2.1 손상모델

지진과 같은 반복하중을 받는 강재 배관 엘보의 한계상태는 피로균열에 의한 누수이다. 강재 배관 엘보의 손상 상태를 정량적으로 표현하기 위해서는 탄성 및 소성 영역에서 구조물의 강도와 변형 능력을 고려할 수 있는 매개변수가 필요하다. 또한 강재 배관 엘보의 손상 상태를 실수값으로 표현할 수 있는 함수 관계식을 정립해야 한다. 이러한 함수 관계식을 이용하여 산정된 값은 손상지수로 정의할 수 있다. 정규화된 손상지수는 한계상태에서 1의 값을 가지며 하중을 받기 전 초기 상태에서는 아무런 손상이 없으므로 이때의 손상지수는 0이다^{(Prakash and Belarbi, 2010; Carrillo et al. 2019)}.

선행연구에서 손상모델은 (1) 연성 기반, (2) 히스테리시스 에너지 기반, 그리고 (3) 연성과 히스테리시스 에너지 기반의 두 가지의 조합을 이용하여 강재 배관 엘보의 한계상태를 정량적으로 표현하였다^{(Kim et al. 2023)}. 연성 기반의 손상모델과 히스테리시스 에너지 기반의 손상모델은 강재 배관 엘보의 한계상태를 정량적으로 표현할 수 없음을 확인하였다. 따라서 이 연구에서는 Eq. (1)의 Park and Ang 지수 및 Eq. (2)의 Banon 지수와 같은 변형 및 에너지 소산을 결합한 손상모델을 이용하여 한계상태를 정량적으로 표현하였다^{(Park and Ang, 1985; Banon et al., 1981)}. Eq. (1)과 Eq. (2)의 첫 번째 항은 과도한 변형에 의한 손상으로 누적 손상의 영향을 고려하지 않는다. 두 번째 항은 소산되는 에너지에 기반한 손상으로 누적 손상의 영향을 고려한다. 두 손상모델의 가장 큰 차이는 Park and Ang 지수는 선형적으로 조합한 형태이며 Banon 지수는 비선형으로 조합한 형태이다. 또한 모든 누적 손상을 고려한 손상모델 중에서 Park and Ang 지수가 가장 널리 알려져 있으며 다양한 구조물과 하중 조건에 적용되었다. Eq. (1)과 Eq. (2)에서 $E_i$는 $i$번째 사이클에서의 소산되는 에너지, $D_i$는 $i$번째 반주기에서의 변위진폭, $F_y$는 항복힘, $D_y$는 항복변위 및 $N$은 전체 사이클 수이다. Eq. (1)에서 상수 $b$는 저항 감소 계수로 음이 아닌 상수이다. 강구조물은 0.025로 제시되었으나 선행연구에서 $b$는 0.029로 최적화되었다. 유사하게 Eq. (2)의 $c$와 d는 각각 1.1과 0.38로 제시되었으나 선행연구에서 $c$와 $d$는 3.6과 0.21로 최적화되었다. 선행연구에서 제시된 가중치를 이용하면 문헌에서 제시된 가중치 보다 변동성이 감소함을 확인할 수 있었다. 따라서 이 연구에서는 선행연구에서 최적화된 상수를 이용하여 손상지수를 산정하였다^{(Kim et al. 2023)}.

2.2 항복점

강재 배관 엘보의 한계하중은 재료의 항복 강도와 형상 변화의 영향에 따라 달라지는 구조적인 불안정 하중이다. 배관시스템에서 강재 배관 엘보는 유연한 구성 요소이며 한계하중을 정의하기 위해서는 탄성 영역을 넘어 소성 영역에서의 큰 변형 효과를 유도해야 한다. 한계하중은 이론적인 하중이며 외력과 내력 사이의 평형을 만족하는 최대 하중이다. 이론적인 한계하중은 붕괴로 이어지는 하중 경로와는 무관하다. 따라서 한계하중은 실제 물리적인 한계가 발생하는 시점이 아니라 소성 변형이 지배적으로 나타나는 하중 수준으로 간주할 수 있다^{(Muscat et al., 2003, Lee et al., 2009)}.

