1. 서 론

전통적으로 기둥은 Euler(¹⁷⁵⁹)의 이론을 기초로 연구가 진행되었다. 19세기에 들어와 단주의 시험결과가 오일러공식 과 맞지 않자 Considere(1891)와 Engesser(¹⁸⁸⁹)는 오일러이 론은 탄성영역에만 해당한다는 결론에 도달하고 오일러공식 을 비탄성영역에도 적용할 수 있도록 유효탄성계수이론을 제 시했다. 그 후 Kármán(1910)의 이중탄성계수이론, Shanly(1947) 의 접선탄성계수이론 등 유효탄성계수에 대한 연구가 진행되었 다. 1900년대 중반부터 Bleich(¹⁹⁵²), Hoff(¹⁹⁵⁴), Johnston(¹⁹⁶⁶) 등에 의해 비탄성좌굴의 연구결과를 토대로 기둥강도곡선을 통한 설계기준에 대한 연구가 진행되었다.

초기 기둥강도곡선은 Fig. 1과 같이 탄성영역과 비탄성영 역의 구분을 좌굴에 의한 파괴와 재료항복에 의한 파괴로 구 별하였다. 그러나 세장비가 충분히 작은 기둥도 항복점보다 상당히 작은 응력에서 좌굴을 일으키는 경향을 발견하고 1950년 미국 리하이대학의 연구는 그 이유가 잔류응력 때문 이라는 사실을 알았다. 그 후 Beedle과 Tall(¹⁹⁶⁰)이 압축재의 거동에 영향을 미치는 잔류응력의 영향을 정확히 설명하였 다. 이 후 최근까지 잔류응력과 기둥의 좌굴에 대한 연구는 꾸 준히 진행되어왔다.

CRC(Column Research Council)는 오일러 곡선을 기초로 접선탄성계수이론을 이용하여 CRC기둥강도곡선을 제안하 고 있다. CRC는 H-형강단면의 최대압축 잔류응력 크기를 0.5 σ_y 로 가정하여 기둥강도곡선과 접선탄성계수 E_t를 제안 하고 있는데 이는 실제로 알려진 최대 압축 잔류응력의 크기 가 0.3 σ_y 인 경우 보다 다소 보수적이다. 본 연구는 H-형강단 면의 최대 압축 잔류응력의 크기를 0.3 σ_y 으로 고려하여 그에 따른 기둥강도곡선과 접선탄성계수 E_t를 제안하고 이를 CRC 에서 제안하고 있는 값들과 각각 비교 고찰한다.

축 압축력을 받는 비탄성 기둥은 기둥에 작용하는 하중이 좌굴하중에 이르기 전에 기둥의 응력은 재료의 비례한도를 넘어 항복점에 도달할 것이다. 이때 기둥의 항복강도는 잔류 응력의 크기와 분포에 의해 좌우되는데, 알려진 바와 같이 열 압연 강재의 잔류응력의 분포는 플랜지 외측에서 내측에 이 르기까지 직선으로 변한다고 가정하고 있다. 따라서 비탄성 기둥은 외력에 의한 웅력의 크기가 σ = 0.5 σ_y 또는 σ = 0.7 σ_y 에서 플랜지 외측이 항복하기 시작하여 하중이 증가함에 따 라 점차적으로 항복하므로 단면의 항복 변화상태에 따른 기 둥강도곡선을 검토할 필요가 있다. 본 연구는 최대 압축 잔류 응력 σ_r = 0.5 σ_y 을 사용하여 재료의 항복에 따른 임계하중 곡 선식을 유도하고 이를 CRC기둥강도곡선과 비교 고찰한다.

2. 기둥의 비탄성 좌굴하중

비탄성거동을 하는 단주의 임계하중은 아래 식 (1)과 같이 오일러 식에서 일반상수인 탄성계수 E를 좌굴발생시 응력에 따라 변하는 유효탄성계수 E_e로 바꿔 놓으면 오일러 공식을 적용할 수 있다.

유효탄성계수 E_e에 대한 연구는 오래전부터 진행되어왔는 데 Engesser(¹⁸⁸⁹)는 접선탄성계수를 비탄성좌굴의 정확한 유효탄성계수로 제안하였다. 그 후 기둥이 휘기 시작할 때 기 둥의 오목한 측의 응력은 접선탄성계수에 따라 증가하고 볼 록한 측에서의 응력은 탄성계수에 따라 감소할 가능성이 있 다고 주장한 Considére(1891)이론을 바탕으로 이중계수이론 (double modulus theory)이 유효탄성계수를 유도하는데 활용 되었다. 그러나 1947년 Shanley(¹⁹⁴⁷)는 결과적으로 정접탄 성계수가 정확한 유효탄성계수라고 결론지었다.

