3.1 역량곡선 추출 알고리즘의 절차

^{Kusunoki et al. (2018)}이 제안한 역량곡선 추출 방법은 계측된 절대가속도 기록으로부터 층별 상대응답을 산정하고, 이를 등가 단자유도계 응답으로 축약하여 최종적으로 역량곡선을 도출하는 절차로 구성된다. 전체 알고리즘의 흐름은 Fig. 1과 같다.

Fig. 1. Flowchart of the capacity curve extraction procedure with proposed algorithm

4.1 미계측층 상대변위 추정

제안 알고리즘에서 미계측층의 변위 추정 시 기준이 되는 계측층의 상대변위는 가속도 센서로부터 직접 기록되는 것이 아니라, 각 계측층에서 측정된 절대가속도 기록으로부터 수치적으로 산정된다. 각 계측층의 절대가속도에서 기초층의 절대가속도를 차감하여 상대가속도를 산정한 후, 이를 시간에 대해 이중적분함으로써 상대변위를 구한다. 이때 이중적분 과정에서 발생할 수 있는 변위 드리프트는 3.1.2절에서 기술한 바와 같이 역량곡선 추출 알고리즘 내의 선형 detrend 절차에 의해 자동으로 처리되며, 본 연구에서도 동일한 절차에 따라 산정된 계측층 상대변위를 미계측층 변위 추정의 기준값으로 활용하였다.

미계측층의 상대변위 추정 시 변위의 분포를 식 (8),(9)와 같이 연속적인 변위형상으로 가정하였다. 이는 실제 지진응답의 경우 시간에 따라 변화하는 동적 응답이지만, 특정 시점에서의 상대 변위가 높이 방향으로 연속성을 갖는 곡선으로 해석될 수 있기 때문이다. 특히 현행 내진설계기준 (KDS 41 17 00, ^{국토교통부, 2022})에서는 지진 시 층별 수평 지진력의 연직분포를 높이의 k승(h$^k$)에 비례하는 형태로 규정하고 있으며, k는 구조물의 주기에 따라 1∼2의 값을 가진다. k=1은 단주기 구조물의 선형 분포를, k=2는 장주기 구조물의 포물선형 분포를 나타내는 것으로, k값이 클수록 보다 복잡한 형태의 분포를 표현한다. 실제 건물의 변위 형상은 구조물의 동적 특성에 따라 이보다 더 복잡한 형태를 나타낼 수 있으므로, 본 연구에서는 기준에서 규정하는 k=1∼2보다 한 단계 높은 3차 다항식을 고려하여 변위 형상에 적용함으로써 보다 다양한 변위 분포를 포괄적으로 표현할 수 있도록 하였다.이에 본 연구에서는 이러한 공간적 연속성을 반영하기 위하여, 미계측층의 변위 ($x_i$)를 각 시간단계 t에서 계측층 변위($x_m$)를 만족으로 하는 3차의 곡선으로 가정하였다. 특히 중간계측층을 기준으로 상부와 하부의 변형 특성이 상이하게 나타날 수 있으므로, 전체 구조물을 단일 함수로 표현하기보다 Fig. 2와 같이 전체 높이를 중간계측층을 기준으로 상하 2구간으로 분할한 후 각 구간을 3차 다항식으로 표현하여 계측 층의 변위를 정확히 만족하면서도 기울기 및 곡률의 연속성을 확보할 수 있도록 하여, 높이 방향 변위 분포를 보다 유연하게 재현할 수 있도록 하였다.

Fig. 2. Illustration of accelerometer locations and S$_1$, S$_2$ division

이를 수식으로 표현하면, 각 시간이력 $t$에서 높이 방향에 따른 상대변위 형상 $x(h,t)$ 는 중간계측층 높이 $h_m$을 기준으로 다음과 같이 두 개의 구간 함수로 정의할 수 있다.

여기서 $h$는 높이 방향 좌표, H는 최상층 높이를 의미한다. 하부구간 S$_1$($h,t$)과 상부구간 S$_2$($h,t$)는 각각 3차 다항식으로 가정하였으며 다음과 같다.

식 (9)와 식 (10)의 계수 $a_0(t) \sim a_7(t)$는 각 시간단계에서 높이 방향 변위형상을 결정하는 형상계수이다. 이들 계수는 기초층, 중간계측층 및 최상층에서의 변위조건과 중간계측층에서의 기울기 및 곡률 연속조건, 그리고 양 끝단의 자연조건을 만족하도록 산정되며, 하부 구간과 상부 구간의 변위분포를 함께 규정하는 다항식 계수로 볼 수 있다.