일반적으로 강재 배관 엘보의 한계하중은 TI, TED, TES의 세 가지 중 하나의 방법을 사용하여 정의할 수 있으며 Fig. 1에 나타내었다. 세 가지 방법 모두 강재 배관 엘보의 비탄성 응답을 특성화하는 데 필요한 하중과 변형 관계의 곡선을 기반으로 한다. 첫 번째 방법인 TI 방법은 하중과 변형 곡선에서 초기 선형 탄성 영역에 접하는 직선과 소성 영역의 곡선에 접하는 직선의 교점을 한계하중으로 정의한다. TI 방법은 소성 구간을 명확히 확보하여야 한다. 그러나 TI 방법은 소성 영역에서 데이터를 포함하는 곡선에 대한 명확한 접선을 정의할 수 있는 영역의 존재 여부에 따라 결과가 달라지기 때문에 주관적일 수 있다. 두 번째 방법인 TED 방법은 하중과 변형 곡선에서 선형성이 처음 벗어나는 변형의 2배인 변형에 대응하는 하중을 한계하중으로 정의한다. 이 방법은 개념적으로 단순하다는 장점이 있으나 하중과 변형 관계의 곡선에서 선형성을 벗어날 때의 정확한 변형 지점이 때때로 명확하게 정의되지 않기 때문에 항상 사용하기 쉬운 것은 아니다. 세 번째 방법인 ASME Boiler & Pressure Vessel Code에서 권장하는 TES 방법이다. 이 방법에서는 하중과 변형 관계의 곡선에서 초기 탄성 영역에 대한 접선을 그리며 이 접선과 수직축이 이루는 각도는 $\theta$이다. 초기 탄성 영역의 기울기에 대하여 $\phi = \tan^{-1}(2\tan\theta)$와 같이 두 배의 기울기를 가지는 직선을 설정한다. 하중과 변형 관계의 곡선과 이 직선의 교점을 한계하중으로 정의한다. TES 방법은 초기 탄성 기울기에 기반하여 정의되므로 충분한 소성 변형이 발생하지 않는 하중 조건에서는 한계하중을 산정할 수 없다는 한계를 가진다.

Fig. 1. Methods for defining the limit load

이 연구에서는 구조물 전체의 비선형 거동을 대표할 수 있는 한계하중의 개념을 항복점 정의에 적용하였다. 따라서 강재 배관 엘보의 손상지수를 산정하는 데 필요한 항복힘($F_y$)을 한계하중으로 정의하였으며 항복변위($D_y$)는 항복하중에 대응하는 변형(변위)으로 정의하였다.

3.1 엘보 시험체 및 실험 절차

Fig. 2는 UTM(Universal Testing Machine)에 설치된 엘보 시험체를 나타내었다. 이 연구에서는 일정한 변위 진폭의 실험을 위해 총 21개의 엘보 시험체를 제작하였다. 제작된 엘보 시험체는 1개의 90$^\circ$ 배관 엘보, 2개의 직관으로 구성되어 있다. 엘보 시험체의 양 끝에서 핀 연결을 구현하기 위해 직관의 양단에 연결 지그를 용접하여 연결하였다. 엘보 시험체의 상부와 하부를 UTM의 유압 그립에 설치된 지그와 핀으로 연결하였다. 엘보 시험체에서 직관의 길이는 강재 배관 엘보에서 소성 변형이 집중될 수 있는 충분한 길이를 확보하기 위하여 외경의 3배(270 mm) 이상으로 제작하였다. 강재 배관 엘보와 직관이 연결되는 용접부에서부터 핀으로 고정하기 위한 연결 지그의 홀 중심까지의 거리는 약 340 mm이다. SCH(schedule) 80 3인치 규격의 강재 배관 엘보는 ASTM(American Society for Testing and Materials)의 A234 WPB로 제작하였다. 3인치 규격의 강재 직관은 ASTM 기준에 따라 SA 106M Grade B로 제작하였다. Table 1에서 엘보 시험체의 물리적 특성은 제조사에서 제공된 검사 증명서이며 ASTM에서 제시한 재료의 요구사항을 초과함을 확인할 수 있었다. 강재 배관 엘보의 공칭 외경은 88.9 mm, 곡률 반경은 114.3 mm이며 공칭 두께는 SCH 80은 7.62 mm이다. 엘보 시험체의 모든 재료 선정 및 공정은 우리나라의 원자력발전소 납품 규격에 만족하도록 제작하였다. 피로 균열로 인한 누수를 확인하기 위하여 엘보 시험체의 내부에 물을 채우고 레귤레이터를 이용하여 실험을 수행하는 동안 내부 압력을 3 MPa로 일정하게 유지하였다.

