2.1 베이지안 최적화 기법

베이지안 최적화 기법은 확률 모델을 기반으로 하는 최적화 기법으로 주로 목적 함수의 형태를 알 수 없거나 미분이 불가능한 함수의 최적화 문제에서 사용되며 실제 함수 값을 직접 평가하는 대신 대리 모델을 활용하여 함수 값을 추정한다.

본 연구에서는 DNN 구조와 목적 함수 사이의 관계를 학습하여 확률 모델을 구성한다. Fig. 1은 본 연구에서 적용한 베이지안 최적화 절차를 시각화한 것으로 대리 모델(Surrogate Model)과 획득 함수(Aquisition Function)의 생성 과정을 나타낸다. 대리 모델은 베이지안 최적화 과정에서 주요한 역할을 하며 각 반복 단계에서 새롭게 확보된 데이터에 따라 점진적으로 업데이트되어 더욱 정교한 예측이 가능하게 한다. 획득 함수는 대리 모델로부터 도출된 예측값과 그에 대한 불확실성을 바탕으로 다음 탐색 지점, 즉 최적화할 파라미터 조합을 선택하는 기준으로 사용된다. 이는 단순히 현재까지의 가장 좋은 해를 반복적으로 선택하는 것이 아닌 예측이 불확실한 영역도 고려함으로써 전체 탐색 공간을 탐색하도록 유도한다. 특히 반복 횟수가 증가함에 따라 대리 모델을 목적 함수의 분포에 정확히 반영하게 되며, 이와 함께 예측의 신뢰도가 낮은 영역(Uncertain Area)은 축소된다. 이 과정은 탐색 공간 내에서의 불확실성을 줄이며 전역 최적해에 수렴할 가능성을 높인다.

본 연구에서는 초기 무작위 탐색(Random Exploration)을 통해 다양한 입력 조합에 따른 목적 함수의 값을 확보한 뒤, 이를 기반으로 초기 대리 모델을 구성하게 된다. 이후 획득 함수를 기반으로 다음 탐색 후보 지점을 선정하고 해당 지점에서의 목적 함수 값을 평가한 뒤 이를 다시 대리 모델에 반영하는 과정을 반복하였다. 이를 통해 목적 함수의 지역 최솟값(Local Minimum)에 빠지지 않고 전체 탐색 공간에서의 전역 최솟값(Global Minimum)을 효율적으로 도출할 수 있었다.

Fig. 1. Bayesian optimization process

2.2 종결조건 설정

목적 함수는 수치해석 결과와 계측값 간의 차이를 정량적으로 평가하기 위한 지표로 모델업데이팅 과정에서 구조물의 해석 정확도를 평가하는 기준으로 활용된다. 본 연구에서는 구조물의 동적 특성인 고유진동수와 모드형상을 기반으로 목적 함수를 정의하고, 이를 최소화하는 방향으로 베이지안 최적화를 수행하였다. 고유진동수는 구조물의 질량과 강성 등에 따라 결정되며, 구조물의 전체적인 동적 응답 특성을 나타내는 핵심적인 지표이다. 모드형상은 각 고유진동수에 대응하는 구조물의 변형 양상으로, 손상 위치 또는 분포 특성 등의 정보를 제공한다. 이러한 두 요소는 함께 사용될 때 구조물의 상태를 종합적으로 평가할 수 있으며, 식(1)과 같이 고유진동수의 오차와 모드형상의 유사도를 나타내는 MAC(Modal Assurance Criterion) 지수를 도입하여 목적 함수를 구성하였다.

위 식에서 $J$는 종결조건을 의미하며 $f_i^m, f_i^a$는 각각 구조물의 계측 고유진동수와 해석 고유진동수를 의미한다. 이때 $N_n, n$은 고유진동수의 계측 차수를 나타낸다. 또한 계측 모드형상과 해석 모드형상을 정량적으로 비교하기 위한 지표인 MAC 지수의 계산은 식 (2)와 같다.

