2.1 계면에서의 압력 및 콘크리트의 열 응력

온도변화 $\Delta T$에 따른 FRP 철근/콘크리트 경계면에서 콘크리트에 가해지는 반경 방향의 압력 P는 변형 적합성 해석을 사용하는 경우 식 (1)과 같이 나타낼 수 있다.

여기서, $P$는 온도변화 $\Delta T$에 대한 FRP 보강근과 콘크리트 계면에서 발생하는 반경 방향 압력, $r(=b/a)$은 FRP 보강근과 콘크리트의 반경 비, $\alpha_{c}$는 콘크리트의 열팽창계수, $\alpha_{t}$는 FRP 보강근의 횡방향 열팽창계수, $E_{c}$는 콘크리트 탄성계수, $E_{t}$는 FRP 보강근의 횡방향 탄성계수, $\nu_{c}$는 콘크리트 포아송비, $\nu_{tt}$는 FRP 보강근의 횡방향 포아송비, $a,\: b$는 각각 보강근의 내경과 외경이다.

FRP 철근이 팽창하여 주변 콘크리트에 가하는 반경 방향 압력 $P$로 인해 콘크리트 원통의 중심에서 반경 $\rho$에 위치한 콘크리트 임의의 요소에서 원주방향 응력 $\sigma_{t}$ 및 반경 방향 응력 $\sigma_{\rho}$은 다음 식 (2) 및 식 (3)과 같이 나타낼 수 있다.

그리고 $\rho =a$인 경우에, FRP 보강근과 콘크리트 계면에서 원주방향으로 식 (4)와 같은 최대 응력이 발생한다.

2.2 열 변형률

$\rho =a$일 때, 온도변화 $\Delta T$에 대한 FRP 철근/콘크리트 경계면에서 콘크리트에 가해지는 반경 방향의 압력 P에 의하여 콘크리트 및 보강근의 원주방향 변형률은 다음 식(5) 및 식 (6)과 같다.

$\rho =b$일 때, 온도변화 $\Delta T$에 대한 FRP 철근/콘크리트 경계면에서 콘크리트에 가해지는 반경 방향의 압력 P로 인하여 콘크리트 외피에서 발생하는 원주방향 변형률은 다음 식 (7)과 같다.

2.3 균열 온도 하중

FRP 보강근과 콘크리트 계면에서 원주방향 인장응력 $\sigma_{t\max}$이 콘크리트의 인장강도 $f_{ct}$에 도달하면 방사형 균열이 FRP 철근/콘크리트 경계면 콘크리트에서 발생하기 시작한다. 식 (4)에 최대 인장응력 $\sigma_{t\max}$를 콘크리트의 인장강도 $f_{ct}$로 하고 압력 $P$에 대한 식 (1)을 식 (4)에 대입한 이후, $\Delta T$에 대하여 정리하면 콘크리트의 방사형 균열을 생성하는 온도 하중 $\Delta T_{cr}$을 다음 식 (8)과 같이 나타낼 수 있다.

여기서, $f_{ct}$는 콘크리트의 인장강도이다.

3.1 해석모형의 형상 및 요소

본 연구에서는 기존의 실험적 연구에서 얻어진 연구결과와의 비교를 위해서 ^{Masmoudi et al.(2005)}의 실내실험에서 고려한 크기와 형상의 공시체를 해석 대상으로 선정하였다(Fig. 2). ^{Masmoudi et al.(2005)}는 길이 380mm의 실린더형태의 시편을 Table 1과 같은 콘크리트 피복두께와 보강근의 지름을 가지도록 제작하였고, 보강근 및 콘크리트 표면에서의 변형률을 계측하였다. Table 1은 ^{Masmoudi et al.(2005)}의 공시체에 대한 상세를 나타낸 것이다.

