2.1.1. 웨이블릿 변환

시간 영역 응답 신호 x(t)에 대한 연속 웨이블릿 변환은 다 음과 같이 정의된다(^{Chui, 1992}).

여기서, g(t)는 웨이블릿 기저함수, g^*(t)는 g(t)의 복소공액 (Complex Conjugation), a는 수축 계수(Dilatation Parameter), b 는 전이 계수(Translation Parameter)이다.

연속 웨이블릿 변환의 기본 개념은 응답 신호 x(t)를 웨이 블릿 기저함수를 사용하여 웨이블릿 계수 W g [ x ] ( a ,   b ) 로 분해 하는 것이며, 이렇게 분해된 웨이블릿 계수는 수축 계수 a 및 전이 계수 b에 대한 웨이블릿 기저함수와 대상 신호의 유사성 척도가 된다. 웨이블릿 변환은 시간-주파수 영역에서 일부 성 분만을 독립적으로 분석하는 것이 가능하다. 따라서 다자유 도 시스템은 시간-주파수 영역에서 주파수축에 대한 단자유 도 성분의 중첩으로 표현될 수 있다(^{Curadelli et al., 2008}).

본 연구에서는 주파수(하모닉) 분석에 가장 효과적인 것으 로 알려져 있는 Complex Morlet 웨이블릿을 적용하였으며, Morlet 웨이블릿의 기저함수는 다음과 같다(^{Kijewski and Kareem, 2003}).

여기서, ω_c는 Morlet 웨이블릿 기저함수의 중심주파수(rad/sec) 이다.

식 (2)의 Morlet 웨이블릿은 sine 함수와 cosine 함수로 구성 되어 있으며, 중심주파수 ω_c로 진동하는 가우시안-윈도우 푸 리에 변환이다. Morlet 웨이블릿의 기저함수는 수축 계수 a에 의해서 웨이블릿의 고유주파수가 변하게 되고, 수축 계수 a가 적용된 Morlet 웨이블릿은 푸리에 변환을 통하여 대상 신호의 고유주파수와 동일한 위치에서 연산된다. 식 (3)은 Morlet 웨 이블릿의 주파수 영역 함수를 보여주고 있다.

웨이블릿 변환은 시간 영역에서 계산하는 것보다 주파수 영역에서 계산하고 시간 영역으로 전환하는 것이 계산 과정 상 효율적이다. 식 (1)의 웨이블릿 계수 W g [ x ] ( a ,   b ) 가 주파수 영역 계산에서 각각의 유효한 값들로 평가되기 위해서 식 (3) 은 최대값으로 산정되어야 한다.

Fig. 1은 웨이블릿 변환 영역의 해상도를 보여주고 있으며, 하이젠버그의 불확실성 원리(Heisenberg’s Uncertainty Principle) 에 따라 시간 간격 Δt와 주파수 간격 Δf는 다음과 같이 표현 될 수 있다(^{Chui, 1992}).

여기서, Δt_g와 Δf_g는 각각 웨이블릿 기저함수 g(t)의 시간 간격과 주파수 간격이다.

식 (4), (5)에 따라 Fig. 1의 모든 해상도 셀에서 Δt와 Δf의 곱은 항상 일정하게 된다.

2.1.2. 웨이블릿 변환을 적용한 시스템 감쇠변수 평가

응답 신호의 포락선(Envelope)은 신호의 시간축에 대한 크 기 변화이다. 이러한 포락선은 로그 스케일 영역에서 직선으 로 표현될 수 있으며, 응답 신호의 포락선 기울기는 신호의 감 쇠비로서 평가될 수 있다(Hur and Santoso, 2009; ^{Kijewski and Kareem, 2003}; Slavic et al., 2003).

응답 신호에 대하여 sine 함수와 cosine 함수의 진동 성분이 제거된 신호 x(t)의 크기는 식 (6)과 같이 절대값으로 평가될 수 있고, 양변에 로그를 취하면 식 (7)과 같다.

여기서, A는 신호의 크기(Magnitude), ξ는 감쇠비이다. 식 (7)은 시간 t에 간한 1차 방정식이며, 이 식의 기울기를 고려하 면 다음과 같이 감쇠비를 평가할 수 있다.

