2.1 주파수영역 분해법을 이용한 주파수 분석

이 연구에서는 최소자승법(least-square method)과 주파수영 역분해(FDD, frequency domain decomposition) 방법(^{Brinker et al. 2000})을 기반으로 제안된 LS-FDD 방법(^{Yi et al., 2013})을 이 용하여 풍력터빈의 모드를 분석하였다. FDD 방법은 구조물에 작용하는 하중이 비교적 넓은 주파수 영역에서 일정한 주파수 성분을 가지고 있을 때 다음 식 (1)과 같이 구조물 응답의 PSD(power spectral density) 함수(G_yy (ω))를 특이치 분해 (singular value decomposition)함으로써, 근사적으로 주파수 응 답함수(FRF, frequency response function)를 구할 수 있고, 이로 부터 모드형상이나 고유주파수 등을 구할 수 있다는 사실에서 출발하고 있다. 여기서, 고유주파수는 대각행렬인 특이치 행렬 (Σ(ω))의 첫 번째 특이치(σ₁)의 정점(peak)을 읽음으로써 구할 수 있는데, 이는 첫 번째 특이치의 형태가 고유주파수를 중심으 로 단자유도 시스템의 주파수 응답함수와 근사적으로 일치하기 때문이다(^{Yi et al., 2013}).

여기서, H(ω)와 G_xx (ω)는 각각 주파수 응답함수 및 입력하 중의 PSD 함수이며, U(ω)와 Σ(ω)는 각각 특이치 분해에 의 한 유니터리(unitary) 행렬 및 특이치 행렬이다. LS-FDD에서 는 FDD 방법을 이용하여 구한 i번째 모드를 고유주파수로 갖 는 단자유도 시스템의 FRF로부터 최소자승법을 이용하여 식 (2)의 FRF에 포함되어 있는 μ_i, ω_i 및 ζ_i를 구하게 된다.

여기서, Hi(ω)는 i번째 모드의 고유주파수 주변의 주파수응 답함수이며, q_i와 f_i는 각각 i번째 모드의 응답 및 하중이고, μ_i, ζ_i, ω_i는 각각 i번째 모드의 모드질량(modal mass), 모드 감쇠비(modal damping ratio), 및 고유주파수이다.

2.2 가속도 응답을 이용한 변위 분석

^{Lee et al.(2010)}은 가속도 응답으로부터 변위를 추정하기 위하여 다음 식 (3)과 같이 Tikhonov 정규화 기법을 적용하여, 가속도 응답으로부터 변위를 추정할 때 발생하는 저주파수 잡음의 영향을 감소시킬 수 있는 방법을 제안한 바 있으며, 주 요 내용을 간략하게 정리하였다.

여기서, u는 가속도로부터 추정한 변위이며, a는 계측 가속도 응답이다. 그리고 ∥⋅∥은 벡터의 2차 놈(norm)이며, λ는 Tikhonov 정규화 상수(regularization factor)로 이 연구에서는 다음 식 (4)와 같이 ^{Lee et al.(2010)}이 제안한 값을 적용하였 다. 식 (4)에서 N_d는 첫 번째 고유주기를 표현할 수 있는 자료 개수이다.

한편, 식 (3)에서 L_a는 가중치 대각행렬로 처음과 끝에 1 / 2 를 갖고, 나머지는 1을 갖는 대각행렬(diagonal matrix) 이며, Lc는 이차미분연산 행렬이다. 한편, 식 (3)의 우변 첫 번 째 항은 최종 예측되는 변위의 이차미분값( L c u / Δ t 2 )과 가속 도 계측값(a)과의 차이가 최소가 되도록 동적변위를 추정하 는 것이며, 또한 두 번째 항은 최종 예측된 변위(u)가 특정한 정적변위를 갖지 않도록 정규화하는 항이다. 최종적으로 식 (3)을 풀어 u에 관하여 전개하면 다음과 같은 식 (5)를 얻을 수 있다.

여기서, L = L_cL_a이다.

3.1 풍력-태양광 하이브리드 가로등 개요

Fig. 1에서 제시한 풍력-태양광 하이브리드 가로등을 대상 으로 연구를 수행하였으며, 풍력터빈은 2엽 또는 3엽 수직축 터빈을 적용할 수 있다. 현재 건설 중인 3경간 강합성 연속교 (3 span continuous steel girder concrete bridge) 상부 연석 (curb)에 설치되어 있으며, 총 8기의 하이브리드 가로등 중 1 기의 가로등이 현재 시험 설치되어 있는 상황이다. 아래 Fig. 2 는 전체 교량의 종단면도로 가로등은 남측 교대부에 가깝게 설치되어 있음을 알 수 있다.

