2.1 구조물 신뢰성 공학

2.1.1 구조물의 신뢰도 개념

토목구조물의 신뢰성 공학의 도입은 구조물의 안정성 평가 에 적용되어 왔다. 구조물의 안정성 측면에서 바라 볼 때 신뢰 성 공학을 살펴보면 구조물에 가해지는 하중(하중 요소, load factor) L과 그에 저항하는 구조물의 저항 요소(resistance) R 로 표시되어 있으며 구조물의 안전(safety 또는 success)과 파 괴(failure)를 판단할 수 있는 설계 기준(design criterion) Z는 식 (1)과 같다(^{Yang et al., 1999}).

(1)

Z = R − L

식 (1)과 같은 설계기준식은 대부분 해석 대상이 되는 구조물 의 파괴 유형(failure mode)에 따라 유도된 식이므로 파괴 방정식 (failure equation), 한계 상태 방정식(limit state equation) 또는 안 전 여유(safety margin) 등으로 불려진다.

기존의 결정론적인 방법에서는 R과 L의 분산 특성을 무시 하고 대푯값 R과 L만을 고려하여 적당한 안전 계수 값 즉, 항 상 R이 L보다 큰 상태가 유지되는 수준을 택하여 파괴에 대 한 안전 여유를 두어 왔다. 이와 같은 방법은 R과 L의 분산 특 성을 고려하는 확률론적인 입장에서도 Fig. 2에서 확인할 수 있듯이 대푯값 R을 증가시키면 파괴 확률과 관계가 있는 R 과 L의 밀도 함수가 겹쳐지는 부분의 면적이 감소하게 되는 사실로도 그 유효성을 설명할 수 있다.

Fig. 2

Change of probability of failure due to change of mean

또한, Fig. 3에서 확인할 수 있듯이 R과 L의 대푯값 R과 L 이 일정하게 유지되어 동일한 안전 계수를 갖는 경우라 하더 라도, R이나 L의 분산 특성이 변함에 따라 파괴 확률도 달라 질 수 있다.

Fig. 3

Change of probability of failure due to change of variance

따라서, 구조물의 신뢰도를 합리적으로 평가하기 위해서는 단순히 설계 변수들의 대푯값만을 고려하는 것보다는 설계 변수들의 통계적인 분산 특성까지도 고려한 파괴 확률의 개 념을 이용하는 것이 더욱 설득력을 갖는다고 할 수 있다.

즉, 평균뿐만 아니라 분산의 영향도 구조물의 신뢰도를 결 정하는데 중요한 인자인 것이다. 따라서 구조물의 안정성 평 가를 위한 신뢰도 평가 식은 식 (2)와 같다.

(2)

β = μ Z σ Z = μ R − μ L σ R 2 + σ L 2

여기서, β는 신뢰도, μ_Z,μ_R, μ_L는 각각 설계기준, 저항요 소, 하중요소의 확률분포 평균, σ_Z, σ_R, σ_L는 각각 설계기준, 저항요소, 하중요소의 표준편차이다(^{Yang et al., 1999}).

2.1.2 안전계수에 의한 구조물 신뢰도

위에서 언급한 토목 구조물의 신뢰성 이론을 응용하여 안 전계수로 정립하면 식 (3)과 같다.

(3)

S . F = R L

여기서, S.F는 안전계수(안전율), R은 저항값(소요역 량), L은 하중(공급역량)이다.

안전계수에 대한 확률분포함수는 단일곡선 함수로 정규분 포함수이며 식 (4)와 같다.

(4)

F S . F = 1 σ S . F 2 π exp { − 1 2 ( s . f − μ S . F σ S . F ) 2 } d s . f

따라서, Fig. 4에서 보듯이 F_S.F (sf)인 S.F(안전계수) 성 분의 확률변수라고 하면, Z가 1보다 작게 될 확률인 파괴확률 은 식 (5)로 계산할 수 있다.

Fig. 4

Probability of Failure considering Safety Factor

(5)

P f = P [ S . F < 1 ] = F S . F ( 1 ) = ∫ − ∞ 1 1 σ S . F 2 π exp { − 1 2 ( s . f − μ S . F σ S . F ) 2 } d s . f

또한, 단일곡선의 확률밀도함수의 신뢰도는 식 (6)이 된다.

(6)

β = μ S . F σ S . F

2.2 취약도 점유율 산출

케이블 교량의 부재별 신뢰도와 식 (7)을 이용하여 취약영 향계수(Fragility Influence Coefficient)를 산출할 수 있다.

여기서, FIC_member는 각 부재별 취약영향계수, Σβ는 교 량 부재별 신뢰도의 합, β_member는 각 부재별 신뢰도이다.

또한, 취약영향계수를 활용하여 각 부재별 취약도 점유율 (Fragility Share) 을 산출할 수 있으며 식 (8)과 같다.