2.2.1. 고유주파수 감소율 분석

일반적으로 공용구조물의 안전진단시 동적 재하시험에 의 한 가속도 응답신호의 고유주파수는 푸리에 변환을 통하여 분석되고, 이렇게 분석된 고유주파수는 구조물의 준공시 초 기 안전진단에 대한 고유주파수 또는 이전 안전진단에 대한 고유주파수와 비교됨으로써 구조물의 손상에 대한 평가가 수 행된다.

본 연구에서는 Fig. 2와 Photo 1에서 볼 수 있는 바와 같이 2 경간 ( 2 @ 7.95 m ) H-Beam 부재 ( H − 150 × 100 × 6 × 9 ) 에 대하 여 손상 전과 손상 후 수치해석과 실내실험을 각각 수행하였 다. 수치해석은 범용 구조해석 프로그램에 의해 수행되었고, St.1~St.14 모든 위치의 응답신호에 대하여 샘플링 주파수 200 Hz로 분석되었다. 실내실험은 초기변위에 대한 응답신호 를 측정하였으며, 이때 초기변위는 대상 경간 중앙에 인위적 인 강제 변위를 발생시킨 후 이를 제거함으로써 충격응답을 모사하였다.

Fig. 3과 4는 수치해석과 실내실험에 대한 St.3 응답신호의 푸리에 변환 결과를 보여주고 있으며, 손상 전과 손상 후에 대 한 고유주파수는 각각 7.959 Hz와 7.715 Hz로 분석되어 고유 주파수 감소율이 3.1%로 평가되었다. Table 1은 St.1~St.14의 모든 위치에 대한 고유주파수 분석 결과를 보이고 있으며, Fig. 5와 6은 각각 수치해석과 실내실험에 대한 고유주파수 분 석 결과를 보이고 있다. 수치해석 응답신호에 대한 손상 전후 고유주파수는 모든 위치에서 같은 값으로 분석되어 고유주파 수 감소율 3.1%를 확인할 수 있었지만, Fig. 6에서 볼 수 있는 바와 같이 실내실험에 대한 고유주파수 분석은 응답신호의 위치에 따라 다소 다른 값으로 분석되고 있다. Fig. 7에서 볼 수 있는 바와 같이 실내실험에 대한 고유주파수 감소율은 0~3.1%로 평가되고 있다. 대상 부재의 우측 경간에 대한 고유 주파수 분석시 손상 후 응답신호에 대한 고유주파수가 비교 적 높게 분석되어 감소율이 감소하는 경향을 보이고 있으며, 따라서 고유주파수에 의한 구조물 손상도 평가에 신뢰성을 떨어뜨리는 요인이 되고 있다. 2경간 연속보의 좌측 경간 손 상에 대한 우측 경간의 고유주파수 분석시 이러한 오차 발생 은 실제 공용구조물의 고유주파수 분석에서 흔히 발생될 수 있으며, 이는 고유주파수 분석에 의한 구조물 강성 감소율 평 가에 한계성을 나타내는 것으로 판단된다.

2.2.2. 감쇠비에 의한 분석

감쇠비를 통한 구조물 강성 감소율을 평가하기 위하여 2.2.1절과 같이 손상 전과 손상 후의 H-Beam에 대하여 수치해 석과 실내실험을 수행하고, 생성된 응답신호에 대하여 웨이 블릿 변환을 통한 감쇠비를 분석하였다. 서론에서 언급한 바 와 같이 웨이블릿 기저함수의 중심주파수는 전체 스케일의 1/2에 대응되는 주파수로 설정하였으며, St.1~St.14의 모든 위 치에 대하여 감쇠비를 분석하였다.

Table 2는 수치해석 응답신호에 대한 감쇠비 분석시 적용 된 조건을 나타내고 있으며, 웨이블릿 기저함수의 중심주파 수는 2.3rad/sec를 적용하였다. Fig. 8은 수치해석 응답신호 중 St.3 위치에 대한 웨이블릿 변환 등고선도를 보여주고 있으며, 스케일 25에서 웨이블릿 계수가 가장 큰 것을 알 수 있다. 이 러한 웨이블릿 변환 결과를 고려하여 손상 전과 손상 후에 대 한 수치해석 응답신호의 감쇠비를 평가하는 과정이 Fig. 9에 서 보여주고 있으며, 평가 결과 손상 전 감쇠비 0.00614와 손 상 후 감쇠비 0.00661로 분석되었다.

