2.1 진동법

진동법은 케이블의 응답으로부터 진동모드에 대한 고유진동수들을 측정하고 측정된 고유진동수들과 케이블의 형상 조건을 이용하여 케이블의 장력을 추정하는 방법이다. 공용 중인 케이블 교량에서는 고유진동수들과 케이블의 형상 조건을 이용하는 최소자승법에 기반을 둔 진동법이 가장 많이 사용되고 있다^{(Shimada, 1994)}.

최소자승법에 기반을 둔 진동법은 케이블의 휨강성을 고려하기 위하여 케이블을 휨이 존재하는 보로 가정하였으며 운동방정식은 Eq. (1)과 같이 나타낼 수 있다. Eq. (1)에서 $T$는 케이블의 장력, $EI$는 휨 강성, $w$는 단위길이당 중량, $g$는 중력가속도이다.

케이블의 전장에 걸쳐 장력과 휨강성이 일정하다고 가정하고, 케이블 양단의 경계조건을 힌지라고 가정하면 Eq. (1)의 해는 Eq. (2)와 같이 나타낼 수 있다.

Eq. (2)에서 $l$은 케이블의 길이, $f_{n}$은 $n$차의 고유진동수이다. Eq. (2)의 $\left(f_{n}/n\right)^{2}$에 대하여 최소자승법을 이용하여 1차 식의 형태로 표현하면 Eq. (3)과 같이 나타낼 수 있다. Eq. (3)에서 1차 식의 기울기($a$)와 절편($b$)를 이용하면 Eq. (4)의 케이블의 휨강성과 Eq. (5)의 케이블 장력을 산정할 수 있다.

최소자승법에 기반을 둔 진동법은 케이블의 길이 방향으로 균일하지 않은 휨강성 및 새그로 인해 발생하는 오차를 보정할 수 있다는 점에서 활용도가 매우 높다. 따라서 케이블 장력을 추정하기 위한 진동법의 많은 발전에도 최소자승법에 기반을 둔 진동법이 공용 중인 교량에서 일반적으로 사용하고 있다.

2.2 역해석 기법

역해석은 정해석의 수치해석 결과와 계측 결과의 차이가 최소화하는 기법이다^{(Jeon and Yang, 2004)}. 이 연구에서는 역해석 중에서 직접탐색법을 적용하였다. 직접탐색법은 계측된 값과 산정된 값의 차이를 나타내는 목적함수를 최소화하는 방법으로 역해석을 수행한다. 목적함수가 최소가 되는 변수를 결정하게 되는데 이 과정에서 변수가 변경되면서 반복 계산이 필요하다. 변수가 선형적으로 변하더라도 목적함수는 비선형함수이며 Eq. (6)과 같이 나타낼 수 있다. 케이블 장력은 케이블이 인장되는 정도에 따라 고유진동수들이 변화하는 특성이 있다. 이 연구에서 목적함수인 $f(T)$를 케이블의 장력으로 정의하면 $f^{m}$는 측정된 고유진동수, $f_{i}^{c}$는 $i$번째 유한요소해석을 이용하여 산정된 고유진동수, $n$은 진동모드이다.

최적화는 주어진 조건에서 최고의 적합한 결과를 찾기 위한 방법으로 정의된다. 최적화 방법은 특정 함수로 표현할 수 있으며 이러한 함수의 최소치 또는 최대치를 찾기 위한 과정으로 정의할 수 있다. 직접탐색법은 미분하지 않고 변수를 변경하므로 최적해에 도달하는 수렴 속도가 느리지만 초기값이 최적해에서 멀리 떨어져 있더라도 정해를 찾을 수 있는 장점이 있다. 이 연구에서는 직접탐색법 중에서 단변분 탐색법을 적용하였다^{(Hanby and Angelov, 2000)}.

