4.1 임계 강성 유도
식(32)의 강성 행렬식에서 대각원소인 식(33)∼(37)에 의하면, 강성항 Cki가 중력항 Cmgi만큼 감소되고 있음을 알 수 있다. 여기서, 중력항 Cmgi는 자중 mig과
그 자중이 작용되는 높이 li에 대한 항이다. 그리고 Cki=Cmgi이면 해당 위치에 작용하는 자중에 의해 시스템이 불안정해질
수 있는 임계 상태에 도달하게 된다(Chopra, 2017)(12). 따라서, 시스템의 자중 mig과 높이 Li가 일정하다면, 식(33)∼(37)이 0이 될 때의 강성을 임계 강성, kcri이라 할 수 있다. 따라서 식(33)∼(37)로부터 위치별 kcri은 식(38)∼(42)와 같이 계산된다. 여기서, wi는 지면으로부터 i번째 강체 요소의 자중으로서, wi=mig이다.
최하단의 무게 중심 높이 l1은 식(38)의 kcr1에만 있으나, 최상단의 l5은 식(38)∼(42)의 모든 kcri에 있다. 즉, i번째 위치의 li은 i번째 위치 이하만 있다.
식에서 `-' 부호의 항은 구조물의 안정성 확보를 위해 요구되는 강성 값, 즉 임계 강성 값을 낮추는 항이다. `+' 부호의 항은 안정성 확보를 위해
요구되는 강성 값을 증가시키는 항이다. 이는 전도를 유발하는 회전력과 전도에 저항하는 복원력과 관련된다.
따라서, wi와 Li이 일정한 경우, i번째 기둥에서의 무게 중심의 높이 변화는 i번째를 포함한 하부의 기둥들 간의
연결 강성에 영향을 주며, 특히 특정 위치에서는 안정성 확보를 위해 요구되는 강성 값이 커질 수 있음을 알 수 있다.
4.2 나주 석당간의 임계 강성 추정
Table 1은 유도된 임계 강성 식을 이용해서 나주 석당간의 간주석 연결부위별 임계 강성을 계산한 결과이다. 무게 wi를 계산하기 위한
부피와 밀도 정보는 기술원의 보고서(KICST, 2004)(2) 정보를 인용하였다. 우선, 밀도는 나주 석당간의 구조 검토시 적용된 값인 2,570 kg/m3을 사용하였다. 부피는 석당간의 3D 스캔 자료로 작성된 캐드 도면으로 3D 모델 작성하여 계산하였다. 단, 옥개석의 무게는 고려되지 않았다.
개별 간주석의 높이 Li은 Fig. 4에서의 제원 정보를 활용했고, 높이 구간은 Fig. 14와 같이 설정하였다. 무게 중심까지 높이 li은 3D 모델에서 계산된 값을 사용하였으며, 무게 중심 계산은 재료 특성이 균질하다는 가정이
적용되었다.
임계 강성을 계산한 결과, 값이 가장 큰 곳은 `지면-1단' 연결부이며, 강성값 kcr1= 128.64 kN-m/rad으로 계산되었다. `1단-2단'부터는
급격히 값이 작아져서 최상단 연결부 kcr5는 kcr1와 비교되었을 때 kcr1의 약 2% 수준으로 상대적으로 작은 강성
값을 가져도 안정성이 유지될 수 있음을 알 수 있다.
Table 1. Critical stiffness by position - Naju SukDangGan
No.
|
w
[kN]
|
L
[m]
|
l
[m]
|
kcr
[kN-m/rad]
|
ratio
[%]
|
#1
|
38.95
|
3.68
|
1.64
|
128.64
|
100
|
#2
|
15.13
|
2.61
|
1.18
|
43.24
|
34
|
#3
|
6.78
|
1.63
|
0.78
|
11.73
|
9
|
#4
|
4.51
|
1.54
|
0.69
|
5.69
|
4
|
#5
|
2.93
|
1.37
|
0.66
|
1.93
|
2
|
나주 석당간의 `지면-1단' 연결부와 `1단-2단' 연결부에서 요구되는 임계강성이 다른 연결부보다 높아서 1단 간주석의 하단 연결부와 상단 연결부의
결합상태가 구조 안정성에 중요한 역할을 하고 있음을 알 수 있다. 이러한 분석 결과는 1단 간주석의 양 측면에서 두 개의 지주가 전체 당간을 견고하게
지탱하도록 건조했던 옛 기술자들의 기술이 매우 과학적이었음을 보여주는 결과이다.