Table 3은 실내실험 응답신호에 대한 웨이블릿 변환시 적 용된 조건을 보여주고 있으며, 응답신호에 대한 1차 모드와 2 차 모드의 고유주파수가 각각 7.959 Hz와 12.109 Hz로 분석 되었다. Fig. 10은 실내실험 응답신호에 대한 웨이블릿 변환 결과를 보여주고 있으며, St.5 위치에 대한 감쇠비 분석 결과 인 Fig. 11에서 볼 수 있는 바와 같이 손상 전과 손상 후에 대한 감쇠비는 각각 0.00595와 0.00667로 분석되었다.

Table 4는 St.1~St.14의 모든 위치에 대한 감쇠비 분석 결과 이며, Fig. 12에서 볼 수 있는 바와 같이 수치해석 응답신호에 대한 감쇠비 증가율은 7.0~7.1%로서 비교적 일정하다. Fig. 13과 14는 실내실험 응답신호에 대한 감쇠비 분석 결과와 감 쇠비 증가율을 각각 보여주고 있으며, 우측 경간에 대한 감쇠 비가 좌측 경간 감쇠비의 1/2정도로 분석되고 있음을 알 수 있 다. 또한 감쇠비 증가율 역시 우측 경간에서 작게 분석되고 있 다. 감쇠비는 구조물의 동적 고유 특성으로서 2경간 연속보에 서도 고유한 값으로 평가되어야 한다. 그러나 실내실험 결과 에 따르면 두 번째 경간에서 오차가 상당히 크게 분석되고 있 으며, 2.2.1절의 고유주파수 분석 결과와 유사하게 나타나고 있다. Fig. 14에서 볼 수 있는 바와 같이 St.2와 St.3에서 감쇠 비의 증가율이 가장 크게 나타나며, 이는 손상 위치와 동일함 을 알 수 있다. 따라서 감쇠비 증가율 분석을 통하여 손상 위치 에 대한 추정도 가능할 것으로 예상되며, 이는 향후 지속적인 연구를 통하여 규명될 것이다. Table 4에서 볼 수 있는 바와 같 이 실내실험에 대한 최대 감쇠비 증가율은 14%이다. Table 1 의 최대 고유주파수 감소율 3.1%와 비교해 볼 때 구조물에 대 한 손상도 추정은 고유주파수에 의한 방법보다 감쇠비에 의 한 방법이 좀 더 신뢰성 있는 결과를 보여줄 것으로 판단된다.

2.2.3. 비교 분석

시스템의 손상도 평가는 손상으로 인하여 구조적 강성이 감소하게 되면 외부하중으로 인한 응답신호가 손상전과 달라 진다는 점을 이용하는 것이다. 구조물의 손상으로 인하여 달 라지는 대표적인 변수는 모드 변수가 고려될 수 있다. 모드 변 수에는 구조물의 고유주파수, 감쇠비, 모드형상 등이 포함되 며, 이러한 모드 변수를 손상 평가에 이용하는 모드해석법의 단점 중 하나는 모드 변수가 구조물의 작은 손상에 대하여 많 은 변화를 보이지 않아 민감하지 않다는 것이다. 본 연구에서 는 이러한 단점을 극복하고자 푸리에 변환에 의한 고유주파 수 감소율과 웨이블릿 변환에 의한 감쇠비 증가율을 비교 분 석함으로써 응답신호에 의한 구조적 손상도 평가에 신뢰성을 높이고자 하였다.

Table 5에서 볼 수 있는 바와 같이 대상 H-Beam의 동일한 손상에 대하여 고유주파수 감소율은 3.1%로 분석되었고, 감 쇠비 증가율은 14%로 분석되었다. 따라서 감쇠비 증가율이 고유주파수 감소율에 비해 좀 더 민감한 결과를 보여주고 있 으며, 구조 시스템의 손상도 분석시 고유주파수 분석과 더불 어 감쇠비 분석을 추가 수행하면 좀 더 신뢰성 있는 결과를 나 타낼 수 있을 것이다. Fig. 15에서 볼 수 있는 바와 같이 감쇠비 증가율에 대한 수치해석 결과 7.1%와 실내실험 결과 14%의 차 이가 상당히 큰 것을 알 수 있다. 이는 프로그램에 의한 수치해 석시 가정된 수학적 이론과 실제 현상과의 차이로 보이며, 또한 실내실험에 대한 부재의 상향 진동은 균열 닫힘 현상이 발생되 지만, 수치해석은 요소 접촉(Contact)에 대한 고려가 되지 않아 균열 닫힘 현상을 구현할 수 없기 때문인 것으로 판단된다.