Fig. 1

Hybrid light pole using wind and solar energy

Fig. 2

Schematic of bridge and hybrid light pole (Left: North, Right: South)

현재 3엽 수직축 풍력터빈이 설치되어 있으며, 3엽 풍력터 빈이 설치된 구조물과 2엽 풍력터빈이 설치된 구조물의 진동 특성을 비교하기 위하여, 3엽 풍력터빈이 설치된 상태에서 진 동을 계측한 후, 2엽 풍력터빈으로 교체하여 동일한 진동계측 을 수행하였다. 아래 그림은 3엽 풍력터빈과 2엽 풍력터빈을 비교한 것이다.

풍력터빈 블레이드의 코드 길이(chord length)는 2엽 및 3엽 로터 모두 0.25m이며, 회전 직경이 1 m로, 2엽과 3엽 터빈의 솔리디티(Solidity)는 각각 0.159, 0.238이다. 한편 2엽 터빈과 3엽 터빈의 질량은 각각 20 kg, 30 kg이며, 블레이드의 스팬 길 이(span length)는 모두 1.5 m이다. 가로등은 외경 318 mm, 두 께 6 mm인 높이 4.5 m의 하부타워와, 외경 219 mm, 두께 6 mm인 높이 4.5 m의 상부타워로 구성되어 있으며, 전체 높이 는 9 m이다. Fig. 3

Fig. 3

Vertical axis wind turbine rotors for hybrid light pole

3.2 실험 개요

가속도 계측 지점은 기초로부터 3.2 m, 5.5 m, 7.8 m 높이이 며, Fig. 4에 제시되어 있는 바와 같이 5.5 m, 7.8 m 지점에는 X 방향으로 2개, 그리고 Y 방향으로 1개 등 총 6개 가속도계를 설치하고, 3.2 m 지점에 대하여서는 X, Y 양방향에 대하여 각 각 1개의 가속도계를 설치하여, 총 8개의 가속도계를 설치하 였다. 이번 실험에 사용된 가속도계는 MEMS형 가속도 계로 민감도는 10V/g이며, 계측주파수는 주요 저차모드의 고 유주파수 범위 및 나이퀴스트(Nyquist) 주파수 등을 고려하여, 200Hz로 설정하였다. 한편 X, Y 방향은 Fig. 4에서와 같이 각각 교축방향(longitudinal direction) 및 교축직각방향(transverse direction)을 의미한다. 이와 같이 좌표계를 정의한 것은 구조물 기초가 매입되어 있는 연석의 회전강성이 교축방향과 교축직 각방향으로 크게 다를 것으로 고려하였으며, 실제 계측결과에 서도 이러한 사전 고려가 합리적이었음을 알 수 있었다.

Fig. 4

Layout of sensor installation

10분 평균 풍속이 2-3 m/s 이상으로 발전이 가능한 시간에 는 발전 중 상시진동시험(ambient vibration tests)을 수행하였 고, 10분 풍속이 2 m/s 이하로 바람이 거의 불지 않는 시간에 는 충격진동시험(impact vibration tests)을 수행하였다. 비틀 림 모드를 구하기 위하여 로터 회전 중 정지시험(braking test) 을 수행할 수도 있으나 일반적으로 비틀림 모드는 굽힘모드 에 비하여 주파수 범위가 매우 높고, 가진주파수와도 충분히 떨어져 있어 과도한 진동을 발생시킬 가능성이 매우 낮기 때 문에 이 연구에서는 수행하지 않았다(^{Yi et al., 2017a}).

4.1 발전 중 계측자료 비교

아래의 Fig. 5와 Fig. 6은 각각 2엽과 3엽 터빈을 적용하였 을 때, 1번 가속도계에서 계측된 총 60분 계측자료 중 초기 10 분 계측자료와 이를 확대하여 20초 구간을 제시한 것이다. 2 엽 터빈이 설치된 경우의 10분 및 20초 구간 계측자료를 보면, 가속도의 크기가 –6~6m/s²이며, 또한 두 개의 유사한 주파수 성분이 만날 때 발생하는 맥놀이(beating) 현상이 발생하는 것 을 알 수 있다. 이에 비하여 3엽 터빈의 경우, 2엽 터빈이 설치 된 경우와 달리 –0.5~0.5m/s² 수준으로 상대적으로 매우 작 은 값을 가지고 있으며, 또한 맥놀이 현상이 발생하지 않음을 알 수 있다.

