2.1 초음파 산란 기법

초음파의 다중 산란은 초음파의 가진원 위치($ r$)로부터 산란자의 위치($ r'$)간의 탄성파동을 나타내는 미분방정식으로 기술할 수 있다. 산란이 일어나는 과정이 가진된 초음파의 주파수를 변수로 하기 때문에 다음과 같이 식 (1)으로 전개될 수 있다 (Derode et al. 2001, Chekroun et al. 2009).

여기서, $G(\omega ,\: {r},\: {r}')$는 초음파 가진원과 산란자 사이에서 전달되는 파동방정식의 그린 함수(Green‘s function)이며, $k(\omega ,\: {r})$는 파수 (rad/m), $\rho({r})$는 밀도 (kg/m3)이다.

초음파의 다중산란에 대한 개념도를 Fig. 1에 나타내었다. 이와 같이 다중산란에 대한 이론적 공식은 파동이 산란자에 도달하게 되면 산란자의 위치를 새로운 초음파 가진원으로 정의하고 있다.

미세먼지와 같이 산란을 일으키는 산란자의 위치와 개수는 규칙성이 없기 때문에 평균합산(ensemble average)의 개념을 적용하여 해답을 구하게 된다. 평균합산의 과정을 통하여 임의로 배치된 산란자의 불규칙적 산란 현상은 최소화되며 가진원으로부터 센서까지 전달되는 연속적인 파동(coherent wave)만 도출하게 된다. 평균합산을 적용한 다중산란 주파수-파수에 대한 해는 식 (2)와 같이 정의된다.

Fig. 3. Input source (a) waveform in time domain (b) frequency information

여기서 < >기호는 평균합산을 의미하며 $k_{e}$는 다중산란이 일어나는 유효매질(effective medium)에서의 유효파수이다. 유효매질이란 평균합산 후 탄성 파동이 전달되는 에너지가 산란자에 의하여 급격하게 감쇠되는 구간을 의미하며, 그 구간 내에서 내부의 산란자가 충돌하지 않고 독립적으로 탄성 파동이 진행할 수 있는 평균거리를 평균 자유 경로(mean free path)라고 정의한다. 평균 자유 경로($l_{s}$)는 다음 식(3)과 같이 유효파수의 허수($Im(k_{e})$)와의 관계로 나타낼 수 있다.

2.2 미세먼지 농도 측정 알고리즘

실험적으로 초음파의 가진원으로부터 다중 산란된 초음파의 감쇠율($\alpha$)을 측정하여 평균 자유 경로를 도출할 수 있다. 감쇠율이란 보낸 신호의 에너지 대비 받은 신호의 에너지 감소를 의미하며 감쇠율의 단위는 (1/m) 이다. 감쇠율과 평균 자유 경로는 다음 식 (4)와 같이 정의된다.

Fig. 4. Modeling details

즉, 감쇠율의 역수가 다중 산란의 평균 자유 거리를 의미한다. 여기서, $n$은 미세먼지의 단위 밀도(number density, 1/m3)이며 $\sigma_{T}$는 미세먼지의 산란 면적 (m2)이다.

상기와 같이 미세먼지의 농도 측정 알고리즘을 도출한 개념도를 Fig. 2에 나타내었다. 첫째, 가진원으로부터 발생된 초음파를 센서를 통하여 여러번 계측하고 평균 합산한다. 둘째, 평균 합산된 신호를 신호처리를 통하여 주파수 해석한다. 셋째, 주파수별 감쇠율을 계산하고 평균 자유거리를 도출한다. 넷째, 미세먼지의 산란 면적을 기준으로 미세먼지의 단위 밀도를 계산한다.

2.3 다중 산란 시뮬레이션

유한차분법(finite difference method)을 기반으로 초음파 거동에 대한 2-D 시간이력 해석을 수행하였다. 해석에는 Matlab기반 k-wave toolbox (Firouzi et al. 2012)를 사용하였으며 대기 중 미세먼지의 모델링을 위하여 liquid solver인 kspaceFirstOrder2D를 사용하였다. 균질하지 않은 매질에서의 유한차분법을 적용하기 위한 미소시간($\triangle t$)에 대한 지배방정식(governing equation)은 다음의 식 (5)와 (6)으로 나타낼 수 있다.

Fig. 5. Simulation of multiple scattering at t=10$\mu s$ (a) 1% (b) 0.1% (c) 0.01%

여기서, $\lambda$와 $\mu$는 Leme 탄성계수, $\sigma_{ij}$는 응력, $v_{i}$는 입자의 속력 벡터, $x_{i}$은 데카르트 좌표계 ($i,\:j=1,\:2,\:3$)에서의 위치 백터, $f_{i}$는 물체력(body force)을 나타낸다.

