3.1.1 레일의 피로 손상도

레일에는 열차하중의 반복 작용에 의해 피로 손상이 누적된다. 레일 표면에서는 구름접촉피로(rolling contact fatigue, RCF)에 의한 피로 손상이 발생하고, 레일 저부에는 열차하중에 의한 휨응력(bending stress)이 작용하여 피로 손상이 발생한다. 레일 표면의 손상은 주기적인 레일 연마를 통해 관리하기 때문에 일반적으로 레일 수명은 휨응력에 의한 피로 손상 진전을 고려하여 산정한다^{(Sung, 2010)}.

^Ishida(1990)에 따르면 레일 휨응력 크기 $s$에 따른 확률밀도함수를 $f(s)$라고 하고, 레일의 S-N선도에 의해 정의되는 피로 파괴가 발생하는 반복횟수를 $N(s)$라고 할 때, 레일의 피로 손상도는 Miner 가설에 따라 아래와 같이 산정할 수 있다.

여기서 $D$는 레일의 피로 손상도, $n_{total}$은 총 하중반복횟수(차축통과횟수)를 나타낸다. ^Ishida(1990)는 아래와 같이 반대수(semi-logarithmic) 그래프로 S-N선도를 정의하고, 피로한도(endurance limit, $S_{e}$ in Fig. 1) 전후의 그래프 기울기가 다른 Haibach's rule을 적용하였다.

Fig. 1 Types of S-N curve

여기서, $a$와 $b$는 각각 S-N선도의 기울기와 S축 절편을 나타낸다. ^Sung(2010)은 UIC 60 레일의 테르밋 용접부에 대해 실물 휨피로 시험을 실시하여 S-N선도를 Table 1과 같이 제시하였다. 이 값을 평균으로 보아 파괴확률 50%에 해당하는 것으로 가정하면, 실험의 표준편차로부터 파괴확률 5%에 해당하는 S-N선도를 산정할 수 있다(Table 1, Fig. 2 참조).

Fig. 2 S-N curve for UIC 60 rail

레일의 휨응력 분포가 정규분포를 따른다고 하면,

여기서, $\overline{s}$, $\sigma_{s}$는 레일 휨응력의 평균, 표준편차이다.

차축통과횟수는 누적통과톤수로부터 아래 식 (9)와 같이 산정할 수 있다.

여기서, $T$는 누적통과톤수, $W_{a}$는 정적축중이다.

한국철도공사 자료를 바탕으로 추산한 2004년부터 2016년까지의 경부고속철도 자갈궤도 구간의 연간누적통과톤수(단위 : million gross ton, MGT)는 Fig. 3과 같다.

Fig. 3 Annual tonnage for ballasted track in Gyeongbu high-speed line (2004-2016)

3.1.2 레일 휨응력

정적 윤중(wheel load)에 의한 레일 휨응력의 평균값은 Zimmermann 모델에 의해 산정할 수 있다^{(Esveld, 2001)}.

여기서, $\overline{y}$는 레일 단면 중심에서 레일 저부까지의 거리, $I$는 레일의 단면2차모멘트, $Q$는 정적 윤중, $L$은 궤도 특성길이이다. 궤도 특성길이는 Zimmermann 모델에 의해 아래 식 (11)과 같이 정의된다^{(Esveld, 2001)}.

여기서, $E$는 레일의 탄성계수, $a$는 침목간격, $k_{d}$는 레일지지 스프링계수이다.

레일 휨응력의 표준편차는 [10]KR C-14030에 제시된 동적할증계수(dynamic amplification factor, DAF)로부터 구할 수 있다. 동적할증계수는 아래 식 (12)와 같이 주어진다.