접선탄성계수에 의한 임계하중은 Fig. 2와 같은 상태에서 힘의 평형방정식을 이용하여 유도 되는데 오일러 식에서 접 선탄성계수를 사용한 것과 같다.(2)(2)

이 식을 이용한 임계하중은 이중계수이론에 비하여 좌굴하 중치가 작게 되고 시험결과와도 잘 일치한다. 이들 두 이론의 장단점에 대한 논쟁은 아직도 계속 되고 있긴 하지만 이런 이 유로 정접탄성계수 이론이 비탄성 좌굴의 정확한 이론으로 받아들여지고 있다.

3. CRC기둥강도곡선 과 접선탄성계수 Et

CRC는 탄성기둥의 강도는 Euler(¹⁷⁵⁹)식을 따르고, 비탄 성기둥의 강도는 Bleich(¹⁹⁵²)가 제안한 포물선식에 잔류응 력을 0.5 σ_y 로 고려하여 다음 식(3), 식(4)와 같이 CRC기둥강 도곡선식과 CRC접선탄성계수 식을 제안하고 있다. 이 식을 각각 도표로 나타내면 Fig. 3 및 Fig. 4와 같다.

CRC기둥강도곡선 식(3a)(3b)

CRC접선탄성계수 식(4a)(4b)

4. 잔류응력 0.3 σ y 일 때 CRC기둥강도곡선

CRC는 탄성거동을 하는 기둥강도곡선식은 잘 알려진 Euler 의 공식 P c r = π 2 E I / l 2 을 따르는데 이 식에서 I = A r² 로 놓 고 세장비에 대한 무차원 형태로 나타내면 아래 식 (5)와 같다. 이 식에서 λ_c 는 세장변수로서 λ c = l γ σ y π 2 E 이다.

한편, 비탄성 거동을 하는 기둥에 대하여 CRC가 채택한 Bleich(¹⁹⁵²)의 포물선 식은 아래 식 (6)과 같다.

이 식 (6)에서 A와 B 는 l/r = 0 에서 σ_cr = σ_y라는 경계조 건과 비례한도 σ_y - σ_r에서 포물선이 오알일 곡선과 만나야 된다는 연속조건으로 구해지는데 그 결과는 식 (7)와 같다.

위 식 (7)은 CRC기둥강도곡선에서 잔류응력을 고려한 비탄성 영역의 일반식이다. 이 식에서 구조용 강재의 플랜지내 최대 압 축잔류응력의 크기를 일반적으로 알려진 값 σ_r = 0.3 σ_y 으로 적용하면 식 (8)과 같이 정리되어 A = σ_y 및 B = 0.21 σ y 2 / π 2 E 의 결과가 나왔다.

응력 단위로 표현된 위의 식 (8)을 하중단위로 변환하고 세 장변수 λ c = l r σ y π 2   E 를 사용하여 다시 표현하면 아래 식 (9)가 된다.

탄성거동을 하는 기둥에 대한 식 (5)와 비탄성거동을 하는 기둥에 대하여 σ_r = 0.3 σ_y 로 두고 정리한 식 (9)를 함께 정리 하면 식 (10)이 된다. 여기서 잔류응력의 크기가 항복강도의 30%이기 때문에 탄성거동과 비탄성거동의 경계는 P c r = 0.7 P y 가 된다. 이 값에 해당되는 세장비 λ_c는 1.195로서 이 값보다 작은 경우 비탄성거동영역이다.(10a)(10b)

한편, σ_r = 0.3 σ_y 에 대한 CRC접선탄성계수 식은 축 하중 을 받는 짧은 기둥(stub column)의 응력-변형율 곡선에서 임 계응력점 σ_cr 의 접선 기울기로 나타내는데 다음과 같다.

