2.1 HPFRCC 보 부재 이상화

집중하중을 받는 단순지지된 HPFRCC 보 부재의 전단 강도를 예측하기 위해 이 논문에서는 Jude et al.(2018)⁽⁷⁾에서 고려된 이상화된 모델을 사용하였다. 즉, Fig. 2에서 보는 바와 같이 전단 경간을 압축력을 받는 상현재, 인장력을 받는 하현재, 그리고 전단력을 받는 복부 전단 요소 등 세 가지 요소로 단순화하여 고려하였다. 따라서, 주어진 단면에 작용하는 휨모멘트는 상현재와 하현재에 의해 저항되며, 전단력은 복부 전단 요소에 의해 저항되는 것으로 고려할 수 있다. 여기서, 전단 파괴에 근접할수록 복부 전단 요소에는 균열 후 사인장 균열각(또는 주압축대 기울기)이 45도보다 기울어지게 되고, 복부 요소의 종방향으로의 변형을 상·하현재에서 구속함에 따라 복부 전단 요소에 추가적으로 종방향 압축응력이 작용하게 된다(Vecchio and Collins, 1986)⁽²¹⁾. 또한, 전단 경간비가 매우 작지 않은 일반적인 보 부재의 경우 복부 전단 요소에 대해 높이 방향으로의 법선 응력은 무시할 수 있다. 일반적으로 직사각형 단면의 경우 복부 전단 요소에서의 전단응력이 보의 깊이 방향으로 균등하게 분포되어 있는 것으로 가정할 수 있다(Vecchio and Collins, 1988)⁽²²⁾.

2.2 복부 전단 요소에서의 응력 및 변형률

복부 전단 요소는 사인장 균열 이후 주인장 방향과 주압축 방향으로의 거동이 다르게 되므로 2축 요소로 고려할 수 있다. 여기서, 주인장 및 주압축 응력을 각각 $\sigma_{1}$ 및 $\sigma_{2}$라 하고, 종방향 및 횡방향 응력을 각각 $\sigma_{x}$ 및 $\sigma_{y}$, 전단응력을 $\tau_{xy}$라 하면, 복부 전단 요소에 작용하는 응력에 대한 Mohr’s circle은 Fig. 3과 같이 나타낼 수 있다. 그림으로부터 주인장 및 주압축 응력의 관계는 종방향으로부터 주인장 응력 방향 사이의 각($\theta$), 즉 주압축대의 기울기를 이용해 다음과 같이 나타낼 수 있다.

한편, 주압축 응력과 주압축 변형률의 관계는 HPFRCC가 나타내는 압축-변형률 거동으로부터 산정할 수 있다. 다만, 주인장 방향으로 균열이 발생한 이후에는 압축연화효과(Vecchio and Collins, 1993)⁽²³⁾로 인해 주어진 주압축 변형률에 대한 주압축 응력이 균열이 발생하지 않은 경우에 비해 작아지게 된다. 현재 HPFRCC에 대한 압축연화효과에 대한 기존 연구 결과가 없는 관계로, 이 연구에서는 Fig. 4에 나타낸 바와 같이 초기부터 압축강도 도달 시까지의 압축 응력-변형률 곡선을 압축강도까지 직선화함으로써, 식(2)를 통해 압축연화효과를 간략히 반영하였다.

여기서, $f_{c}'$은 HPFRCC 압축강도를, $ε_{c}'$은 압축강도 시의 변형률을, $\sigma_{2}$와 $ε_{2}$는 압축응력 및 압축변형률을 각각 의미한다.

참고로, 전단 철근이 없는 HPFRCC 보 부재의 경우 대부분 복부 전단 요소에서의 주압축 응력이 HPFRCC의 압축강도에 크게 미치지 못하므로, 위 식을 통해 압축연화효과를 비교적 간단히 고려할 수 있다.

식(1) 및 (2)로부터, 복부 전단 요소에서의 주인장 응력과 주압축 변형률의 관계는 다음의 식(3)으로 정리된다.