여기서, $u(x)$는 단위계단함수(unit step function)이고, $t$는 신뢰도 지수로, $t$=1일 경우 초과확률 15.8%, $t$=2일 경우 초과확률 2.2%, $t$=3일 경우 초과확률 0.1%가 된다. $\sigma_{P}$는 윤중변동 표준편차를 의미하며, 열차속도(단위는 km/h) $V$와 궤도품질 영향계수(track quality factor) $\phi$의 함수로 주어진다. ^{KR C- 14030}에 따르면, $\phi$는 궤도 유지관리 상태에 따라 0.1~0.3의 범위에서 정할 수 있으며, 매우 양호한 경우 0.1, 양호한 궤도는 0.2, 불량한 궤도는 0.3을 추천하고 있다. 식 (11)로부터 윤중변동 표준편차 $\sigma_{P}$를 구할 수 있고, 여기에 레일 휨응력의 평균값을 곱하면 레일 휨응력의 표준편차가 산정된다.

3.1.3 레일 피로 손상도와 레일 보수량 관계

앞서 설명한 레일 피로 손상도 예측 모델을 이용하여 경부고속철도의 2004년부터 2016년까지 누적된 피로 손상도를 산정하면 Fig. 4(a)와 같다. 그림에서 연간 교통량의 증가로 초기 기울기를 연장한 선 보다 연간 피로손상도가 더 크게 증가했음을 알 수 있다.

한편 Fig. 4(b)는 경부고속철도 1단계 구간(광명-동대구)의 레일 교체 보수량(거리)을 나타내고 있다. 2004년 개통 직후 레일 교체 작업이 있었지만 2007년부터 2010년까지는 교체 작업이 없었고, 이후에는 연간 거의 유사한 양의 교체 작업이 있었음을 알 수 있다. 다만 실제 필요한 양의 보수를 매년 시행했다고 보기는 어렵고 주어진 예산에 따라 제한된 보수작업이 이루어졌다고 판단하는 것이 합리적이다. 따라서 Fig. 4(b)의 데이터는 향후 더 많은 데이터를 이용하여 보완이 필요할 것으로 판단된다.

Fig. 4(a)에서 구한 피로 손상도와 Fig. 4(b)의 누적 레일 보수량의 관계를 Fig. 4(c)과 같이 나타낼 수 있다. 앞서 설명했듯이 개통 직후를 제외하고, 2010년까지는 레일 교체작업이 거의 없었으므로 레일 피로손상이 일정 수준에 도달할 때까지는 보수량이 발생하지 않는 것으로 가정하고, 2010년 이후의 데이터를 선형으로 회귀분석하였다. 이 관계를 이용하면 레일 피로 손상도의 예측값으로부터 레일 보수량을 추정할 수 있다.

Fig. 4 Prediction model for rail maintenance amount according to rail fatigue damage evolution (Gwangmyong-Dongdaegu, Gyeongbu high-speed line)

3.2.1 자갈다짐 보수 주기 추정 모델

자갈궤도의 자갈도상은 열차하중이 반복적으로 작용하면 지속적으로 침하하고, 자갈층의 다짐도, 노반의 상태 등에 따라 각 침목 위치에서 침하량이 다르므로 궤도틀림이 증가하게 된다. 따라서 궤도틀림이 보수한계에 도달할 때 마다 다짐 작업(ballast tamping)을 통해 궤도 선형을 복구하는 과정을 거친다. 자갈층의 침하속도가 빠를수록 더 자주 보수를 실시해야 하므로 보수비용이 증가한다. 따라서 자갈궤도의 LCC 평가를 위해서는 자갈다짐 보수 주기를 산정해야 한다.

^Jang(2016)은 아래 식 (13)의 ORE 모델을 이용하여 자갈다짐 보수 주기를 산정하였다^{(ORE, 1988)}.

여기서, $e_{0}$는 자갈다짐 보수 직후 발생하는 즉시 침하(instant settlement), $k$는 경험상수, $T$는 누적통과톤수, 2$Q$는 축중(axle load, $Q$는 윤중), $V$는 열차속도, $\alpha$, $\beta$, $\gamma$는 궤도 특성에 의존하는 경험상수이다. 자갈층의 침하가 일정 수준에 도달할 때 자갈다짐 보수를 실시하므로 다짐보수 주기 $T_{t}$는 식(14)와 같이 산정할 수 있다^{(Jang, 2016)}.