먼저 기초층은 상대변위의 기준점이므로 그 값을 0으로 설정하였다.

또한 중간계측층에서의 상대변위를 $x_M$, 최상층에서의 상대변위를 $x_{RF}$라 하였을 때, 하부 구간과 상부 구간은 모두 중간계측층에서 동일한 계측값을 만족하여야 하며, 상부 구간은 최상층에서도 계측값과 일치하여야 한다. 이에 다음과 같은 변위 일치조건을 적용하였다.

식 (12)∼(14)은 두 구간의 다항식이 기초층, 중간계측층 및 최상층에서 실제 계측된 상대변위를 정확히 통과하도록 하는 조건이다. 그러나 두 개의 3차 다항식에는 총 8개의 형상계수가 존재하므로, 변위 일치조건만으로는 모든 계수를 결정할 수 없다. 따라서 중간계측층에서 형상이 자연스럽게 이어지도록 추가적인 연속조건을 도입하였다.

먼저 중간계측층에서는 하부 구간과 상부 구간이 단순히 같은 점을 지나도록 하는 것에 그치지 않고, 변위형상이 매끄럽게 연결되도록 기울기 연속조건을 적용하였다.

이 조건은 중간계측층을 기준으로 변위형상이 갑자기 꺾이는 것을 방지하기 위한 것이다. 또한 보다 부드러운 형상을 구성하기 위하여 곡률 연속조건도 함께 적용하였다.

식 (15)과 식 (16)은 중간계측층 부근에서 하부 구간과 상부 구간의 기하학적 연속성을 확보하기 위한 조건으로, 계측층 사이의 미계측층 변위가 단순한 수치 보간값이 아니라 보다 합리적인 공간분포를 갖도록 한다.

마지막으로 기초층과 최상층에서는 끝단에서 과도한 굽힘이 발생하지 않도록 자연조건을 적용하였다. 본 연구에서는 양 끝단에서의 곡률이 0이 되도록 다음과 같이 설정하였다.

식 (11)∼(18)의 조건을 이용하여 각 시간 단계에서 S$_1$,S$_2$두 구간 3차 다항식의 형상계수를 산정하였다. 이후 산정된 형상계수를 각 층 높이에 대입함으로써 미계측층의 상대변위를 추정하였다.

여기서 $h_i$는 임의의 $i$층 높이, $x_i$는 $i$층의 추정된 상대 변위, $S(h_i)$는 계측층 조건으로부터 결정된 변위형상 함수를 의미한다. 따라서 임의 층의 상대변위는 해당 높이에서의 형상함수값으로 표현되며, 이를 통해 미계측층을 포함한 전 층의 변위응답을 추정할 수 있다.

4.2 미계측층 상대가속도 추정

미계측층의 상대가속도는 중간계측층과 최상층에서 계측된 상대가속도를 이용하여 높이 방향으로 추정하였다. 가속도의 층간 분포는 강성 및 질량 분포, 고차 모드의 기여 등에 따라 복잡하게 변화할 수 있어 정확한 추정이 어렵다. 제한된 계측 조건에서 미계측층의 가속도를 추정하는 방법으로는 ^{Kodera et al.(2020)}과 같이 3차 스플라인 보간을 적용하는 방법이 제안된 바 있으나, 이러한 고차 보간 방법은 추가적인 경계조건 설정을 필요로 한다. 이에 본 연구에서는 계측층 응답 및 층고 정보만을 활용한 실용적 구현을 위하여 선형보간을 채택하였으며, 중간계측층 높이 $h_m$을 기준으로 구조물 높이 방향을 상⋅하 두 구간으로 구분하고, 각 구간에서 상대가속도가 선형적으로 변화한다고 가정하였다. 이에 따라 시간 $t$에서 $i$층의 추정 상대가속도는 다음과 같이 구간함수로 정의할 수 있다.

다. 여기서 $h_i$는 임의의 $i$층 높이,$H$는 최상층 높이이다. 하부구간 함수 $\ddot{S}_1(h_i, t)$와 상부구간 함수 $\ddot{S}_2(h_i, t)$는 각각 다음과 같이 정의된다.

