2.1 상태공간 방정식 기반 DT 모델

구조물의 동적 거동은 일반적으로 운동 방정식으로 표현되며, 이를 상태공간 형태로 변환하면 수치해석 및 제어 이론 분야에서 확립된 다양한 해석 기법을 적용할 수 있다. 질량행렬 $M$, 감쇠행렬 $C$, 강성행렬 $K$로 구성된 다자유도(MDOF) 구조계의 운동 방정식은 식(1)과 같이 표현된다.

여기서, $x(t)$는 변위 벡터, $u(t)$는 외력 벡터, $B$는 외력 위치 행렬이다. 식 (1)에서 상태 벡터 $z(t) = \{x(t), \dot{x}(t)\}^T$를 도입하면, 식 (2)와 같은 1차 연립 미분 방정식 형태의 연속시간 상태공간 방정식으로 변환된다.

이때 연속시간 시스템 행렬 $A_o$, 입력 행렬 $B_o$는 식 (3)과 같이 정의된다.

수치 적분을 위해 연속시간 상태공간 방정식을 이산시간 영역으로 변환하며, 이때 영차 유지(Zero-order Hold, ZOH) 방법을 적용한다.

케이블 손상은 FE 모델 간 질량 및 강성 행렬의 변화량으로 모사되며, 이러한 변화량을 Model Update된 무손상 행렬에 반영하여 손상 상태의 시스템 행렬을 구성한다. 먼저 비업데이트 FE 모델 간의 변화량은 식 (6)과 같이 산정된다.

여기서, $M_{FE}$, $K_{FE}$는 비업데이트 무손상 FE 행렬이며, $M_{FE,D}$, $K_{FE,D}$는 해당 손상 시나리오가 반영된 비업데이트 FE 행렬이다. 본 연구에서 비업데이트 무손상 FE 모델과 손상 FE 모델은 동일한 절점 번호, 요소 연결 관계, 경계조건 및 자유도 배열을 유지한 상태에서 구성하였다. 손상 상태는 대상 케이블 요소의 강성을 감소시키는 방식으로 구현하였으며, 이에 따라 무손상 모델과 손상 모델로부터 추출된 질량행렬 및 강성행렬은 동일한 전역 좌표계와 동일한 자유도 순서를 갖는다. 따라서 식(6)에서 산정되는 $\Delta M$과 $\Delta K$는 서로 다른 좌표계 또는 자유도 배열 간의 단순 수치 차이가 아니라, 동일한 행렬 좌표계 내에서 특정 케이블 손상에 의해 발생하는 물리적 변화량으로 정의된다.

산정된 변화량은 Model Update된 무손상 상태의 질량 및 강성행렬에 반영하여 손상 상태의 질량 및 강성행렬을 구성하였다.

여기서, $M_U$, $K_U$는 Model Update된 무손상 상태의 질량 및 강성행렬이며, $M_{U,D}$, $K_{U,D}$는 손상 상태의 질량 및 강성행렬이다. Model Update는 무손상 상태의 기준 FE행렬이 실험 동특성과 부합하도록 보정하는 절차이며, $\Delta M$과 $\Delta K$는 동일한 FE 모델링 조건에서 산정된 손상 전후의 물리적 변화량을 의미한다. 따라서 Model Update된 무손상 행렬에 $\Delta M$과 $\Delta K$를 반영함으로써 실험 기반으로 보정된 무손상 동특성과 FE 모델에서 정의된 손상 변화 특성을 함께 고려한 손상 상태 행렬을 구성할 수 있다.

감쇠행렬 $C$는 Rayleigh 감쇠 가정에 따라 $M_{U,D}$, $K_{U,D}$로부터 재산정하였다. 이를 식 (3)에 반영하여 손상 상태의 연속시간 시스템 행렬 $A_o$를 구성하고, 식 (4)~(5)의 이산화 절차를 통해 손상 상태 DT 모델을 완성하였다.

