2.1 표면열방출법을 이용한 이차 화재곡선 식의 개선

화재해석 시, 표면열방출율법에 의거하여 연소 대상 물체의 열방출 특성을 입력하여 화재곡선을 도출한다. 표면열방출율법이란 실험 등을 통해 도출된 열방출율 곡선을 연소특성으로 입력하는 해석법을 뜻하며, 시간별 열방출율(HRR; Heat release rate)을 단위 면적당 표면열방출율(HRRPUA; Heat release rate per unit area)로 환산하여 산정한다. 단위 면적당 표면열방출율(HRRPUA)의 산정과정은 식 (1)~(3)와 같이 표현할 수 있다.

여기서, $m$은 질량, $\dot{Q}$은 측정된 시간별 열방출율, $\dot{Q}_{V_{0}}$는 단위 부피당 열방출율, $\rho_{m}$은 질량 밀도, $\dot{Q}_{m_{0}}$은 단위 질량당 열방출율, $\dot{Q}_{A_{0}}$는 단위 면적당 열방출율, $h$는 연소물의 높이이다.

이때 시간별 열방출(HRR)을 도출하는 방법은 2가지가 있다. 1) 실물화재 시험을 통해 열방출율을 실제로 측정하거나, 2) 연소과정을 프로그램으로 구현하여 예측되는 열방출율을 도출하는 방법이다. 시뮬레이션을 활용할 때에는 대상 물체를 구성하는 각 연소물의 연소 특성을 입력하며, 열분해법에 의거하여 산정한다.

복잡한 실제 열방출율을 간소하여 국토교통부 도로설계편람^{(Ministry of land, transport and maritime affairs, 2012)}에서는 Fig. 2와 같이 차량별로 열방출율을 보수적이고 간소화한 화재곡선을 적용할 수 있도록 하고 있다. 이 화재곡선은 화재의 발현 특성을 크게 성장시간 ($\Delta t_{i}$), 유지시간 ($\Delta t_{s}$), 감쇄시간 ($\Delta t_{d}$)인 세 단계로 구분하여 간소화하였다. 성장시간과 감쇄시간의 화재곡선을 이차항으로 표현하고 계수를 각각 성장률 $\alpha$와 감쇄율 $\beta$로 하였다. 즉, 화재곡선은 최대 열방출율 (화재강도; HRR, $\dot{Q}_{\max}$)과 총 열발생량 (THR; Total heat release rate, $Q$)를 매개변수로 하여 식 (4)와 같이 표현된다.

화재 해석 프로그램에서는 화재강도 (HRR, $\dot{Q}_{\max}$)를 기준으로 할 때 각 시간별 화재곡선의 비율을 사용하도록 하고 있다. 즉, 화재강도 값에 해당하는 시간 위치에 1.0을 부여하고, 나머지 화재강도에 대해서는 화재강도 대비 비율을 이용하여 해당 시간대에 기재한다. 식 (4)를 화재 해석 프로그램에서 사용하기 위해서는 화재강도 값으로 각 식을 나누어야 한다.

화재곡선을 시간에 따른 이차항으로 표현하는 경우에 성장률 $\alpha$와 감쇄율 $\beta$를 추가적으로 부여할 필요는 없으며, 화재강도와 성장시간, 유지시간, 감쇄시간에 따라 자동으로 결정되는 값이다. 위 고찰을 바탕으로 식 (4)를 식 (5)와 같이 개선할 수 있다.

여기서, $\dot{Q}_{\max}$는 화재강도, $t_{0}$은 연소 시작시간, $t_{1}$은 초기 성장시간, $t_{2}$는 감쇄가 시작되는 시간, $t_{f}$는 연소가 종료되는 시간이다. 성장시간은 $\Delta t_{i}= t_{1}- t_{0}$, 유지시간은 $\Delta t_{s}= t_{2}- t_{1}$, 감쇄시간은 $\Delta t_{d}= t_{f}- t_{2}$ 으로 측정된다. 연소가 진행되는 총 연소특성시간(characteristic time) $\Delta t_{ch}$는 초기 연소가 시작되는 시간 $t_{0}$과 연소가 종료된 시간 $t_{f}$ 사이의 시간인 $\Delta t_{ch}= t_{f}- t_{0}$으로 정의할 수 있다. 식 (5)는 열방출율로서 열방출율 $\dot{Q}$ 를 적분하면 총 열발생량 $Q$ 와 같아야 한다. 그러므로, 식 (6)과 같이 표현된다.