여기서 $\ddot{x}_M(t)$와 $\ddot{x}_R(t)$각각 시간 $t$에서 중간계측층 및 최상층의 상대가속도를 의미한다. 식 (21)은 기초층–중간계측층 구간과 중간계측층–최상층 구간에서 상대가속도를 각각 선형적으로 가정한 것으로, 기초층의 상대가속도는 0, 중간계측층 및 최상층의 상대가속도는 계측값과 일치하도록 구성된다. 따라서 제한된 계측 정보와 층고 정보만을 이용하여 전 층의 상대가속도 분포를 직접 산정할 수 있다.

5.1 비선형 해석모델

검증용 입력자료 생성을 위하여 PERFORM-3D기반의 10층 건물골조 해석모델을 구축하였다. 대상 건물은 라멘골조와 코어 전단벽으로 구성된 건물골조 구조로 설정하였으며, 형상은 Fig. 3과 같다. 평면은 X방향 21 m, Y방향 17 m 규모로 구성하고, 중앙부에 코어 전단벽을 배치하였다. 각 층 바닥은 동일 층에서의 평면 내 변형을 배제하고 질량 전달 및 수평응답의 일체 거동을 반영할 수 있도록 강체 격막(Rigid Diaphragm)으로 가정하였다.

Fig. 3. Perspective View of 10F Prototype Building

재료 물성은 콘크리트와 철근에 대하여 각각 정의하였으며, 상세 값은 Table 1와 Table 2에 제시하였다. 해석모델의 층 질량은 모든 기준 층에서 동일하게 설정하였고, 각 층의 총 질량은 절점에 집중질량 형태로 부여하였다. 이때 절점 질량은 각 절점이 부담하는 영향면적(Tributary area)에 비례하도록 분배하여, 질량중심과 관성효과가 슬래브 평면 내에서 합리적으로 반영되도록 하였다. 즉, 각 층의 총 질량을 임의의 단일 절점에 집중시키는 대신, 슬래브를 구성하는 절점들에 면적 분담 비율에 따라 분산 입력함으로써 층 전체의 동적응답과 비틀림 성분이 보다 현실적으로 재현되도록 하였다.

부재 모델링은 부재별 비선형 거동 특성을 고려하여 구분 적용하였다. 보는 PERFORM-3D의 FEMA beam 요소를 사용하여 휨 비선형 거동을 모사하였고, 기둥은 축력-휨 상호작용과 단면 내 재료 비선형성을 직접 반영할 수 있도록 섬유요소(Fiber element)기반으로 모델링하였다. 벽체는 PERFORM-3D의 Shear wall 요소를 사용하였으며, 휨 및 전단 거동을 고려할 수 있도록 하였다. 이러한 모델링 방식은 골조 부재와 벽체 부재의 비선형 거동을 부재 수준에서 구분하여 반영할 수 있다는 점에서, 지진하중 하의 전반적인 시스템 응답을 해석하기 위한 일반적인 접근에 부합한다고 볼 수 있다.

가속도 기반 역량곡선 추출을 위해서는 시간 이력에 따른 층별 응답기록이 필요하므로, 본 연구에서는 1940년 El Centro 지진의 Imperial Valley 기록(NS 성분)을 입력지진파로 적용한 비선형 시간이력해석을 수행하였다. 해당 지진파 기록은 PEER NGA-West2 강진 데이터베이스^{(PEER, n.d.)}로부터 확보하였다. 해석 결과로부터 기초층부터 최상층까지의 절대가속도 시간이력을 확보하였으며, 이를 MATLAB^{(MathWorks, 2024)}기반 역량곡선 추출 알고리즘의 입력자료(Input data)로 사용하였다.

5.2 해석 결과

PERFORM-3D 비선형 시간이력해석으로부터 얻어진 전 층 절대 가속도 기록을 기존 역량곡선 추출 알고리즘에 적용하여 대표 이력곡선 및 역량곡선을 도출하였다. 이어서 동일한 해석 결과로부터 기초 층, 6층 및 ROOF 층의 가속도 기록만을 추출하여 제안한 제한계측 알고리즘에 적용하였으며, 이를 전 층 계측(Full-Story Measurement, FSM) 기반 결과와 제한계측(Limited Measurement, LM) 기반 결과로 구분하여 비교하였다.

