3.2.1 표준 잔차(Standard residual)

머신러닝 입력 숫자의 스케일이 크게 차이가 나면 모델 알고리즘 학습과정에서 0으로 수렵하거나 무한으로 발산해버려 학습의 정확도가 낮아질 수 있다. 변형률 데이터의 경우 미소 손상에 대해 손상 전후의 미소 차이를 보이며, 원 데이터를 사용할 경우 학습 모델의 효과적인 결과를 도출하기가 어렵다. 또한 손상 전후의 잔차(residual)를 적용해 특징을 추출할 경우 각 센서 별 손상 데이터의 값 차이가 정규화가 되지 않는 문제점이 있다. 따라서 잔차의 분산을 정규화 시켜 손상 전후의 데이터를 비교분석 해야 한다. Fig. 8.의 $i$번째 잔차에 대한 표본 분산(Standard error)과 표준 잔차(Standard residual)식은 다음과 같다.

위 식에서 $X_{i}$은 손상 케이스의 변형률 데이터, $\overline{X}$은 무손상 평균 변형률 데이터이다. 이때, 무손상 평균 데이터의 모집단을 정의하기 위해서 시뮬레이션 구조 해석 모델로부터 무손상 데이터에 대한 몬테카를로 기법(Monte Carlo Method)을 적용하였다.

Fig. 11은 단부 센서1(이하 $S_{1}$)에 손상을 가했을 시 손상 전후 변형률 데이터의 하중 케이스별 표준 잔차 데이터를 도시하였다. 변형률 데이터는 차량의 하중에 의존적으로 반응하기 때문에 Fig. 9와 같이 열차가 들어오고 나가는 양 끝단의 데이터는 무손상과 손상과의 차이가 크게 구별되지 않음을 알 수 있다. 따라서 본 연구는 표준 잔차를 적용한 후 92개 하중케이스에 대한 마할라노비스 거리를 적용해 2차 데이터 특징을 추출하였다.

3.2.2 마할라노비스 거리(Mahalanobis Distance)

마할라노비스 거리는 이상탐지(anomaly detection) 방법 중 하나로 식 (3)과 같이 데이터 간의 거리를 구하는 대표적인 방법인 유클리디안 거리(Euclidean distance)와 달리 마할라노비스 거리는 공분산($\Sigma$) 개념을 사용해 데이터 두 특징간의 데이터의 상관관계에 따라 거리를 나타내게 된다.(Kim Y, 2017)

따라서 본 연구는 각 하중 케이스에 따라 달라지는 표준편차 데이터를 보완하기 위해 식 (4)와 같이 마할라노비스 거리를 적용하여 차량하중 위치와 상관없이 센서 별로 특징을 추출하였다.

식 (4)의 $\mu_{n}$은 $n$번째 센서 위치에서 전체 하중케이스 92개의 무손상의 평균 데이터를 의미하며 공분산행렬은 측정 변형률 데이터($ND_{nm}$or $D_{nm}$)의 공분산이다. 따라서 열차가 교량을 한번 지나갈 때 추출된 92개의 데이터는 1개의 마할라노비스 거리$(MD_{n i})$ 데이터로 계산되고 $i$번의 반복 실험을 수행했다고 가정했을 때, $i$개의 데이터가 축적된다. 따라서 본 연구는 축적된 데이터의 표본 집단의 신뢰도를 갖기 위해 몬테카를로 시뮬레이션을 적용하였다. 이를 손상 크기별로 Fig. 12~14에 도시하였다.

Fig. 12~14에서 손상 정도가 커질수록 $MD_{n i}$의 크기가 1에서 점점 낮아짐을 알 수 있다. Fig. 12~14에서의 (a)는 Table 2에서 정의한 단부의 손상 크기에 따라 달라지는 $MD_{n i}$의 분포를 나타내며 (b)는 몬테카를로 시뮬레이션의 $i$번 반복 횟수에 따른 $MD_{n i}$ 값이 수렴하는 범위를 나타냈다. 1000회 이상으로 수렴함을 알 수 있어 본 연구는 정적 재하 시뮬레이션 데이터의 반복 횟수를 1000회로 선정 하였다. Fig. 12~14에서의 (c)는 $i$개의 $MD_{n i}$ 분포에 대한 히스토그램을 도시했으며, 무손상의 경우 1~0.9에 데이터가 집중된 지수분포를 가지지만 손상의 크기가 커질수록 정규 분포의 형태를 가져 특정한 확률분포를 적용하기가 어려움을 알 수 있다. 따라서 본 연구는 경험적 누적 분포 함수(Empirical cumulative distribution function, ECDF)를 이용하여 신뢰도 기반의 Local 손상지수를 정의했다.

