2.1 차량-교량-궤도의 상호작용력

3차원 프레임 유한요소로 모델링 된 40 m 경간 PSC 박스교량과 동력차를 차량, 대차, 윤축으로 분리하여 각각의 연직변위, 횡변위, 종변위 및 3방향 회전각을 고려한 38자유도로 모델링하고 지수스펙트럼 밀도 함수로 생성된 불규칙성을 반영한 궤도 각각의 상호 작용력을 고려하여 Runge-Kutta 4차 방식으로 수치해석을 진행하였다. 상호 작용력은 궤도의 스프링 강성 및 감쇠와 상대변위의 함수가 되며 식 (1)로 나타낼 수 있다.

여기서, $F_{i}(t)$는 상호작용력, $K_{ti}$는 궤도의 스프링강성, $C_{ti}$는 궤도의 감쇠, $u_{ti}$는 차륜과 교량사이 상대변위이며 이는 식(2)로 나타낼 수 있다.

여기서 $z_{i}$는 i번째 차륜의 연직변위이고, $z_{bi}$는 교량의 연직변위 값을 나타내며, $\dot{u_{ti}}$는 시간에 대한 변위의 미분으로 상대속도를 나타낸다^{(Kim, 2000)}.

2.2 주행 차량의 모형화

동력차의 차체 중량 ($m_{c}$)과 독립된 2개의 대차 중량 ($m_{ti}$) 그리고 각 대차의 윤축장치 중량 ($m_{ai}$)을 1, 2차 현가장치로 연결시켜 모형화하였다. 따라서 수직변위($z_{c},\: z_{ti}$), 피칭($\theta_{c},\: \theta_{ti}$), 롤링($\Phi_{c},\: \Phi_{ti}$) 응답뿐만 아니라 횡변위($x_{c},\: x_{ti}$), 종변위($y_{c},\: y_{ti}$) 및 요잉($\phi_{c},\: \phi_{ti}$)에 의한 거동이 발생하며 이를 동시에 고려하도록 3차원으로 세밀하게 모형화하였다^{(Park, 1999)}.

KTX 동력차량에서는 1 개의 차체 질량과 2 개의 대차 질량에 총 6 가지의 자유도를, 4 개의 윤축장치 질량에는 피칭을 제외한 롤링, 요잉, 연직변위, 횡변위, 종변위 총 5 가지의 자유도를 고려하였다. 그로 인한 동력차의 전체 자유도 수는 38이며 해당 차량의 입면 자유도 연결모형은 Fig. 1에 나타내었고, 전·후 대차 자유도 연결모형은 Fig. 2에 나타내었다^{(Oh et al., 2010)}.

Fig. 1 38 DOF of KTX locomotive – side view

Fig. 2 38 DOF of KTX locomotive - bogie and wheels

2.3 PSC 박스 교량의 모형화

수치해석의 대상 교량은 경부 고속철구간에서 공용 중인 PSC 박스교에서 최대 경간길이인 40 m의 단면을 선택하였다. 단순교 해석결과와 적정한 비교를 위하여 동일한 단면을 갖는 2 경간 연속교량으로 모형화하였다. 해당 단면은 폭 14 m 복선 교량으로 2 연속 경간 길이 80 m를 3차원 프레임 요소로 모델링하였다^{(Oh and Jeong, 2021)}.

2.4 궤도 불규칙성 모형화

궤도형상은 Fig. 4에 나타낸 바와 같이 수평(Cross Level), 궤간(Gauge), 줄(Alignment), 연직면(Vertical Profile) 총 4 가지 불규칙 변수로 지수스펙트럼 밀도함수로 생성하여 모델링하였다^{(Kim, 2000)}.

Fig. 3 PSC box bridge section of Gyeong-Bu railway and measure points

Fig. 4 Geometric irregularities of railway

FRA (Federal Railroad Administration)에서 제시한 지수스펙트럼 밀도 함수($S(\phi)$)를 이용하여 좌·우 레일의 연직 방향 및 횡 방향 좌표를 생성시켰다. 여기서, A는 조도 매개변수이고, $\phi$는 파수, $\phi_{1},\: \phi_{2}$는 굴절 파수이다.