Fig. 4는 FSM과 LM으로부터 도출된 역량곡선을 비교한 결과이다. LM 결과의 정(+) 방향 최대 대표변위는 약 16.2 cm로 FSM의 약 16.6 cm 대비 97.5% 수준으로 나타났으며, 부(-) 방향 최대 대표변위도 약 13.5 cm로 FSM의 약 13.7 cm 대비 98.0% 수준으로 재현되었다. 반면 대표가속도의 경우 LM의 정(+) 방향 최대값은 약 0.104 g로 FSM의 약 0.090 g 대비 115.5%, 부(-) 방향 최대값은 약 0.096 g로 FSM의 약 0.091 g 대비 105.8% 수준으로 나타나, 대표변위에 비해 다소 크게 평가되는 경향을 보였다. 이는 미계측층 상대가속도를 계측층 간 선형 보간으로 추정하는 방식의 특성상, 실제 구조물의 비선형 가속도 분포를 단순화하여 표현하게 되므로 일부 층에서 가속도 크기가 과대 추정될 수 있기 때문이다. 그럼에도 불구하고 대표변위 증가에 따른 대표가속도의 전반적인 변화 경향, 초기 응답영역에서의 기울기 변화, 그리고 최대 응답 부근의 포락선 형상은 FSM 결과와 대체로 유사하게 재현되었다.

Fig. 4. Capacity Curve (FSM vs LM)

Fig. 5는 FSM과 LM으로부터 도출된 대표 이력곡선을 비교한 결과로, 하중 재하 및 제하 경로가 상이한 이력 루프가 형성되어 있으며 루프 내부의 면적으로부터 구조물의 에너지 소산이 발생하였음을 확인할 수 있다. 이는 적용된 지반운동 수준에서 구조물의 비선형 거동이 유발되었음을 의미하며, 이러한 비선형 응답 조건 하에서도 LM의 대표 이력곡선이 FSM과 전반적으로 유사한 이력 루프 형상을 재현하고 있어, 제안 알고리즘이 구조물의 지배적인 비선형 거동 특성을 합리적으로 포착하고 있음을 확인할 수 있다.

Fig. 5. Representative Hysteresis Curve (FSM vs LM)

한편, FSM과 LM의 분해 수준에 따른 rank별 응답 특성을 비교하기 위하여 유효질량비(Effective mass ratio, $M_{ratio,j}$) 와 누적 운동에너지량(Cumulative kinetic energy, $C_{ekj}$) 을 Table 3에 정리하였다. Table 3은 FSM과 LM의 rank별 유효질량비와 누적 운동에너지량을 비교한 결과를 나타낸다. 유효질량비의 비 $M_{LM}/M_{FSM}$ 는 Rank 1∼5 구간에서 1.338∼4.286의 범위로 비교적 큰 차이를 보인 반면, Rank 6∼8에서는 각각 1.069, 1.051, 1.045로 1에 근접하여 유사한 수준을 나타냈다. 또한 누적 운동에너지량의 비 $C_{LM}/C_{FSM}$ 는 Rank 1∼3에서 0.429∼0.591 범위로 나타나 FSM과 LM 사이의 차이가 상대적으로 크게 확인되었으나, Rank 4∼8에서는 0.933∼1.042 범위로 1에 근접하여 비교적 잘 일치하는 경향을 보였다. 이는 선형 보간 방식이 구간 내 응답 분포를 단순화하여 표현하는 특성으로 인해 저차 응답 성분, 즉 낮은 주파수 대역에서 응답 재현의 정밀도가 상대적으로 낮아질 수 있음을 반영하는 것으로 판단된다.

한편 FSM과 LM 모두에서 누적 운동에너지량은 Rank 7에서 최대값을 나타내었고, Rank 8과 Rank 6이 그 다음 큰 값으로 나타났다. 본 구조물의 지배적인 응답은 Rank 7을 중심으로 Rank 6∼8 구간에 주로 집중된 것으로 판단된다. 이러한 결과는 Fig. 4의 역량곡선 및 Fig. 5의 대표이력곡선 비교 결과와 같이 일관된 경향을 보인다. 즉 낮은 rank 구간에서는 FSM과 LM 사이에 일부 차이가 존재하였으나, 역량곡선과 대표이력응답 형성에 보다 큰 영향을 미치는 지배적 응답 성분이 Rank 6∼8 구간에서 유사하게 재현되었기 때문에, 최종적으로 도출된 LM에 대한 역량곡선과 대표이력곡선 역시 FSM에 비교하여 전반적으로 유사한 형상을 나타낸 것으로 해석된다.

