2.1 좌표 모델과 인덱스

토탈스테이션이 i번째 위치에 설치되었을 때, j번째 리플렉터의 관측 좌표 $b_{i,j} \in R^3$는 리플렉터의 실제 위치 $r_j$에 대해 식 (1)과 같이 표현된다.

여기서 $R_i \in SO(3)$와 $t_i \in R^3$는 i번째 설치 시 토탈스테이션 좌표계의 회전 행렬과 이동 벡터이다. 토탈스테이션을 재설치할 때마다 $R_i$와 $t_i$가 달라지므로, 관측 좌표 $b_{i,j}$ 자체는 서로 다른 시점 사이에서 직접 비교할 수 없다. 따라서 제안 기법은 $R_i$와 $t_i$를 명시적으로 복원하지 않고도 매 시점 데크의 기준평면 기반 솟음량을 산출하는 것을 목표로 한다.

리플렉터의 역할에 따라 외곽 4개를 B = 1, 2, 3, 4, 중앙 1개를 m = 5로 표기한다. 외곽 그룹 B는 교량 데크의 지점부 근처에 위치하여 기준 평면(base plane)을 정의하지만, 외곽 4점이 절대적으로 고정되어 있거나 시간에 따라 변위가 발생하지 않는다고 가정하지 않는다. 본 연구에서 산출하는 솟음량은 외부 불변 기준에 대한 절대 변위가 아니라, 매 계측 사이클에서 외곽 4점이 정의하는 기준 평면에 대한 중앙 리플렉터의 상대 수직거리이다. 따라서 교량 또는 계측계에 공통적으로 작용하는 평행이동과 회전 성분은 중앙점과 기준 평면에 함께 반영되며, 기준평면 기반 솟음량 산출 과정에서 제거된다. 중앙 인덱스 m의 리플렉터는 시공⋅온도⋅하중에 의해 데크 중앙이 변형되는 정도를 반영하며, 기준 평면과의 수직거리로 솟음량이 환산된다.

2.2 기준 평면 법선벡터 추출

외곽 리플렉터 4개의 관측 좌표 $b_{i,j \in B}$로부터 기준 평면의 단위 법선벡터 $n_i$를 추출한다. 먼저 외곽 4점의 산술 평균으로 평면의 도심(centroid) $S_i$를 정의한다.

각 외곽 점의 도심 대비 상대 좌표 $b_{i,j} - S_i$로부터 3 × 3 공분산 행렬 $C_i$를 식 (3)와 같이 구성한다.

$C_i$의 세 고유치를 큰 값부터 $\lambda_1 \ge \lambda_2 \ge \lambda_3$로 표기하면, 법선벡터 $n_i$는 식 (4)와 같이 최소 고유치 $\lambda_3$(이하 $\lambda_{min}$)에 대응하는 단위 고유벡터로 정의된다 ^{(Jolliffe, 2002)}.

$\lambda_{min}$은 외곽 4점이 평면에서 벗어나는 정도(잔차의 분산)이며, 4점이 비공선(non-collinear)⋅공면(coplanar) 배치에 가까울수록 $\lambda_{min}$이 나머지 두 고유치 $\lambda_1, \lambda_2$보다 충분히 작아 법선이 안정적으로 정의된다.

추출된 $n_i$는 고유벡터로서 부호가 임의이므로, 토탈스테이션 좌표계의 연직축 단위벡터 $e_z = [0, 0, 1]^T$와의 부호 일치 조건인 식 (5)에 따라 위쪽 방향을 양으로 고정한다.

토탈스테이션은 설치 시 정준(leveling) 과정을 거쳐 연직축과 중력방향이 근사적으로 일치하므로, 이 조건에 의한 부호 결정이 매 계측 시점에 걸쳐 일관되게 유지된다. 이렇게 정렬된 $n_i$는 데크 위쪽 방향을 일관되게 가리키며, 이후 정의되는 솟음량의 부호가 (+: 위로 솟음, -: 아래로 처짐)으로 직관적으로 해석된다.