2.2 IMD 손상평가 기법

IMD 기법은 MD를 발전시킨 손상 탐지 지표로, 외력 변동성이 응답에 미치는 영향을 효과적으로 상쇄시키는 데 목적이 있다^{(Heo et al., 2017)}. 기존 MD가 원시 계측 응답값 $x$를 통계 입력으로 직접 사용하는 반면, IMD는 무손상 상태와 손상 상태의 응답 차이 벡터 $\Delta x$를 통계 입력으로 사용함으로써, 외력의 시변 성분에서 비롯되는 응답 변동의 영향을 완화하고 손상에 기인한 상대적 변화 성분을 강조한다. 따라서 기존 MD에 비해 손상 변화에 대한 분별력을 높일 수 있다. 센서 $k$에서의 응답 차이 벡터는 식 (8)과 같이 정의된다.

여기서, $x_{n,k}^{damaged}$와 $x_{n,k}^{undamaged}$는 각각 손상 상태와 무손상 상태에서 센서 $k$로부터 획득된 $n$번째 응답 표본을 의미한다. 이를 이용하여 센서 $k$의 $n$번째 표본에 대한 IMD 값은 식 (9)와 같이 산정된다.

여기서, $m_k$는 센서 $k$에서 산정된 응답 차이 벡터의 평균 벡터이며, $R$은 공분산 행렬이다. 공분산 행렬은 식 (10)과 같이 산정된다.

여기서, $N$는 IMD 산정에 사용된 전체 표본 수이며, $\Delta x_{i,k}$는 센서 $k$에서 $i$번째 표본의 무손상 응답과 손상 응답 간 차이 벡터를 나타낸다. 공분산 행렬 $R$은 응답 차이 벡터의 분산 및 변수 간 상관관계를 반영하는 통계적 행렬이며, 이를 이용함으로써 손상에 따른 다변량 응답변화의 분별력을 높일 수 있다. 이러한 정규화 절차를 통해 외력의 시변 성분에서 비롯되는 응답 변동성의 영향이 완화되고, 손상에 기인한 상대적 변화 성분이 IMD 값에 강조되어 나타난다. 따라서 IMD는 손상 전후 완전히 동일한 외력 조건을 필수 전제로 하는 것이 아니라, 외력 변동성이 큰 조건에서도 손상에 따른 응답 변화의 분변력을 높이는 데 목적이 있다. 손상 탐지 기준으로는 무손상 상태에서 산출된 IMD 값 분포의 상한계선(Upper Control Limit, UCL)을 사용하며, 일반적으로 식 (11)과 같이 무손상 상태 IMD 값의 평균에 $3\sigma$를 더한 값으로 정의된다.

아울러 손상 위치 식별을 위한 정량 지표로는 센서 $k$에서의 IMD RMS 값을 활용하며, 식 (12)와 같이 정의된다.

여기서, $IMD_{i,k}$는 센서 $k$에서 $i$번째 표본에 대해 산정된 IMD 값이며, $N$은 RMS 산정에 사용된 전체 IMD 표본 수를 의미한다. RMS 값이 상대적으로 크게 나타나는 센서 위치를 손상 부재와 근접한 위치로 판단한다. UCL 초과율은 손상 응답의 발생 빈도, RMS 값은 손상 응답의 평균적 크기를 정량화하는 지표이다. 두 지표를 함께 활용함으로써 단발성 응답 이상이 아닌 시간 누적된 손상 응답 패턴을 평가할 수 있으므로 손상 위치 식별의 신뢰성을 향상시킬 수 있다.

3.1 모형 사장교 제원

본 연구에 사용된 모형 사장교는 강재(Steel)로 제작된 실험실 규모의 사장교 모형이다. 주요 제원은 Table 1에 정리되어 있으며, 총 길이 4,420mm, 교폭 120mm, 주탑 높이 1,300mm로 구성된다. 주탑은 주형의 좌우에 각각 1개씩 총 2개가 설치되어 있다.