여기서 P>0.7P_y 범위, 즉 λ_c ≤ 1.195 인 비탄성 구간은 λ c 2 = 4.762 ( 1 − P c r / P y ) 이므로 이를 식 (11)에 대입하여 정리 하는 과정은 아래 같고 그 결과를 탄성구간 식과 함께 정리하 면 좌굴하중에 따른 접선탄성계수 E_t는 식 (12)와 같다.(12a)(12b)

잔류응력의 크기를 σ_r = 0.5 σ_y 와 σ_r = 0.3 σ_y 로 각각 다르 게 가정했을 때 그에 따른 임계하중을 나타내는 식 (3)과 식 (10)를 비교하기 위하여 두 식을 함께 그래프로 표현하면 Fig. 5와 같이 CRC기둥강도곡선을 얻을 수 있다. 또한 같은 경우 의 접선탄성계수 비를 비교하기 위하여 식 (4)와 식 (12)를 함 께 그래프로 표현하면 Fig. 6과 같다.

구조용 강재의 플랜지 내 최대 압축잔류응력은 σ_r = 0.3σ_y 정도로 알려 있지만 CRC는 이 보다 더 보수적인 σ_r = 0.5σ_y 에 해당하는 곡선을 채택하고 있다. Fig. 5에 나타난 바와 같이 잔류응력을 σ_r = 0.5σ_y 로 놓으면 임계하중이 더 보수적이지 만 탄성구간과 비탄성구간이 만나는 점에서 더 좋은 곡선의 연속성을 얻을 수 있다. Fig. 5의 σ_r = 0.3σ_y 인 경우 탄성구간 과 비탄성구간이 만나는 점에서 꺽이는 점이 발생한다. CRC 기둥강도곡선은 σ_r = 0.5σ_y 을 사용함으로써 매끄러운 곡선 을 얻을 수 있다는 점 외에, 좌굴의 방향이 강축과 약축에 따라 임계하중 값이 달라진다는 점을 수용하고 있다. 강축좌굴과 약축좌굴에 따른 기둥강도곡선의 변화를 검토한다.

5. 이상적인 I형 단면의 약축좌굴과 강축좌굴에 따른 기둥강도

열-압연 강 압축부재의 강축좌굴과 약축좌굴의 영향을 알 아보기 위하여 기둥강도곡선에서 비탄성좌굴에 관한 Yang, Beedle 및 Johnson(1952)의 이론을 기본으로 한다. 이들은 부 재가 좌굴을 시작할 때 단면내에 변형률 전도현상이 일어나 지 않는다는 Shnley(1947)이론을 바탕으로, 강재기둥에서 좌 굴시 변형률 전도현상이 없다는 것은 변형된 부재의 내부 저 항모멘트가 단면의 탄성부분에만 관계된다고 관찰하였다.

이 이론은 비탄성범위의 임계하중을 식 (13)과 같이 오일러 하중에서 전단면에 대한 단면2차모멘트 I를 단면의 탄성부분 에 해당하는 단면2차모멘트 I_e로 바꾸어 놓고 있다.

이 식은 오일러 하중에 감소율 I_e/I 를 곱한 것과 같은데, 감 소율 I_e/ I 는 잔류응력분포상태, 부재의 단면 형태, 좌굴축 등 에 좌우된다.

Fig. 7과 같이 복부의 잔류응력의 영향을 무시하고 플랜지 내 잔류응력의 분포를 직선 분포로 가정한 이상적인 I 단면을 기초로 감소율 I_e/I 를 검토한다. 일반적으로 열간 압연강재 의 잔류응력의 실제 분포는 최대치가 0.3 σ_y 인 직선분포와 포 물선 분포의 중간 상태로 알려져 있다. 여기서는 직선분포로 가정하고 복부의 단면2차모멘트와 플랜지 자체의 도심축에 대한 단면2차모멘트는 무시한다.

Fig. 7과 같은 이상적인 I 단면에서 강축 X-X와 약축 Y-Y에 대한 좌굴하중 감소율 I_e/ I 는 아래 식 (14)와 같다.

강축 X-X

약축 Y-Y

여기서 τ = b f e / b f = A e / A 라고 하면 식(13)는 강축과 약축에 대하여 각각 식 (15)로 나타낼 수 있다.(15a)(15b)

식 (15)를 세장비에 대하여 무차원 그래프 형태로 나타내면 아래 식 (16)과 같이 강축과 약축에 대한 두개의 곡선을 갖는다.(16a)(16b)

여기서 τ = A e / A = b f e / b f 는 Fig. 7과 같이 이상적인 I 단면 에 잔류응력의 직선분포를 이용하여 해석적인 방법으로 결정 한다. 단면에 작용하는 축하중에 전체 단면적을 나눈 평균응 력 σ_A가 비례한도를 넘으면 단면의 일부는 소성, 일부는 탄성 으로 된다. 이 때 부재에 작용하는 전하중은 식 (17)과 같다.