3.2.3 확률적 통계에 따른 신뢰도 기반 Local 손상지수

Local 손상지수란 손상의 유무, 크기, 위치를 탐지하기 위해 각 센서 별로 손상의 특징을 통계적 방법을 이용해 계측 데이터의 손상지수를 나타낸 것을 말한다. Local 손상지수를 정의하기 위해 경험적 누적분포함수(ECDF)의 신뢰 하한구간 95%를 적용하였으며, Fig. 12~14의 (d)에 이를 도시하였다.

무손상 데이터는 정규 분포도의 형태를 갖지 않는다. 따라서 무손상 데이터와 손상 데이터 공통적으로 통계적 추정을 할 수 있는 ECDF를 적용해야한다.

누적분포 $F(x)$로부터 구한 랜덤표본의 순서 통계량을 $X_{(1)},\: X_{(2)},\:\cdots X_{(n)}$이라고 했을 때, ECDF $F_{n}(x)$는 식 (5)로 정의할 수 있다.

1000회 반복해 축적된 $[MD_{n 1},\: MD_{n 2},\:\cdots ,\: MD_{n 1000}]$에 대해 각 센서 별 손상 정도에 따라 달라지는 Local 손상 지수를 Table 3.에 정리하였다. Table 3.의 데이터 분석 결과는 (1) 손상 정도가 커질 수 록 약 0.3 간격으로 낮아지며, (2) 각 센서 별 손상 지수가 차이가 나며 특히 힌지 단부와 롤러 단부, 그 외에 센서들로 손상 지수를 구분할 수 있다. 따라서 본 연구는 교량 전체의 손상학습 모델이 아닌 각 센서 별 손상 학습 모델을 각각 모델링하였다.

4.2.1 Step. 1: Existence of damage

손상 유무 탐지 단계 Step 1은 무손상(Level 0)과 손상(Level 1~2)을 구별하는 단계이다. Fig. 16과 같이 무손상 데이터 100개, 손상 데이터 200개에 대해 Table 4와 같이 나눠 학습을 진행했으며, Fig. 17은 본 연구의 센서 1에서의 손상탐지 분류 학습 모델 결과이다.

본 모델의 경우 에포크가 증가함에 따라 학습데이터의 정확도가 100%로 수렴하고 validation_loss 값이 0으로 수렴한다. 즉 학습 모델의 과적합이 발생하지 않음을 확인할 수 있다. 이를 통해 Step 1의 정적해석 손상유무 분류모델의 성공적인 학습이 되었음을 알 수 있다.

따라서 최적화된 손상 유무 모델에 대하여 시험데이터 60개를 적용한 결과는 Fig. 18에 도시하였다. Fig. 18은 정확도를 평가할 수 있는 혼동행렬(confusion matrix)이다. 혼동행렬의 행은 시험 데이터의 실제 손상을 의미하며 열은 시험 데이터의 학습 모델이 예측한 손상이다. 따라서 Fig. 18에서 대각 셀은 예측건수에서 정답을 맞힌 건수이며 이를 정확도라 한다. 본 모델은 무손상 데이터 20개, 손상 데이터 40개로 데이터의 비대칭으로 인한 정확도 역설 (accuracy paradox)이 발생할 수 있다. 따라서 정확도가 아닌 F1 score를 추가로 성능 평가할 수 있다. 하지만 손상 유무 학습 모델에 대해 시험 데이터의 결과는 무손상이지만 손상이라 예측한 경우(False Negative, FN)와 실제로 손상이지만 무손상이라 예측한 경우(False Positive, FP) 모두 0개로 우수한 시험 결과를 보여준다. 따라서 정확도만으로 모델 성능 평가하였으며, test accuracy는 100%로 학습 모델이 우수함을 판단할 수 있다.

4.2.2 Step 2: Degree of damage

손상 크기 탐지 단계 Step 2는 무손상(Level 0)과 손상1(Level 1), 손상2(Level 2)로 구분하여 손상 크기를 탐지하는 단계이다. Step 1과 동일한 학습데이터와 시험데이터 크기를 적용했으며, Fig. 19는 Step 2의 다중 분류 학습 모델 결과이다. 다중 분류 학습 모델 역시 에포크가 증가함에 따라 정확도는 100%로 수렴하며 validation_loss값이 0으로 수렴해 과적합이 발생하지 않음을 확인하였다. 이를 통해 손상 크기를 분류하는 모델 역시 성공적으로 학습되었음을 판단하였으며, 시험 데이터 60개를 적용한 결과를 Fig. 20에 도시하였다. 다중 분류 모델의 시험 데이터의 경우 무손상과 각 손상 데이터의 크기가 모두 20개로 동일함으로 정확도 역설이 발생하지 않아 정확도만으로 모델 성능 평가하는 것이 타당하다. Fig. 20과 같이 각 손상별 시험데이터 20개가 모두 정확하게 탐지됨을 알 수 있다.