2.3 기준평면 기반 솟음량 산출과 좌표계 독립성

추출한 기준 평면 ($S_i, n_i$)와 중앙 리플렉터 좌표 $b_{i,m}$이 주어지면, 기준평면 기반 솟음량 $h_i$는 외곽 4점 기준 평면 대비 중앙점의 상대적인 부호 포함 수직거리로 정의된다. Fig. 2에 평면 결정과 수직거리 산출 과정을 도식적으로 나타내었다. 도심 $S_i$를 기준점으로 잡고 법선벡터 $n_i$ 위에 중앙 리플렉터 $b_{i,m}$을 정사영하면, 그 부호 포함 수직거리가 곧 솟음량 $h_i$이며 이를 식으로 나타내면 식 (6)과 같다.

Fig. 2. Concept of reference-plane-based camber. Base plane (centroid Si, normal vector ni) determined by the four outer points bi,1,..., bi,4; signed perpendicular distance hi of the center reflector bi,5 to the plane; total station coordinate frame (xi, yi, zi).

$n_i$가 위쪽을 향하도록 정렬되어 있으므로 $h_i > 0$은 중앙점이 외곽 4점 평면 위쪽으로 솟아 있음을, $h_i < 0$은 아래쪽으로 처져 있음을 의미한다. $h_i$는 두 시점 간 좌표 차분이 아니라 매 시점의 기준평면 대비 산출량이므로, 시공 중 솟음 추세와 공용 중 처짐 변화를 단일 스칼라로 모니터링할 수 있다.

산출된 솟음량 $h_i$의 핵심 성질은 토탈스테이션 좌표계의 회전과 이동에 대해 무관하다는 점이며, 이를 두 단계로 증명한다. 임의의 강체 변환 ($R, t$)로 좌표계를 변경하면 모든 리플렉터 좌표가 $b'_{i,j} = R b_{i,j} + t$ 로 변환된다. 도심과 각 점의 도심 대비 상대 좌표 또한 함께 변환되며, 식 (7)에 따라 차분 과정에서 이동 벡터 $t$가 소거된다.

회전 행렬은 직교성($R^T = R^{-1}$)을 만족하므로, 식 (8)의 공분산 변환은 닮음 변환(similarity transformation)에 해당하여 모든 고유치를 보존한다. 따라서 최소 고유치는 $\lambda_{min}$으로 유지되고 대응 법선벡터는 원래 법선이 함께 회전된 형태 $n'_i = R n_i$로 변환된다.

이상의 변환 관계를 솟음량 식에 대입하면, 회전 행렬이 직교 행렬의 성질($R^T R = I$)에 의해 소거된다.

따라서 $h_i$는 좌표계 변환에 대해 불변이며, 토탈스테이션을 매 계측 시 자유롭게 설치하고 해제하여도 일관된 솟음량 시계열을 얻을 수 있다.

2.4 알고리즘 정리

제안 기법은 매 계측 시점 i에서 다음 네 단계로 구성된다. 첫째, 5개 리플렉터의 관측 좌표 $\{b_{i,j}\}_{j=1}^5$ 를 획득한다. 둘째, 외곽 4개(j ∈ B)로부터 도심 $S_i$와 공분산 행렬 $C_i$를 산출한다. 셋째, $C_i$의 최소 고유치에 대응하는 고유벡터로 법선벡터 $n_i$를 추출하고 부호를 결정한다. 넷째, 중앙 리플렉터와 기준 평면 사이의 부호 포함 수직거리를 기준평면 기반 솟음량 $h_i$로 산출한다. 모든 연산이 좌표계의 회전과 이동에 대해 불변이므로, 토탈스테이션을 매 계측 시 자유롭게 설치 및 해제할 수 있다. Fig. 3에 알고리즘 흐름도를 나타내었다.

Fig. 3. Algorithm flowchart of the proposed method. The corresponding equation number is shown to the right of each step. B = 1,2,3,4: index set of outer reference reflectors; m = 5: index of the center measurement reflector.

중앙 리플렉터 R5를 평면 결정에 포함시키지 않는 이유는 솟음량 감도를 유지하기 위함이다. R5가 결정에 참여하면 데크 중앙의 변형이 기준 평면 자체에 일부 흡수되어 산출량이 둔감해진다. 외곽 4점만으로 평면을 정의하면, 외곽부가 중앙부보다 작은 상대 변형을 보인다는 조건에서 평면이 안정적으로 유지되고 R5의 변형이 $h_i$에 주로 반영된다.