여기서, $P_{b}$는 윤중에 의해 침목 하부 자갈도상에 작용하는 힘이고, 첨자 ref는 다짐보수 주기가 알려진 기준 조건의 값을 의미한다.

^{ORE D161 RP3(1988)}에서는 식 (12)에서 동적 윤중을 적용할 경우 열차속도에 따른 영향이 포함되어 열차속도에 의한 영향이 중복되므로 $\gamma$ = 0을 적용하도록 하고, $\alpha$=1, $\beta$=3을 적용하도록 추천하고 있다. 이를 반영하면 식 (14)는 아래와 같이 수정할 수 있다.

Zimmermann 이론에 의하면 동적 윤중에 의한 침목 1/2 길이에 작용하는 힘 $P_{b}$는 식 (16)에 의해 산정할 수 있다^{(Esveld, 2001)}.

여기서, $DAF$는 식 (12)에서 초과확률 15.8%에 해당하는 $t$ = 1을 적용하여 산정한다.

3.2.2 자갈다짐 보수주기와 자갈 압력 기준값

식 (14)를 이용하여 자갈다짐 보수주기를 추정하기 위해서는 자갈다짐 보수주기와 자갈 압력의 기준값을 설정해야 한다.

Fig. 5는 경부고속철도 1단계 구간에서 궤도품질지수(track quality index, TQI)에 따라 선로를 7개 그룹으로 나눈 후 각 그룹의 연평균 다짐 보수횟수를 산정한 결과를 보여주고 있다. TQI는 선로유지관리지침^{(KRNA, 2012)}에 따르면 200m 구간의 고저틀림 표준편차로 정의된다. 연평균 다짐보수 횟수는 총 보수거리를 실제 거리와 경과년수로 나눈 값으로 MTT (multiple tie tamping) 장비를 이용한 자갈다짐 작업실적을 이용하여 산정하였다. 한국철도공사(KORAIL)의 2014년 데이터를 기준으로 하면 전 구간의 TQI 평균은 1.43으로 나타났다. Fig. 5에서 TQI 평균 1.43에 해당하는 연평균 다짐 보수횟수는 약 2.15회이고, 2014년의 총 누적통과톤수가 24.4MGT이므로 다짐 보수주기 기준값 $T_{t,\: ref}$는 11.34MGT로 추산된다.

Fig. 5 Relationship between TQI and average annual number of ballast tamping

Fig. 6 Relationship between TQI and standard deviation of dynamic wheel load variation

앞서 식 (12)에서 설명한 바와 같이 궤도품질에 따라 윤중 변동이 달라지고 결과적으로 동적 윤중의 크기가 달라진다. 이를 고려하여 자갈다짐 보수주기를 산정하려면 궤도품질 영향계수($\phi$)와 자갈다짐 보수주기 기준값과의 관계를 설정할 필요가 있다. Fig. 6은 실제 경부고속철도 1단계 구간에서 측정한 동적 윤중 데이터^{(Kim, 2017)}와 TQI와의 상관관계를 보여준다. Fig. 5와 동일하게 선로를 7개 그룹으로 나누어 각 그룹별 TQI 평균값과 이 때 윤중변동 표준편차 측정값을 도시한 것이다. 이 그림에서 알 수 있듯이 TQI 평균값 1.43에 해당하는 윤중변동 표준편차는 0.22이고, 식 (11)로부터 궤도품질 영향계수 $\phi$는 0.12로 산정된다. 이 값을 식 (12)과 식 (16)에 대입하면 $P_{b,\: ref}$를 산정할 수 있다.