케이블은 각 주탑의 양측에 4개씩, 총 8개(C1∼C8)가 부채꼴(fan-type) 형태로 배치되어 주형을 지지하는 구조이며, 각 케이블의 정착 위치는 주탑과 주형의 응력 전달을 균등하게 분담하도록 하였다.

구조물의 동적 응답을 측정하기 위해서 8개의 가속도 센서(S1∼S8)가 배치되었으며, 각 센서는 케이블 정착부 인근 또는 주형의 주요 진동 위치에 배치되어 케이블 손상 시 가장 민감한 응답 변화를 포착할 수 있도록 하였다. 하중 재하는 좌측 하부의 액추에이터(Actuator)를 통해 교량 종방향($x$축)으로 가진하였으며, 응답은 주형의 연직 방향($z$축) 가속도로 추출하였다. 모형 사장교의 전체 형상과 센서 및 케이블 배치는 Fig. 1과 같다.

Fig. 1. Overview of the model cable-stayed bridge and experimental configuration

3.2 FE 구조해석 및 Modal Test

FE 구조해석은 상용 구조해석 프로그램인 SIMENS 사의 NX를 사용하여 수행하였으며, 모형 사장교의 재료 물성, 단면 정보 및 경계 조건을 반영한 3차원 유한요소 모델을 구축하였다. 구축된 FE 모델은 총 절점 36,290개와 요소(Element) 16,458개로 구성하였다. 주형 및 주탑은 3D Swep Mesh 방식의 8절점 육면체 솔리드 요소(CHEXA(8))로 모델링하였으며, 요소 크기는 10mm로 설정하였다. 케이블은 1차원 스프링 요소(CBUSH1D)를 활용한 1D Connection 방식으로 구현하였으며, 케이블 축강성은 C4와 C5에 대해 각각 1.38N/mm, 나머지 케이블에 대해 1.03N/mm로 부여하여 무손상 상태의 평형 조건이 만족되도록 조정하였다. 주탑 하부의 경계 조건은 강체 고정으로 설정하였으며, 케이블 양단은 주탑과 주형의 정착 절점에 CBUSH1D 요소를 통해 연결되어 케이블의 축방향 강성이 주구조에 직접 전달되도록 구성하였다. 구축된 FE 모델로부터 고유치 해석(Eigenvalue Analysis)을 수행하여 모드형상(Mode Shape)과 고유진동수(Natural Frequency), 그리고 질량 및 강성행렬을 포함한 동특성값($\lambda, \phi, M, K$)을 산출하였다.

Modal Test는 모형 사장교 주형 위에 가속도 센서(S1∼S8)를 설치한 후, 임팩트 해머(Impact Hammer)를 이용한 가진 실험으로 수행하였다. 동적 응답 계측에는 Table 2와 같이 Dytran사의 3055B3 단축 IEPE 가속도 센서와 iOtech사의 652U 데이터 로거를 사용하였으며, 가진 장비로는 Dytran사의 5850A 임팩트 해머를 사용하였다. 실험 모드 해석(Experimental Modal Analysis, EMA)을 통해 고유진동수, 모드 형상 및 감쇠비($\lambda, \phi, C$)를 획득하였다. 가속도 신호는 충분한 주파수 분해능을 확보하기 위해 약 512 Hz의 샘플링 주파수로 계측하였으며, iOtech 652U에 내장된 안티앨리어싱 필터를 거친 계측 신호를 이용하여 주파수응답함수(Frequency Response Function, FRF)를 산출하였다. 이때 FRF는 임팩트 해머로 계측된 입력 가진력과 4번 가속도 센서(S4)에서 계측된 출력 가속도 응답을 이용하여 산정하였으며, 그 결과를 Fig. 2에 나타내었다. 산출된 FRF를 바탕으로 주요 모드의 동특성을 추출하였고, FE 해석과 Modal Test로부터 얻어진 동특성값은 이후 DT 모델 구축의 입력자료로 활용하였다.