시뮬레이션에 사용한 각 변수의 설정은 Table. 1과 같다. 대기 중 미세먼지의 부피비는 1%, 0.1%, 0.01%로 가정하였으며 농도의 높음, 중간, 낮음에 대하여 초음파의 다중 산란과정을 모니터링 하고자 하였다. 각 농도에 따른 미세먼지의 위치는 시뮬레이션 공간에 random함수를 사용하여 배치하였다. 가진 주파수는 5 Mhz를 중심으로 하는 tone burst 신호로써 넓은 대역의 주파수를 (broadband) 포함하고 있다. 가장 많은 에너지를 가지고 있는 주파수의 파장은 68.8$\mu m$이며, 미세먼지 PM10 기준 약 7배의 길이를 가지고 있다. Fig. 3에 가진 파형 및 주파수 정보를 나타내었다. 파동의 전달은 평면파(plane wave)로 설정하였으며, 각 공간으로 퍼져나가는 신호를 계측하기 위하여 x과 y축에 각각 300개와 200개 배치하였다. 시뮬레이션 모델링과 센서 배치에 대한 정보를 Fig. 4에 나타냈다.

초음파 파동의 시뮬레이션은 공간의 제한적인 상황으로 발생하는 반사파로 인하여 해석에 어려움이 있다. 이를 극복하기 위하여 시뮬레이션 공간 둘레에 전달되는 파동을 흡수하는 층(Perfectly Matched Layer, PML)을 모델링하였다. PML의 감쇠 계수는 2 $Np/m$로 설정하였다. 시뮬레이션의 미소 시간 간격은 2$ns$이며, Courant-Friedrichs-Lewy(CFL) 조건은 0.1로써 식 (5)가 충분히 수렴할 수 있도록 설정하였다.

Fig. 6. Example of output signal at (150,200)

3.1 시뮬레이션 결과 분석

시뮬레이션 해석 결과로써 60000개 센서로부터 수집한 신호 분석을 수행하였다. Fig. 6은 센서로부터 수집한 대표적인 신호의 예이다. 신호는 크게 매질을 통과하면서 파동의 주기와 위상이 일정한 간섭 파동(coherent wave)과 다중 산란으로 발생하는 불규칙한 진폭과 위상을 가지고 있는 비간섭 파동(incoherent wave)로 나눌 수 있다.

Fig. 9. Frequency spectrum of total ensemble averaged signals (a) 1%, (b) 0.1%, (c) 0.01%

Fig.7는 시뮬레이션 공간 x축 150열에 놓여있는 200개의 신호에 대한 신호누적 그래프(B-scan)이다. 그래프의 x축은 파동이 전달되는 시간($\mu s$), y축은 센서 번호로써 가진원으로부터 멀어질수록 숫자가 증가한다. z축은 신호의 진폭이며 밝은 색을 나타낼수록 상대적으로 높은 진폭을 의미한다. 미세먼지의 부피비가 증가함에 따라 다중 산란으로 발생한 비간섭 파동 또한 증가하는 것을 확인할 수 있다. Fig. 8은 식 (2)와 같이 시뮬레이션 공간 x축에 대하여 평균합산을 300회 수행한 신호의 B-scan 그래프이다. 평균합산을 통하여 규칙적으로 전달되는 가간섭 파동을 뚜렷하게 확인할 수 있는 반면, 불규칙한 비간섭 파동은 대부분이 사라지는 것을 볼 수 있다.

3.2 신호처리

다중 산란이 발생하는 매질에서 파동이 센서의 첫 번째 위치($x_{1}$)로부터 다음 센서의 위치($x_{i}$)까지 전달되는 동안 발생하는 신호 진폭의 비율($A(w,\:x_{i}-x_{1})$)은 주파수 도면에서 다음 식 (7)과 같이 정의 될 수 있다.

주파수별 신호의 감쇠율($\alpha$)은 식 (7)에 로그를 취하여 식 (8)을 유도한 것과 같이, 각 신호의 진폭을 첫 번째 신호의 진폭으로 나눈 값에 대한 기울기로써 구할 수 있다.

상기와 같이 감쇠율을 구하기 위해서 평균합산 된 모든 신호들을 퓨리에 변환을 통하여 주파수별 진폭을 계산하였다(Fig. 9). 1의 미세먼지 부피비의 경우 주파수가 증가함에 따라서 뚜렷한 진폭의 감쇠를 보이는 반면, 0.01 부피비의 경우 매우 미세한 진폭의 감쇠를 확인할 수 있다. 주파수 도면의 진폭을 식 (8)과 같이 계산하여 그 기울기를 정의하는 과정을 Fig. 10에 나타내었다. 선형 최소자승법(linear least square fit)으 사용하여 감쇠율을 계산하였다.