Table 4와 Table 5는 FSM과 LM의 층별 상대변위 및 상대가속도 비교 결과를 나타낸다.상관계수 $r$ 은 FSM과 LM의 동일 층 응답 시간이력 사이의 선형 상관성을 나타내는 지표로서, 두 응답의 시간적 변화 양상과 파형 형상이 얼마나 유사한지를 보여준다. 따라서 $r$값이 1에 가까울수록 FSM과 LM의 응답이 시간에 따라 유사한 패턴으로 진행되는 것을 의미하며, 본 연구에서는 이를 형상 유사성의 지표로 사용하였다. 표준편차 비 $\sigma_{LM}/\sigma_{FSM}$ 는 응답 변동 크기의 유사성을 나타낸다.

Table 4의 상대변위 비교 결과, 전 층에서 $r$값이 0.99 내외로 나타나 FSM과 LM의 상대변위 시간이력 형상이 매우 유사함을 확인할 수 있다. 또한 표준편차의 비 $\sigma_{LM}/\sigma_{FSM}$ 또한 상층부로 갈수록 1에 근접하는 경향을 보였으며, 5층 이상에서는 대체로 1.0에 가까운 값을 나타냈다. 이는 제안한 제한계측 알고리즘이 상대변위 응답에 대해서는 형상과 크기 측면 모두에서 FSM 결과를 비교적 잘 재현하고 있음을 의미한다.

반면 Table 5의 상대가속도 비교 결과에서는 상대변위에 비해 차이가 다소 크게 나타났다. $r$값은 저층부에서 0.48∼0.52 수준으로 낮게 나타났으나, 상층부로 갈수록 1에 근접하며 10층과 ROOF에서는 각각 0.9135, 0.9212로 비교적 높은 유사도를 보였다. 표준편차 비 $\sigma_{LM}/\sigma_{FSM}$ 역시 전 층에서 1보다 크게 나타나 LM이 FSM보다 상대가속도의 크기를 전반적으로 크게 평가하는 경향을 보였으며, 이러한 차이는 저층부에서 더욱 두드러졌다. 이는 상대가속도 추정이 두 구간 모두 선형 보간에 기반함에도, 각 구간에서 선형 분포를 결정하는 실제 계측값의 수와 위치가 서로 다르기 때문으로 판단된다. 즉 하부 구간은 기초층의 상대가속도 0과 중간계측층의 계측값 사이를 연결하는 형태이므로, 실제 동적 응답을 직접 반영하는 계측 정보가 사실상 중간계측층 1개소에 제한된다. 따라서 기초의 영향, 층별 강성⋅질량 분포, 고차모드 기여 등으로 인해 저층부에서 나타나는 복잡한 상대가속도 분포를 충분히 재현하기 어렵다. 반면 상부 구간은 중간계측층과 최상층이라는 두 개의 실제 계측값 사이에서 보간되므로, 시간에 따라 변화하는 상부 응답의 전반적인 경향이 보다 직접적으로 반영된다. 또한 상층부 층들은 두 계측점에 상대적으로 가까이 위치하므로, 저층부에 비해 추정 오차가 감소하는 경향을 보인 것으로 판단된다. 이와 같이 저층부 상대가속도의 과대평가로 인해 Fig. 4의 역량곡선에서 LM의 초기 기울기가 FSM에 비해 다소 크게 나타나, 등가초기강성이 소폭 과대평가되는 경향을 보였으나, 최대 대표변위 및 대표가속도는 FSM과 유사한 수준으로 재현되었다.

다만 이러한 저층부 상대가속도의 차이가 역량곡선 추출 결과에 미치는 영향은 제한적인 것으로 확인되었다. 역량곡선 추출 알고리즘에서는 분해수준 선택 절차를 통해 구조물의 지배 응답 성분만을 선별한 후 전 층의 상대가속도와 질량의 가중 합산에 기반하여 대표응답을 산정하므로, 저층부에서의 가속도 추정 오차가 최종 결과에 미치는 영향이 경감되는 것으로 판단된다. 실제로 Fig. 4 및 Fig. 5에서 확인되는 바와 같이, 최종 역량곡선 및 대표이력곡선은 FSM과 전반적으로 유사한 형상을 나타내었으며, 구조물의 비선형 거동 특성 및 최대 응답 수준도 합리적으로 재현되어 역량곡선 추출이라는 최종 목적 측면에서 제안 알고리즘이 합리적으로 적용될 수 있음을 확인하였다.