여기서, FS_member는 각 부재별 취약도 점유율, ΣIC는 교 량 부재별 영향계수의 합이다.

3.1 수치해석(안전율 산정)

본 연구에서 적용한 교량은 ○○대교로 자정식 현수교이 다. 크게 세 부분으로 나누면 접속교(시점부, 종점부)와 현수 교로 구분된다.

시점부 접속교는 7경간으로 우물통기초의 교각과 강상형 교의 상부구조를 취하고 있다(Fig. 5).

Fig. 5

Connecting bridge(START)

현수교는 자정식으로 우물통기초의 주탑과 강재로 이루어 진 보강거더의 상부구조이다(Fig. 6).

Fig. 6

Main bridge

종점부 접속교는 2경간 우물통기초(교각)와 강상형교(거 더)로 구성된 상부구조이다(Fig. 7).

Fig. 7

Connecting bridge(END)

적용지진하중(Fig. 8)은 도로교 설계기준(2016)의 직교 지 진력 조합에 따라 다음과 같이 조합하였다(^{MOLIT, 2016}).

Fig. 8

Input Spectral Data

Fig. 9는 ○○대교에 대한 3D 모델링 형상을 나타내며 경계 조건으로 교대부는 고정, 우물통 기초는 스프링계수를 적용 하였다. 스프링계수는 공내재하시험을 통해 얻어진 지반반력 계수를 근거로 산출하였으며 구조재료는 콘크리트와 강재로 서 각각 28,221Mpa(교각), 27,537Mpa(우물통), 210,000Mpa (강상형)의 탄성계수를 적용하였다.

Fig. 9

3D Modeling and Boundary condition

이러한 조건의 수치해석 절차는 Fig. 10과 같으며 자료수 집, 모델링, 계산을 통해 최종적으로 안전율(Safety Factor)를 산출하였다.

Fig. 10

Evaluation flow of Safety Factor

수치해석을 통해 공급역량과 변위를 확인하였고 지진에 대 한 주요모드의 변위형상은 Fig. 11과 같다.

Fig. 11

Main mode shape of Cable Bridge e.g.

주요부재에 대한 공급역량과 소요역량을 비교하여 안전율 을 산출한 결과는 Table 1과 같다.

Table 1

Safety factor by major members

3.2 신뢰도 평가

Fig. 12 ~ 17은 케이블 교량의 주요부재인 기초, 교각, 받침, 받침콘크리트, 보강형, 케이블에 대하여 안전율에 대한 확률 밀도함수(PDF)를 나타낸 것이며 이를 활용하여 각 부재에 대 한 신뢰도 및 파괴확률을 확인하였다. Fig. 13, 14, 15, 16

Fig. 12

Foundation PDF

Fig. 13

Pier PDF

Fig. 14

Shoe PDF

Fig. 15

Place concrete PDF

Fig. 16

Stiffening girder PDF

Fig. 17

Cable PDF

Table 2는 주요부재의 안전율에 대한 평균과 표준편차를 정리한 것이다.

Table 2

Mean and Standard deviation

Fig. 18에서 볼 수 있듯이 평균과 표준편차 모두 교각(8.30, 3.00)에서 가장 높았다. 안전율의 평균은 받침콘크리트(1.40) 가 가장 낮았으며, 표준편차는 케이블(0.18)이 가장 낮게 나 타났다.

Fig. 18

Mean and Standard deviation

Table 3은 주요 부재별 신뢰도와 파괴 확률을 정리한 것이 다. 신뢰도는 케이블이 10.46으로 가장 높았으며 받침이 2.19 로 가장 낮았다.

Table 3

Members of Failure and Reliability

Fig. 19는 신뢰도와 파괴확률를 선형그래프로 나타낸 것으 로 서로 역의 관계를 보여주고 있다.

Fig. 19

Probability of failure VS Reliability index

3.3 취약도 및 민감도 평가

Table 4는 주요 부재에 대한 신뢰도를 근거로 하여 산출된 취약 영향계수(FIC) 및 취약도 점유율(FS)를 정리한 것으로 높을수록 지진에 취약하다는 것을 의미한다. Fig. 20은 취약 영향계수(FIC)의 그래프로 받침이 가장 높게 나타났다.

Table 4

Fragility Influence Coefficient and Fragility Share

Fig. 20

Fragility influence coefficient

산출된 취약도의 검증을 위해 주요부재에 대한 민감도를 확인 하였으며 매개변수로는 지진하중과 안전율을 대상으로 검토하였다. Fig. 21은 이를 나타낸 토네이도 다이어그램으로 취약도 지수(FIC)와 민감도의 경향이 서로 유사한 것으로 나 타났다.

Fig. 21

Tornado Plot – Sensitivity of members