4.2.1 초기 시공비

초기 시공비는 표준품셈에 따라 단가를 산정하여 계산하였다^{(Jang, 2011)}. 2011년 시공비 단가를 기준으로 자갈궤도의 시공비는 5.7억/km으로 여기에는 지급자재, 간접경비와 부가세를 모두 포함된다. 자갈궤도는 직선, 곡선 및 구간에 따른 공사비의 차이가 크지 않아 따로 구분하지 않았다.

4.2.2 교체비용

자갈궤도의 주요 구성요소로는 레일, 레일패드와 레일체결클립을 비롯한 레일체결장치, 자갈과 침목이 있다. 각 구성요소의 교체주기는 선로유지관리지침^{(KRNA, 2012)}를 기초로 Table 2와 같이 가정하였다. ^Jang(2016)의 연구에서와 같이 곡선 구간은 직선 구간보다 열화의 진행속도가 2배 빠른 것으로 가정하였다. 또 레일 패드와 레일 클립은 레일을 교체할 때 함께 교체하고, 1200MGT 마다 레일체결장치 전체를 교체하는 것으로 가정하였다. 침목의 교체주기는 레일의 교체주기(600MGT)와 같고, 자갈의 교체주기는 레일 교체주기의 절반인 300MGT로 가정하였다.

4.2.3 운영 비용

4.2.4 교체 및 보수비 단가 산정

시공비 단가와 마찬가지로 교체비용과 보수비의 단위 거리당 단가는 상대 비교를 위해 ^Jang(2016)의 연구와 동일하게 2011년을 기준으로 초기 시공비의 단가에 야간 할증과 1일 작업량을 고려하여 비용을 산정하였다(Table 5 참조).

4.3.1 궤도 품질수준과 열차속도에 따른 궤도 보수량

실제 궤도 품질수준은 보수 전후에 달라지고, 계속 변화한다. 그러나, 궤도틀림 진전 속도는 근본적인 대책이 없는 한 크게 달라지지 않기 때문에 궤도 품질이 나쁜 구간에서는 궤도틀림이 더 빠르게 커지므로 평균값은 어느 정도 범위에서 일정하게 유지된다고 볼 수 있다. Fig. 8은 경부고속철도 자갈궤도구간의 TQI 변화를 나타낸 것이다. 이 그래프에서 열차 하중의 누적에 따라 TQI가 증가하고, 보수 후에 다시 감소하는 경향을 확인할 수 있다. 평균 TQI가 클수록 변동폭도 더 크게 나타나고 있다. 그러나 이러한 변화에도 불구하고 평균 TQI에서 크게 벗어나지 않는 것을 알 수 있다. 따라서 이 연구에서는 궤도 품질수준은 일정하다고 가정하고 궤도 품질수준과 열차속도가 궤도 보수량에 미치는 영향을 분석하였다.

Fig. 8은 궤도품질 영향계수와 열차속도에 따른 휨응력에 의한 레일의 연간 피로 손상도와 교체 보수량을 보여준다. Fig. 8(a)에서 알 수 있듯이 열차속도가 증가하면 레일 휨응력이 증가함에 따라 연간 누적되는 피로 손상도도 선형적으로 증가한다. 궤도품질 영향계수가 낮으면 열차속도에 따른 레일 피로 손상도의 증가 기울기가 낮고, 궤도품질 영향계수가 커질수록 기울기가 더 커진다는 것을 알 수 있다. 이에 따라 Fig. 8(b)에 나타낸 바와 같이 레일 교체 보수량도 열차속도와 궤도품질 영향계수가 커질수록 증가하는 것을 알 수 있다.