Fig. 2. Frequency Response Functions from Modal Test

3.3 Model Update

FE 해석으로부터 도출된 동특성은 재료 물성, 경계 조건, 케이블 초기 장력 등의 모델링 가정에 의해 Modal Test 결과와 차이를 보일 수 있으며, 이러한 차이는 손상 시뮬레이션의 정확도에 직접적인 영향을 미친다. 이에 본 연구에서는 FE 모델의 질량 및 강성 행렬을 Modal Test 결과와 일치시키기 위해 DMUM(Direct Matrix Updating Method)을 적용하였으며, 갱신 결과의 적정성은 MAC(Modal Assurance Criterion)으로 검증하였다. DMUM은 갱신된 시스템 행렬이 Modal Test 결과에 대해 고유치 방정식과 모드 직교 조건을 만족하도록 강제하는 방법이다^{(Baruch, 1978)}.

본 연구에서는 DMUM을 이용하여 Modal Test 결과와 FE 해석 결과 간의 고유진동수 및 모드형상 차이를 보정하였다. 다만 DMUM은 특정 부재 손상도를 직접 추정하는 기법이 아니라, 실험 모드 조건을 만족하도록 전체 시스템 행렬을 보정하는 방법이므로, 본 연구에서는 무손상 기준 DT 모델의 동특성 보정목적으로 활용하였다.

구조물의 무감쇠 자유진동에 대한 고유치 방정식과 모드형상의 질량 정규화 직교 조건은 각각 식 (13), 식 (14)과 같다.

여기서, $\phi$는 모드 형상 행렬, $\lambda = diag(\omega_i^2)$는 고유치 대각 행렬이다. 식 (14)은 모드 좌표계에서 일반화 질량 행렬이 단위 행렬, 일반화 강성행렬이 고유치 대각 행렬로 정규화되는 이상적 상태를 의미하며, DMUM은 갱신된 FE 행렬이 Modal Test 결과에 대해 이 조건을 만족하도록 구성된다.

DMUM에서 강성행렬 갱신은 식 (15)의 오차함수를 식 (16), 식 (17)의 제약 조건 하에서 최소화하는 문제로 표현된다.

여기서, $[K_A]$는 FE 초기 강성행렬, $[K_{AU}]$ 는 갱신된 강성행렬, $\phi_x$는 Modal Test 모드 벡터 행렬, $[\Omega_x^2]$ 는 Modal Test 고유진동수 대각 행렬이며, 식 (16)과 (17)은 각각 대칭성 보존 조건과 실험 고유치 만족 조건에 해당한다. 식 (15)~(17)의 최적화 문제에 라그랑주 승수법을 적용하면 강성 행렬 보정량 $\Delta K$는 식 (18), 식 (19)과 같은 닫힌 형태(closed-form) 해로 산정된다.

질량행렬 갱신 역시 동일한 원리로 수행되며, 식 (20)의 오차함수를 식 (21), 식 (22)의 제약 조건 하에서 최소화하여 식 (23), 식(24)의 닫힌 해가 도출된다.

갱신된 FE 모델의 적정성은 MAC을 통해 평가한다. MAC은 FE 해석과 실험 모드 벡터 간 일치도를 정량화하는 지표로 식 (25)와 같이 정의되며, 0에서 1사이의 값을 가진다. 일반적으로 $MAC \ge 0.9$이면 두 모드 형상이 실질적으로 동일한 것으로 판단한다^{(Saidin et al., 2022)}.

여기서, $\phi_A$와 $\phi_B$는 각각 FE 해석 및 Modal Test로부터 구한 모드 벡터이다. 본 연구에서는 케이블 장력과 주형 강성에 따른 동특성 차이가 반영되도록 DMUM 기반 시스템 행렬 갱신을 수행하였으며, Model Update 전후의 고유진동수 및 MAC 값 비교 결과는 Table 3과 같다.