Fig. 2. Elbow specimen installed in a UTM and a steel pipe elbow exhibiting leakage

실험은 $\pm$10 mm부터 $\pm$100 mm까지 총 7가지 다른 변위 진폭에 대하여 닫힘 모드와 열림 모드의 순서로 반복하여 면내 방향으로 반복하중을 적용하였다. UTM은 일정한 변위 진폭을 동적 영향을 최소화하기 위하여 60 mm/min의 가력 속도로 제어하였다. 실험 결과의 신뢰성과 통계적 의미를 확보하기 위하여 각각의 변위 진폭에 대하여 실험을 3회 이상 수행하였다.

Fig. 2에서 강재 배관 엘보는 외측(extrados), 상부(crown), 내측(intrados)의 세 가지 특징적인 영역으로 구분할 수 있다. 이 연구에서 수행된 모든 실험에서 피로 균열은 강재 배관 엘보의 상부 위치의 내면을 따라 시작되고 축 방향으로 발달하였다. 따라서 강재 배관 엘보의 상부 위치는 반복하중에 의한 교번 응력 범위가 최대임을 확인할 수 있다.

3.2 피로 수명 및 소산 에너지

지진과 같은 극한하중을 받는 원자력발전소 배관시스템은 적은 사이클 수에서 피로 파괴로 이어질 수 있다. 이러한 피로 영역을 LCF(Low-Cycle Fatigue)와 ULCF(Ultra Low-Cycle Fatigue)로 구분할 수 있다. 지진 하중을 받는 배관시스템의 비선형 거동은 P—D(force—displacement) 관계로 표현되는 이력 곡선의 형상 변화와 반복하중에 따른 강성 저하가 주요 특성으로 나타난다. 지진의 강도가 증가함에 따라 배관시스템은 에너지 소산 메커니즘의 변화와 함께 점진적인 강성의 감소가 나타난다.

가력된 변위 진폭이 증가할수록 엘보 시험체의 강재 배관 엘보는 탄성 거동에서 소성 거동으로 전환된다. 이 과정에서 강재 배관 엘보는 바우싱거 효과, 강성 저하, 단면의 타원화 및 누적 손상의 영향으로 인해 P—D 관계에 대한 이력 곡선의 크기와 형상이 점진적으로 변화하게 된다. Table 2는 일정한 변위 진폭에서 엘보 시험체의 강재 배관 엘보에서 피로 균열에 의한 누수가 발생하였을 때의 $N_f$와 평균 $N_f$를 나타내었다. 이 연구에서의 실험 결과는 각각의 변위 진폭에서 평균값을 산정하여 단일 대푯값을 사용하였다. 엘보 시험체가 얼마나 많은 에너지를 반복적으로 흡수할 수 있는가를 평가하기 위해 누적 소산 에너지를 Table 2에 추가하여 나타내었다. 변위 진폭이 $\pm$20 mm 이상에 해당하는 ULCF 영역에서는 가력된 변위 진폭이 증가함에 따라 누적 소산 에너지가 감소하는 것을 확인할 수 있었다. LCF 영역인 변위 진폭이 $\pm$10 mm에서의 누적 소산 에너지는 ULCF 영역인 변위 진폭이 $\pm$30 mm와 $\pm$40 mm 사이의 누적 소산 에너지와 유사한 수준임을 확인할 수 있었다. 이는 LCF 영역이 ULCF 영역보다 상대적으로 변위 진폭이 작으나 반복되는 사이클 수가 많다. 따라서 ULCF 영역의 변위 진폭과 유사한 수준의 누적 소산 에너지가 발생할 수 있음을 확인할 수 있었다.

Fig. 3은 P—D 관계의 이력 곡선을 나타내었다. 일반적으로 변위 진폭이 매우 작은 영역에서는 강재 배관 엘보가 전반적으로 선형 탄성 거동을 유지하며 P—D 관계는 거의 직선에 가까운 형태의 매우 얇은 이력 곡선을 형성한다. Fig. 3에서 LCF 영역인 $\pm$10 mm의 변위 진폭에서는 이력 곡선이 비교적 안정적이며 강성 저하가 완만하게 진행되어 일정 사이클 수까지 에너지 소산 능력을 유지하는 것으로 나타났다. ULCF 영역인 $\pm$20 mm 이상의 변위 진폭에서는 변위 진폭이 증가할수록 초기부터 큰 소성 변형과 단면의 타원화가 집중된다. 따라서 이력 곡선이 불안정하며 강성이 저하되는 경향을 확인할 수 있었다.