추가적으로 성장시간, 유지시간, 감쇄시간을 전체 연소시간인 특성시간으로 나누면, 성장, 유지, 감쇄 기간을 무차원으로 표현한 성장구간비 $\beta_{i}$, 유지구간비 $\beta_{s}$, 감쇄구간비 $\beta_{d}$로 정의할 수 있다. 따라서 식 (7)과 같이 표현된다.

이때 성장시간, 유지시간 및 감쇄시간 비율을 모두 더하면 1.0이 되어야 한다. 즉, $\beta_{i}+\beta_{s}+\beta_{d}=1$ 이다. 이때 화재곡선 식을 식 (8)과 같이 정리할 수 있다.

식 (8)의 매개변수는 화재강도 $\dot{Q_{\max}}$, 성장구간비 $\beta_{i}$, 감쇄구간비 $\beta_{d}$, 전체 연소 특성시간 $\Delta t_{ch}$이다. $t_{1}= t_{0}+\beta_{i}\Delta t_{ch}$, $t_{2}= t_{f}-\beta_{d}\Delta t_{ch}$이다. 위 식 (8)에는 성장률이나 감쇄율을 따로 기재할 필요가 없다. 총 열발생량 $Q$, 총 연소특성시간 $\Delta t_{ch}$, 각 시간 구간비율을 측정하면, 식 (7)을 이용해서 화재강도 $\dot{Q}_{\max}$를 결정할 수 있다.

화재곡선 식 (8)을 화재 해석 프로그램에서 사용할 때는 특정 질량에 대한 화재강도 $\dot{Q}_{\max}$를 식 (3)을 이용해서 단위면적당 화재강도로 변환한 다음 화재 해석 프로그램에 입력해서 사용한다. 식 (8)의 화재곡선 식은 Fig. 3와 같이 무차원으로 표현된다. 또한, 물리법칙을 나타내는 화재곡선 식은 양변의 차원이 일치한다. 이를 이용해 구하고자 하는 물리량의 차원인 총 열발생량 및 화재강도와 그 물리량에 영향을 주는 변수와 상수들의 차원인 총 연소특성시간, 성장구간, 유지구간, 및 감쇄구간을 안다면 변수와 상수들의 관계를 파악할 수 있으므로 무차원 화재곡선 식으로 표현하였다.

Fig. 2 Vehicle fire curve in the road design manual (2012) of the ministry of land, transport and maritime affairs

Fig. 3 Dimensionless quadratic fire curve

2.2 연소물의 질량증가에 따른 연소시간 보정함수 도입

동일 연소물일지라도 연소 대상 질량의 크기에 따라 열방출율과 연소 특성 시간은 변화한다. 연소시간은 주변 환경 조건에 따라 감소할 수도 있으며, 증가할 수도 있다. 모든 화학반응은 주변 환경의 온도 특성에 민감하게 영향을 받으며, 온도가 상승하면 화학반응이 더 빠르게 진행된다. 즉, 연소 대상 질량의 크기가 증가하여 온도가 크게 상승하는 조건에서는 화재 성장구간비가 감소하는 상황을 기대할 수 있다. 또한 온도가 높은 조건에서 화재는 천천히 진화(鎭火)되므로, 높은 온도 상에서 화재 감쇄구간비가 증가하는 것도 기대할 수 있다.

연소물의 질량 증가 시 화재 성장구간비나 화재 감쇄 구간 비가 감소 및 증가와 동시에 연소 특성 시간도 변화하므로 식 (7)의 열평형식에 의해 화재강도도 변화한다. 순차적으로 단위 면적당 열방출율도 보정되어야 한다. 식 (8)의 화재곡선은 연소물의 물성치로 인정될 수는 없으며, 연소 대상 연소물의 질량과 외부환경에 따라 모델 매개변수가 결정된다. 특히 동일 연소물라고 하더라도 화재곡선을 측정했던 질량에서 변동이 발생하면, 식 (8)의 화재곡선은 적절하게 수정되어야 한다. 또한, 식 (8)의 화재곡선 식은 연소 대상 연소물의 연소 특성이 기준 질량인 $m_{0}$에 대한 화재곡선 식으로 이해되어야 한다.

연소물의 기준 질량은 질량 증가에 따라서 변화하는 화재곡선을 도출하기 위해 기준으로 정한 연소 질량이다. 화재곡선은 일정 질량 이상이 되어야 연소구간의 추세를 확인할 수 있다. 한국도로공사 보고서^{(Shim et al., 2016)}의 의류 실험 결과를 예시로 표 Table 1과 같이 변수들을 도출 하였으며, 1,488kg 이상일 때 화재 성장 구간 감소하고, 화재 감쇄 구간 증가 경향이 보인다. 또한 화재 감쇄 구간 증가 폭이 화재 성장 구간 감소 폭보다 크므로 연소 특성 기간이 증가하는 경향이다. 이에 따라서 본 연구에서는 기준 질량 $m_{0}$으로서 1,488kg을 선정하였다.

