2.1 계측 정보를 활용한 모드 식별

이 연구에서는 Numerical Algorithms for Subspace State Space System Identification(N4SID) 기법을 사용하여 모드 식별을 수행하였다 ^{(Overschee and Moor, 1994)}. 이 기법은 선⋅후행 입출력 응답에 대한 투영을 통해 전이 상태 행렬(Transition state matrix)을 추출하는 방법을 활용한다. 특히, 자연 진동(Ambient vibration)하에서는 선⋅후행 출력 응답 간의 투영을 통해 식별이 가능하다 ^{(Chang and Pakzad, 2014)}.

식 (1)의 $x_{k}$는 상태 벡터, $y_{k}$는 출력 벡터를 의미하며, $A$는 상태 전이 행렬로 고유진동수와 감쇠비 정보를 포함하고, $C$는 모드형상을 나타내는 출력 행렬이다. 또한 $B$는 시스템에 작용하는 입력 $u_{k}$에 대한 상태 반응을 나타내는 입력 행렬이며, $D$는 입력 $u_{k}$가 출력에 직접 영향을 미치는 직접 전달 행렬이다. 본 연구에서 사용된 출력 전용 시스템(Output-only)에서는 입력이 없는 상태에서 구조물의 자연 진동 응답으로부터 동특성을 식별한다.

이를 위해 계측된 출력 데이터를 시간 순서에 따라 과거 출력 $Y_{p}$와 미래 출력 $Y_{f}$로 구분하여 식 (2)와 같은 블록 Hankel 행렬(Hankel matrix)을 구성한다. 이러한 행렬은 출력 데이터를 시간 시퀀스에 따라 배열함으로써 신호 내 상태 전이를 보다 명확하게 반영하며, 상태 공간 식별에 필요한 데이터 구조를 제공한다.

이후 식 (3)과 같이 미래 출력 행렬 $Y_{f}$ 과거 출력 $Y_{p}$에 직교 투영하여 투영 행렬 $H$를 산출한다. 이를 통해 미래 출력의 변화가 과거 출력으로 설명되는 상관관계를 도출할 수 있다. 여기서 $\Pi_{Y_{p}}^{\bot}$는 과거 출력 행렬에 대한 직교 보충(Orthogonal complement) 투영 행렬로, 과거 출력에 포함되지 않는 성분을 의미한다. 즉, 미래 출력에서 과거 출력으로 설명되지 않는 정보를 분리하여 시스템의 상태 차원과 모드 차수(Model order)를 효과적으로 식별할 수 있도록 한다.

이 직교 투영 행렬에 대해 Singular Value Decomposition (SVD)을 수행하여 유효한 모드 차수를 결정한다. SVD는 투영 행렬 $H$를 식 (4)와 같이 분해한다. 여기서 $U$는 관측자 행렬(Extended observability matrix)에 해당하며, $\Sigma$는 모드 유효성을 판단하는 특이값 행렬, $V$는 상태 행렬 식별에 활용된다. 이 과정을 통해 N4SID는 입력 신호가 존재하지 않는 조건에서도 구조물의 고유주파수, 모드형상과 같은 동특성 정보를 안정적으로 식별하게 된다.

첫 번째 데이터셋에 대해서 신호 전처리를 위한 샘플링 주파수는 10 Hz로 설정하였다. 신뢰할 수 없는 모드를 제거하고, 안정화 도표를 통한 모드 추출을 위해 식별된 모드의 최대 감쇠비는 0.10으로 설정하였다. 또한, 모드형상의 유사성을 평가하는 Modal Assurance Criteria(MAC)와 위상 일관성을 정량화하는 Modal Phase Collinearity(MPC)는 각각 0.95와 0.9로 설정하였으며, 이들은 아래의 식들을 통해 계산된다.

식 (5)의 MAC 은 1에 근사할수록 모드형상 $\phi_{i}$와 모드형상 $\phi_{j}$ 간의 상관도가 높은 것을 의미하며, 0에 근사할수록 두 모드 형상 간의 독립성이 높은 것을 의미한다.

식 (6)의 $\phi_{i}^{(MPC)}$는 $i$번째 자유도의 복소수 모드 성분을 의미하며, $n$은 모드형상의 총 자유도 개수이다. MPC는 1에 근사할수록 위상이 완전히 정렬된 모드형상을 의미하며, 0에 근사할수록 노이즈 또는 모드 간의 혼합이 발생한 불완전한 모드형상을 의미한다.

N4SID를 활용하여 모드 식별을 수행한 결과 Fig. 2의 안정화 도표가 도출되었다. 모델 차수에 따라 식별된 고유주파수가 앞서 언급한 설정값들에 대해 얼마나 안정적으로 수렴했는지 시각적으로 보여준다. 붉은색으로 표시한 안정화 도표의 4개의 수렴 기둥으로부터 4개의 주요 모드가 10 Hz 이내의 주파수 대역에서 활성화된 것을 확인할 수 있었으며, 이 과정을 통해 동특성 정보를 식별할 수 있다.