Table 3에서 확인할 수 있듯이, Model Update 이전에는 일부 모드에서 비교적 큰 고유진동수 오차가 발생하였다. 특히 Mode 3에서는 실험값 6.922 Hz에 대해 FE 해석값이 5.588 Hz로 나타났으며, Mode 4에서도 실험값 7.463 Hz에 대해 FE 해석값이 6.317 Hz로 산정되어 1 Hz 이상의 차이를 보였다. 또한 MAC 값은 Mode 3에서 0.642, Mode 4에서 0.771, Mode 8에서 0.773으로 나타나 일부 모드에서 일반적으로 사용되는 임계기준인 0.9를 하회하였다. 반면, Model Update 이후에는 모든 주요 모드에서 고유진동수 오차가 0.23% 이하로 감소하였으며, MAC 값도 0.996–0.999 범위로 향상되어 실험 모드와 해석 모드 간의 높은 정합성을 확인할 수 있었다.

다만 본 연구에서 적용한 DMUM 기반 Model Update는 계측된 실험 모드 정보를 행렬 보정 과정에 직접 반영하여 기준 시스템 행렬을 보정하는 방법이므로, 업데이트 후 나타난 고유진동수 및 MAC 값의 높은 일치도는 계측된 모드 범위 내에서의 수치적 정합 결과로 해석하는 것이 타당하다. 따라서 해당 결과는 전체 자유도, 비계측 위치의 응답 특성 또는 비계측 고차 모드까지 실제 구조물과 완전히 동일하게 재현되었음을 의미하지 않는다. 또한 이러한 특성으로 인해 특정 계측 모드에 대한 과도한 정합, 즉 과적합 가능성이 존재할 수 있으므로, 본 연구에서는 업데이트된 모델을 실제 구조물의 절대적인 물리 모델로 해석하지 않고, 무손상 상태의 주요 실험 모드 공간을 기준으로 보정된 손상 시나리오 해석용 기준 DT 모델로 한정하여 활용하였다. 이후 보정이 완료된 FE 모델로부터 무손상 상태의 질량 및 강성행렬을 추출하고, 이를 상태공간 방정식으로 변환하여 무손상 상태의 DT 모델을 구현하였다.

4.1 손상시나리오 설정

본 연구에는 케이블 손상을 해당 케이블의 축방향 강성 감소로 모사하였다. 케이블은 축력을 주로 전달하는 인장재이므로, 단면적 손실, 부식, 파단 등으로 인한 손상은 구조해석 관점에서 축강성 저하로 표현될 수 있다. 이에 따라 손상 케이블 요소의 축강성을 감소시키고, 그에 따른 강성 변화량($\Delta K$)을 전체 강성행렬에 반영하여 손상 상태를 구현하였다. 또한 케이블 파단 상황을 모사하기 위해 손상 케이블의 축강성을 100% 감소시킨 완전 파단 조건으로 손상 시나리오를 이상화하였다. 이러한 방식은 사장교 케이블 손상 평가 분야에서 널리 사용되는 접근으로, 손상 전후의 시스템 행렬 차이를 통해 손상 상태의 동적 응답 변화를 반영할 수 있다는 장점이 있다^{(Yanez-Borjas et al., 2021)}.

손상 시나리오는 Table 4와 같이 두 가지로 설정하였다. Case 1은 4번 케이블(C4)에 대한 단일 손상 조건이며, Case 2는 두 개의 손상이 동시에 발생하는 복합 환경에서의 식별 능력을 평가하기 위한 시나리오이다. 각 시나리오에 대해 비업데이트 FE 무손상 모델에 해당 케이블의 손상을 직접 부여한 손상 FE 모델을 별도로 구축하고, 무손상 모델과 손상 모델 간의 시스템 행렬 차이를 통해 $\Delta M$, $\Delta K$를 식 (6)와 같이 산정한 후, 이를 Model Update된 무손상 행렬에 가산하여 손상 상태의 시스템 행렬 $M_{U,D}$, $K_{U,D}$를 구성하였다(식 (7)). 동일 외력 조건 하에서 무손상 및 손상 상태의 응답을 생성하여 IMD 계산의 일관성을 확보하였다.