3.1 시뮬레이션 설정

수치 검증은 Python과 NumPy 기반 자체 시뮬레이션 코드로 수행하였다. 먼저 세계좌표계에서 경간장 18 m, 폭 3 m의 단경간 교량 하면을 정의하고, 외곽 리플렉터 R1-R4를 (0, ±1.5, 0) 및 (18, ±1.5, 0) m 위치에, 중앙 계측 리플렉터 R5를 (9, 0, 0) m 위치에 배치하였다. 좌표계 독립성 검증에서는 R5에만 -1 mm의 참 솟음량을 부여하고, 외곽 4점은 동일 평면 위에 유지하였다. 각 시행에서 토탈스테이션 위치는 교량 중심으로부터 20-50 m 떨어진 임의 방위각 지점으로 재샘플링하고, 높이는 교량 중심 기준 –2-2 m 범위에서 임의로 부여하였다. 현장실험의 리플렉터 도심 사거리는 약 10 m였으므로, 20-50 m 범위는 실제 현장 조건을 그대로 복제한 값이 아니라 거리 증가에 따른 각도 노이즈 영향을 함께 검토하기 위한 보수적 장거리 조건이다. 토탈스테이션 자세는 임의의 방위각 회전과 작은 기울기 회전으로 구성하였으며, 기울기 회전각은 표준편차 0.5 의 정규분포에서 추출하였다. 이 값은 토탈스테이션 정준 성능의 일반적인 잔차를 의미하지 않고, 재설치 시 좌표계 자세가 충분히 달라져도 제안 알고리즘이 좌표계 회전에 대해 불변인지 확인하기 위한 보수적 자세 교란값이다. 계측 모델은 토탈스테이션의 물리적 관측량인 수평각, 연직각, 사거리에 독립 가우시안 노이즈를 주입한 후 직교좌표로 역변환하는 방식을 취한다. 기본 노이즈 수준은 실험에 사용된 로보틱 토탈스테이션의 공칭 사양인 각도 정밀도 1 ", 거리 정밀도 1 mm + 1.5 ppm을 적용한다. 좌표계 독립성 검증은 500회의 임의 재설치 자세에 대해 수행하였고, 노이즈 민감도 검증에서는 각도 및 거리 노이즈를 공칭 사양의 0.25-5배 범위에서 독립적으로 변화시켰다.

3.2 좌표계 독립성 검증

식 (9)의 좌표계 회전 불변성을 검증하기 위해, 중앙 R5의 참값 솟음량을 $h^{gt} = -1$ mm로, 외곽 4점은 평면 위에 그대로 둔 채 토탈스테이션의 위치와 자세만 독립적으로 500회 재샘플링하였다. 이상 조건(노이즈 없음)에서는 500회 전 샘플에서 복원된 솟음량이 참값과 정확히 일치하여(편차 <$10^{-14}$ mm), 좌표계 회전에 대한 알고리즘적 불변성이 수치적으로 성립함을 확인하였다. 스펙 노이즈 인가 조건에서도 복원 솟음량은 편향 없이 참값 주변에 분포하였으며, 중앙 R5에서 평균 -0.996 mm⋅표준편차 0.204 mm, 외곽 4점의 잔차 표준편차 0.094 mm로 나타났다(Fig. 4). 토탈스테이션을 매 세션 완전히 제거하고 재설치해도 솟음량 산출이 일관됨을 통계적으로 확인할 수 있다.

Fig. 4. Distribution of reconstructed camber across 500 random total station re-installations. (a) Noise-free case: recovery to the true value within mechanical precision, numerically confirming the coordinate-frame invariance of eq. (9). (b) Specification-noise case: unbiased distribution around the true value at the measurement noise floor. Open markers: outlier samples outside the boxplot whisker range [Q1 - 1.5 IQR, Q3 + 1.5 IQR].