단변분 탐색법은 초기치로부터 하나의 변수만을 변화시키면서 최적해를 찾아가는 방법이다. Eq. (7)에서 $i$번째 반복연산 과정에서 초기치를 $T_{i}$라고 하면 하나의 변수만을 변화시켜서 새로운 지점인 $T_{i+1}$을 접근하게 되며 이 과정은 새로운 방향으로 탐색을 계속 수행한다. 이 연구에서는 초기장력 $T_{i}$는 설계장력으로 설정하였으며 $\lambda_{i}^{*}$는 단계 길이이고 $S_{i}$는 탐색 방향이다.

Eq. (7)에서 단계 길이인 $\lambda_{i}^{*}$는 Eq. (8)과 같이 나타낼 수 있다. Eq. (8)에서 $\beta_{i}$는 보정계수로서 계측된 고유진동수들과 산정된 고유진동수들을 이용하여 Eq. (9)와 같이 정의할 수 있다. 역해석을 위한 변수들의 보정량을 결정하는 보정계수 $\beta_{i}$를 계측된 고유진동수들과 $i$번째 산정된 고유진동수들의 비로 정의하였다.

케이블은 장력이 커질수록 고유진동수들도 증가하므로 탐색방향 $S_{i}$는 Eq. (10)과 같이 1로 정의하였다. 수렴기준은 Eq. (11)과 같이 매개변수 $T_{i}$의 상대 변화량으로 정의하였다.

변수에 대한 탐색이 끝나면 첫 번째 반복연산이 끝나며 이러한 연산은 목적함수의 개선이 없을 때까지 계속된다. 수렴기준은 Eq. (11)과 같이 장력에 대한 상대 변화량이 0.0005 이하일 때까지 수행하였다.

3.1 팔영대교

팔영대교는 Fig. 1과 같이 전라남도 여수시 화정면 적금도와 고흥군 영남면 우천리를 연결하는 연장 1,340m (310m+ 850m+180m)의 단경간 현수교이다. 팔영대교는 2면의 주케이블과 94개의 행어케이블로 구성되어 있다. 주탑은 높이 138m의 철근 콘크리트 주탑, 폭은 19.7m의 왕복 2차선이며 유선형 강박스 거더이다.

이 연구에서는 Fig. 2와 같이 긴 케이블, 중간 케이블, 짧은 케이블을 모두 포함되게 선정함으로써 행어케이블의 길이 변화에 따른 구조적인 특성을 분석하였다. 영상계측시스템을 이용하여 측정된 응답은 변위 기반이므로 진동법을 적용하는 데 필요한 고차모드의 고유진동수에 대한 측정이 어려울 수 있다. 따라서 저차모드의 고유진동수만을 이용하여 행어케이블의 장력을 추정하는 방법을 제시하고자 하였다. 장력을 추정하기 위하여 총 6개의 GR02, GR05, GR08, GR11, GR14 및 GR17 행어케이블들을 선정하였다.

행어시스템은 현수교의 앵커와 주탑으로 하중을 전달하는 주케이블, 행어케이블과 주케이블의 연결부인 케이블밴드, 행어케이블과 보강형의 연결부인 행어소켓으로 구성되어 있다. 이 연구에서 장력을 추정하기 위해 선정된 행어케이블은 Fig. 3과 같이 직경 80mm로 케이블당 151EA의 소선으로 구성되어 있다. 선정된 행어케이블의 제원은 Table 1에 나타내었다. Table 1에서 행어케이블의 길이는 유효길이이며 설계장력은 소록대교 설계시방서에 제시된 장력이다.