이러한 궤도 불규칙성은 모의발생기법을 이용하여 생성하고 지수스펙트럼 밀도함수를 이용하여 1,000 m의 좌·우 레일 좌표를 생성하였다. 기존 FRA 기준으로 산정된 6단계 궤도의 최대 허용운행속도는 177 km/h로 규정되어 있다. 따라서 NGT 주행속도에 대한 수치해석을 위해 FRA에서 제시한 지수스펙트럼 밀도함수를 이용하여 경부 고속철 궤도의 허용오차를 만족하며, 고속 주행에 적합한 한계범위를 강화시킨 새로운 궤도 등급 6단계(7~12등급)를 선형회귀식을 기초로 생성하여 Table 1에 나타내었다^{(Shim, 2012)}.

3.1 주행속도 별 최대 동적수직변위

수치해석 결과, 주행속도 별 최대 수직변위를 계측위치 별 3차 다항 추세선과 함께 Fig. 5에 나타내었다. 단 경간의 경우 해석된 속도 구간 내에서 최대 8.13 mm(@430 km/h) 수직변위가 발생하였으며, 해당 임계속도에서 최대치에 도달한 이후 급속하게 감소하는 형상이 발생하였다.

연속교 1 경간의 수직변위 해석결과, 단 경간보다 27 % 감소한 5.94 mm(@410 km/h)의 최대 변위가 발생하였으며, 단 경간과 동일한 최대 응답 관측 후 다시 감소하는 추이을 나타냈다. 반면 2 경간의 경우 해석 전 구간에서 지속적인 상승 추세를 보이며 8.17 mm(@570 km/h)로 최대 변위가 발생하였다. 이는 해석구간 내 단 경간 최대값을 상회하는 결과이다.

연속교량의 경우 경간 사이 지점 결합부의 부 모멘트로 인한 휨모멘트 재분배로 단 경간보다 최대 변위가 감소하는 것으로 알려져 있다. 마찬가지로 HEMU 주행속도 구간 이전까지의 최대 수직변위 해석 결과 단 경간 응답보다 연속경간의 응답이 20 % 이상 감소하여 이론적 추정과 일치하는 경향을 보였다.

그중 1 경간의 경우 NGT 속도 구간을 포함한 수치해석 전 구간에서 단 경간과 동일한 concave 형태를 띠었으며, 응답 값이 전체적으로 27 % 감소하여 이론에 부합하는 회귀분석 결과를 나타냈다. 반면 2 경간 해석결과 NGT 구간에서 수직변위가 급등하여 convex 형태를 보이며 단 경간에 비해 평균 47 % 상회하여 기존의 결과들과 대비되는 동특성이 발생하였다.

고속 주행 시 상이한 거동을 보이는 1 경간과 2 경간의 비교 분석 결과 HEMU 설계속도 이내에서는 각 경간 사이의 변위 차이비가 2 % 이내로, 상호 일치되는 결과를 나타낸 반면, 그보다 증속된 NGT 구간에서는 1 경간 대비 2 경간의 응답이 최대 2.82 배 증폭되었다.

주기함수의 형태로 도출된 최대 수직변위 값들 중 각 주기의 고점들만 3차 다항 회귀 분석하여 Table 2에 도시하였다. 해당 회귀식의 결정계수는 전체적으로 95 %를 상회하는 값을 나타내어 해석 구간 내 교량의 최대 수직변위와 주행속도 간의 상관관계가 높은 것으로 판단되었으며, 그로 인해 대상 교량의 최대변위를 간편화하여 추정할 수 있으며, 이를 불특정한 동특성의 표준화 방안으로 제안한다.

대상 교량 모두 “교량설계 일반사항”의 최대연직처짐 제한(270 km/h<V<350 km/h, 40 m 경간인 경우 승차감 = “매우 양호” 기준; 21.05mm)를 만족하였으나, 단 경간과 연속교 1 경간의 응답의 경우 일정한 주기성을 가지는 동적 거동을 보이는 반면 2 경간의 경우 응답이 계속해서 증가하며, 일정 속도 기점으로 동적 응답이 급격한 확대되는 불안정한 양상이 확인되었다. 그로 인한 2 경간의 동적 거동 추이는 타 경간과의 상대적인 체감 변위 차이가 확대될 것으로 예상되어 주행 안정성과 승객의 승차감에 문제가 발생할 수 있으므로 이에 대한 실증적인 검토가 필요하다고 판단된다.