Fig. 10. Example of attenuation measurement using Eq.(8) at volume fraction 1

Fig. 11. Derived attenuation (marked at 5 Mhz)

Fig. 12. Derived mean free path (marked at 5 Mhz) (a) 1, (b) 0.1, (c) 0.01

3.3 알고리즘 검증

본 연구에서 제안한 초음파 다중 산란 기반 미세먼지 농도측정의 알고리즘을 검증하기 위해서 감쇠율과 평균 자유 경로를 다음 Figs. 11과 12에 각각 도출하였다. 주파수가 증가할수록 파장도 작아지기 때문에 미세먼지에 대한 감쇠율이 증가함을 확인할 수 있으며, 그 변화 정도는 부피비에 비례함을 알 수 있다. 식 (4)와 같이 감쇠율의 역수로 평균 자유 경로를 정의하였으며 미세먼지 부피비가 작을수록, 주파수가 작을수록 큰 값을 갖는 것을 확인 할 수 있다.

3.3.1 시뮬레이션 기반 미세먼지 농도 정확도

가진 신호의 중심 주파수인 5Mhz를 대상으로 미세먼지 농도 예측에 대한 결과를 Table 2에 나타내었다. 미세먼지 개수 밀도는 2-D 시뮬레이션 공간 대비 각 부피비에 따른 개수로 계산되어 ($1/mm^{2}$)의 단위이다. 산란 면적($\sigma_{T}$)은 2-D 시뮬레이션에서 ($mm$)의 단위를 갖는 산란 반경으로 치환되며, 본 연구에서는 미세먼지로 설정된 그리드의 사각형 면적을 등가원형면적으로 환산한 후 계산된 지름 보다 5배 작은(1.37$\mu m$)으로 가정하였다. 각 부피비에 해당하는 오차는 개수밀도 단위 최소 0.7, 최대 24.9로 계산되었다.

3.3.2 산란 반경의 도출

Fig. 13. Schematic diagram of ultrasonic multiple scattering

Fig. 14. Cross-section of fine dust captured by optical microscope(left) and SEM(right)

초음파 다중 산란 모델 시뮬레이션을 통하여 제안된 알고리즘의 적용가능성을 확인할 수 있었다. 실험적으로 규명할 수 있는 감쇠율과 평균 자유 경로에 비하여 가정값인 산란 반경은 조금 더 이론적으로 보완할 필요가 있다. Fig. 13은 초음파 다중 산란의 지배방정식인 식 (1)의 개념도이다. 미세먼지와 같은 산란자를 원형으로 가정했을 때 그 지름(2a)으로 산란 반경을 정의하고, 산란자로부터 새로운 초음파의 파동을 정의한다. 하지만 미세먼지의 경우 Fig. 14에서 나타낸 것처럼 완벽한 원형의 모양을 가지고 있지 않으며 그 크기도 불균일함을 확인할 수 있다. 또한 그 표면은 더욱 불균일하여 초음파의 산란 반경에 대한 정의는 현재 활발히 진행되고 있는 미세먼지의 형상 및 특성 분석을 통하여 통계학적으로 이루어져야 할 것이다 (Salma et al. 2002, Liao et al. 2004, Lonati and Giugliano 2005, Mariko et al. 2009, Buonanno et al. 2010, Estokova et al. 2010, Lee et al. 2012, Song et al. 2015, Kuuluvainen et al. 2016, Wallace et al. 2019)

후속연구로 산란반경, 습도, 풍속, 주파수에 따른 변수연구를 통하여 주파수별 산란 반경 및 산란 면적을 정의하고 제안된 알고리즘의 정확도를 증대시키고자 한다. 습도는 기존 광산란식 기법에 가장 영향을 주는 요인이며, 풍속의 경우 신호 측정의 정확도에 영향을 미칠 수 있는 요인으로써 실험을 통하여 그 영향을 확인하고자 한다. 초음파 신호는 풍속에 따라 신호 잡음이 혼합되게 된다. 신호 잡음이 기존 신호와 섞이게 되면 신호 분석에 영향을 미친다. 따라서 풍속은 미세먼지 측정 정확도를 낮추는 요인으로 작용될 가능성이 높다. 주파수의 경우는 공기 중 미세먼지의 산란반경에 직접적인 영향을 미치게 됨으로 실험 변수로 추가했다. 개발된 알고리즘에 근거하여 평균자유경로와 주파수의 관계를 측정하고 미세먼지 농도를 계측하기 위한 최적화를 수행하고자 한다.