여기서 $\psi_i^m, \psi_i^a$는 각각 계측된 데이터와 수치해석을 통해 도출된 데이터의 $i$번째 모드형상 벡터를 의미한다. MAC 지수는 두 모드형상 간의 유사도를 정량적으로 평가하는 지표이다. 일반적으로 MAC 지수는 0.9 이상일 때 유사한 모드형상을 가지는 것을 의미하며, 계측점 수가 제한되는 현장 시험 등에서는 0.8까지 허용한다^{(Ewins, 2000)}. 본 연구에서는 제안된 목적 함수의 값이 0.02 이하일 때 모델업데이팅이 성공적으로 완료된 것으로 판단하였다.

2.3 모델업데이팅 과정

본 연구에서 수행한 베이지안 최적화된 DNN 기반 FEM 업데이팅은 다음과 같은 과정으로 수행되었다. 첫 번째로 대상 교량의 설계 제원을 기반으로 유한요소 해석 모델을 생성한 후 랜덤샘플링 기법을 활용하여 부재 물성치에 대한 초기 N개의 학습 데이터와 테스트 데이터를 생성한다. 이때 부재 물성치 값은 유한요소 해석 모델 바닥판의 탄성계수로 정의하였다. 구조물의 고유진동수 및 모드형상과 같은 동적 특성에 영향을 미치는 요인으로는 탄성계수, 단면2차모멘트, 질량 등이 존재하지만 세 가지 요인을 동시에 고려할 경우 최적해의 비유일성 문제로 인해 동일한 동적 특성을 가지게 되어도 여러 최적해 조합일 발생할 수 있어 한가지의 조합을 선정할 수 없는 경우가 발생할 수 있다. 단면2차모멘트의 경우 단면 형상이 복잡해짐에 따라 계산 비용이 증가하고 이는 최적화 과정의 소요시간을 증가시키는 단점이 존재한다. 또한 질량의 경우 고유진동수와 반비례 관계로 실제 손상을 논리적으로 반영하기 어려운 단점이 존재한다. 따라서 본 연구에서는 구조물의 탄성계수를 모델업데이팅 최적화 변수로 선정하여 모델업데이팅을 수행하였다. 다음으로 부재 물성치 학습 데이터와 고유진동수, 모드형상의 관계를 학습하여 Input Layer, Hidden Layer 및 Output Layer로 구성된 초기 DNN 구조를 구축한다. 이때, Input Layer에는 구조물의 고유진동수 및 모드형상 데이터가 입력되며, Output Layer에는 구조물 각 지점별 물성치가 도출된다. 이후 트레인 데이터와 베이지안 최적화 기법을 활용하여 DNN 구조의 뉴런수, 히든레이어 수, 학습률, 에포크수를 하이퍼파라미터로 정의한 뒤 하이퍼파라미터 튜닝을 통해 최적의 DNN 구조를 탐색하고 종결조건 검토를 통해 모델업데이팅의 완료를 판단한다. 이때 종결조건을 만족하지 못하면 학습데이터 생성 단계로 돌아가 추가적의 학습 데이터를 생성하여 종결조건을 만족시킬 때까지 최적화 과정을 반복한다. 이때 추가적인 학습데이터의 실패한 학습데이터 수를 기준으로 2배씩 점진적으로 증가시켜 과도한 학습데이터로 인해 발생할 수 있는 과적합 문제를 방지하였다. 위 과정은 Fig. 2와 같다.

Fig. 2. Flowchart of bayesian optimized FEM updating

3.1 PSC-I 거더 교량 해석 모델 생성

국토교통부 도로 교량 및 터널 현황조서^{(MOLIT, 2024)}에 따르면 2025년 5월 기준 국내 교량 중 라멘교, RC 슬래브교, PSC-I 거더 교량이 각각 23.9%, 22.8%, 22.7%의로 높은 비율을 차지하고 있다. 이 중 PSC-I 거더 교량은 시공이 간편하고 내구성이 우수하다는 등의 많은 장점으로 세계적으로 널리 사용되고 있다. 따라서 본 연구에서 제안하는 베이지안 최적화된 DNN 기반 FEM 업데이팅 기법을 PSC-I 거더 교량의 손상 시뮬레이션을 통해 검증하였다. PSC-I 거더 교량의 재료 및 단면 물성치는 Table 1과 같이 설계 제원을 기반으로 정의하였다. Fig. 3과 같이 거더는 Frame 요소, 교량 상판은 Plate 요소로 모델링을 수행하였으며, Rigid Link를 통해 Plate와 Girder를 연결하였다. 모델의 양측 경계조건은 힌지와 롤러로 설정하였다. PSC-I 거더 교량의 초기 수치해석 모델에서의 고유진동수 및 모드형상은 Fig. 4와 같이 각각 7.53Hz, 8.18Hz, 18.35Hz로 나타났으며, 1차, 3차 모드형상은 휨모드, 2차 모드형상에서 비틀림모드가 나타났다.