4.2 가속도 응답 데이터 생성

무손상 상태 및 각 손상 Case에 대해 El-Centro 지진하중을 상태공간 방정식의 입력 $u(t)$로 적용하고, S1∼S8 위치에서의 가속도 응답을 산출하였다. El-Centro 지진하중은 1940년 5월 미국 캘리포니아 Imperial Valley에서 계측된 대표적인 지진가속도 기록으로, 구조물의 지진응답 해석에서 표준 입력하중으로 널리 활용된다. 본 연구에서는 해당 지진파를 상태공간 방정식의 입력 외력으로 적용하여 무손상 상태 및 손상 상태의 가속도 응답을 생성하였다. 지진하중은 가진 방향을 교량 종방향($x$축)으로 설정하고, 응답은 연직 방향($z$축) 가속도로 추출하였다. 외력 입력 조건이 무손상 및 손상 상태에서 동일하게 유지되도록 하여 응답 차이 벡터 $\Delta x$의 일관성을 확보하였으며, 이를 통해 IMD 계산이 손상에 의한 응답 변화만을 반영할 수 있도록 하였다. 생성된 가속도 응답 데이터는 무손상 상태 및 각 손상 Case별로 64초 구간에 대해 산출되었으며, 샘플링 주파수는 512Hz로 설정하였다.

4.3 무손상 및 손상 상태 응답 비교

DT 모델로부터 생성된 무손상 및 손상 상태의 가속도 응답을 Fig. 3과 같이 시간 영역에서 비교하였다. 비교 결과, 동일한 외력 조건을 적용하였음에도 손상 상태에서는 무손상 상태와 비교하여 일부 출력 절점에서 진폭 및 위상 차이가 나타났다. 무손상 상태에서는 각 출력 절점의 응답이 비교적 균일한 진폭 분포를 보인 반면, 손상 상태에서는 손상 케이블에 인접한 출력 절점에서 상대적으로 큰 진폭 변화가 관찰되었다. 이는 케이블의 축강성 감소로 인해 국부적인 하중 전달 경로와 동적 특성이 변화하고, 그 영향이 손상 케이블 인근 출력 절점의 가속도 응답에 반영된 결과로 판단된다.

Fig. 3. Acceleration response time histories under El-Centro excitation

그러나 시간 영역에서의 직관적 비교만으로는 손상에 의한 응답 변화를 정량적으로 식별하기 어렵다. 특히 El-Centro 지진하중과 같이 변동성이 큰 외력 조건에서는 외력 자체의 시간적 변동이 응답에 크게 반영되므로, 시간 이력 응답의 시각적 비교만으로 손상 위치를 식별하는 데 한계가 있다. 이러한 한계를 보완하기 위해서는 외력 변동성에 영향을 완화할 수 있는 통계적 손상평가 기법이 필요하며, 본 연구에서는 이를 위해 IMD 기법을 적용하였다.

5.1 UCL 초과율 분석

IMD 기법에서 UCL은 식(11)과 같이 무손상 상태의 IMD 값의 평균 $\mu_{IMD}$에 표준편차 $\sigma_{IMD}$의 3배를 더한 값으로 정의된다. 이는 정규분포 가정하에서 약 99.7%의 신뢰구간에 해당하며, 손상 상태의 IMD 시계열에서 UCL을 초과하는 데이터의 비율은 통계적 유의한 응답 변화의 발생 빈도를 의미한다. 따라서 특정 출력 절점에서 UCL 초과율이 상대적으로 높게 나타날 경우, 해당 절점에서 손상 부재와 인접하거나 손상에 민감한 위치에 있는 것으로 판단할 수 있다. Fig. 4는 각 손상 Case에 대해 손상 케이블과 인접하거나 손상 영향이 크게 나타날 것으로 예상되는 출력 절점 S3∼S6의 IMD 시계열과 UCL 초과 양상을 나타낸 것이다.