Fig. 2. Stability Diagram Using N4SID-OO Method

Fig. 3. mode shape of identified to N4SID-OO

2.2 초기 FE 모델 구축

대상 교량의 초기 FE 모델은 Fig. 1과 같이 상용 해석 프로그램인 Midas ^{(Midas, 2018)}로 구현하였다. 덕평 1교는 설계 및 시공 도면이 존재하지 않기 때문에, 정밀한 FE 모델 구현이 제한적이다. 본 연구의 FE 모델 구현에는 Table 1의 교량의 외관 계측 정보와 교량의 길이, 폭과 같은 주요 제원과 임의로 가정한 외부 요소들을 활용하여 FE 모델을 설계하였다.

9개의 각 지점은 제로 길이 요소의 스프링으로 구성하여 강성 값만을 가지도록 설정하였다. 교량 받침과 거더 사이의 수직 강성은 5.7×10⁸ N/m로 설정하였다. 교량 상부 슬래브의 질량은 FE 모델에 분포하중 형태로 반영하였다. 교량 상부 슬래브는 전체 구조물 질량 중 상당한 비중을 차지하므로 모델 내에서 그 영향이 충분히 고려되도록 하였으며, 실제 모델링 과정에서는 슬래브 자중을 절점 집중 질량(Lumped mass)으로 변환하여 전체 시스템 질량행렬에 포함하였다. 덕평 1교의 첫 번째 수직 가속도 계측 데이터셋을 통해 식별된 고유주파수와 FE 모델을 통해 계산된 고유주파수, 그리고 각 모드형상 간의 MAC value를 Table 2에 정리하였다.

수직 가속도 데이터로부터 식별된 동특성 정보 Fig. 3와 제작된 FE 모델의 동특성 정보가 높은 유사성을 가짐에 따라 구축한 FE 모델이 초기 FE 모델로 적합함을 확인하였으며, 두 동특성 정보의 오차를 최소화하고, 유사한 거동 추정을 할 수 있도록 FE 모델 업데이팅을 수행하였다.

3.1 GA와 PSO 알고리즘

FE 모델 업데이팅 과정에서 사용되는 전역 최적화 알고리즘은 복잡한 탐색 공간 내에서 최적해를 도출하기 위한 효과적인 도구로, 다양한 설계 변수와 제약 조건을 동시에 고려할 수 있다는 장점을 가진다 ^{(Shabbir et al., 2011)}. 특히, GA와 PSO는 초깃값에 대한 민감도가 낮고, 비선형 시스템에서도 우수한 전역 탐색 성능을 보여 FE 모델 업데이팅에 널리 활용되고 있다.

GA는 생물학적 진화의 원리를 모사하여 주어진 초기 조건 내에서 다수의 개체를 생성하고 각 개체의 적합도를 평가한다. 평가된 적합도를 기반으로 우수한 개체들이 부모 개체로 선정되며, 아래의 식을 통해 선택 과정이 이루어진다.

식 (7)에서 $\theta_{i}$는 $i$ 번째 개체의 변수를 의미하며, $J(\theta)$는 개체의 동특성과 추정치 간의 오차를 기반으로 한 적합도 함수이다. 적합도가 높을수록 다음 세대로 선택 확률이 높아짐을 의미한다.

이후 식 (8)의 교차 과정에서 앞서 선택된 높은 적합도를 가진 개체의 일부가 결합되어 새로운 자식 개체($Offspring_{1}$)를 생성한다.

식 (9)의 돌연변이 과정을 통해 해의 탐색 영역을 다양화하고, 지역 최적점에 수렴하는 것을 방지한다. 이로부터 새롭게 생성된 자식 개체들은 다시 적합도를 평가과정을 거치며, 최적의 결괏값 또는 수렴 기준에 도달할 때까지 위 과정을 반복 수행한다.

PSO는 개별 입자들이 군집을 이루어 최적해를 찾아가는 최적화 기법으로, 자연에서 무리를 지어 움직이는 생명체의 행동을 모방한 전역 최적화 알고리즘이다. PSO는 초기 입자들을 무작위로 생성한 후, 각 입자의 위치 $\theta_{i}^{(t)}$와 속도 $v_{i}^{(t)}$를 아래 식에 따라 반복적으로 갱신하며 최적해를 탐색한다.

각 입자는 자신의 경험한 최적 위치($\theta^{p, best}$)와 군집 전체의 최적 위치($\theta^{g, best}$)를 참조하여, 속도를 조정하고 위치를 갱신한다. 이 과정을 반복하면서 입자들은 점차 최적해로 수렴하게 되며, 설정된 반복 횟수나 수렴 기준이 충족되면 알고리즘은 종료된다.