Fig. 3. FEM Modeling of the I-Girder bridge

Fig. 4. Natural frequency and mode shape of the I-Girder bridge

3.2 손상 시나리오 정의

베이지안 최적화된 DNN 기반 FEM 업데이팅을 수행하기 위해 PSC-I 거더 교량에 대한 손상 시나리오를 정의하였다. PSC-I 거더는 Fig. 5에 보인 바와 같이 세 구간으로 세분화하여 총 9개의 구간으로 세분화 하였다. 학습의 다양성과 결과의 정확성을 높이기 위해 1, 2, 3차 고유진동수와 모드형상 데이터를 모두 사용하여 모델업데이팅을 수행하였다. 손상 위치는 Fig. 6과 같이 PSC-I 거더의 대칭성을 고려하여 외측 거더와 내측 거더의 손상과 중앙 거더의 손상의 4가지 경우로 고려하였다. 손상 정도는 시간 흐름에 의한 부재 강성 감소를 고려하여 Table 2와 같이 가정하였다^{(Malekghaini, N et al)}. 따라서, 손상 위치와 손상 정도를 고려하여 총 12개의 손상 시나리오에 대한 수치해석 시뮬레이션을 수행하여 PSC-I 거더 교량에 대한 베이지안 최적화된 DNN 기반 FEM 업데이팅 기법에 대한 검증을 수행하였다.

Fig. 5. Segmented girder

Fig. 6. Damage cases for the I-Girder bridge

3.3 베이지안 최적화 기법 적용 및 결과 분석

학습데이터는 유한요소 해석 모델에서 각 부재별 입력된 탄성계수를 랜덤하게 변화시키며 구조물의 지점별 탄성계수와 이에 따른 고유진동수 및 모드 벡터로 구성하였다. 초기 100개의 학습 데이터를 적용한 경우, G9 부재에서 강성 오차가 약 15% 수준으로 크게 나타났으며, 20회의 베이지안 최적화 탐색에도 종결조건을 만족하지 못하였다. 이후 학습 데이터를 200개로 증가시켜 업데이팅을 수행한 경우 G9 부재의 강성 오차가 약 5% 이내로 감소하였으며, 8회의 베이지안 최적화 탐색 과정에서 12개의 손상 시나리오 모두에 대해 종결조건을 만족하였다. Table 3, 4는 100개 학습데이터와 200개의 학습데이터개에 대한 하이퍼파라미터 결과와 종결조건을 나타낸다. 모델업데이팅 과정은 인텔 11세대 인텔 코어 i7-11700K 프로세서(3.60GH, 8코어)를 탑재한 환경에서 수행되었으며, 약 1시간 36분이 소요되었다.

4.1 대상 교량 선정 및 데이터 취득

PSC-I 거더 교량 모델업데이팅을 통해 검증된 베이지안 최적화된 DNN 기반 FEM 업데이팅 기법을 실제 교량에 적용하였다. 대상 교량으로 단경간 40 m PSC-Box 철도교량을 선정하였다. 대상 교량은 경부고속선이 운행되는 교량으로 고속열차의 통행으로 인해 동적 응답이 증폭되기 쉬운 교량이다. 따라서, 본 연구에서는 대상 교량에 변위계와 가속도계를 설치하여 동적 응답 데이터를 수집하고 이를 통해 FEM 업데이팅을 수행하였다. 또한 계측된 교량 중앙부의 수직 변위를 비교함으로써 FEM 업데이팅을 통해 변위 개선 효과를 추가적으로 분석하였다.