본 연구는 손상 시나리오에서 정의한 손상이 아닌 임의의 손상 크기를 예측하는 모델을 구축하기 위해 분류 모델이 아닌 회귀모델을 구성하였다. 회귀모델 예측 값의 정확도를 검증하기 위해 먼저 거더 중앙부 $S_{14}$의 분류모델에서 사용한 validation set의 실제 값과 예측 값을 Fig. 21에 도시하였으며, 예측 손상범위는 $\pm$5%임을 알 수 있다. 또한 $S_{14}$의 손상 3%와 7% 손상케이스를 추가로 테스트하여 Local 손상지수에 대한 회귀 예측 값을 Table 5에 도시하였다. 손상 3%와 7% 모두 오차 5% 이내의 손상 크기 예측 값을 도출했으며 초기 hyperparameter를 사용한 회귀 모델이 타당함을 확인하였다. 따라서 이 모델을 손상 위치 추정을 위한 최종 회귀 모델로 선정하였다.

4.2.3 Step 3: Location of damage

손상위치 추정 단계 Step 3은 Step 2에서 검증한 분류모델과 회귀모델을 이용하여 랜덤한 복수 손상 위치의 학습모델 결과를 분석하였다. 따라서 기존 손상시나리오에서 정의한 손상 데이터가 아닌 Fig. 22와 같이 손상 데이터를 단부 센서($S_{1},\:S_{58}$)와 중앙부 센서($S_{13},\:S_{43}$) 위치에서 한 칸씩(230mm) 이동하며 복수 손상 시험 데이터를 새롭게 구축하였다. 또한 손상 크기를 Level 1과 Level 2 두 개로 나눠 손상 크기가 달라짐에 따라 손상 위치 탐지 결과가 달라지는지 확인하였다.

각각 손상 Level 1과 2일 때, Test A~C에 대한 분류 모델의 손상 탐지 결과와 회귀모델의 손상 예측 값을 Table 6~8에 도시하였다. Test 손상 근처의 센서($S_{1}$,$S_{2}$,$S_{13}$, $S_{14}$,$S_{42}$,$S_{43}$,$S_{55}$,$S_{56}$)를 선택하였다.

(1) 분류(Classification) 모델의 경우 임의의 손상 위치에 대해 손상을 탐지 못하는 것으로 판단된다. 분류 학습 모델은 학습 시키지 않은 데이터에 대해 정확한 정답을 도출하지 못한다. 즉, 앞에서 검증한 Step 1과 2의 경우 손상 시나리오에 국한되어 결과를 도출하는 한계를 가진다. 따라서 분류 모델로 손상위치를 파악하기 위해선 본 연구에서 정의한 5%와 10% 손상 케이스보다 더 다양한 손상에 대해 학습 데이터를 구축해야 함을 알 수 있다.

(2) 회귀(Regression) 모델의 경우 임의의 손상 크기와 위치에 대해 의미 있는 결과를 도출할 수 있다고 판단된다. Test A~C의 Local 손상지수는 동일한 손상 크기를 비교했을 때, Table 3에서 정리한 손상 Level 1과 2의 Local 손상지수 범위보다 큰 값을 가진다. 따라서 회귀모델을 이용해 정확한 손상 크기를 예측하지는 못했지만 예측 값에 대해 아래 2가지 결론을 도출하였다.

① 예측 값이 오차 범위 5% 이내의 실제 손상 크기를 정확하게 탐지한 경우

② 예측 값이 계측 센서로부터 일정 거리가 떨어진 곳의 손상을 탐지한 경우

결론 ①은 Step 2의 임의 손상 크기를 탐지함으로써 성능을 검증하였으며 결론 ②는 Fig. 23~24의 손상 위치를 이동함에 바뀌는 손상 예측값을 인근 센서 두 개를 비교하여 성능을 검증하였다.

계측 센서는 오른쪽 단부 센서($S_{1}$,$S_{2}$)와 중앙부 센서($S_{13}$,$S_{14}$)를 비교하였으며, x축을 Test A, B, C로 하여 손상이 왼쪽에서 오른쪽으로 이동함을 표현하였다. Fig. 23에서 $S_{1}$(검정)의 회귀모델은 예측 값이 Test B를 제외하고 모두 0.4% 미만으로 손상을 감지하지 못함을 확인하였다. $S_{2}$(빨강)의 회귀 모델은 계측 센서에서 가장 먼 곳의 손상을 0.69%로 예측함으로써 실제로 계측센서 위치에서 손상이 0.69%인 경우와, 계측 센서에서 가장 먼 곳의 손상이 있음을 판단할 수 있다. 또한 Test A에서 C로 손상이 $S_{2}$에 가까워질수록 손상예측 값이 증가하기 때문에 $S_{2}$에서 얼마나 떨어진 곳에 손상이 있는지 위치를 추정 할 수 있다. Fig. 24는 중앙부 인근센서 $S_{13}$(검정), $S_{14}$(빨강) 회귀모델의 예측 값을 비교한 것으로 $S_{13}$와$S_{14}$ 모두 Fig. 24의 $S_{2}$와 동일한 결론을 도출할 수 있다.