Fig. 5

Measured acceleration responses for hybrid light pole with 2 bladed rotor

Fig. 6

Measured acceleration responses for hybrid light pole with 3 bladed rotor

4.2 충격진동시험에 의한 동특성 분석

2엽 터빈을 적용한 경우, 발생하는 매우 높은 수준의 가속 도 및 맥놀이 현상이 공진에 의한 현상인지를 확인하기 위하 여, 가로등 구조물의 주요 저차모드에 대한 고유주파수를 충 격진동시험을 통하여 분석하였다. 충격위치는 가로등 구조물 기초부에서 1m 상부 지점이며, 교축방향과 교축직각방향으 로 각각 30회 충격을 가하였다. 교축방향의 굽힘모드는 교축 방향으로 충격을 가한 계측 결과를 사용하고, 교축직각방향 의 굽힘모드는 교축직각방향으로 충격을 가한 계측 결과를 사용하였다(Fig. 7 참조).

Fig. 7

Measured responses of hybrid light pole with 2 bladed rotor

Fig. 8은 LS-FDD를 사용하기 위하여 구한 PSD에 대한 특 이치를 주파수에 따라 나타낸 것이며, 그림 Fig. 8(a)는 교축방 향으로 가진한 경우, 그리고 Fig. 8(b)는 교축직각방향으로 가 진한 경우의 특이치 분포이다. 한편, FS-FDD를 이용하여 구 한 저차 4개 모드의 고유주파수와 모드감쇠비는 Table 1에서 제시한 바와 같이 교축직각방향으로의 굽힘모드의 고유주파 수가 상대적으로 작은 값을 가짐을 알 수 있다. 즉 동일한 1차 굽힘모드에 대하여 교축직각방향 모드는 2.4Hz, 교축방향 모 드는 2.95Hz의 고유주파수를 가지며, 이는 연석이 교축직각 방향으로의 회전강성이 작기 때문이다. 한편 2차 굽힘모드에 해당하는 3차, 4차 모드의 고유주파수는 10.4Hz, 11.3Hz로 분 석되었다. 한편, 감쇠비는 모두 1%보다 작게 분석되어 일반적 인 강구조물의 모드감쇠비에 비하여 상대적으로 작은 감쇠비 를 가지고 있음을 알 수 있다. Fig. 9는 Table 1의 모드에 해당 하는 모드형상을 제시한 결과이다.

Fig. 8

Singular value distribution of measured accelerations under IVTs

Table 1

Identified natural frequencies and damping ratios for lower 4 modes

Fig. 9

Estimated modeshapes

4.3 발전 중 계측된 가속도를 이용한 변위 추정 및 비교

실제 어느 정도의 변위가 발생하는지를 분석하기 위하여 ^{Lee et al.(2010)}이 제안한 변환방법을 적용하였다. 참고로 이 방법은 정적응답을 무시할 수 있는 경우에 대하여 효과적인 기법이며, 차량이 교량을 지나가는 경우와 같이 일정한 수준 의 정적응답이 포함되어 있는 경우에는 가속도 응답 외에 경 사 혹은 변형률과 같이 정적 특정을 잘 표현할 수 있는 응답을 함께 이용하는 자료융합 등이 필요한 것으로 알려져 있다 (^{Park et al. 2013}, ^{Palanisamy et al. 2019}). 이 연구에서는 정적 변위는 고려하지 않고, 동적변위만을 추정하여 각각의 경우 를 비교하였다. Fig. 10에서 Set 1은 오전 8시부터 40분간 계측 한 자료이며, Set 2는 오전 9시부터 40분간 계측한 자료이다. 우선 교축방향의 변위를 보면, Set 1의 경우 0~300초 사이에 2 회 이상 0.02m 이상의 진폭을 가지는 경우가 발생하며, 이후 에는 변위가 감소하고, 특히 Set 2에서는 변위가 더 작음을 알 수 있었다. 이와 달리 교축직각방향의 변위를 보면, Set 1의 경 우 일정한 수준의 동적변위를 가지고 있으나, Set 2에서는 0.04m에 이르는 수준으로 동적변위가 증가하게 된다. 즉, Set 1의 초기에는 교축방향으로의 변위가 크고, Set 2를 포함한 후 반에는 교축직각방향으로의 변위가 큰 것을 알 수 있다.

