최소주응력을 찾고, 연산후처리를 위하여 Visual Basic(Excel-VBA)를 이용하여 3.1절의 내용을 부록 1 과 같이 프로그래밍하였으며, Fig. 6에 보이는 바와 같이 x1지 점의 전단력과 전단응력을 최소화 시키는 위치는 100 mm (200 mm 길이의 50% 지점)이지만 휨응력의 최소화는 x1의 위치가 약 60 mm(200 mm 길이의 30% 지점)에서 발견된다. 전단력과 휨응력의 크기차이에 의하여 전단응력의 변화보다 휨응력의 변화가 중요함을 알 수 있으며, 전단응력과 휨응력 을 합성한 주응력의 최소값을 최적위치에서 계산하면, x1이 58.58 mm일 경우, Fig. 7과 같이 x2=80 mm일 때, 중립축에서 σ max = 0.004 M P a 이 확인된다.

2.4. CASE I에 대한 최적설계 결과 및 고찰

CASE I에서는 지반반력의 Saint-Venant효과가 없는 것으 로 가정하여 균일한 반력이 동일한 스프링계수를 사용하여 나타난 것으로 근사화한 모델이었다. 빗물저류를 위한 빈 공 간의 확보설계가 연구목적이므로 단면내에서의 전단응력, 휨 응력과 주응력에 대한 계산을 통하여 단면내부에서의 정확한 공간 위치의 결정이 필요해진다.

그러므로 개발된 x축상 하중 이동에 의한 단면내 응력평가 프로그램(Appendix I)을 이용하여 Fig. 8~10과 같이 응력을 계산하고 단면내에서의 최소응력지점을 파악하였다. 그 결과 Fig. 10의 단면내 주응력도애서 최적하중위치(x1)에 의한 최 소응력발생지점(x2)는 140 mm 지점으로 결정되었고, 중립축 위치로 결정되었다.9

Fig. 8

Variation of shear stresses in sections(x axis varies from 0 to 100 mm)

Fig. 9

Variation of bending stresses in sections(x axis varies from 0 to 100 mm)

Fig. 10

Variation of principal stresses in sections(x axis varies from 0 to 100 mm)

x2지점(80 mm, x1+x2=140 mm)은 최대정모멘트 발생지점 으로 단면내 상하단에서는 최대응력이 발생하지만, 중립축에 서는 휨응력이 0이 되므로, 전단력보다 상대적으로 크게 발생 하는 휨응력의 최소위치의 주변에서 주응력의 최소위치가 발 견된다.

2.5. CASE II 최적설계결과의 검증

하중과 반력의 응력집중을 고려하는 경우에, 블록의 위치 별 주응력평가에 의한 최소주응력의 발생위치는 Fig. 11과 같 이 CASE II에서 좌측끝단에서 137.63 mm(폭 200 mm의 69% 위치)로 결정되었다.

Fig. 11

Found location and distribution of reactions for CASE II

앞 절에서 논의된 이동하중에 의한 주응력의 최소값 위치 결정은 임의의 강성과 스프링상수를 입력하여 재료 및 지반 경계조건에서 독립된 위치결정방법이었다. 실제 지반 또는 탄성매트 상의 빗물저류 보도블럭의 거동과 최소변형 발생위 치의 검증을 위하여 3차원 유한요소해석방법에 의한 설계결 과의 검증을 수행하였다.

100 mm×100 mm×200 mm의 크기를 가지는 가정된 보도블 럭을 5 mm의 정방형 솔리드 20×20×40=16,000개의 요소로 분할하고, 설계시 사용한 하중과 물성갑을 입력하였다. 스프 링과 측면 롤러경계조건은 폭(두께)방향의 양단 끝에 Fig. 12 와 같이 2열로 배열하였으며, 변형결과는 Fig. 13과 같다.

Fig. 12

Load, boundary conditions and reactions for the target structure

Fig. 13

Principal stresses of the walkway block

Fig. 13에서 보이는 바와 같이, CASE II에서 제시한 단면 중 립축상의 x2=137.63 mm와 매우 근접한 140 mm위치에서 전 체구조응답에서 최소변형이 발생하는 것이 확인되었다.

설계결과에서 제시한 x1=54.68 위치까지 압력하중을 재하 하였고, 2차원모델에서 가정된 힌지경계조건과 3차원모델에 서의 측면블럭과의 접촉면을 하부높이 1/2지점까지로 가정하 여 롤러경계조건의 차이로 인하여 3.7%의 오차가 발생하였으 며, 선형탄성해석에 의한 결과이므로 취성재료인 보도블럭의 소성변형과 균열발생시의 거동은 예측이 어렵지만, 균열의 발 생과 더불어 손상영역에서는 탄성계수가 급격한 감소를 하므 로, 빗물저류공간의 확보를 위한 본 연구의 최적설계 결과는 실제의 보도블럭에서도 적용이 가능할 것으로 판단된다.