3.2 GA와 PSO 알고리즘 적합도 함수 설계

적합도 함수는 GA와 PSO에 공통적으로 주파수 오차와 모드형상 간의 유사성을 나타내는 지표인 MAC Value를 사용하여 아래 식과 같이 구성하였다.

식 (11)에서, $((\hat{f_{a}}-f_{a}(\theta))/\hat{f_{a}})^{2}$는 a번째 실측값으로부터 식별된 고유주파수와 매개변수 $\theta$에 의해 계산된 고유주파수의 오차, $1-MAC(\hat{\phi_{a}}^{T}\phi_{a}(\theta))$는 a번째 실측 고유벡터와 매개변수 $\theta$에 의해 계산된 고유벡터의 모드 유사성 오차, $\alpha$는 고유주파수의 가중치 계수, $\beta$는 고유벡터의 가중치 계수이다.

또한, GA와 PSO의 초기 생성 개체 수, 반복 횟수를 동일하게 설정하여 두 알고리즘의 성능 차이를 비교 분석할 수 있도록 하였다.

4.1 GA와 PSO 최적화 성능 비교

전역 최적화 알고리즘을 활용한 교량의 FE 모델 업데이트의 성능 검증을 위해서는 알고리즘의 초기 생성 개체 수와 반복수에 대한 결정이 필요하다. GA의 경우 Population은 100, Generation은 200으로 설정하였으며, PSO에서 유사한 기능을 수행하는 Particle과 Iteration을 각각 100과 200으로 동일하게 설정하였다. 이러한 설정은 반복 수행 경험을 토대로, 계산 비용이 과도하지 않으면서 우수한 성능을 확보한 결과를 기준으로 선정하였다.

FE 모델 업데이팅 성능 평가는 가속도 센서로부터 계측한 데이터로부터 식별된 고유진동수와 업데이트된 FE 모델로부터 개선된 고유진동수를 비교하여 수행하였다. 모드 간의 영향력을 균등하게 반영하기 위해 정규화된 평균 제곱근 오차(Normalized Root Mean Square Error(NRMSE)를 사용하였다. 실제 구조와의 공간적 일치를 평가하기 위해 모드형상 간 유사도 지표인 MAC Value를 추가로 활용하였다.

정량화된 오차 결과는 Table 3에 정리한 바와 같다. GA와 PSO 모두 구조시스템에 있어 비중이 큰 1, 2차 모드의 고유주파수와 모드형상을 높은 정확도로 추정하였고, MAC Value 역시 전반적으로 우수한 수준을 보였다. 계산 시간에 대한 부분에서는 1회 평균 수행시간이 GA가 약 18.57초, PSO는 약 25.75초로 GA가 PSO에 비해 빠른 계산 속도를 보여주었다. 하지만 값의 정확도에 있어서 전체적으로 GA보다 PSO의 NRMSE 값이 낮고, MAC Value 값은 크게 도출되었다. 본 연구에서는 알고리즘의 계산 시간보다는 결과의 정확도 측면에 집중하여 덕평 1교의 FE 모델 업데이팅에서 GA보다 PSO의 성능이 더 우수하다고 판단하였고, 결과에 대한 분석도 PSO로 도출된 결과로 진행하였다.

1-4차 모드의 업데이팅 된 고유진동수 이력은 GA를 적용한 경우에 대해서는 Fig. 4, PSO를 적용한 경우에 대해서는 Fig. 5에 도식하였다. 각 이력 곡선은 계측 데이터를 기반으로 식별된 고유진동수(Identified)와 FE 모델 업데이팅 수행 후 계산된 고유진동수(Simulated)를 비교하는 방식으로 구성되었다. 응답에 기여도가 높은 저차 모드인 1, 2차 모드에서는 일별로 고유진동수가 상하 진동하는 경향이 뚜렷하게 나타났으며, 상대적으로 고차 모드인 3, 4차 모드에서는 불규칙한 변화 양상이 두드러진다. 전반적으로 PSO를 활용한 경우, 고유진동수의 수렴 경향 및 계측값과의 일치도가 GA보다 우수하게 나타났으며, 이는 Table 3에 제시된 정량적 분석 결과와도 일치하는 경향을 보인다.