횡방향 거동이 주 관심이므로 유한요소해석 시에는 2차원 평면응력으로 모형화하였다. 콘크리트와 보강근의 요소에는 비정형성 유한요소망을 구성하여 균열의 방향을 모사하였고, 삼각형 요소를 사용할 경우 전단잠김을 회피할 수 있다고 알려져 CPS3을 사용하였다^{(Rhee & Kim 2006)}. 그리고 요소의 크기는 ^{Gang & Kawk(2017)}의 연구를 참조하여 한변의 길이를 Fig. 3과 같이 1 mm로 결정하였다.

Fig. 2 Specimen geometry and instrumentation(Masmoudi et al., 2005)

Fig. 3 2D plane stress FE model of the specimen

3.2 재료물성

3.2.1 콘크리트

Concrete-damaged-plasticity(CDP) 모델을 적용하여 FRP 보강근 콘크리트의 횡방향 열변형에 대한 재료 비선형 해석을 수행했다.

^{Masmoudi et al.(2005)}의 시험은 일축압축강도 40 MPa 강도에 해당하는 콘크리트이며, 이를 근거로 콘크리트구조설계기준^{(KCI, 2021)}의 식 (9)에 따라 탄성계수를 30,272 MPa로 결정하였다. 또한, 포아송비는 0.17로 그리고 콘크리트의 열팽창계수는 1.0×10$^{-6}$으로 가정하였다.

(9)

$E_{c}=0.077m_{c}^{1.5}\sqrt[3]{f_{cu}}$ , MPa

여기서, $f_{cu}$는 콘크리트의 평균압축강도(MPa), $m_{c}$는 콘크리트의 단위질량(kg/㎥)이다.

콘크리트의 압축응력-변형률 관계는 다음 식 (10)과 같이 ^{Carreira and Chu(1985)}가 제안한 모델을 사용하였다.

(10)

$\dfrac{\sigma_{c}}{f_{c}'}=\dfrac{\beta(\varepsilon /\varepsilon_{c}')}{\beta -1+(\varepsilon /\varepsilon_{c}')^{\beta}}$

여기서, $\sigma_{c}$는 압축응력, $\varepsilon$은 압축변형률, $f_{c}'$는 압축강도,$\varepsilon_{c}'$는 압축강도 시의 변형률로 다음 식 (11)과 같고, 그리고 $\beta$는 모형계수로 식 (12)와 같으며 $E_{i t}$는 식 (13)과 같다.

(11)

$\varepsilon_{c}'=(1,\: 680+7.1f_{c}')\times 10^{-6}$

(12)

$\beta =\dfrac{1}{1-\left(\dfrac{f_{c}'}{\varepsilon_{c}'E_{i t}}\right)}$

(13)

$E_{i t}=\dfrac{f_{c}'}{\varepsilon_{c}'}\left(\dfrac{24.82}{f_{c}'}+0.92\right)$

콘크리트 인장거동에 관한 인장응력($\sigma_{t}$)-균열 개구변위($w$)의 관계는 ^{Hordijk(1992)}에 의해 정의된 다음 식 (14)를 사용하였다.

(14)

$\dfrac{\sigma_{t}}{f_{t}}=\left[1+\left(3.0\dfrac{w}{w_{0}}\right)^{3}\right]e^{\left(-6.93\dfrac{w}{w_{0}}\right)}-10\dfrac{w}{w_{0}}e^{(-6.93)}$

여기서, $f_{t}$는 인장강도, $w_{0}$는 인장응력이 0일 때의 균열개구변위로 다음 식 (15)와 같다.

(15)

$w_{0}=5.4\dfrac{G_{f}}{f_{t}}$

여기서, 콘크리트 파괴에너지 $G_{f}$는 0.04 N/mm로 가정하였다^{(López et al., 2008; Grassl et al., 2008)}

응력-변형률과-손상에 대한 관계는 ^{Jankowiak and Lodygowski (2005)}의 반복재하에 대한 연구와 ^{Kim & Adu Al-Rub(2011)}의 연구를 참고하여 결정하였다(Fig. 4). Concrete-damaged- plasticity 모델의 소성관련 매개변수로는 ^{Prakash et al.(2011)}의 연구를 참고하여 Table 2에 나타낸 값을 사용하였다.