응력과 마찬가지로, 복부 전단 요소의 주인장 및 주압축 변형률을 각각 및 라 하고, 종방향 및 횡방향 변형률을 각각 및 , 전단응력을 라 하면, 복부 전단 요소의 변형률에 대한 Mohr’s circle은 Fig. 5와 같이 나타낼 수 있다. 여기서, 변병률에 대한 주압축대의 기울기는 응력에 대한 주압축대의 기울기와 같으며(Vecchio and Collins, 1986)⁽²¹⁾, 그림으로부터 변형률 사이의 관계를 다음의 식(4)로 나타낼 수 있다.

식(4)에서의 주압축 변형률($\varepsilon_{2}$)을 식(3)에 대입 후 주압축대 기울기($\theta$)에 대해 정리하면, 다음의 식(5)를 유도할 수 있다.

따라서, 2차 방정식 형태로 위 식을 풀게 되면, 주압축대 기울기($\theta$)를 다음으로부터 계산할 수 있다.

여기서, 일반적으로 전단경간비가 굉장히 작은 깊은보가 아닌 경우 이므로, 앞의 부호는 이어야 하며, 이어야 한다.

2.3 HPFRCC 보 부재 전단 강도 모델

전단 철근이 없는 HPFRCC 보 부재의 경우, 복부 전단 요소의 주인장 변형률이 HPFRCC의 최대 인장 응력에 도달한 후 하나의 균열에서 변형이 집중적으로 발생하기 때문에 인장 연화 거동(tension softening behavior)이 시작되는 시점을 일반적으로 최대 전단력이 발휘되거나 전단 파괴가 발생하는 것으로 가정할 수 있다. 다만, Fig. 6에서 보는 바와 같이, 복부 전단 요소 전체에 걸쳐 인장 변형률이 균등하게 분포되지 않으며, 주 사인장 균열 주변에서의 인장 변형률이 상대적으로 크게 된다. 따라서, 이 연구에서는 전단 파괴 시 복부 전단 요소에서의 평균 인장 변형률($\varepsilon_{1}$)과 HPFRCC의 최대 인장 응력 도달 시의 인장 변형률($\varepsilon_{tu}$)의 관계를 계수 $k$를 이용하여 로 표현하였다. 여기서, $k$는 기존 문헌(Shin et al., 2015; Lee et al., 2016; Choi et al., 2019)^(4,15,18)을 참조할 때, 섬유 종류 및 혼입률 등에 따라 달리 설정할 수 있다. 따라서, 전단 철근이 없는 HPFRCC 보 부재의 전단 파괴 시의 주압축대 기울기는 식(6)에 $\varepsilon_{1}=k \varepsilon_{t u}$ 및 HPFRCC 최대 인장 응력($\sigma_{f u}$)를 대입함으로써 다음으로부터 산정할 수 있다.

여기서, $ε_{x}$는 복부 전단 요소의 종방향 변형률로서 보 부재 단면 중앙 깊이에서의 종방향 변형률로 대체할 수 있다. 이와 관련하여, AASHTO LRFD (2017)⁽¹⁾, CSA A23.3 (2014)⁽²⁾, CEB-FIP (2013)⁽³⁾의 전단설계기준에서는 $ε_{x}$를 휨에 대한 단면해석으로부터 산정하는 것으로 제안하고 있다. HPFRCC 보 부재의 경우 압축상현재의 변형률이 인장하현재의 변형률에 비해 매우 작기 때문에, 제안 모델에서는 계산의 편의를 위해 주인장 철근 변형률의 절반으로 다음과 같이 간단히 계산하였다.

여기서, $E_{s}$ 및 $A_{s}$는 각각 주인장 철근의 탄성계수 및 면적, $M$은 고려하는 단면에 작용하는 휨 모멘트, $a$는 전단 경간의 길이, $z$는 $M$에 대한 단면 내 모멘트 팔길이를 의미한다.