Fig. 1 Palyeong Bridge

Fig. 2 Positions of hanger cables for tension estimation

Fig. 3 Hanger system

3.2 행어케이블의 장력 추정

진동법 및 역해석 기법을 이용하여 행어케이블의 장력을 추정하기 위해서는 진동모드에 대한 고유진동수들이 필요하다. 고유진동수들을 측정하는 데 필요한 응답은 상시진동상태에서 가속도 응답 및 변위 응답을 획득하였다. Fig. 4(a)에서 가속도 센서(PCB 393BO4)를 교축 방향으로 설치하여 가속도 응답을 측정하였으며, 영상계측시스템을 이용하여 행어케이블의 응답을 측정하기 위하여 행어케이블에 원 모양의 타겟을 부착하였다. Fig. 4(b)는 케이블의 응답을 교축 방향으로 측정하기 위해 설치된 영상계측시스템을 나타내었다. 영상계측시스템은 디지털 캠코더(SONY HDR-CX130)와 삼각대(ACEBIL I-705DX)로 구성되었으며 휴대가 편리하며 경제적인 장점이 있다. 영상계측시스템은 1920×1080의 영상을 60 FPS(Frames Per Second)로 주파수 해상도는 $\Delta f$는 0.004Hz로 측정하였다. 가속도 센서는 데이터 취득속도 200Hz로 주파수 해상도 $\Delta f$는 0.003Hz로 측정하였다. Fig. 4(c)는 영상계측시스템을 이용하여 획득된 GR02 행어케이블의 이미지를 나타내었다. 이 연구에서는 행어케이블에서 촬영된 동영상을 이미지로 변환하여 이미지 해석을 수행하는 후처리 방법을 사용하였다. 영상계측시스템을 이용하여 케이블의 응답은 DIC(Digital Image Correlation)의 ZNSSD(Zero Normalized Sum of Squared Differences)를 이용하여 측정하였다^{(Kim et al., 2018)}. DIC는 임의의 템플릿 윈도우를 등록하고 시간에 따라 변화하는 ROI(Region Of Interest) 윈도우에서 가장 유사한 템플릿 윈도우를 찾는 방법이다. 템플릿 윈도우가 ROI 윈도우에 최적으로 매칭되는 곳의 변위 좌표를 산정하게 된다. 팔영대교는 상시진동상태에서 행어케이블의 변위가 크지 않다. 따라서 이 연구에서는 Fig. 4(c)에서와 같이 ROI 왼도우는 150×150 픽셀로 설정하였으며 템플릿 윈도우는 ROI 윈도우의 1/3배인 50×50 픽셀로 설정하였다. 이미지 해석의 결과는 픽셀 단위이며 이를 실제 변위로 환산하여야 한다. 행어케이블의 직경과 이미지에서 행어케이블이 차지하는 픽셀의 수로 나누어 1픽셀에 대한 해상도를 구하여 실제 변위로 변환할 수 있다. 행어케이블의 직경은 80mm이고 GR02 행어케이블의 직경에 대응하는 픽셀은 638개이므로 1픽셀에 대한 해상도는 0.13mm이다. 다른 행어케이블들도 유사한 거리에서 영상계측시스템을 이용하여 촬영하였으므로 1픽셀에 대한 해상도는 GR02 행어케이블과 유사하게 나타났다.

Fig. 4 Experimental setup

Table 2는 가속도 센서와 영상계측시스템을 이용하여 측정된 진동모드에 대한 고유진동수들과 진동법을 이용하여 추정된 장력을 나타내었다. 진동모드에 대한 고유진동수들은 가속도 센서는 최대 8차 고유진동수까지, 영상계측시스템은 측정된 최대 고유진동수까지를 나타내었다. Fig. 5는 GR05 행어케이블과 GR14 행어케이블에서 영상계측시스템을 이용하여 측정된 응답을 나타내었다. Fig. 5에서 상시진동으로 행어케이블에서 측정된 응답의 범위는 1mm 이내로 작게 나타났으며 측정된 모든 행어케이블에서 유사하게 나타났다. Fig. 6은 GR05와 GR14 행어케이블들에 대하여 가속도 센서와 영상계측시스템에서 측정된 응답에 대한 PSD(Power Spectral Density) 함수를 나타내었다. Table 2에서 가속도 센서와 영상계측시스템을 이용하여 측정된 진동모드에 대한 고유진동수와 장력이 ±1% 이내의 정확도를 확인할 수 있었다. 그러나 영상계측시스템에서 측정된 응답은 GR14 행어케이블부터 1차 고유진동수만 측정되었다. 따라서 진동법을 이용하여 장력을 추정하기 위한 최소한의 진동모드에 대한 고유진동수들의 추출이 어려움을 확인할 수 있었다. Table 2에서 선택된 행어케이블들은 상시진동상태에서 영상계측시스템을 이용하여 약 10Hz 이상의 고유진동수들을 측정하기 어려움을 확인할 수 있었다. GR14 행어케이블부터는 2차 고유진동수의 응답이 백색잡음보다 작아서 확인되지 못하였다. 이는 영상계측시스템을 이용하여 측정된 응답에서 2차 고유진동수의 응답 성분이 백색잡음 성분보다 높은 해상도를 갖지 못하였다. 따라서 영상계측시스템은 1차 고유진동수만을 이용하여 행어케이블의 장력을 추정하는 방법이 필요한 것으로 나타났다.