Fig. 3. Hysteresis loops of the elbow specimen

3.3 항복점 정의

Fig. 4는 측정된 P—D 곡선에서 항복점을 정의하는 절차를 나타내었다. Fig. 4(a)에서 LCF인 변위 진폭이 $\pm$10 mm에서 TI 방법은 P—D 곡선의 소성 영역에서 접선을 어디에 그려야 하는지 불분명한 것을 확인할 수 있었다. TI 방법은 소성 영역에서 접선으로 설정할 수 있는 구간의 존재 여부에 따라 달라지므로 고유하게 정의하기 어려울 수 있다. Fig. 4(a)에서 $\pm$10 mm의 변위 진폭에서는 P—D 곡선의 강성 저하가 충분하지 않아 TES 방법에 따른 교차점이 형성되지 않음을 확인할 수 있었다. P—D 곡선의 응답이 항복점에 도달하기 이전에 종료되었으므로 TES 방법을 이용하여 항복점을 산정할 수 없음을 확인할 수 있었다. 그러나 TED 방법은 변형을 기준으로 항복점을 정의하기 때문에 $\pm$10 mm 변위 진폭에서는 산정이 가능하였다. 따라서 TED 방법은 $\pm$10 mm 변위진폭에서와 같이 소성 변형이 충분히 발생하기 전에 항복점에 도달하므로 TES 방법 보다 항복점이 작게 산정됨을 확인할 수 있었다. Fig. 4(b)에서 $\pm$20 mm의 변위 진폭에서는 충분한 소성 변형이 발생하여 TI, TED, TES 방법 모두 한계하중의 산정이 가능함을 확인할 수 있었다. ASME Boiler & Pressure Vessle Code에서 제시한 붕괴하중을 작용시킬 수 있는 변위 진폭은 $\pm$20 mm 이상임을 확인할 수 있었다.

Fig. 4. Procedure for determining the yield point at displacement amplitudes of $\pm$10 mm and $\pm$20 mm

변위진폭이 $\pm$10 mm에서는 TED 방법을 이용하여 항복점의 산정이 가능하였으나 TI, TES 방법은 적용할 수 없음을 확인할 수 있었다. 이 연구에서는 손상지수를 이용하여 강재 배관 엘보의 피로균열에 의한 누수가 발생한 한계상태를 정량적으로 평가하는 것을 목적으로 한다. 그러나 어떤 항복점을 이용하여 손상지수를 산정해야 강재 배관 엘보의 한계상태를 정확히 표현할 수 있는지에 대한 추가적인 검증이 필요하다. 또한 단일 항복점을 그대로 적용하면 강재 배관 엘보의 한계상태를 충분히 반영하지 못할 가능성이 있다. 따라서 손상지수를 이용한 한계상태 평가의 신뢰성을 높이기 위해서는 적절한 항복점을 정의하는 방법을 선택하는 것이 중요하다.

이 연구에서는 강재 배관 엘보의 항복점을 정의하기 위해 적용 가능한 방법에 대하여 검토하였다. TI, TED, TES 방법들에 세분화하여 항복점을 TI, $\delta$(delta), $\theta$(slope)을 기반으로 가중치를 적용하였다. Fig. 5에서 TI의 가중치는 1과 1.5배를 $\delta$에 대한 가중치는 1, 2, 3, 4배를, $\theta$의 가중치는 1, 1.5, 2, 2.5배로 세분화하였다. Fig. 6과 같이 가중치를 적용한 방법은 변위 진폭이 $\pm$20 mm에서 산정할 수 있는 최대 항복점을 기준으로 설정하였다. 이러한 접근을 통해 강재 배관 엘보의 항복점을 보다 정밀하게 정의하고 손상지수를 이용하여 강재 배관 엘보의 한계상태를 정량적으로 표현하고자 하였다.

Fig. 5. Detailed definition of the yield point based on TI, $\delta$, and $\theta$ methods at a displacement amplitude of $\pm$20 mm

Fig. 6. Normalized damage index calculated using the TI, $\delta$, and $\theta$ methods

3.4 항복점 정의에 따른 정규화된 손상지수

이 연구에서는 강재 배관 엘보의 한계상태를 손상지수를 이용하여 정량적으로 표현하였다. 강재 배관 엘보의 손상지수는 모든 변위 진폭에서 Park and Ang 지수와 Banon 지수를 이용하여 산정하였다. 모든 변위진폭에서 강재 배관 엘보의 한계상태인 피로균열에 의한 누수가 발생할 때까지 실험을 수행하였으므로 모든 변위진폭에 대하여 손상지수는 서로 같거나 유사한 수준으로 나타나야 한다. 따라서 산정된 손상지수가 서로 근접하게 분포할수록 동일한 한계상태를 일관되게 표현하므로 손상지수의 신뢰도가 높음을 의미한다.