따라서, 주압축대 기울기($\theta$)를 주어진 모멘트($M$)에 대해 산정할 수 있으며, 주압축대 기울기($\theta$) 및 HPFRCC 최대 인장 응력($\sigma_{fu}$)를 이용해 다음의 식으로부터 최대 전단 강도($v_{ult}$) 및 최대 전단력($V_{ult}$)을 산정할 수 있다.

여기서, $b_{w}$는 단면 복부 폭을 의미한다.

한편, 이 연구에서 제안한 전단 강도 모델을 설계에 활용할 경우, 계수하중조합에 의한 $M$이 주어지므로 별도의 반복 계산 과정 없이 전단 강도를 바로 계산할 수 있다. 이와 달리, 특정 시험체에 대한 전단 강도 예측 등과 같이 $M$이 주어지지 않을 경우, Fig. 7에서와 같이 반복 계산 과정을 통해 전단 강도를 계산할 수 있다. 즉, 전단 강도를 우선 가정한 후 이로부터 $M$ 및 $ε_{x}$ 계산 후 주압축대 기울기($\theta$)를 계산하고, 이로부터 전단 강도를 계산한 후 초기 가정한 전단 강도와 비교함으로써 주어진 HPFRCC 보 부재에 대한 전단 강도를 산정할 수 있다.

3.1 기존 HPFRCC 보 부재 실험 개요

앞에서 제안한 모델의 검증을 위해, 이 연구에서는 Lee et al. (2015)⁽¹⁴⁾에 의해 수행된 전단 철근이 없는 HPFRCC 보 부재의 전단 강도 실험 결과를 활용하였다. Lee et al. (2015)⁽¹⁴⁾은 섬유 종류 및 혼입률, 주인장 철근비, 그리고 전단 경간비를 실험 변수로 총 48개의 시험체에 대해 실험 수행 및 전단 강도를 측정하였다. Fig. 8에 나타낸 바와 같이, 모든 시험체는 100×200 mm 직사각형 단면으로 되어 있으며, 주인장 철근으로 주인장 철근비 1.53~3.60%에 해당하는 D16~D25의 철근을 깊이 130 mm에 배근하였다. 또한, 전단 경간을 조정함으로써 2.0~3.5의 전단 경간비가 고려되었다.

시험에서 고려된 HPFRCC 배합비는 W/B=0.6으로서 굵은 골재 없이 모래와 플라이애쉬가 배합수 질량 대비 각각 1.17 및 1.33으로 혼합되었으며, 모든 시험체에 동일하게 적용되었다. 다만, 섬유 혼입에 따른 영향을 검토하기 위해 Table 1에 정리된 바와 같이 3가지의 섬유 혼입률이 고려되었다. 참고로, P1 및 P2의 배합에서는 섬유길이가 짧은 마이크로 타입의 섬유들만 혼입되었으며, PS 배합에서는 섬유길이가 상대적으로 긴 매크로 타입 섬유가 함께 혼입되었다. P1, P2, PS 배합에 대한 HPFRCC의 압축강도는 각각 42.2, 42.2, 43.0 MPa이었다. 각각의 배합에 대한 인장 거동은 직접 인장 실험을 통해 측정되었으며, 실험으로부터 측정된 인장 응력-변형률 거동을 Fig. 9에 나타내었다. 그림에서 정리된 바와 같이, 인장경화현상이 뚜렷하게 나타났으며, 그림에서 빨간색 점으로 표시된 최대 인장 응력 시 변형률은 P1, P2, PS 배합에 대해 각각 0.007, 0.020, 0.014로 측정되었다.

한편, HPFRCC 각 배합에 대한 압축 및 인장 거동에서의 주요 재료 물성치를 Table 2에 정리하였다.