Fig. 8 Examples of temporal variation of track quality index in Gyeongbu high-speed railway

Fig. 9 Annual rail fatigue damage and replacement length according to track quality factor and train speed

또한 연평균 자갈다짐 보수횟수도 Fig. 9와 같이 열차속도가 증가할수록 증가한다. 레일 교체 보수량과 마찬가지로 궤도품질 영향계수가 크면 그 증가폭도 커지는데, 궤도품질 영향계수가 0.3까지 증가하면 자갈다짐 보수횟수가 열차속도에 따라 비선형적으로 증가하는 것을 알 수 있다. 즉 궤도품질 영향계수는 레일 손상도나 레일 교체 보수량보다 자갈다짐 보수횟수에 더 큰 영향을 미치는 것을 알 수 있다.

4.3.2 궤도 품질수준과 열차속도에 따른 LCC

비정기적 유지보수에 투입되는 보수비를 비교해보면 Fig. 10에서 알 수 있듯이 열차속도 증가에 따라 비정기적 유지보수비는 점차 증가하는데 궤도품질 영향계수가 커질수록 열차속도 증가에 따른 보수비 증가 폭이 점차 더 커진다는 것을 알 수 있다.

Fig. 10 Average annual number of ballast tamping according to track quality factor and train speed

Fig. 11 Maintenance cost according to track quality factor and train speed

Fig. 12 Composition of calculated LCC

또한 Fig. 11에서 알 수 있듯이 비정기적 유지보수비는 전체 운영비용 및 LCC에서 차지하는 비중은 각각 49.2%이고, 열차속도와 궤도품질 영향계수가 커질수록 비중도 점차 높아지는 것을 알 수 있다. 교체비용은 Table 2의 교체주기에 따라 결정되고, Risk 비용은 Table 4의 시행시기, 보수거리, 발생확률에 따라 결정되므로 궤도 품질과 열차속도에 상관없이 일정한 결과를 나타낸다.

Fig. 12는 1km당 소요되는 LCC를 경과시간에 따라 도시한 것이다. 열차속도가 클수록 LCC도 커지고, 그 증가폭이 궤도품질 영향계수가 크면 열차속도에 따른 LCC 증가폭이 더 커진다는 것을 알 수 있다. 앞서 설명한 바와 같이 이는 궤도 품질수준과 열차속도에 따른 보수량과 보수비의 증가에 기인한다. 12.5년을 주기로 계단 형태의 급격한 증가를 나타내는데 이는 Table 2의 교체주기에 따라 300 또는 600MGT 마다 각 궤도 구성요소들을 전 구간 교체하는 것으로 가정했기 때문이다. 연간 누적통과톤수를 25MGT로 가정했으므로 300MGT는 12.5년에 해당한다.

이상의 결과를 종합할 때 궤도품질 영향계수는 LCC에 상당한 영향을 미치고, 레일 보수량 보다는 자갈다짐 보수량에 미치는 영향이 더 크다고 할 수 있다. 또한 열차속도에 따른 영향도 궤도품질 영향계수가 커질수록 증가하므로 운영속도를 높이려면 궤도 품질수준이 높게 관리되어야 함을 시사한다.

Table 6은 실제 운영조건(궤도품질 영향계수 0.12, 열차속도 300km/h)에서 구한 LCC 계산결과에서 연간 평균 운영비용을 산정하여 2007년에서 2009년까지의 실제 경부고속선의 연간 유지보수비용과 비교한 것이다. 유지보수비용 산정을 위한 단가는 2011년을 기준으로 산정되었으므로 비교를 위해 통계청에서 고시하고 있는 소비자물가상승률을 고려하여 2009년 기준 비용으로 환산하였다. 표에서 알 수 있듯이 실제 경부고속선의 유지보수비와 약 3.8%의 오차가 나타났으나 연간통과톤수가 25MGT로 실제 2007~2009년의 연간통과톤수보다 크다는 점을 감안하면 계산결과와 실제 소요비용이 비교적 잘 일치하고 있음을 알 수 있다. ^Jang(2016)의 연구와 비교할 때 별도의 고정비(경상비)를 고려하지 않았으므로 유지보수비가 더 증가한 결과이다.

Fig. 13 LCC according to track quality factor and train speed