여기서 σ₀는 플랜지의 중앙부의 응력인데 Fig. 7에서 보는 것과 같이 응력의 비례관계 에서σ₀ = σ_y - 2σ_r (b_e/b)이므로 이 관계식을 단면적에 대한 식 σ₀ = σ_y - 2σ_r (A_e/A)으로 변환하 여 위 식 (17)에 대입하여 정리하면 식 (18)이 되고, 식 (18)의 양변을 전체 단면적 2A로 나누어 응력으로 표현하면 식 (19) 가 된다.

한편 Fig. 2에서 보는 바와 같이 짧은 기둥의 응력-변형률곡 선은 평균응력에 대하여 변형율을 나타낸 것이므로(20)

로 나타난다. 이 관계를 E_t/E에 대한 함수로 바꾸면 E_t/E = A_e/A가 된다. 앞서 τ = A e / A = b f e / b f 로 정리하였는데 이 관계 를 식 (19)를 이용하여 다시 정리하면 τ는 아래 식 (21)과 같이 유효단면적에 대한 식 또는 접선탄성계수비에 대한 식 그리 고 응력에 대한 식으로 표현할 수 있다.

여기서 A_e 는 단면 항복 시 탄성영역 유효면적, A는 탄성거 동 유효면적, σ_A는 축하중에 의한 응력, σ_r은 잔류응력, σ_y는 항복응력, E는 재료의 탄성계수, E_t는 비탄성구간의 접선탄 성계수이다. 식 (16)과 식 (21)을 이용하면 강축좌굴과 약축좌 굴에 따른 기둥강도곡선을 얻을 수 있다.

비탄성영역의 강축좌굴과 약축좌굴에 대한 기둥강도곡선 을 구하기 위해 잔류응력 σ_r = 0.3 σ_y 에 대하여 n = σ_cr/σ_y으 로 놓고 식 (21)을 정리하면 식 (22)가 된다.

한편, 식 (16)의 강축좌굴과 약축좌굴에 대한 기둥강도곡선 식을 응력으로 바꾸어 λ에 대하여 정리하면 식 (23)이 된다.(23a)(23b)

좌굴하중의 변화에 따른 각각의 n = σ_cr/σ_y에 대하여 식 (22)와 식 (23)을 이용하여 τ와 λ를 계산하여 정리하면 다음 Table 1과 같고 이 표를 이용하여 강축좌굴과 약축좌굴에 대 한 비탄성영역의 기둥강도곡선을 그림으로 표현하면 Fig. 8 과 같다.

Fig. 8에서 보듯이 단면응력이 0.7σ_y 미만, 즉 λ > 1.195 영 역에서 기둥은 탄성거동을 하는데 이 때 기둥강도곡선은 오 일러 공식에 따라 계산된 곡선이다. 단면응력이 0.7σ_y 이상인 영역, 즉 λ < 1.195 에서 기둥은 비탄성거동을 하는데 이에 대한 강축과 약축 좌굴하중 곡선을 각각 나타내고 있다. Fig. 8 은 CRC기둥강도곡선을 함께 표현하고 있다. 앞서 기술했듯 이 CRC기둥강도곡선은 Bleich(¹⁹⁵²)가 제안한 식에 강재의 플랜지내 최대 압축 잔류응력을σ_r = 0.5 σ_y 로 고려하여 얻은 곡선이다. 일반적으로 CRC기둥강도곡선은 강축과 약축좌굴 사이의 절충안으로 추천되었다고 알려져 있는데 Fig. 8은 이 사실 잘 뒷받침해 준다.

같은 방법으로 σ_r = 0.5 σ_y 에 대하여 정리하면 Table 2와 같고 Table 2를 이용하여 강축좌굴과 약축좌굴에 대한 비탄성 영역의 기둥강도곡선을 그림으로 표현하면 Fig. 9와 같다.