Fig. 5 Response measured on GR05 and GR14 hanger cables using vision-based system

Fig. 6 PSD function of responses measured on GR05 and GR14 hanger cables using accelerometer and vision-based system

이 연구에서는 행어케이블의 입력된 장력에 대한 고유진동수들의 변화를 해석하기 위하여 유한요소프로그램인 ABAQUS V6.12를 이용하여 고유치해석을 수행하였다. 유한요소모델은 Fig. 7과 같이 2차원 보요소로 모델링 하였으며 경계조건은 행어케이블의 상단과 하단 모두 힌지로 설정하였다. 역해석 기법을 적용하기 위한 초기장력은 행어케이블의 설계장력으로 설정하였다. Fig. 7과 같은 절차로 행어케이블의 현장에서 측정된 고유진동수들과 유한요소해석에서 산정된 고유진동수들을 비교함으로써 역해석을 반복적으로 수행할 수 있다.

Fig. 8은 진동모드 차수의 변화에 따라 역해석 기법을 적용하여 최종 수렴된 장력을 진동법을 이용하여 추정된 장력과 비교하였다. Fig. 8에서 역해석 기법은 가속도 센서에서 측정된 최대 8차 고유진동수까지 적용하였으며 진동모드의 차수를 1~2차부터 1~8차까지 변화하여 적용하였다.

Fig. 7 Back analysis procedure for hanger cable

Fig. 8 Tension and error calculated by applying back analysis according to changes in vibration mode (Accelerometer)

Fig. 9는 GR05 및 GR14 행어케이블들에 대하여 진동모드의 변화에 따라 역해석 기법을 적용하여 산정된 장력의 수렴과정을 나타내었다. Fig. 8에서 휨강성의 영향이 작은 긴 케이블들은 진동모드를 1~2차부터 1~8차까지 적용한 장력들은 유사하며 진동법을 이용하여 추정된 장력과 유사함을 확인할 수 있었다. 그러나 휨강성의 영향이 큰 짧은 케이블들은 진동모드의 사용이 커질수록 진동법을 이용하여 추정된 장력과 비교하여 오차가 증가함을 확인할 수 있었다. 이론적으로 행어케이블은 경사가 90도이며 중력으로 인한 처짐이 발생하지 않으므로 팽팽한 현의 거동이다^{(Irvine, 1981)}. 휨강성이 존재하지 않는 이상적인 현은 경계조건이 힌지 또는 고정 조건에 상관없이 일정한 고유진동수의 비율을 갖게 된다. 그러나 실제 행어케이블은 길이에 따라 휨강성과 경계조건의 영향이 존재하며 행어케이블의 길이가 짧아질수록 휨강성과 경계조건의 영향이 크다. 행어케이블의 길이가 짧아질수록 휨강성과 경계조건의 영향으로 인해 팽팽한 현과 휨강성이 지배하는 보의 중간 거동을 보이게 된다. 행어케이블의 길이가 짧아질수록 저차모드보다 고차모드의 진동모드를 이용하여 산정된 장력은 진동법을 이용하여 추정된 장력과 비교하여 오차가 증가함을 Fig. 8에서 확인할 수 있었다. Fig. 8에서 역해석 기법을 이용하여 산정된 장력은 고차의 진동모드까지를 사용하는 것보다 저차의 진동모드를 사용하는 것이 진동법을 이용하여 추정된 장력과 유사함을 확인할 수 있었다. 이 연구에서는 최소자승법에 기반을 둔 진동법을 이용하여 행어케이블의 장력을 추정하였으나 유한요소모델과 실제 행어케이블은 경계조건이 달라 짧은 케이블에서는 오차가 발생한 것으로 나타났다. 그러나 이 연구에서 제시한 역해석 기법을 이용하여 장력을 산정하면 유효모드질량이 큰 저차모드의 고유진동수만을 이용하여도 신뢰성 있는 장력을 추정할 수 있음을 확인할 수 있었다.

