2.1. 기존 유한요소모델개선 기법

기존의 유한요소모델개선기법은 1) 상시진동시험을 수행 하여 구조물의 동특성을 추정(^{Brincker et al., 2001})하고, 2) 유 한요소모델의 동적해석으로 계산된 동특성을 이용하여 아래 식 (1)(단, 기존의 방법은 γ=0)과 같이 목적함수를 구성하고, 3) 목적함수가 최소로 평가되도록 물성치를 최적화한다. 유한 요소모델개선의 최적화에 주로 사용되는 알고리즘은 심플렉 스방법(Nelder-Mead Simplex Method)(Nelder and Mead, 1964), 유전자알고리즘(Genetic Algorithm, GA)(^{McCall, 2005}) 등이 사용된다. 최근에는 동특성에 더해 정적응답 항을 목적함수 에 추가하여(식 (1), γ ≠1) 유한요소모델을 개선하는 연구가 시도되었다(Jung and Kim, 2013; ^{Xiao et al., 2014}).

여기서, α, β, γ는 물리량별 가중치로써 0≤α,β,γ≤1, α+β+γ=1이다. ω i m 와 ω j d 는 각각 i-번째 모드와 j-번째 계측 변위의 가중치로써 ∑ i = 1 N ω i m = ∑ j = 1 M ω j d = 1 이다. f i F E M ,   Φ i F E M ,   f i EXP , Φ i EXP 는 각각 유한요소모델로부터 계산된 i-번째 모드의 고유 진동수, 모드형상, 실험으로부터 추정된 i-번째 고유진동수, 모드형상이다. MAC은 Modal Assurance Criterion이다. y j F E M ,   y j EXP 는 각 각 j-번째 하중 경우에 대한 유한요소모델로부터 계산된 정적응답, 실험으로부터 계측된 정적응답이다. N은 사용된 모드의 개수, M은 사용된 하중 재하 위치의 개수이다.

2.2. 인공신경망을 이용한 구조물의 경계조건 추정

지점부의 구속효과는 경계조건의 열화와 측방유동 등이 원 인이 될 수 있다. 지점부의 구속효과는 구조계를 변화시켜 처 짐 감소, 지점부 회전변위 감소 등 구조물의 응답을 변화시킨 다. 널리 사용되는 동특성 기반 유한요소모델개선 기법은 지 점부의 회전 스프링 강성과 고유진동수의 관계로부터 경계조 건의 추정이 가능하다. 그러나 다른 개선변수와의 동조 때문 에 경계조건의 정확한 추정이 어렵다.

이러한 한계를 개선하기 위하여 구조물의 응답비와 지점부 회전 스프링 강성의 관계를 이용하여 경계조건을 추정하는 방법이 사용되었다(^{Park et al., 2017}). 지점부의 구속효과는 지점부의 회전 스프링을 모델링한 후 회전 스프링 강성의 증 가로 모사가 가능하다. 임의의 하중이 구조물의 임의의 지점 에 재하 되었을 때 발생하는 지점부의 회전변위(θ)와 처짐(δ) 의 비(δ/θ)는 회전 스프링 강성(K_rot)과 선형관계를 보인다. 단 순보의 경우 δ/θ와 K_rot가 완전한 선형관계를 보이지만, 복잡 한 구조물의 경우 δ/θ가 K_rot가 대체적으로 선형관계를 보이 지만 약간의 비선형성이 포함된다. 복잡한 구조물의 K_rot 추 정에 선형보간법을 사용하는 경우 정확한 추정이 어렵다. 본 논문에서는 δ/θ와 K_rot의 비선형성을 고려할 수 있는 인공신 경망 기법을 이용하였다(Fig. 1).

Fig. 1

Architecture of neural network

2.3. 경계조건을 고려한 유한요소모델개선 기법

인공신경망으로 구조물의 경계조건을 추정하는 기법은 지 점부 회전 스프링 강성만을 개선하므로 경계조건 이외의 구 조 물성치를 개선할 수 없는 한계가 있다. 이를 개선하기 위하 여 경계조건이 추정된 유한요소모델을 구조물의 동특성으로 개선하는 방법을 제안하였다.