Fig. 9는 탄성거동과 비탄성거동의 경계점을 단면응력이 0.5σ_y 가 되는 점으로 정하고 있다. 단면응력이 0.5σ_y 이상인 영역, 즉 λ < 1.195 에서 기둥은 비탄성거동을 한다고 가정하 여 강축좌굴하중과 약축좌굴하중에 대한 기둥강도곡선을 나타 내고 있다. 그림에서 보듯이 CRC기둥강도곡선이 강축좌굴 곡 선과 거의 일치하고 있다. 이는 Yang, Beedle 및 Johnson(1952) 의 이론을 기초로 한 단면항복에 따른 임계하중이 Bleich(¹⁹⁵²) 가 제안한 비탄성 좌굴이론을 기초로 계산한 임계하중과 잘 일치한다는 뜻이다. 이것은 비탄성기둥은 기둥의 재료항복하 중과 기둥의 휨을 발생시키는 좌굴하중 사이에 큰 차이가 없 다는 것을 말해준다.

6. 결과분석

일반적으로 구조용 강재의 플랜지 내 최대 압축잔류응력은 σ_r = 0.3 σ_y 정도로 알려 있지만 CRC는 이 보다 더 보수적인 σ_r = 0.5 σ_y 에 해당하는 곡선을 채택하고 있다. 본 연구는 구조 용 강재의 플랜지 내 최대 압축잔류응력의 크기를 σ_r = 0.3 σ_y 로 고려하여 비탄성 영역의 기둥강도곡선식과 접선탄성계수 식을 유도하였다.

여기에서 유도한 기둥강도곡선식과 CRC기둥강도곡선식 을 Fig. 5로 표현하여 비교하였다. Fig. 5에 나타난 바와 같이 CRC기둥강도곡선은 최대 압축잔류응력을 σ_r = 0.3 σ_y 로 고 려했을 때 보다 탄성구간과 비탄성구간이 만나는 점에서 더 좋 은 곡선의 연속성을 얻을 수 있다. 하지만 세장비가 λ = 1.195 인 점을 전후로 σ_r = 0.3 σ_y 로 고려한 기둥의 임계하중에 비 하여 약 8%정도 더 낮은 임계하중을 갖는다. 이것은 CRC기 둥강도곡선은 구조계의 골격이 되는 기둥부재의 중요성을 감 안해서 좀 더 보수적인 설계를 유도하고 있다고 볼 수 있다. 두 가지 경우의 임계하중 차를 정리하여 Table 3에 나타내었다.

한편, CRC기둥강도곡선은 강축좌굴과 약축좌굴에 따라 임계하중 값이 달라진다는 점을 수용해서 각각 좌굴방향에 따른 임계하중을 하나로 절충해서 제안하고 있다.

본 연구는 강축좌굴과 약축좌굴에 따른 기둥강도곡선식을 유도하고 그 결과를 Fig. 8과 Fig. 9로 표현하여 CRC기둥강도 곡선과 비교하였다.

Fig. 8에서 보듯이 CRC기둥강도곡선은 최대 압축 잔류응 력을 σ_r = 0.3 σ_y 로 고려하여 얻은 강축좌굴과 약축좌굴 기 둥강도곡선식을 하나로 절충해서 제안하고 있다는 점을 잘 뒷받침 해 준다.

Fig. 9는 최대 압축 잔류응력 σ_r = 0.5 σ_y 로 고려하여 비탄 성영역의 강축좌굴과 약축좌굴 기둥강도곡선식을 그림으로 표현하였다. Fig. 9에서 보듯이 CRC기둥강도곡선이 강축좌 굴의 곡선과 거의 일치하고 있다. 이것은 비탄성기둥은 기둥 의 재료항복하중과 기둥의 휨을 발생시키는 좌굴하중 사이에 큰 차이가 없다는 것을 말해준다.

7. 결 론

이상의 내용을 정리하면 다음과 같다. 일반적으로 구조용 강재의 플랜지 내 최대 압축잔류응력은 σ_r = 0.3 σ_y 정도로 알려져 있지만 CRC기둥강도곡선은 구조계의 골격이 되는 기 둥부재의 중요성을 감안해서 최대 압축 잔류응력의 크기를 σ_r = 0.5 σ_y 로 적용함으로써 좀 더 보수적인 설계를 유도하고 있다. 또한 이 값을 적용함으로써 CRC기둥강도곡선은 탄성 구간과 비탄성구간이 만나는 점에서 더 좋은 연속성을 나타 내고 있다.

CRC기둥강도곡선의 비탄성 영역은 점차적인 재료의 항복 에 따른 기둥강도곡선과 큰 차이가 없다. 이것은 축 압축력을 받는 비탄성 기둥의 응력은 기둥에 작용하는 하중이 좌굴을 일으키기 전에 재료의 비례한도를 넘어 항복점에 도달하기 때문이다.