3.3 계측 노이즈에 대한 감도

토탈스테이션의 각도 노이즈와 거리 노이즈를 공칭 스펙 대비 0.25배에서 5배까지 독립적으로 스윕하여 각 수준에서 중앙 R5 솟음량의 RMSE를 산출하였다 (Fig. 5). 각도 노이즈의 영향은 솟음량 오차에 지배적으로 작용하여, 노이즈가 0.25배에서 5배로 증가할 때 RMSE는 0.07 mm에서 0.95 mm로 근사적으로 비례 증가하였다. 반면 거리 노이즈는 동일한 배율 증가에도 솟음량 오차에 미치는 영향이 미미하여, RMSE는 0.18 mm에서 0.29 mm로 60% 미만의 증가에 그쳤다. 이러한 비대칭은 제안 기법의 법선 투영이 수직 성분만을 선택적으로 추출하기 때문이다. 토탈스테이션 시선(line-of-sight)이 근사적으로 수평 방향에 정렬되므로, 거리 노이즈는 솟음량에 간접적으로만 기여한다. 결과적으로 각도 정밀도가 장기 변위 계측 성능을 결정하는 주요 인자이며, 본 시뮬레이션 조건에서는 거리 노이즈에 비교적 둔감하게 나타났다. 따라서 본 기법의 현장 적용 시 우선적으로 고려해야 할 토탈스테이션 사양은 각도 정밀도이다. 1" 이하의 각도 정밀도를 갖춘 고급 모델을 선정하면 솟음량 RMSE를 0.2 mm 수준 이하로 안정적으로 유지할 수 있는 반면, 거리 정밀도 등급의 선택 폭은 비교적 넓다.

Fig. 5. Sensitivity to total station measurement noise. (a) Camber RMSE proportional to the angular noise level. (b) Range-noise insensitivity from selective extraction of the normal-projection component.

3.4 리플렉터 배치 형상의 영향

법선벡터의 안정적 추출은 외곽 그룹 리플렉터의 평면 분포에 의존한다. 구체적으로는 두 번째 작은 고유치 $\lambda_2$와 최소 고유치 $\lambda_3$의 분리도가 클수록 법선이 정확하게 결정된다. 이를 정량화하기 위해, 외곽 그룹의 교폭 방향 간격을 0.05 m에서 3 m까지 변화시키며 시뮬레이션을 수행하였다 (Fig. 6). 이하 외곽 폭이 (a) 두 고유치, (b) 법선벡터 각도 오차, (c) 중앙 R5 솟음량 RMSE, (d) 외곽 4점 잔차 표준편차에 미치는 영향을 차례로 분석한다.

먼저 두 고유치는 외곽 폭에 대해 서로 상반된 거동을 보였다. Fig. 6(a)에 나타난 바와 같이, 교폭 방향의 고유치 $\lambda_2$는 폭의 제곱에 비례하여 변화하여, 교폭 0.05 m에서 $2.5 \times 10^{-3}$ m²이었던 값이 교폭 3 m에서 9 m²로 증가하였다. 반면 평면 법선 방향의 최소 고유치 $\lambda_3$는 리플렉터의 평면 분포에 상관없이 계측 노이즈에 의해 결정되는 한계 수준(~$3.5 \times 10^{-8}$ m²)에 고정된다. 폭이 증가할수록 $\lambda_2$와 $\lambda_3$의 분리도가 커지며, 그 결과 법선벡터의 각도 오차는 교폭 0.05 m의 0.16° 에서 교폭 3 m의 0.003° 로 약 50배 감소한다 (Fig. 6(b)). 즉 외곽 폭은 법선벡터 자체의 결정 정확도를 직접적으로 좌우한다.