3.2 대표 주행속도에서의 DAF(동적확대계수) 분석

주행속도 구간을 현황별로; ➀ KTX 속도 구간(≤330 km/h), ➁ HEMU 속도 구간(≤430 km/h) 및 ➂ NGT 속도구간(≤600 km/h)을 3 단계로 구분하여 각 속도 구간에서 최대 수직변위가 발생한 280 km/h, 430 km/h, 570 km/h 3 가지와 1 경간과 2 경간의 발생변위 차이가 가장 높은 480 km/h를 포함하여 4 가지 대표 속도로 선정하여 Fig. 2에서 도시한 계측 위치 3 가지(LB, CB, RB)에서의 DAF와 해당 계측 위치의 변위 차로 발생하는 교량 단면의 횡방향 기울기인 횡축 경사를 비교 분석하였다.

정적해석결과 단 경간은 최대 3.82 mm, 연속 경간은 2.97 mm로 최댓값을 보여, 단 경간과 연속경간의 DAF 기준은 상이하나 각각의 유지보수 상황에서 상대적으로 계측된 데이터의 일반화를 위하여, 해당 각각의 교량 형식 별 최대 정적변위를 기준으로 DAF를 산출하였다. 또한 통과시간 역시 동일한 조건으로 비교하기 위하여 상대시간(1.0@단 경간; 2.0@연속경간)으로 변환하여 도시하였다.

3.2.1 KTX 설계속도 구간

현재 운영 중인 KTX 속도구간의 수치해석 결과 주행속도 280 km/h에서 가장 큰 동적 거동을 보였으며, 해당 속도에서 통과시간에 따른 DAF를 Fig. 5 (a), (b)에 도시하였다.

해석된 세 가지 위치 중 단 경간에서 1.82로 최대 DAF를 보였으며. 최댓값 발생 위치는 상대시간 0.60으로 정적 최댓값 시점(0.50)에 비해 20 % 지연되어 나타났다. 이후 동적 응답이 급감하여 정적응답과 상반되는 부모멘트 확대(DAF by negative moment, DAFn) 현상이 확인되었으며, RB점에서 최댓값이 발생한 DAF와 달리, DAFn의 경우 LB점에서 0.75(@상대시간 0.94)로 최대응답을 보였다.

1 경간 최대 DAF의 경우 1.71(@0.71)로 단 경간에 비해 7 % 감소한 결과를 보였으나, 단 경간 DAF 곡선과 동일한 유형으로 확인되었다. 상대시간 1.00 이후로 부모멘트가 발생하였으며 단 경간과 마찬가지로 LB점에서 최대 DAFn 0.57(@1.14)로 산출되었다. 반면 2 경간 동적 응답의 경우 DAF 1.25(@1.64) 및 DAFn 0.69(@0.82)로 정적해석 값은 상회하나 단 경간 응답에 비해 32 % 감소한 결과가 나타났다. 또한 차량이 연속교 2 경간 주행 시 교량의 1, 2 경간 중앙부에서 모두 쌍봉 곡선 형태의 응답을 나타내어 차량의 축간거리 17 m의 동적 응답이 두드러지게 나타내었다.

세 경간 모두 DAF가 확대될수록 횡단면의 좌우 측(LB, RB) 변위 차가 벌어져 횡축경사가 발생했으며, DAFn 발생 구간은 경사가 급격히 감소하는 현상이 확인되었다. 또한 그중 단 경간에서 0.387 ‰로 가장 가파른 기울기를 보였으며, 1 경간 및 2 경간의 경우 각각 단 경간에 비해 18%, 39% 감소하여 동적 응답과 비례하는 결과를 보였다.

Fig. 5 Maximum vertical displacement of PSC box bridge by running speed

4.1 대표 주행속도별 교량 상판의 면틀림

고속철 교량 상판의 면틀림(Irregularity in Longitudinal Level, I) 기준은 좌·우 레일의 캔트 허용변화량을 의미하므로, 해석대상인 교량의 고속철 차량이 재하된 종방향 궤도부를 따라 최대 면틀림 값이 발생하는 구간을 선택하였다. 최대 면틀림 값이 발생하는 구간은 단 경간과 연속교 1 경간인 경우 후미 지점부 근처에서 발생하였고, 연속교 2 경간에서는 진입 지점부에서 발생하였다.

국내 철도설계기준 KDS (Korean Design Standard) 의 면틀림 허용제한기준인 1.2 mm/3 m(폭 1 m와 길이 3 m 기준) 를 적용하여 수행된 해석결과를 모델링에 적용된 절점간격(궤도의 폭 1.5 m와 교량 모델링 길이간격 4 m) 각각의 수직변위 차이를 환산하여 산정하였다. 즉, 면틀림 길이 3 m 와 폭 1 m 기준을 적용하기 위하여 길이 비를 보간법으로 보정하여 환산하고 이에 대한 평균값과 표준편차/평균값 비인 변동계수(Coefficient of Variation, CV)를 산정하여 산포도의 정도를 Table 3에 나타내었다.