Fig. 4 Stress-strain-damage relationship of the concrete

Table 2 Parameters of the concrete plastic model

Parameters	Input value
Dilation angle	15.0
Eccentricity	0.1
K*	0.667
Viscosity Parameter	0.005
Ratio of the ultimate biaxial compressive stress to the ultimate uniaxial compressive stress	1.12
Ratio of the uniaxial tensile to the uniaxial compressive strength	0.1

* Ratio of second stress invariant on the tensile meridian to that on compression meridian at the initial yield for any given value of the pressure invariant

3.3 경계조건 및 해석방법

공시체는 Fig. 3과 같이 2차원 평면응력으로 모델링하였고, 경계조건으로는 원주공시체 중앙부(보강근 중앙부)의 수직과 수평방향 변위 모두를 구속하였다. 온도 하중은 초기 온도를 20 ℃로 하고 이를 기준으로 양의 온도차($+\Delta T$)로 60 ℃를 주었고, 음의 온도차($-\Delta T$)로 -50 ℃를 주어 열팽창 및 열수축 거동을 하도록 정의하였다. 이 때 FRP 보강근과 콘크리트 접촉 계면에서의 원주방향 변형률과 콘크리트 외피 부분의 원주방향 변형률을 확인하였고, 이를 이론해와 비교하였다.

본 연구의 목적은 콘크리트의 손상을 고려하는 재료 비선형 문제를 해석하는 것이므로 해의 정확도 부분에서는 다소 불완전하지만 수렴성이 우수한 Explicit 방법^{(Smith, 2009)}으로 수치해석을 수행하였고, Anti-aliasing filter를 적용하여 결과 값의 경향을 보다 뚜렷하게 확인할 수 있도록 하였다.

4.1 열 변형률 해석결과

^{Masmoudi et al.(2005)}는 실내실험 결과로부터 $c/db$가 1.5 이하인 경우에 공시체 외피에 균열이 발생하는 것을 확인하였다. 따라서 이 논문에서는 공시체의 $c/db$ 1.5를 기준으로 해석결과를 살펴보았다.

4.1.1 $c/d b$가 1.5를 초과하는 경우

Fig. 5(a)~Fig. 5(d)는 $c/db$가 1.5를 초과하는 경우, 온도변화에 따른 원주방향의 열 변형률을 나타낸 것으로 유한요소해석 결과와 탄성해석 결과를 같이 도시하였다. 탄성해석 결과와 같이 유한요소해석의 결과도 온도 차이에 따른 계면에서의 원주방향 변형률이 콘크리트 외측면의 변형률 보다 크게 나타났다. 음의 온도 차에서는 온도 차의 크기가 변화함에 따라 발생하는 변형률이 탄성해석과 유한요소해석의 결과가 거의 유사한 수준으로 나타났지만, 양의 온도 차에서는 온도 차이 크기가 변화함에 따라 유한요소해석의 변형률이 탄성해석 변형률보다 크게 나타났다. 이는 양의 온도차가 발생할 경우 FRP 보강근과 콘크리트 계면에 인장응력이 발생하며 콘크리트의 균열 및 손상이 발생하여 탄성해석보다 추가적인 변형률이 발생하는 비탄성 거동을 하였기 때문이다. 이러한 현상은 ^{Masmoudi et al.(2005)}는 실험에서도 확연하게 나타났으며 대략 이론해보다 1.2~1.4배 정도 더 큰 수준을 나타냈고 유한요소해석결과도 유사하게 평균 1.3배 정도 탄성해석 결과보다 큰 수준을 나타내었다.

^{Masmoudi et al.(2005)}의 실험은 $c/db$가 1.5를 초과하는 경우, 계측으로는 균열이 검토되지 않았지만 유한요소해석에서는 지름이 9.5 mm인 경우를 제외하고 나머지 경우에서는 균열이 발생하였다. 이는 실내실험에서 변형률 게이지를 위치한 곳에서 균열이 발생하지 않았거나, 아주 국부적으로 발생하여 검측이 되지 않았을 것으로 사료된다.