2.3 연소물의 질량 증가에 의해 감소하는 화재 성장구간 비율의 보정

의류 화재 결과를 Fig. 4와 같이 무차원 이차 화재곡선을 작도한 결과, 각 연소물의 질량비 $m/m_{0}$ 증가에 따라 성장구간비 $\beta_{i}$가 감소하고, 감쇄구간비 $\beta_{d}$가 증가한다. 이때 Table 2 와 같이 유지구간비 $\beta_{s}$ 경우에는 의류는 질량비별 약 0.35~0.40 이내이므로 유지구간비 $\beta_{s}$를 변하지 않는 상수로 가정하고자 한다.

무차원 시간은 $\beta_{i}+\beta_{s}+\beta_{d}=1$로서 유지구간비 $\beta_{s}$ 상수를 제외한 기준 성장구간비 $\beta_{i}$ 또는 감쇄구간비 $\beta_{d}$를 변수로하여 화재곡선을 결정한다. 열역학 제1법칙에 따르면 총 열발생량 $Q$는 변하지 않는데, 완전연소가 이루어지지 않는다는 실험적인 한계로 감쇄구간비 $\beta_{d}$의 정확한 값을 측정할 수 없다. 따라서 질량비가 증가함에 따라 $\beta_{d}$보다는 $\beta_{i}$를 제어하여 값을 보정하는 함수가 필요하다. 기준 질량의 성장구간비 및 총 연소 특성시간을 기준 성장구간비 $\beta_{i0}$ 및 기준 총 연소 특성시간 $\triangle t_{ch0}$로 정의한다. 성장구간비 $\beta_{i}$를 변수로 선택할 경우에는 기준 성장구간비 $\beta_{i0}$에 질량비 $m/m_{0}$를 변수로 하는 보정함수 $\alpha_{i}(m/m_{0})$를 도입하여 $\beta_{i}=\beta_{i0}\alpha_{i}(m/m_{0})$로 수정할 수 있으며, 감쇄구간비 $\beta_{d}$는 $1-[\beta_{s}+\beta_{i0}\alpha_{i}(m/m_{0})]$로 결정된다.

질량비 $m/m_{0}$의 변화와 성장구간비 $\beta_{i}$를 회귀분석하여 성장구간비의 보정함수 $\alpha_{i}$를 식 (11)와 같이 정의할 수 있다. 여기서, $k$는 연소물별 특성을 고려하기 위한 상수이며, 실험적으로 결정될 수 있다. 식 (11)에 따르면, 질량비가 매우 커질수록 화재가 급격히 진행된다.

실험적으로 결정한 보정함수 식 (9)~(11)을 통해 알 수 있듯이 총 연소시간은 질량이 증가함에 따라서 지수적 증가 효과보다는 선형적 증가 효과로 보는게 합리적일 것으로 사료된다. 질량증가에 따라서 증가하는 시간이 지수적으로 감소하지만 감쇄구간이 선형적으로 증가하기 때문이다.

Fig. 4 Example of dimensionless quadratic fire curves

2.4 보정함수를 적용한 이차 화재곡선

이차 화재곡선을 최종적으로 결정하기 위해 화재강도를 결정 해야한다. 보정함수 식 (10) 및 식 (11)을 활용하여, 식 (8)의 성장구간비 $\beta_{i}$를 $\beta_{i0}\alpha_{i}(m/m_{0})$ 및 연소 특성시간 $\Delta t_{ch}$를 $\Delta t_{ch0}\gamma(m/m_{0})$로 수정하고 식 (7)의 열평형식에 의해 화재강도를 식 (12)과 같이 결정한다.

2.5 이차 화재곡선 적용 예

이차 화재곡선은 식 (3)에 따라 단위 면적당 화재강도를 활용하여 결정하고자 한다. 여기서, $m$은 질량, $\dot{Q}$은 측정된 시간별 열방출율, $\dot{Q}_{V_{0}}$는 단위 부피당 열방출율, $\rho_{m}$은 질량 밀도, $\dot{Q}_{A_{0}}$는 단위면적당 열방출율, $h$는 연소물의 높이이다.

하지만 면적이 달라지면 동일 질량이라도 화재강도가 달라질 수 있으므로 대상 면적이 존재한다고 가정하여 동일 면적에서 기준 질량이 증가할 때를 고려하였다. 한국도로공사 보고서에서 실시한 의류, 고무 및 목재 실험을 보면 16 ㎡을 면적으로 고정하여 적치높이 증가에 따라 실험을 실시하였다. 따라서 본 연구에서도 여기서도 16 ㎡를 기준 질량 산출 시 사용하여 1, 2, 3 및 4 m 적치 높이 증가에 따라 질량이 증가하는 것으로 선정하였다.