그럼에도 솟음량 RMSE와 외곽 잔차 표준편차는 외곽 폭 변화에도 안정적으로 유지된다. 중앙 R5의 솟음량 RMSE는 폭에 거의 무관하게 약 0.2 mm 수준에 머무르며 (Fig. 6(c)), 외곽 4점의 잔차 표준편차 또한 폭과 무관하게 약 0.09 mm 수준에 머무른다 (Fig. 6(d)). 이는 정준 상태의 법선벡터 $n_i$가 거의 수직 방향에 정렬되어 있어, 그 미세한 기울기 오차 $\theta$가 작은 각 근사(small angle approximation)의 영역에 머무르기 때문이다. 이때 솟음량 산출에 관여하는 코사인 성분은 $cos\theta \approx 1$ 로 거의 변하지 않으므로, 법선벡터의 작은 각도 오차가 솟음량에 거의 전달되지 않는다. 결과적으로 본 기법의 솟음량 산출은 외곽 폭의 폭넓은 범위에서 안정적으로 동작함이 확인되며, 다만 법선벡터 자체의 결정 정확도(Fig. 6(b))와 R5 위치 부정확성에 대한 안정성을 동시에 확보하기 위해서는 외곽 그룹을 가능한 한 넓게 분포시키는 것이 여전히 권장된다.

Fig. 6. Effect of outer-reflector layout geometry. (a) lambda_2 proportional to width squared; lambda_3 pinned to the measurement noise floor. (b) Nonlinear decay of plane-normal angular error with increasing width. (c) Center R5 camber RMSE nearly independent of width (about 0.2 mm level). (d) Outer R1-R4 residual std nearly independent of width (about 0.09 mm level).

4.1 실험 환경

제안 기법의 유효성을 검토하기 위해 국내 차량⋅보도 겸용교를 대상으로 현장실험을 수행하였다. 대상 교량은 경간장 약 25 m, 교폭 약 22.5 m이며, 하면 외곽의 네 모퉁이에 외곽 리플렉터(R1-R4) 4개, 그 기하 중심에 중앙 계측 리플렉터(R5) 1개를 설치하였다 (Fig. 7). 계측 장비는 Leica TS13 로보틱 토탈스테이션(각도 정밀도 1", 거리 정밀도 1 mm + 1.5 ppm)으로, 5개 리플렉터의 3차원 좌표를 자동 순회 방식으로 한 사이클당 약 30-60 s 주기로 기록하였다. 계측은 7월 13일 15시 22분에 시작되어 7월 29일 07시 56분에 종료된 약 16일의 현장실험으로 수행되었으며, 누적 계측 시간 376.6 h 동안 총 7996 사이클의 5점 좌표가 자동으로 기록되었다. 계측 기간은 큰 일교차와 고온 환경에서 데크의 일주기 거동을 여러 차례 관측할 수 있도록 설정하였다. 본 현장실험은 수개월 이상의 계절 변동 또는 장기 크리프를 검증하는 장기 성능 검증이 아니라, 제안 기법의 좌표계 독립성과 일주기 거동 추적 가능성을 확인하기 위한 중기 현장 검증으로 해석하였다.

Fig. 7. Field-experiment site. (a) Aerial view of the target vehicle/pedestrian bridge. (b) Total station setup under the bridge. (c) Close-up of an underside reflector (prism).

4.2 솟음량 시계열

계측된 5점 좌표에 2절에서 제안한 기법을 적용하여 매 사이클의 기준평면 기반 솟음량 $h_i$를 산출하였다. 산출된 $h_i$는 모두 양의 값을 가지며, 평균 126.25 mm, 표준편차 1.01 mm, 전 기간 변동폭 4.43 mm로 관측되었다 (123.86-128.29 mm 범위). 이는 데크 중앙이 외곽 모서리 평면보다 약 126 mm 위로 솟아 있으며, 일교차에 따라 그 솟음량이 4 mm 가량 변동함을 의미한다. 기준 평면의 결정 품질을 정량화하는 외곽 4점 평면 잔차 RMS의 현장실험 전 기간 평균은 0.77 mm로 나타났으며, 이 값은 3절에서 시뮬레이션으로 분석한 토탈스테이션 스펙 노이즈 기여분(약 0.2 mm)에 외곽 리플렉터 마운트의 잔류 비평면성이 합쳐진 수준이다. Fig. 8에 나타낸 16일 전체 솟음량 시계열에서 명확한 일주기 변동이 반복적으로 관측되며, 일주기 진폭은 약 2-4 mm 범위에서 외기 조건에 따라 변동한다. 이러한 일주기 변동 진폭은 외곽 4점 평면 잔차 RMS(0.77 mm)의 수 배 이상으로, 본 기법이 mm 수준의 일간 거동을 반복적으로 관측할 수 있음을 시사한다. 다만 Fig. 8의 7월 23일 18시 20분 42초부터 7월 24일 12시 29분 44초까지 약 18.2시간 구간에는 결측이 존재한다. 현장 운용 기록을 확인한 결과, 토탈스테이션의 자동 순환계측 중 한 리플렉터라도 자동 조준 또는 계측에 실패하면 장비가 다음 점으로 넘어가지 않고 에러 메시지 상태로 정지하였다. 해당 결측은 7월 23일 현장 이탈 후 단일 점 계측 실패로 자동 순환계측이 정지하고, 7월 24일 12시 29분 44초에 작업자가 현장에서 에러 메시지를 확인한 뒤 계측을 재개하면서 발생하였다. 이러한 단일 점 계측 실패는 현장 조건에서 식생, 곤충 등에 의한 일시적 시야 가림으로 발생할 수 있으며, 본 분석에서는 결측 구간을 보간하지 않고 전후의 유효 계측 사이클만 사용하였다.