Fig. 5 Thermal strain for $c/db$ > 1.5

4.1.2 $c/d b$가 1.5를 이하인 경우

Fig. 6(a)~Fig. 6(f)는 $c/db$가 1.5 이하인 경우에 대하여 온도변화에 따른 원주방향의 열 변형률을 나타낸 것이다. 앞서 언급한 바와 같이 음의 온도 차에서는 온도 차의 크기가 변화함에 따라 발생하는 변형률이 탄성해석과 유한요소해석의 결과가 거의 유사한 수준으로 나타났지만, 양의 온도 차에서는 온도 차이의 크기가 변화함에 따라 유한요소해석의 변형률이 탄성해석 변형률 보다 크게 나타났고, 그 경향은 $c/db$가 1.5 이하에서 더 뚜렷하였다. ^{Masmoudi et al.(2005)} 실험에서는 대략 이론해보다 1.3~1.5배 정도 더 큰 수준으로 나타났고, 유한요소해석 결과도 유사하게 1.3~1.4배 탄성해석 결과보다 큰 수준을 나타내었다. 이는 선행 연구결과와도 유사한 수준으로 이를 통해 유한요소해석으로 FRP 보강근 콘크리트의 비탄성 거동을 적절한 수준으로 모사 가능함을 유추할 수 있다.

Fig. 6 Thermal strain for c/db ≤1.5

4.2 균열의 발생 및 진전

Table 4는 계면에서 발생하는 균열에 대한 온도차와 콘트리트 표면에서 발생하는 균열에 대한 온도차를 나타낸 것이다.

계면에서 발생하는 균열에 대한 온도차는 균열 발생 시점까지 선형탄성 거동에 가깝기 때문에 탄성해석 결과와 유한요소해석 결과가 거의 일치하게 나타났다. 계면에서의 균열 발생은 탄성해석과 유한요소해석 모두 대략 온도차 20 ℃를 전후로 시작되었으며 탄성해석으로도 이에 대한 평가가 가능할 것으로 판단된다. 계면에서의 균열 발생 시점 이후로 콘크리트 표면에서의 균열 발생 시 온도 차는 해석의 경우 FRP 보강근 지름에 대한 피복 두께에 $c/db$가 작아질수록 낮은 온도 차에서 표면에 균열이 발생하는 것을 알 수 있다. 해석결과를 살펴보면, 콘크리트 변형률이 급격하게 변하는 구간은 콘크리트의 피복에 관통 균열이 발생한 구간이다. 이때 균열부의 손상도가 1이 되면서 요소의 강성이 0에 가까워지면서 변형률이 급격하게 변화하였다. ^{Masmoudi et al.(2005)} 실험의 결과도 해석에 비하여 명확하게 나타나지는 않았지만, 대체로 $c/db$가 작아질수록 낮은 온도차에서 균열이 발생하는 것으로 관찰되었다.

Fig. 7은 온도 차이 60 ℃에서의 균열 분포를 콘크리트의 인장 손상도의 분포로 나타낸 것으로 각 FRP 보강근의 지름 별로 도시하였다. 앞서 언급한 것처럼 20 ℃를 전·후로 하여 계면에서 균열 발생이 시작되지만, 지름이 10 mm인 경우에는 방사방향으로 진전되지 않음을 확인할 수 있다. 지름이 10 mm인 경우를 제외하고 모든 해석 공시체에서 균열이 발생하였다. 방사 방향으로 진전되는 균열의 개수는 $c/db$가 작을수록 계면에서 원주방향으로 다수의 균열이 진전됨을 확인할 수 있다. 본 연구에서 검토한 GFRP 보강근의 경우 적어도 $c/db$가 3.0 이상의 피복두께를 확보해야 횡방향 열팽창에 대한 균열을 제어할 수 있을 것으로 판단된다.

Fig. 7 Crack distribution at $\Delta T$ = 60℃