Fig. 9 Convergence process of tension calculated by applying back analysis according to changes in vibration mode (Accelerometer)

Table 3은 GR05 및 GR14 행어케이블들에 대하여 역해석 기법을 진동모드 차수의 변화에 따른 초기 고유진동수들과 수렴된 고유진동수들을 나타냈으며 측정된 고유진동수들과 비교하였다. Table 3에서 긴 케이블인 GR05 행어케이블은 현의 거동을 하므로 1~2차부터 1~8차까지를 역해석하여 산정된 고유진동수들은 측정된 고유진동수들과 유사함을 확인할 수 있다. 진동모드에 대한 고유진동수의 비도 거의 일정함을 확인할 수 있다. 그러나 짧은 케이블인 GR14 행어케이블은 사용된 진동모드의 차수에 따라 산정된 고유진동수들의 차이가 나타남을 확인할 수 있었다. 짧은 행어케이블은 휨강성과 경계조건의 영향이 긴 케이블보다 크기 때문에 고유진동수의 차이가 크다. 실제 행어케이블과 유한요소모델의 경계조건은 다르므로 짧은 행어케이블에서 고유진동수들의 차이가 나타났다. 그 결과 짧은 행어케이블에서 진동법을 이용하여 추정된 장력과 역해석 기법으로 산정된 장력은 차이가 나타남을 확인할 수 있었다.

Fig. 10은 영상계측시스템을 이용하여 측정된 각각의 진동모드에 대한 고유진동수를 역해석 기법에 적용하여 산정된 장력을 나타내었다. Fig. 11은 GR05 및 GR14 행어케이블들에 대하여 각각의 진동모드에 대한 고유진동수를 역해석 기법에 적용하여 산정된 장력의 수렴과정을 나타내었다. Fig. 10에서 각각의 진동모드에 대한 고유진동수를 역해석 기법에 적용하여 산정된 장력은 진동법을 이용하여 추정된 장력과 3% 이내의 오차가 나타났다. 긴 행어케이블부터 짧은 행어케이블 모두 비교적 정확한 장력이 산정되었다. 이 결과를 통해 영상계측시스템을 이용하는 방법의 단점인 고주파수 성분의 응답에 대한 낮은 해상도와 환경적 요인에 의한 해상도 저하의 문제를 극복할 수 있다는 것을 알 수 있다. Fig. 10에서 1차 고유진동수를 역해석 기법에 적용하면 짧은 행어케이블들도 정확한 장력 추정이 가능함을 확인할 수 있었다. 이는 고가의 영상계측시스템이나 부가적인 장비 없이 일반 디지털 캠코더를 이용하여도 행어케이블의 장력 추정이 가능할 수 있음을 의미한다.

Fig. 10 Tension calculated by applying back analysis technique to each vibration mode (Vision-based system)

Fig. 11 Convergence process of tension calculated by applying each vibration mode to back analysis technique (Vision-based system)