Fig. 4. IMD time histories and UCL exceedances for each damage case

5.2 IMD RMS값 비교 분석을 통한 검증

IMD RMS값은 전체 64초 응답 중 10∼40초 구간에 해당하는 15,360개 데이터를 이용하여 출력 절점별로 산정하였다. 이때 공분산 행렬은 손상 위치 식별에 사용한 6개 출력 절점(S2∼S7)의 응답 차이 벡터로부터 구성되어 6×6차원을 가지며, 표본 수가 공분산 차원에 비해 충분히 크므로 공분산 추정의 안정성과 센서 간 상관관계 반영이 확보된다. UCL은 무손상 상태 IMD 분포의 평균에 표준편차의 3배를 더하여 산정하였고, 손상 상태 IMD 시계열이 이를 초과하는 비율을 UCL 초과율로 정의하였다. 분석 구간은 El-Centro 지진파 입력에 따른 주요 응답이 집중되는 구간을 포함하고, 응답 후반부에서 나타날 수 있는 잔류 자유진동 및 잡음 지배 구간의 영향을 최소화하기 위해 설정하였다. 이후 DT 모델 기반 손상평가 결과와 실계측 기반 손상평가 결과를 각 손상 Case별로 비교하였다. 손상 위치 식별 분석은 케이블 정착부 인근에 위치한 S2∼S7을 대상으로 수행하였다. 양끝단의 S1과 S8은 손상 케이블(C3, C4, C5)로부터 공간적으로 가장 멀리 떨어진 위치에 있어, 케이블 손상에 의한 응답 변화의 검출 민감도가 상대적으로 낮다. 따라서 손상 위치 식별의 변별력을 확보하기 위해 S1과 S8은 분석 범위에서 제외하였으며 S2∼S7에 대한 RMS 값은 Table 5와 Table 6과 같다.

단일 손상 조건에서 산출된 DT와 실계측 기반 IMD RMS 값을 이용하여 손상 위치 식별 결과를 비교한 결과는 Fig. 5와 같다. DT 모델 기반 손상평가 결과에서는 손상 케이블 C4에 인접한 출력 절점 S4의 RMS 값이 1.108로 가장 크게 산정되었으며, Fig. 5(a)에 나타낸 바와 같이 손상 위치를 중심으로 양측으로 갈수록 RMS 값이 점진적으로 감소하는 경향을 보였다. 이러한 분포는 케이블 손상이 인접 위치의 응답 변화를 가장 크게 유발하고, 그 영향이 주변 부재로 전달되면서 점차 감쇠되는 구조적 거동과 부합한다.

Fig. 5. RMS based-IMD Assessment Results (Single-Damage)

실계측 기반 손상평가 결과에서도 Fig. 5에 나타난 바와 같이 S4에서 RMS 최대값인 1.040이 관찰되어 손상 위치 식별 결과가 DT 결과와 유사한 패턴을 보였다. 다만 RMS 값의 절대 크기는 DT 결과가 실계측 결과에 비해 다소 크게 산정되었다. 이는 실제 실험에서 케이블 강성 변화 외에도 계측 잡음, 접합부 조건, 미세한 비선형 거동 등이 함께 반영되는 반면, DT 모델에서는 케이블 강성 감소를 중심으로 손상 효과를 선형적으로 모사하였기 때문으로 판단된다.