3.2 실험 결과와의 비교 및 검증

전단 철근이 없는 HPFRCC 보 부재에 대해 제안 모델을 통해 전단 강도를 예측하였으며, 예측한 결과를 실험 결과와 함께 Table 3 및 Fig. 10에 정리하였으며, Fig. 10에서는 기존 모델인 Shimizu et al.(2004)⁽¹⁷⁾와 함께 비교하였다. 참고로, HPFRCC 보 부재 전단 강도 예측 시 직접 인장 실험으로부터 측정된 최대 인장 응력에 상응하는 인장 변형률과 전단 파괴 시 복부 전단 요소의 평균 주인장 변형률의 관계를 의미하는 계수 $k$를 P1, P2, 그리고 PS 배합에 대해 각각 0.50, 0.20, 그리고 0.25로 가정하였다. 참고로, 다중 분산 균열이 발생하는 경우 섬유 혼입률 및 섬유 형상비(섬유 길이/단면 직경)가 증가할수록 국부와 평균 변형률의 차이가 커지는 것으로 보고된 바 있으며(Deluce et al., 2014; Lee et al., 2016)^(5,15), 이는 섬유 혼입률 및 섬유 형상비가 증가할수록 $k$가 증가하는 것을 의미한다. 따라서 이 연구에서는 이러한 경향을 고려하여 계수 $k$를 설정하였다.

표 및 그림에서 보는 바와 같이 전단 강도에 대한 실험/예측값의 비가 전체 48개의 부재에 대해 평균 1.045, 변동계수(Coefficient of Variation, CoV)가 0.125로서, 제안된 모델이 실제 실험에서 측정된 HPFRCC 보 부재의 전단 강도를 비교적 정확히 잘 예측하는 것으로 나타났다. 또한, 각각의 HPFRCC 배합에 대한 실험/예측값의 비에 대한 평균(변동계수)이 P1, P2, 그리고 PS에 대해 각각 1.024(0.139), 1.066(0.110), 1.046(0.122)로서 크게 다르지 않아, HPFRCC 배합에 따른 인장 거동의 특성을 전단 강도 산정 시 제안 모델이 합리적으로 고려한 것으로 판단된다. 한편, 그림에서 비교된 바와 같이 기존 모델인 Shimizu et al.(2004)⁽¹⁷⁾는 전단 강도 예측에서 평균이 1.007로 나왔으나, 주요 변수들의 영향을 합리적으로 고려하지 않아 CoV가 0.223으로 크게 나타나, HPFRCC 보 부재의 전단 강도를 합리적으로 예측하지 않는 것으로 확인되었다.

HPFRCC 보 부재의 전단 강도 예측에 있어 주요 변수의 영향들을 분석하기 위해, 전단 강도에 대한 실험/예측값의 비율을 전단경간비와 주인장 철근비의 변화에 따라 Fig. 11에 나타내었다. 그림에서 보는 바와 같이, 전반적으로 전단경간비 및 주인장 철근비의 변화에 관계없이 제안 모델이 HPFRCC 보 부재의 전단 강도를 비교적 합리적으로 예측하는 것으로 나타났다. 다만, 전단경간비가 2인 부재들에 대해 제안 모델에서 예측한 전단 강도가 실험에서 측정된 전단 강도에 비해 다소 작은 것으로 나타났다. 이는 전단경간비가 작은 보 부재에서 발생하는 아치 효과에 의한 것으로 판단된다. 참고로, 아치 효과가 클수록 보에 작용하는 집중하중이 복부 전단 요소의 전단응력으로 작용하지 않고 지점부로 바로 전달되는 경향이 증가하게 되며, 이에 따라 전단경간비가 작을 경우 아치 효과에 의해 전단강도가 상당히 증가하는 것으로 알려지고 있다(Kim et al., 1988; Lee et al., 2010a; Kim and Jeong, 2011)^(8,9,11). 또한, Eurocode 2 (2004)⁽⁶⁾ 및 도로교설계기준(한계상태설계법, 2015)⁽¹⁰⁾에서는 아치 효과를 보수적으로 고려하여 전단경간비가 2.0 이하인 경우 전단경간비가 작을수록 전단경간비에 따라 전단강도를 증가시킬 수 있는 것으로 제시하고 있다. 따라서, 향후 이 연구에서 제안한 모델에 아치 효과를 추가로 고려할 경우 전단경간비가 작은 HPFRCC 보 부재에 대해서도 전단 강도를 합리적으로 예측할 수 있을 것으로 판단된다.