Fig. 8. Camber time series of the field experiment. Target vehicle/pedestrian bridge; July 13 15:22 - July 29 07:56; about 16 days (7996 cycles, 376.6 h cumulative). Daily-period variation repeating over 16 days with 2-4 mm amplitude.

4.3 외기온도와의 상관

일주기 솟음량 변동과 외기 변수의 관계를 정량적으로 살펴보기 위해, 대상 교량 인근 좌표의 시간별 외기온과 일사량을 Open-Meteo 공개 기상 아카이브 ^{(Zippenfenig, 2023)}에서 취득하였다. ECMWF ERA5 재분석에 기반한 본 데이터는 현장실험 기간 동안 외기온 20.7-33.2 C, 최대 일사량 923 W/m²의 변동 범위를 포함하며, Fig. 9에 같은 기간의 외기온과 일사량 시계열을 나타내었다.

Fig. 9. Ambient environment time series during the field experiment. (Top) Hourly ambient temperature near the target bridge, ranging 20.7-33.2 °C. (Bottom) Shortwave radiation over the same window, peaking at 923 W/m2.

솟음량과 외기 변수의 선형 상관을 평가하기 위해, 시간별 외기온 T와 일사량 SR(shortwave radiation)을 사이클 시점에 선형 보간한 뒤 식 (10)의 피어슨 상관계수를 산출하였다.

산출 결과 r($h_i$, T) = +0.23, r($h_i$, SR) = +0.10으로 외기온과의 관계가 더 뚜렷하게 나타났으나, 상관 강도는 약한 수준이다. 따라서 0시간 지연 상관계수만으로 산출 솟음량이 열거동과 정량적으로 일치한다고 해석하기는 어렵다.

시간축에 위상 차이를 부여했을 때의 상관 변화를 확인하기 위해, 기준평면 기반 솟음량과 외기온 및 단파복사량 사이의 지연 시간별 Pearson 상관계수를 추가로 산출하였다. 기준평면 기반 솟음량 $h_i$를 5시간 이전의 외기온 T(t - 5 h)과 비교하면 Pearson 상관계수는 r = +0.61로 증가하였다. 단파복사량에 대해서도 동일한 +5 h 지연에서 최대 상관계수 r = +0.65가 나타났다. 이는 현장실험 중 산출된 솟음량이 외기온 및 일사 변화에 즉시 반응하기보다 수 시간 지연되어 변동했을 가능성을 보여준다. 동일 시간축에 두 시계열을 중첩한 Fig. 10에서는 외기온 상승과 솟음량 증가가 대체로 같은 방향으로 나타나지만, 솟음량 피크가 외기온 피크보다 지연되는 경향이 관찰된다. 이 결과는 열환경과 솟음량 사이의 지연 관계를 보완적으로 설명하는 결과로 해석하였다.

Fig. 10. Camber and ambient temperature time series. Purple scatter: camber hi (left axis); gray line: ambient temperature T (right axis). Pearson correlation r(hi, T) = +0.23, computed from the Open-Meteo hourly temperature near the target bridge interpolated to cycle times.