한국도로공사 보고서^{(Shim et al., 2016)}의 실험 결과 중 의류, 고무 및 목재를 예시로 활용하여 검토하였다. 밀도 $\rho_{m}$은 각각 46.5, 1,200, 800 및 부피 $V_{0}$을 16, 32, 48, 64 ㎥를 대상으로 하였으며, 질량 $m$은 $\rho_{m}\times V_{0}$로 구할 수 있다. 이때, 의류의 실험 결과를 예로 들면 Table 3과 같다. 실험은 예시 별로 4개를 실시하였으며, Table 2와 같이 질량증가에 따라 구분하여 연소구간을 산정하였다.

질량증가에 따른 연소구간과 무차원 연소구간을 보면, 의류, 고무 및 목재의 화재 성장 구간 $\beta_{i}$가 감소하고, 화재 감쇄 구간 $\beta_{d}$가 증가하는 경향이 보인다. 4개의 질량으로 구분하였을 경우에는 첫 번째인 작은 질량에서는 다른 세 개의 질량하고 비교하여 경향성을 확인할 수 없었다. 하지만 다른 세 개는 유지구간 $\beta_{s}$가 동등 수준으로 경향성이 서로 부합하였다. 질량이 너무 작으면 완전 연소에 이르지 못하는 것으로 판단된다. 그리고 의류, 고무 및 목재 사례와 마찬가지로 질량이 작은 경우에는 불완전 연소가 있을 수 있으며, 질량이 크면 불완전 연소되는 양은 큰 질량 대비해서 작다. 따라서 질량이 너무 작으면 안 좋다는 것을 알 수 있다. 질량이 너무 작을 경우에는 이차 화재곡선의 적용 예시에서 제외한다.

또한 화재 감쇄 구간 증가 폭이 화재 성장 구간 감소 폭보다 크므로 연소 특성기간이 증가하는 경향이다. 이에 따라서 본 연구에서는 의류, 고무 및 목재의 기준 질량 $m_{0}$을 선정하였으며, 이때 질량비를 $m/m_{0}=1$로 고려하였다.

Table 2와 같이 기준질량 $m_{0}$의 연소대상 연소물의 총 열발생량 $Q$, 연소 특성시간 $\Delta t_{ch}$, 성장구간비 $\beta_{i}$, 유지구간비 $\beta_{s}$를 한국도로공사 보고서를 통해 조사하였다. 감쇄구간비는 $\beta_{d}= 1-(\beta_{i}+\beta_{s})$의 관계에서 자동으로 결정된다.

Table 2와 같이 실험이나 문헌조사 자료를 통해 얻은 연소구간을 식 (10) 및 식 (11)의 연소 특성시간 보정함수 $\gamma(m/m_{0})$ 및 성장구간비 보정함수 $\alpha_{i}(m/m_{0})$를 사용하여 Fig. 5 및 Fig. 6과 같이 $\alpha_{a}$와 $k$를 결정한다.

Fig. 5 Example of the relationship between mass ratio and combustion characteristics time ratio

Fig. 6 Example of the relationship between mass ratio and growth section Ratio ratio

이와 같은 과정을 통하여 Table 4와 같이 의류, 고무 및 목재의 무차원 변수를 결정하였으며, 검토 대상 질량 $m$에 대한 화재강도 $\dot{Q}_{\max}$를 식 (12)을 이용하여 계산하였다. 계산된 화재강도 $\dot{Q}_{\max}$, 성장구간비 $\beta_{i}$, 유지구간비 $\beta_{s}$를 이용해서 이차 화재곡선을 작도한다.

Fig. 7~9과 같이 이차 화재곡선을 비교 대상 화재곡선과 비교하여 질량증가에 따른 보정함수 값의 정확도를 확인한다. 결과적으로 Table 5와 같이 보정함수를 적용한 화재강도 및 비교 대상 화재강도의 오차율은 약 10% 내외인 것을 확인하였고, 보정함수를 적용하여 특정 질량의 이차 화재곡선 및 화재강도를 결정할 수 있다.

Fig. 7 Fitting results of fire curves data for clothing from the korea expressway corporation(Shim et al., 2016)

Fig. 8 Fitting results of fire curves data for rubber from the korea expressway corporation(Shim et al., 2016)

Fig. 9 Fitting results of fire curves data for wood from the korea expressway corporation(Shim et al., 2016)