Fig. 10

Measured responses of hybrid light pole with 2 bladed rotor

아래의 Fig. 11에서는 진폭이 크게 발생한 Set1의 260-280 초 구간, 그리고 Set2의 1170-1190초 사이의 궤적을 제시한 것 으로, 결과를 보면, Set 1의 260-280초 사이에는 교축방향으로 진폭이 0.03m에 이르는 진동이 발생하고, Set 2의 1170-1190 초 사이에는 교축직각방향으로 진폭이 0.04m 이상의 진동이 발생하는 것을 알 수 있다. 한편, 전절에서 분석한 구조물의 동특성을 보면, 교축직각방향 굽힘모드인 1차 모드의 고유주 파수는 2.5Hz 수준이며, 교축방향 굽힘모드인 2차 모드의 고 유주파수는 3Hz 수준임을 알 수 있었다. 260-280초 사이의 변 위를 이용하여 주파수 분석을 수행하면, 2.868Hz로 2차 모드 의 고유주파수인 2.946Hz와 매우 가까워 2차 모드와 공진이 발생한 것을 알 수 있고, 또한 1170-1190초 구간의 변위를 이 용하여 주파수 분석을 수행하며, 2.354Hz로 1차 모드의 고유 주파수인 2.401Hz와 매우 가까워 1차 모드와의 공진에 의한 것임을 알 수 있다. 이는 공진에 의하여 발생한 과도한 변위의 방향(교축방향 또는 교축직각방향)을 통해서도 알 수 있다. 한편, 변위추정 결과를 이용하여 변위 스펙트럼을 분석하면 다음의 그림과 같다. Fig. 12(a)는 교축방향 변위가 주된 Set 1 의 초기 400초 자료에 대한 변위 스펙트럼으로 교축직각방향 의 스펙트럼보다 교축방향으로의 변위 스펙트럼이 지배적임 을 알 수 있고, 또한 주파수가 2.89Hz 임을 알 수 있다. 한편, Fig. 12(b)에 나타난 Set 2의 경우, 교축직각방향으로의 변위 스펙트럼 크기가 지배적임을 알 수 있다.

Fig. 11

Excessive vibration due to resonance with 2nd and 1st modes

Fig. 12

Power spectra of estimated displacement under resonance

간이풍속계로 측정한 풍속의 범위는 실험 초기인 오전 8시 부근에는 5-6m/s이었으나, 이후 3-4m/s로 감소하였다. 이와 같은 풍속의 감소로 인하여, 계측 초기에는 풍력터빈 로터의 회전속도가 80-100 RPM 수준을 유지하였으나, 이후 풍속이 감소하면서 70-80 RPM 수준으로 감소하였음을 알 수 있다. 초기에는 로터의 회전속도가 90RPM 부근으로 1P 성분의 주 파수가 1.5Hz, 2P 성분의 주파수가 3Hz 정도로, 2차 모드와의 공진을 유발하였다. 이후 회전속도가 75RPM 부근으로 감소 하면서 1P 성분의 주파수가 1.25Hz, 2P 성분의 주파수가 2.5Hz로 감소하여 1차 모드와의 공진을 유발하면서 교축직각 방향으로의 과도한 진동을 유발한 것을 알 수 있다.

한편, 3엽 터빈을 적용한 경우 동일하게 교축방향과 교축직 각방향의 변위를 구하고 이를 동일하게 분석해 보면 Fig. 13과 같다. 즉 동적변위의 진폭이 두 방향 모두 2mm 이하로 매우 작고, 특별한 공진현상이 발생하지 않음을 알 수 있다. 이는 비슷한 풍속 분포에서 터빈의 회전수가 75-90RPM으로 유지 되고, 이때 1P 성분이 1.25-1.5Hz, 3P 성분이 3.75-4.5Hz로 구 조물의 주요 모드와의 공진을 유발하지 않았기 때문이다. 그 러나 회전수가 150RPM 부근, 그리고 180RPM 부근에서는 1P 성분이 1차 모드의 2.5Hz, 그리고 2차 모드의 3.0Hz와 가깝게 되어 공진을 유발할 수 있을 것으로 사료된다. 한편, 3P 성분 에 의한 공진은 회전수가 50RPM 또는 60RPM 부근에서 발생 할 수 있을 것이다. 일반적으로 블레이드의 수가 늘어날수록 평활화 효과(smoothing effect)가 증가하게 되며, 따라서 3엽 터빈의 경우 토크 및 추력의 진폭이 2엽 터빈에 비하여 상대 적으로 작기 때문에 공진이 발생하더라도 그 영향은 매우 제 한적일 것으로 사료된다.

Fig. 13

Estimated displacement responses using acceleration for 3 bladed case