Table 2는 중간에 연결부가 없으며 회전스프링으로 지지된 가늘고 긴 기둥(Fig. 15)의 좌굴하중 식으로부터 유도된 좌굴 임계강성식(Kim et al., 1996)(14)인 식(43)으로부터 계산된 결과이다.
식(43)에서 P는 좌굴에 대한 임계하중으로 기둥의 자중과 같다고 가정한다. P는 각 위치별 당간의 자중과 상부의 자중을 더한 하중을 적용하며, 높이 L은
하중이 더해진 당간들의 높이의 합이다. 따라서 최상단의 당간은 해당 당간의 무게와 높이만 고려되나, 최하단의 당간은 전체 당간의 무게와 높이가 고려되면서,
높이 변화에 따른 지지부에서의 임계 좌굴강성이 5가지 경우로 계산되며 Table 2와 같다.
Fig. 14. Heights and the center of gravity
Fig. 15. Buckling of a column with a rotating spring
Table 2. Critical buckling stiffness by position and height
No.
|
P
[kN]
|
L
[m]
|
kb,cr
[kN-m/rad]
|
kb,cr / kcr
|
Remark
|
#1
|
68.30
|
10.83
|
739.67
|
5.7
|
Weights from ① to ⑤
|
#2
|
29.35
|
7.15
|
209.83
|
4.9
|
from ② to ⑤
|
#3
|
14.22
|
4.54
|
64.56
|
5.5
|
from ③ to ⑤
|
#4
|
7.44
|
2.91
|
21.64
|
3.8
|
④ and ⑤
|
#5
|
2.93
|
1.37
|
4.01
|
2.1
|
Only ⑤
|
Table 1의 위치별 임계강성 kcr과 Table 2의 동일 높이별 임계강성 kb,cr을 비교한 결과를 Table 2의 kb,cr/kcr항에 정리했다. 상부에 적재되는 무게와 높이가 증가될수록 그 차가 증가되어서, 최상단의 강성은 2.1배 차이가
나지만, 최하단의 지면 위치의 강성은 5.7배 차이 남을 알 수 있다. 이는 연결부에서 전도시키려는 회전력과 반력에 의한 복원력이 kcr의
계산 결과에 반영되었고, kb,cr에는 복원력이 반영되지 않았기 때문인 것으로 판단된다.
Table 3은 5개의 간주석 중에서 임의의 간주석 하나의 무게 중심 높이가 기존 높이 보다 낮아 질 때 위치별로 kcr에 미치는 영향을 분석한 자료이다.
무게 중심의 높이 변경은 3단 및 5단 간주석에 대해서 기존 높이보다 20%를 낮추었다. 3단만 변경된 경우에는 3단의 무게 중심보다 상부에 위치하는
kcr4, kcr5의 값에는 영향을 주지 않고, 3단의 무게 중심의 하부에 해당하는 kcr1, kcr2, kcr3에는
영향을 주었다.
5단의 무게 중심 높이만 낮춘 경우에는 모든 kcr 값이 변경된 무게 중심 위치보다 낮게 위치하고 있어서 전체 위치에서의 값 변화가 있다.
일반적으로 무게 중심이 낮아지면 구조물의 안정성이 개선된다. 그러나 기존 무게 중심 높이에서의 kcr와 변경된 무게 중심 높이가 적용된 경우의
kcr의 변화율 계산 결과를 비교해 보면, 안정성을 위해 최소로 요구되어지는 임계 강성 값을 낮추는 '-' 부호가 아닌 '+' 부호가 나타남을
확인할 수 있다. 따라서 앞서 언급한 바와 같이, 일부 부재의 무게 중심이 변경될 경우에는 특정 위치에서의 임계 강성 값이 증가되어서 안정성을 유지하기
위해 더 높은 강성 값을 요구할 수 있음을 확인하였다.
Table 3. Comparison of the effect of the change in the height of the center of gravity
of a single member
No.
|
Basic
Heights
|
Only #3
20% Lower Heights
|
Only #5
20% Lower Heights
|
kcr
[kN-m/rad]
|
kcr
[kN-m/rad]
|
Rate of Change
[%]
|
kcr
[kN-m/rad]
|
Rate of Change
[%]
|
#1
|
128.64
|
127.58
|
-0.8
|
128.25
|
-0.3
|
#2
|
43.24
|
44.30
|
2.4
|
43.62
|
0.9
|
#3
|
11.73
|
10.67
|
-9.0
|
11.34
|
-3.3
|
#4
|
5.69
|
5.69
|
0.0
|
6.07
|
6.8
|
#5
|
1.93
|
1.93
|
0.0
|
1.54
|
-20.0
|