3.1 모델링의 이상화
3.1.1 기존 연구 사례
아래는 굵고 올라갈수록 차츰 가늘어지는, 얇고 긴 기둥 형상의 나주 석당간을 Fig. 7 및 Fig. 8과 같은 단순 모델로 가정할 수 있다(Choi and Cho, 2021)(5).
Fig. 7은 구조물의 크기를 무시하고 분포된 질량을 상부 한 지점의 집중 질량 모델이다. 지지구조는 하나의 스프링으로 근사화하여 1자유도 모델을
구할 수 있다. 단, 간주석 간의 접합은 강접합, 지면에 고정된 상태는 완전고정으로 가정한다. 또한 Fig. 5(c), (d)와 같이 측면 지주와 당간의 결속력이 약하여 측면 지주의 영향은 고려하지 않을 수 있다.
두 번째 모델은 Fig. 8과 같이 측면의 4면이 선형적으로 경사져서 단면이 변하는 보에 대한 모델이다. 기존의 연구 사례에서는 Bernoulli-Euler 및 Timoshenko
보 이론을 적용하여 모드 차수의 증가에 따른 이론별 주파수 파라미터 λ를 제시하고 고유진동수를 계산할 수 있도록 제시하였다(Downs, 1977;
Karnovsky and Lebed, 2000)(6-7).
기둥 형상인 당간의 단순화를 위해 이 두 모델을 적용하는 것은 편리성을 제공해 줄 수 있다. 그러나 대부분의 당간이 짧은 기둥(간주석)이 연속적으로
적층된 구조로 되어 있음을 고려하고, 인접된 간주석과의 연결 상태를 감안한 모델은 아니 때문에 개선된 모델의 개발이 필요하다.
Fig. 7. Modeling of the structure as spring-mass system
Fig. 8. Doubly-Tapered beam (Karnovsky and Lebed, 2000)
Fig. 10과 같은 역진자형 시스템은 제어 분야에서 다변수(Multivariable), 비선형(Nonlinear), 비정상적(Unsteady) 시스템의 전형적인
모델로서 현대 제어 이론 연구에 이상적인 시스템으로 인식되어 지고 있다(Yadav et al., 2012)(8). 또한 휴머노이드의 동작, 특히 걷는 동작에서의 자세 안정화에 대한 연구에도 역진자형 시스템이 활용된다. 한 발 지지 상태의 로봇을 외다리 로봇이라고
할 때, 이는 링크가 2개인 이중 역진자(Double Inverted Pendulum) 문제라고 볼 수 있다. 단순 역진자 시스템은 링크의 한쪽 끝에
구동기가 설치되나 이 경우에는 두 링크 사이에 구동기가 설치되는 형태이다(Kim, 2002)(9). 이러한 연구들은 바닥으로부터 전달되는 외란에 의한 역진자 시스템의 운동을 예측하고 각 링크 간의 관절부 등에 설치된 구동장치들을 제어하여 시스템이
넘어지지 않고 안정된 상태를 유지시키거나 바닥 장치를 움직여 상부 진자의 상태를 안정화하는 제어 알고리즘 개발이 주요 목적이다.
3.1.2 역진자형 모델의 적용
Fig. 10은 일반적인 당간의 얇고 긴 기둥 형상을 역진자 형상의 기둥으로 이상화 한 모델이다. 이때 기둥은 강체 요소로 가정한다. 강체는 전체 크기 또는 위치
변동에 비하여 형상의 변화를 무시할 수 있는 요소로서, 해당 구조요소의 모든 위치들 간의 거리 변화가 없는 경우를 의미한다. 또한 집중 질량 모델과
달리 강체 모델은 구조요소의 회전도 추가적으로 검토된다(Meriam and Kraige, 2013)(10).
Fig. 9. Double inverted pendulum system
Fig. 10. Single inverted pendulum
나주 석당간은 5개의 간주석으로 구성되어 있으므로 Fig. 11과 같이 5개의 짧은 기둥으로 구성된 역진자로 이상화될 수 있다. 관절부에 구동기가 있어서 안정적 자세 유지가 가능한 기계장치와 달리, 외부적인 보조
장치 없이 안정적으로 서 있어야 하므로 각 기둥의 연결부는 회전스프링 요소와 감쇠 요소로 연결되어 있는 것으로 가정하였다. 또한 Fig. 6(c)와 같이 당간과 지주의 연결상태가 매우 느슨하여 지주의 영향은 작다고 가정하고 이상화된 모델에서 제외하였다.