Fig. 7은 대상 교량의 전경 사진 및 변위계와 가속도계 설치 모습이다. Fig. 8은 설치된 센서의 위치를 나타내며 변위계의 경우 교량 하단 정중앙, 가속도계의 경우 교량 하단 1/4, 2/4, 3/4 지점에 설치하여 교량의 전체적인 동적 응답을 계측하였다. 데이터 계측은 Fig. 9와 같이 상시 운행 중인 KTX 고속열차를 활용하여 150 km/h에서 300 km/h까지의 운행에 따른 교량의 수직 변위와 가속도를 수집하였으며, 구현이 간단하고 단일센서 데이터에서도 적용이 가능한 장점으로 현장 계측 데이터 활용성이 높은 FFT(Fast Furier Transform)을 적용하여 각 지점별 가속도 데이터에 대해 시간 도메인에서 주파수 도메인으로 변환하였다. 이를 통해 교량의 고유진동수와 모드형상의 동적 특성을 분석하였다.

Fig. 7. Overview of the bridge and instrumentation

Fig. 8. Sensor layout

Fig. 9. Measured data

4.2 대상 교량 해석 모델 생성

모델업데이팅 대상 교량의 유한요소 해석 모델은 상용 유한요소 해석 프로그램인 Abaqus를 활용하여 생성하였다. 초기 수치해석 모델의 재료 및 단면 특성은 Table 5와 같이 설계 제원을 기반으로 하였으며, PSC-Box 거더와 레일은 3D Frame 요소를 사용하여 생성하였다. 초기 수치해석 모델에서 대상 교량의 1차 고유진동수는 Table 6과 같이 4.20 Hz였으며, 계측 데이터를 통해 계산된 1차 고유진동수인 4.55 Hz로 초기 수치해석 모델과 약 7.7%의 오차를 보였다.

4.3 최적화 수행 및 결과 분석

PSC-Box 철도교량을 대상으로 계측된 동적 응답 데이터를 통해 구조물의 고유진동수와 모드형상을 도출한 결과 2차, 3차 동적특성 데이터가 식별되지 않음을 확인하였다. 따라서 PSC-Box 철도교량에 대해서는 1차 동적특성만을 활용하여 베이지안 최적화된 DNN 기반 FEM 업데이팅을 수행하였다. 업데이팅된 부재 강성을 반영하여 수치해석 모델을 개선하였으며 업데이팅된 수치해석 모델을 통해 계산된 고유진동수는 4.63 Hz로 계측 고유진동수와 비교하였을 때 1.8%의 오차를 보여 매우 유사하게 개선되었다. 또한, 업데이팅된 수치해석 모델의 수직 변위 개선을 확인하기 위해 열차 하중에 의한 동적 해석을 수행하였다. 열차 하중은 실 계측 시 운행되었던 KTX 열차의 축 하중은 Fig. 10과 같이 삼각펄스 이동집중하중 기반으로 모델링 되었으며, 250 km/h부터 10 km/h씩 증가시키며 300 km/h까지의 동적 해석을 수행하였다.

업데이팅 이전의 수치해석 모델과 업데이팅된 수치해석 모델의 교량 중앙부 최대 변위를 실 계측 수직 변위 최댓값과 비교하였다. 업데이팅 이전과 업데이팅 이후 PSC-Box 거더의 탄성계수 변화는 Table 7과 같으며, 동적 변위 비교 결과 Fig. 11과 같이 업데이팅 이전 수치해석 모델에서 교량 중앙부 수직 변위 최대 오차는 약 112.8%를 보이며 평균적으로 67.7%의 오차를 보였다. 반면에 업데이팅된 수치해석 모델에서는 약 32.8%의 최대 오차와 평균적으로 23.3%의 오차를 보여 본 연구에서 제안한 베이지안 최적화된 DNN 기반 FEM 업데이팅 기법의 동적 변위의 개선 향상도 확인하였다.

Fig. 10. Triangular pulse load

Fig. 11. Maximum displacement and error percentage between the initial and updated models