본 논문에서 제안하는 유한요소모델개선 기법은 1) 구조물 의 실측 처짐과 회전변위의 비를 이용하여 지점부 회전 스프 링 강성을 추정하고, 2) 지점부가 개선된 유한요소모델과 상 시진동시험으로부터 추정된 동특성을 이용하여 구조 물성치 를 최적화하여 유한요소모델을 개선하는 방법이다(Fig. 2).

Fig. 2

Proposed FEMU method

3.1. 유한요소모델

제안된 유한요소모델개선 기법을 검증하기 위하여 수칙해 석을 수행하였다. 수치해석 대상 구조물은 21개의 절점과 20 개의 빔 요소로 이루어진 단순보이며, 단면의 폭과 높이는 각 각 1 m이다.

목표 응답을 생성하기 위하여 초기 유한요소모델의 지점부 회전스프링 강성(K_A, K_B)과 보의 휨 강성(EI_Beam)을 특정 값으 로 조정하였다. 정적해석은 단순보의 경간 중앙에 100 tonf의 정 적하중을 재하하고 응답을 계산하였으며, 동적해석은 고유치해 석을 수행하여 단순보의 고유진동수를 계산하였다(Table 1).

3.2. 모델개선 변수의 민감도 분석

유한요소모델개선 전 단순보의 모델개선변수들과 고유진 동수 간의 관계를 파악하기 위하여 민감도 분석을 수행하였다.

양단 지점부의 회전 스프링 강성의 변화에 따른 고유진동 수의 변화는 Fig. 4에 나타내었다. 대상 구조물은 단순보이므 로 양단의 지점부 스프링 회전 강성의 변화에 따른 고유진동 수의 변화가 동일하다. Fig. 3의 Section A는 지점부 회전 스프 링 강성이 1 N-m/rad ~ 1e7 N-m/rad 사이인 경우로 지점부가 롤러, 힌지와 같은 가동단으로 작동하며, 지점부 회전 스프링 강성이 10배씩 증가할 때 1차 ~ 3차 휨 모드의 고유진동수의 증가 비율은 1% 이하로 민감도가 매우 낮다. Section B는 지 점부 회전 스프링 강성이 1e7 N-m/rad ~ 1e12 N-m/rad 사이이 며 지점부 회전 스프링 강성이 증가함에 따라 지점부가 가동 단에서 고정단으로 변화되는 단계이다. 지점부 회전 스프링 강성 10배씩 증가할 때 1차 ~ 3차 휨 모드의 고유진동수의 증 가 비율은 최대 28%로 민감도가 매우 높다. Section C는 지점 부 회전 스프링 강성이 1e12 N-m/rad ~ 1e15 N-m/rad 사이인 경우로 지점부가 고정단으로 작동하며, 지점부 회전 스프링 강성 10배씩 증가할 때 1차 ~ 3차 휨 모드의 고유진동수의 증 가 비율이1% 이하로써 민감도가 매우 낮다. 이러한 결과로부 터 지점부 회전 스프링 강성의 개선 범위는 수렴성을 높이기 위하여 Section B 보다 좁은 1e8 N-m/rad 이상, 1e11 N-m/rad 이하로 결정하였다.

Fig. 3

FE model of simple beam

Fig. 4

Rotational spring constant vs. natural frequencies

빔의 휨 강성의 경우, 강성이 10% 증가면 1차 ~ 3차 휨 모드 의 고유진동수가 동일하게 4 ~ 5%씩 증가하였다. 빔의 휨 강 성의 변화에 따른 고유진동수의 변화는 Fig. 5에 나타내었다.

Fig. 5

Flexural rigidity of beam vs. natural frequencies

휨 강성의 개선 범위는 0.7 이상, 1.3 이하로 결정하였다.

3.3. 유한요소모델개선

기존 기법과 제안된 기법의 비교를 위하여 유한요소모델개 선을 수행하였다. 최적화 알고리즘은 유전자알고리즘이 사용 되었으며 기존 기법과 제안된 기법 모두 동일한 조건을 설정 하여 최적화를 수행하였다.