복합 손상 조건에서 산출된 DT와 실계측 기반 IMD RMS 값을 이용하여 손상 위치 식별 결과를 비교한 결과는 Fig. 6과 같다. DT 모델 기반 손상평가 결과에서는 손상 케이블 C3와 C5에 인접한 S3과 S6의 RMS 값이 각각 1.185와 1.179로 가장 크게 나타났으며, 두 손상 위치에 대응하는 이중 피크 분포가 명확히 형성되었다. 반면, 두 손상 부재 사이에 위치한 S4와 S5의 RMS 값은 각각 1.082와 1.075로 상대적으로 낮게 산정되었다. 이는 복합 손상의 영향이 단순히 중앙부에서 중첩되기보다는, 각 손상 부재 인근의 출력 절점에서 보다 명확하게 나타남을 의미한다.

Fig. 6. RMS based-IMD Assessment Results (Multiple-Damage)

실계측 결과에서도 Fig. 6에 나타난 바와 같이 S3과 S6의 RMS 값이 각각 1.406과 1.417로 나타나 다른 출력 절점에 비해 상대적으로 큰 값을 보였으며, 특히 S6에서 최대값이 관찰되었다. 이는 복합 손상 조건에서도 손상 케이블 C3와 C5에 인접한 출력 절점에서 응답 변화가 크게 나타남을 의미한다. 다만 S4에서도 비교적 큰 RMS 값이 산정되어 실제 계측 결과에서는 두 손상 위치의 영향이 인접 구간으로 일부 확산되는 경향이 함께 나타났다. 두 손상 위치 사이에 위치한 S4와 S5의 RMS 값은 각각 1.400과 1.382로 산정되었으며, S3과 S6에 비해서 상대적으로 낮은 값을 보였다. 또한, 단일 손상 조건과 복합 손상 조건을 비교하면 DT 기반 결과와 실계측 기반 결과의 RMS 값 대소 관계가 서로 다르게 나타났다. 단일 손상 조건에서는 DT 기반 RMS 값이 실계측 결과보다 다소 크게 산정된 반면, 복합 손상 조건에서는 실계측 기반 RMS 값이 DT 결과보다 전반적으로 크게 나타났다. 이는 IMD RMS 값이 손상 위치만을 직접적으로 나타내는 절대 지표가 아니라, 일정 시간 구간 동안 산정된 IMD 시계열의 평균적 크기를 나타내는 통계지표이기 때문이다. 따라서 RMS 값은 손상 개수, 손상 간 상호작용, 응답 전달 경로, 계측 잡음, 접합부 조건, 미세한 비선형 거동 및 모달 결합 효과 등에 따라 달라질 수 있다. 본 연구에서 사용한 DT 모델은 케이블 강성 감소를 선형적으로 반영하여 손상 상태를 모사하므로, 실제 실험에서 발생할 수 있는 비선형 응답 증폭이나 계측 환경의 영향을 완전히 재현하는 데에는 한계가 있다. 단일 손상 조건에서는 이상화된 강성 감소 효과가 DT 모델에서 상대적으로 뚜렷하게 반영되어 실계측 결과보다 RMS 값이 다소 크게 산정된 것으로 판단된다. 반면, 복합 손상 조건에서는 두 손상 부재의 영향이 동시에 작용하면서 실제 구조계의 국부 응답 변화, 손상 간 상호작용, 미세한 모달 결합 효과 및 계측 환경의 영향이 복합적으로 반영될 수 있다. 따라서 실계측 RMS 절대값의 대소관계가 서로 다르게 나타난 것은 상호 모순되는 결과라기보다는 손상 조건 및 실험 환경에 따른 응답 크기 차이로 해석할 수 있다.

그럼에도 불구하고 출력 절점 간 RMS 값의 상대적 분포 양상은 DT 결과와 실계측 결과에서 일관되게 나타났다. 따라서 상태공간 방정식 기반 DT 모델은 손상 위치 식별에 필요한 상대적 응답 변화 패턴을 효과적으로 재현할 수 있으며, IMD 기법과 결합할 경우 단일 손상뿐 아니라 복합 손상 조건에서도 손상 위치를 분리⋅식별하는 데 활용할 수 있음을 확인하였다.