Fig. 6은 세분화된 항복점을 적용하여 산정된 손상지수의 평균값으로 정규화하여 나타내었다. 따라서 Fig. 6에서 개별 항복점으로 적용된 손상지수의 평균값은 모두 1이다. Park and Ang 지수 보다 Banon 지수를 이용하여 산정된 손상지수가 평균값 1에 보다 더 근접하게 분포하고 있음을 확인할 수 있었다.

Table 3은 세분화한 항복점을 이용하여 산정된 손상지수의 통계적 정보를 나타내었다. 평균값으로 정규화된 손상지수는 평균이 1이므로 SD(standard deviation, $\sigma$)과 COV(coefficient of variance)는 동일한 값을 가진다. COV는 서로 다른 변위진폭에서 산정된 손상지수가 동일한 한계상태를 얼마나 일관되게 표현하는지를 나타내는 지표이다. COV가 작을수록 가력된 변위진폭의 크기와 관계없이 손상지수가 보다 일관되게 산정되었음을 의미한다. 이는 손상지수의 결과가 신뢰도가 높음을 의미한다. Table 3에서 Park and Ang 지수에 대한 COV는 Banon 지수의 COV 보다 상대적으로 크게 나타났다. 이는 Banon 지수가 Park and Ang 지수보다 변동성이 작고 산정된 손상지수가 평균값에 더 가깝게 분포하고 있음을 의미한다. 이 연구에서는 강재 배관 엘보의 한계상태를 평가하였으므로 변위진폭의 크기와 관계없이 손상지수가 평균값에 가깝게 분포하고 있는 Banon 지수를 사용하는 것이 타당한 것으로 나타났다. 세분화한 항복점의 가중치가 TI, $4\delta$, $2\theta$에서 산정된 손상지수의 COV가 일정한 값으로 수렴하는 경향을 확인할 수 있었다. 이는 특정 가중치 수준 이상의 항복점을 적용하면 변위진폭의 크기와 관계없이 손상지수가 유사한 수준으로 산정됨을 의미한다.

모든 변위진폭에서 손상지수의 산정이 가능한 방법은 TED임을 확인할 수 있었다. TED와 TES 방법은 초기 탄성 영역에서의 기울기와 변형을 기반으로 하므로 정의가 명확하며 계산이 간편하다. 초기 탄성 구간만 정확하게 산정하면 재현성이 매우 높으며 사용자의 주관성을 최소화할 수 있는 장점이 있다. TI 방법을 이용하여 항복점을 산정하면 소성 영역에서의 접선 위치 선택이 주관적이므로 사용자의 의존도가 높다. 또한 TI 방법은 결과의 재현성이 낮으며 소성 영역에서의 곡선이 완만하면 접선의 정의가 어려운 단점이 있다. 따라서 LCF 영역인 $\pm$10 mm 변위진폭을 포함한 다양한 하중 조건에서 신뢰성 있는 항복점을 정의하기 위해서는 사용자의 주관성을 최소화하고 재현 가능한 방법이 필요하다.

3.5 대표 항복점을 적용한 손상지수

LCF 영역과 ULCF 영역의 모든 변위진폭에서 신뢰성 있는 손상지수를 산정하기 위해서는 항복점을 명확하게 정의하는 방법이 필요하다. 따라서 이 연구에서는 모든 변위진폭에 대하여 공통적으로 적용할 수 있는 항복점의 대푯값을 정의하고자 하였다. ASME Boiler & Pressure Vessle Code에서 제시된 붕괴하중을 고려하여 충분한 소성 변형이 발생하는 $\pm$20 mm 이상의 변위진폭을 대표 항복점을 산정하는 기준으로 설정하였다. 따라서 Fig. 7과 같이 변위진폭이 $\pm$20 mm 이상인 첫 번째 사이클에 대한 P—D 곡선에 대해 평균 회귀곡선을 이용하여 항복점의 대푯값을 정의하였다.