해석된 전체 주행속도 구간 중 최대 면틀림은 연속교 1 경간에서 0.144 mm/3 m(@430 km/h)로 산출되었으며, 이는 단순교의 최댓값 0.088 mm/3 m(@430 km/h)를 64% 상회하여 동적 수직변위의 측정위치 별 대소와 다른 결과를 보였다. 또한 단 경간과 1 경간 모두 앞 절에서 분석한 동적 수직변위 분포와 유사하게 HEMU 구간에서 최대 응답을 보인 후 증속 시 다시 응답이 감소하는 주행속도 별 응답 추이가 확인되었다.

반면에, 연속교 2 경간의 경우 앞선 속도구간에선 1 경간의 면틀림 값에 비해 미치지 못한 응답을 보였으나, 주행속도가 증가됨에 따라 꾸준한 증가 추세를 보이며 차세대 고속철 속도구간 안에서 계산된 면틀림 중 최댓값인 0.110 mm/3 m(@570 km/h)가 산출되었다. 해당 결과는 1 경간 최대 면틀림 값 대비 24 % 부족한 응답이나 주행속도 증가와 비례하여 꾸준한 증가 추세를 나타내고 있으므로 앞 절에서 주목을 받은 추세 현상과 동일한 것으로 평가된다.

분석된 전체 구간의 최대 면틀림 0.144 mm/3 m는 KDS 허용기준 1.2 mm/3 m와 비교하면 겨우 12.0 % 미치는 미소한 면틀림 값이 계산되어 안정된 거동을 보였다. 그러나 주행속도에 따른 면틀림의 변화 추세의 경우 단 경간 및 연속교 1 경간은 HEMU 구간에서 피크를 나타내고 이후 다시 감소하였으며, 2 경간은 1 경간보다 적은 응답으로 시작되었으나 주행속도의 증가에 따라 면틀림 값이 지속적으로 증가하여 다른 구간의 최대 응답에 근접하는 결과 나타내어 앞 절에서 언급한 측정 위치 별 동적 수직변위 추세와 동일한 상관 관계를 나타내고 있다.

4.2 대표적 주행속도별 교량 수직변위 가속도

고속철 교량의 주행안정성 기준 중 수직변위 가속도를 교량에 대한 차량의 통과 시간에 대한 응답 이력으로 나타내어 Fig. 7에 나타내었다. DAF 값이 최대로 확대된 3 가지 대표속도에서 단 경간, 연속교 1 경간 및 2 경간의 최대변위 발생 위치인 중앙경간 궤도 하부의 수직변위 가속도를 나타내었다.

단 경간의 경우 주행속도 430 km/h에서 최대 수직변위 가속도 1.333 g가 차량이 경간길이 70 % 위치를 통과할 때 발생하였다^{(Oh et al., 2021)}. 연속교의 경우 1 경간의 최대 수직변위 가속도 값은 대체로 0.1 g 이내에서 조사되어 단순교의 해석결과와 유사한 허용가속도 값을 확보한 반면 연속교량의 2 경간은 앞 절에서 분석된 동적 수직변위 추이와 같이 차량의 증속에 비례하여 가속도가 지속적으로 확대되어 NGT 구간인 570 km/h에서 최대값 0.187 g가 2 경간 70 % 위치를 통과할 때 발생하였다.

기존 국내 고속철 교량의 주행안정성 설계기준에 의하면 허용되는 최대 연직가속도는 자갈도상인 경우 0.35 g, 콘크리트 도상인 경우 0.50 g 이내의 조건을 만족하여야 하며, Eurocode의 승차감 기준으로는 차체의 최대 수직변위 가속도를 0.20 g 이내로 제한하고 있다. 해석결과 최대 가속도인 0.187 g는 국내 설계기준은 안정적으로 만족하나, Eurocode 승차감 제한에는 10 % 이내로 근접한 결과를 보였다. 그러나 이는 차체에서 허용되는 가속도 기준으로 교량 상판의 가속도가 차체로 전달될 경우 차량의 진동저감 메커니즘 단계를 통하여 감쇠될 것으로 예상된다.

Fig. 6 Dynamic amplification factor by measured position at running speed (KTX & HEMU)

Fig. 7 Dynamic amplification factor by measured position at running speed (NGT)

Fig. 8 Deck vertical acceleration by measured position for each span