Fig. 4. Comparison of identified frequency and simulated frequency from GA-updated FE model

Fig. 5. Comparison of identified frequency and simulated frequency from PSO-updated FE model

4.2 온도 변화에 따른 FE 모델 물성치 상관성 분석

일별로 상⋅하 진동하는 고유진동수의 변화는 FE 모델의 물성치 변화와 온도 변화 간에 밀접한 연관성이 있음을 시사한다. 이러한 결과를 바탕으로, 본 연구에서는 FE 모델 업데이팅을 통해 추정된 교량의 물성치가 온도에 따라 어떻게 변화하는지를 분석하였다. 온도 계측은 Fig. 1에 나타난 바와 같이 교량 상부 3개소, 하부 9개소에서 가속도 계측과 동일한 기간 동안 수집되었다. 이는 태양에 직접 노출되어 온도 변화가 빠른 상부와, 이에 비해 변화가 상대적으로 더딘 하부의 특성을 비교 분석하기 위함이다.

최적화 파라미터의 상⋅하한선은 알고리즘 수렴 안정성과 모델링 불확실성을 포괄할 수 있도록 E1과 E2는 1.5×10¹¹에서 2.8×10¹¹ Pa, 스프링 강성 K의 경우 4×10⁸에서 7.5×10⁸ N/m로 설정하였다.

업데이팅 결과로 도출된 E1과 E2는 Fig. 6에서 확인할 수 있듯이 중앙값으로부터 각각 ±0.1 e¹¹ Pa, ±0.6 e¹¹ Pa의 변동을 보이며 도출되었고, 일관적인 변화 양상이 나타났다. 일반적으로 온도와 탄성계수가 반비례 관계를 가지므로, E1은 상부 평균 온도(t_up_m)와, E2는 하부 평균 온도(t_un_m)와 유사한 변화 경향을 나타내었다. 이러한 차이는 온도 변화뿐만 아니라 부재 형상 및 구조적 특성으로부터 기인한 것으로 판단된다. 즉, 횡방향 부재는 상대적으로 두께가 얇아 외부 환경 변화에 더 민감하게 반응하는 반면, 주부재는 단면이 두껍고 강성이 크기 때문에 상대적으로 온도 변화에 둔감하기 때문에 다음과 같이 추정된 것이다.

Fig. 6. Time histories of estimated elastic moduli and measured temperatures

FE 모델 업데이팅으로 추정한 교량 받침의 스프링 강성은 노드별로 차이가 있으나, Fig. 7에 도식한 K4 사례와 같이 약 5×10⁸ N/m에서 7.5×10⁸ N/m 사이에서 변동하였다.

추정된 변수 값들은 각각의 상⋅하한에 도달하지 않았으며, 이는 탐색 경계에 의해 해가 인위적으로 제한되지 않았음을 의미한다. 또한 추정 물성치를 기반으로 계산된 동특성 정보의 오차가 작게 도출됨에 따라, 물성치가 물리적으로 타당한 범위 내에서 합리적으로 추정되었음을 확인하였다.

Fig. 7. Stiffness estimated through FE model updating

본 연구에서는 FE 모델 업데이팅으로 도출된 교량의 물성치와 온도 간의 상관성을 정량적으로 평가하기 위해 시간 지연(Lag time)을 고려한 상관 분석을 수행하였다. 분석에는 t_up_m, t_un_m, 상⋅하부 평균 온도의 차(t_delta), E1, E2, 그리고 K1∼K9 데이터를 활용하였으며, 변수별 최적 지연시간을 산출하고 해당 시점의 상관계수를 Fig. 8에 도식하였다.

Fig. 8 (a)에 나타난 바와 같이, 물성치에 따라 최적 지연시간은 10분에서 160분까지 폭넓게 분포하였으며, 이는 각 부재의 위치와 열전달 특성, 그리고 상⋅하부 온도 차이에 기인하는 것으로 판단된다. Fig. 8 (b)에 따르면, 온도와 받침 강성 간의 최대 상관계수는 0.3 이하로 나타났다. 또한, 상부 온도는 E1, E2와의 상관계수가 각각 0.20과 0.17 수준으로 낮게 평가되었다. 본 연구에서 나타난 낮은 상관계수는 온도 변화의 직접적 영향보다는 교통하중과 환경적 요인이 복합적으로 작용한 결과로 해석할 수 있다. 실제로 ^{Raja (2023)}는 장기적인 교통하중과 환경 요인이 교량 받침의 비선형 거동 및 강성 저하를 유발할 수 있다고 보고한 바 있다.

반면, E1과 E2는 t_un_m과 각각 0.78과 0.80, t_delta에 대해서는 0.8 이상의 높은 상관계수를 보였다. 이는 하부 온도 및 단면 내 온도 구배가 주요 구조 부재의 온도 변화에 따른 물성치 변동 경향을 잘 반영함을 의미한다. 이러한 결과는, FE 모델 업데이팅 과정에서 센서로 측정된 온도뿐만 아니라 부재 간 온도 구배를 부가 변수로 함께 고려할 경우, 모델의 예측 정밀도를 향상시킬 수 있음을 시사한다.

Fig. 8. Time-Lagged Correlation between Temperature and Material Properties