3.3.2. 제안된 유한요소모델개선 기법

제안된 기법을 이용한 유한요소모델개선은 먼저 처짐, 양 단 지점부 회전변위를 인공신경망의 입력 데이터로 사용하여 양단 지점부 회전 스프링 강성을 추정하고 초기 유한요소모 델에 적용하였다. 다음 단계에서는 지점부가 개선된 유한요 소모델의 보의 휨 강성만을 모델개선변수로 선정하여 3개의 고유진동수로 구성된 목적함수의 최적화를 수행하였다.

먼저 인공신경망을 이용한 지점부 회전 스프링 강성 추정 을 위하여 정적해석을 수행하고 처짐과 회전변위를 계산하였 다. 인공신경망 학습에 사용된 데이터 세트는 총 200개 이며 그 중 70%는 훈련 데이터 세트, 15%는 검증 데이터 세트, 그 리고 나머지 15%는 테스트 데이터 세트로 사용하였다. 데이 터 세트는 시드(Seed) 값이 0인 메르센 트위스터(Merenne Twister) 난수 생성기를 이용하여 생성된 200개의 양단의 지 점부 회전 스프링 강성 값과, 이를 적용한 각각의 유한요소모 델의 정적해석으로 계산된 응답으로 구성된다.

인공신경망을 이용한 회전 스프링 강성 추정 결과의 상세 는 Table 2에 나타내었다. 10회 반복 추정된 회전 스프링 강성 의 평균값과 목표 값의 오차는 4% 이하였다. 추정된 회전 스 프링 강성의 변동계수는 0.03으로서 지점부 회전 스프링 강성 을 균일하게 추정하는 것으로 판단된다. 추정된 회전 스프링 강성의 평균값들을 초기유한요소모델에 적용한 후, 정적해석 과 동적해석을 수행하여 계산된 응답의 상세는 Table 4에 나 타내었다. 계산된 응답과 목표 모델의 응답 간의 최대 오차는 8%이었다.

Table 2

Estimated rotational spring constant by N.N.

Rotational spring constant	KA(N-m/rad)	KB(N-m/rad)
Avg.(relative error)	2.89e9 (-3.67%)	8.31e9 (2.75%)
Std.	8.70e8	2.59e8
C.V.	0.03	0.03

지점부가 개선된 유한요소모델을 3개의 휨 모드의 고유진 동수로 구성된 목적함수를 최적화하여 유한요소모델개선을 수행하였다. 개선된 유한요소모델의 개선변수 개선결과는 Table 3에 나타내었다. 제안된 기법으로 추정된 모든 변수들 과 목표 모델의 변수 간의 오차는 최대 4% 이하로 관찰되어 모든 개선변수가 목표 변수 값을 잘 추정하는 것으로 판단된 다. 제안된 기법으로 개선된 유한요소모델의 정적해석과 동 적해석의 결과는 Table 4, Figs. 6과 7에 나타내었다. 계산된 응답과 목표 모델의 응답 간의 최대 오차는 3% 이하로써 개선 된 유한요소모델이 목표 유한요소모델의 거동을 잘 모사하는 것으로 판단된다.

Fig. 6

Comparison of static responses

Fig. 7

Comparison of dynamic responses

기존 기법은 정확한 개선변수의 추정이 어려우므로 지점부 경계조건의 불확실성 규명과 정적응답의 정확한 추정이 어려 운 것으로 판단된다. 반면 제안된 기법은 개선변수의 정확한 추정이 가능하여 경계조건의 불확실성 규명이 가능하고, 정 적응답과 동적응답의 정확한 추정이 가능한 것으로 판단된 다. 또한 기존 기법은 지점부 회전스프링 강성의 변동계수가 크게 산정되고, 균일한 결과를 산정하지 못하는 불량조건문 제로 보인다. 제안된 기법은 지점부 경계조건의 불확실성을 제거함으로써 개선변수들이 균일하게 추정되고, 균일한 결과 가 산정 되었다.