Fig. 7. Methods for defining a representative yield point

이 연구에서는 Eq. (3)의 백분율 오차를 이용하여 정의된 항복점의 불확실성이 손상지수의 산정 결과에 미치는 영향을 정량적으로 평가하였다. 여기서 $R_i$는 개별의 항복점을 적용하여 산정된 결과이며, $R_r$는 대표 항복점을 적용하여 산정된 결과이다.

Fig. 8은 개별 항복점과 대표 항복점을 적용하여 산정된 손상지수를 비교한 결과를 나타내었다. Fig. 8에서 항복점은 정의 방법에 따른 비교를 위해 1.5TI, $4\delta$, $2.5\theta$의 가중치를 적용하였다. Fig. 8에서 평균값 $\pm 2\sigma$에 해당하는 직선들은 개별의 항복점을 적용하여 산정된 손상지수의 분포 범위를 나타내며, 통계적으로 약 95%의 데이터가 이 범위 안에 존재함을 의미한다. 개별 항복점을 적용하여 산정된 손상지수는 평균값 주변에 밀집하여 분포함을 확인할 수 있었다. 또한 산정된 손상지수가 ULCF 영역에서 변위 진폭의 변화나 항복점의 선택에 크게 의존하지 않고 전반적으로 일관성 있게 나타났다. ULCF 영역에서는 대표 항복점을 적용하여 산정된 손상지수는 개별 항복점을 적용하여 산정된 손상지수의 평균값 $\pm 2\sigma$에 해당하는 직선들 범위에 위치하였다. 이는 이 연구에서 제안한 대표 항복점이 개별 항복점을 적용하여 산정된 결과의 통계적 신뢰성을 확보하고 있음을 확인할 수 있었다. 대표 항복점으로 산정된 Park and Ang 지수는 변위 진폭이 $\pm$10 mm인 LCF 영역에서는 평균값 $\pm 2\sigma$에 해당하는 직선들의 범위에서 벗어나는 것을 확인할 수 있었다. 이는 LCF 영역에서는 반복하중에 따른 점진적으로 누적되는 소성 변형이 대표 항복점을 이용한 한계상태를 반영하기 어려운 것으로 나타났다. 그러나 Banon 지수 LCF 영역 및 ULCF 영역 모두 개별 항복점과 대표 항복점을 적용하여 산정된 손상지수가 모두 평균값 $\pm 2\sigma$에 해당하는 직선들 범위에 위치함을 확인할 수 있었다. Banon 지수는 변위진폭과 항복점의 선택과 관계없이 손상지수가 일관되게 산정할 수 있음을 확인할 수 있었다. 또한 Banon 지수는 Park and Ang 지수보다 백분율 오차가 작고, SD가 낮게 나타나 산정된 손상지수의 신뢰도가 상대적으로 높은 것을 확인할 수 있었다. 이러한 결과는 Banon 지수가 LCF 및 ULCF의 전 영역에 걸쳐 강재 배관 엘보의 한계상태를 보다 신뢰성 있게 표현할 수 있음을 확인할 수 있었다. 따라서 손상모델은 연성과 히스테리시스 에너지의 비선형 조합을 고려하는 것이 타당한 것을 확인할 수 있었다.

Fig. 8. Damage index based on the yield point definition method

Fig. 9는 산정된 손상지수들의 변동성을 비교하기 위해 COV를 나타내었다. Fig. 9에서 Park and Ang 지수는 Banon 지수와 비교하여 COV가 더 크게 나타났으며, 이는 상대적으로 결과의 변동성이 더 큰 것을 확인할 수 있다. 또한 $\theta$와 $\delta$에 비해 TI가 더 큰 COV를 나타내어 변동성이 더 큰 것으로 나타났다. 이러한 결과는 손상지수 산정 시 TI보다 $\theta$와 $\delta$를 사용하는 것이 안정적인 결과를 제공할 수 있음을 확인할 수 있었다. Fig. 9에서 항복점의 가중치가 TI, $4\delta$, $2\theta$에서 COV가 일정값에 수렴하는 경향을 확인할 수 있었다. 이는 해당 가중치 수준 이상에서 항복점 정의에 대한 통계적 신뢰성이 확보됨을 의미한다. 이보다 작은 가중치를 적용하면 산정된 손상지수의 변동성이 상대적으로 증가할 가능성이 있음을 확인할 수 있었다. 또한, Banon 지수가 항복점을 정의하는 방법과 변위진폭의 변화에 대해 보다 일관된 평가 특성을 확인할 수 있었다.

Fig. 9. COV of the damage index based on the yield point definition method