Fig. 10과 Fig. 11에서 $L_{i}$는 기둥의 길이, $l_{i}$은 무게 중심까지의 거리, $J_{i}$은 질량 관성모멘트(Mass Moment of Inertia),
$m_{i}$은 기둥의 질량, $\theta_{i}$은 수직축에 대한 회전각 변위이며 시간의 함수이다. ‘지면(기단)-기둥(당간)’ 및 ‘기둥(당간)-기둥(당간)’
연결지점에서는 회전 스프링 요소 $k_{i}$와 감쇠요소 $d_{i}$로 연결되어 있다. 여기서, 지면(기단)-기둥(당간)’ 위치의 $k_{1}$은
Fig. 12와 같이 지반에 일부 묻혀있는 기단과 그 위에 얹혀있는 당간 간의 연결 강성이다. 따라서 지반 상태 및 기단의 근입 상태에 따라 $k_{1}$ 값은
영향을 받을 수 있으나 수학 모델에서는 별도로 구분하지 않았다. 그러나 강성을 추정할 수 있는 현장 시험이 진행된다면 지반의 영향이 반영된 $k_{1}$
값이 추정될 수 있을 것으로 판단된다.
Fig. 11. Multiple inverted pendulum
Fig. 12. Connection status between the base tier and DangGan (NRICH, 2018)
3.2 라그랑지(Lagrange) 방법을 이용한 운동방정식 유도
역진자형 모델의 운동방정식을 수식화하기 위해서 라그랑지 방법을 적용한다.
뉴턴(Newton)의 벡터법은 자유도가 큰 계에서 대수학적인 어려움이 있고, 에너지 방법은 1자유도계에 국한되는 하나의 방정식 만을 제공하는 단점이
있다. 가상일 방법은 자유도가 큰 계에 대해서도 효과적인 도구이나 힘을 벡터로서 취급해야 한다는 점에서 완전한 스칼라 방법은 아니다. 라그랑지 방법은
스칼라양인 운동에너지, 위치에너지 및 일을 일반화된 좌표로 표현하는 완전한 스칼라 법칙이다(Thomson, 1993)(11).
라그랑지 방정식은 식(1)과 같이 표현된다. L은 라그랑지안(Lagrangian)으로 운동에너지와 위치에너지의 차이며, 식(2)와 같이 정의된다. 그리고 D는 감쇠에너지, Q는 일반화 힘(Generalized Force), $q_{i}$는 일반화 좌표(Generalized
Coordinates)이다.
각 기둥별 질량 중심들의 위치는 $x_{i}$, $z_{i}$의 직교 좌표계로 표현이 가능하다. 그러나 적층된 구조의 특성상, 상하부 기둥들의 좌표가
연성되어 상부 좌표는 하부 좌표에 종속적인 좌표로 표현된다. 이러한 종속적인 좌표를 독립적인 좌표로 비연성화하기 위해 $x_{i}$, $z_{i}$를
식(3)∼(12)와 같이 $\theta_{i}$에 대한 좌표계로 변환한다.
식(1)에서 외력이 없는 자유진동 상태를 가정하면, 외력에 의한 비보존력인 $Q_{i}$는 제거된다. 또한 일반화 좌표 $q_{i}$를 $\theta_{i}$로
치환하여 식(1)을 다시 표현하면 식(13)과 같다.
Fig. 13. Dimension symbols for mass moment of inertia
운동에너지 T는 강체의 직선 및 회전 운동을 모두 고려하면 식(14)와 같다. 여기서 속도는 $v^{2}=\dot x^{2}+\dot z^{2}$이다.
식(14)에서 J는 질량중심에서의 관성모멘트로서, Fig. 13과 같은 균질한 직육면체의 경우에 식(15), (16)과 같으며, 이후 표기에서는 회전축을 의미하는 아래 첨자 XX. YY를 생략한다(Meriam and Kraige, 2013)(10).
위치에너지 P는 중력 위치에너지($P_{p}$)와 스프링에 의한 탄성 위치에너지($P_{s}$)를 고려한다. 이때, k는 스프링상수이다.
감쇠에너지 D는 식(18)과 같으며, d는 감쇠 상수이다.
상기 식들을 이용하여 T, P, D를 다시 정리하면 다음과 같다.
여기서,
여기서,
여기서,
비선형적인 역진자형 모델을 선형화하기 위해서 진동에 의해 발생되는 회전 변위 각도 θ와 $\dot\theta^{2}\theta$는 매우 작다고 가정하다.
식(19)∼(21)을 이용하여 식(13)의 편미분방정식을 풀어서 정리하면 식(22)∼(26)과 같은 5개의 미분방정식을 얻을 수 있다. 이 방정식이 역진자형으로 모델링된 석조 문화재의 5자유도 운동방정식이다.
식(22)∼(26)의 운동방정식을 질량-스프링-감쇠계와 비감쇠의 질량-스프링계의 행렬식으로 정리하면 각각 식(27), (28)과 같다.
여기서,