2.1 진동기반 장력 추정기법

2.2 사장교 케이블 장력추정의 최적화 SI기법 제안

2.2.1 실제 사장교 케이블의 매개변수(λ², ξ) 분포

한국의 국토안전관리원(KALIS)에서 통합관리하고 있는 일반국도 상의 사장교 20개를 대상으로 총 1,079개의 케이블에 대한 식 (7)의 새그 매개변수($\lambda^2$)와 식 (11)의 휨 강성 매개변수($\xi$)의 분포를 분석하였다. 케이블 장력은 KALIS에서 축력을 받는 빔이론으로 측정한 값을 적용하였으며 단위 길이당 질량($m$)과 강성($EA$, $EI$)은 설계보고서의 값을 적용하였다.

각 사장교의 거더형식에 따른 2개의 대표교량에 대한 교량의 주요제원은 Table 1과 같다. 이를 기준으로 거더의 형식별로 새그와 휨강성 매개변수를 계산하면 Table 2, Fig. 1과 같다.

PSC거더를 갖는 사장교는 상대적으로 자중이 커서 도입장력(T)이 크고, 케이블 길이(l)가 짧기 때문에 대부분 새그의 영향 (평균 $\lambda^2 = 0.068$)과 휨강성의 영향(평균 $\xi = 314$)이 작다. 강바닥판 거더 사장교는 특히 도입장력의 영향을 많이 받게 되는데, Table 3의 목포대교(MP)의 경우 주경간장이 비슷한 천사대교1(CS1)에 비해 도입장력이 작아 새그의 영향(평균 $\lambda^2 = 1.53$)이 상대적으로 크게 나타나는 것으로 확인되었다. 따라서 SI 기법을 적용하여 케이블 장력을 추정할 경우, 이러한 교량별 케이블의 매개변수 특성을 고려할 필요가 있다.

Table 1 Bridge Parameters of 6 Representative CSB by Girder Types

Girder Type	Bridge Index	Lm(m)	No. of Cables	Cable Length(m)	Cable Force(kN)
PSC	DK	100	24	16-79	5,616-7,231
	HJ	500	192	77-215	1,882-4,335
Composite	JJC	140	48	19-69	6,618-7,813
	HT	500	136	74-274	1,381-3,862
Steel	WD	200	32	72-176	1,468-3,860
	CS1	510	108	75-346	1,006-2,331

Table 2 20-Cable Stayed Bridges for Parameter Classification

Type of Girder	Number of Bridges	Length of main span	Range of λ2	Range of ξ
PSC Girder	9	100-500m	0.001-0.43	34-784
Composite Girder	5	140-500m	0.003-1.19	28-712
Steel Girder	6	200-510m	0.02-3.86	126-1,191

Table 3 Cable Parameter for two Steel Girder CSB

Bridge Index	Length of main span	Number of Lanes	Range of λ2	Range of ξ
MP	500m	4	0.26-3.86	136-408
CS1	510m	2	0.038-0.86	307-1,191

Fig. 1 Classification of Cables Based on Sag and Bending Stiffness Parameters for 20-CSB in Korea

2.2.2 SI기법 최적화를 위한 매개변수(λ², ξ) 임계치 결정

Ren et al. (2005)이 식 (4), (10)에서 제시한 매개변수 임계치($\lambda^2 = 0.17, \xi = 210$)는 이론식 기반의 연구에서 고유진동수를 계산할 때, 그 오차를 2% 이내로 맞추기 위해 설정된 정문제(Forward Problem)의 관점에서 설정된 값이다. 따라서 역문제(Inverse Problem) 시스템 인식기법을 적용하기 위한 임계치 설정은 이와는 다른 수학적 의미를 갖는다. 측정된 고유진동수로부터 T, EI, EA을 거꾸로 찾아내는 역문제에서 인식변수의 민감도가 작을 경우 노이즈가 증폭되어 해가 발산하거나 큰 오차가 발생할 수 있다. 따라서 SI 기법의 수학적 안정성과 인식 장력의 정확도를 최우선으로 고려하여 매개변수 임계치를 재설정하고 그에 따라 인식변수를 결정해야 한다.

SI 알고리즘의 최적화를 위한 매개변수의 임계치는 식 (18)의 정보행렬($F^T F$)의 조건수(Condition Number, $\kappa$)를 고려하여 결정한다. 여기서 조건수는 측정된 고유진동수($\beta$)에 포함된 노이즈($\varepsilon = \delta\beta / \beta$)가 인식변수($U$) 식별 결과에 얼마나 증폭($\delta U / U$)되어 나타나는가를 결정하는 지표가 된다(Hansen, 1998). 계측오차($\varepsilon$)를 개략 1% 수준으로 가정할 경우 조건수($\kappa$)는 개략 $1 \times 10^3$ 이하에서 발산을 방지할 수 있다.

Irvine(1995)의 탄성 현수 케이블 이론에 따라 휨강성(EI)을 무시할 수 있는 케이블에서 T, EA를 인식변수로 설정한 경우 케이블의 n차 고유진동수($f_n$)에 대한 민감도(S)는 각각 식 (19), (20)과 같다. 또한 새그의 영향을 무시할 수 있는 케이블에 대해 ‘축력을 받는 빔’이론에 따라 T, EI에 대한 민감도(S)를 계산하면 식 (21), (22)로 표현할 수 있다. 따라서 인식변수의 고유진동수에 대한 민감도 행렬(F)는 새그 영향 지배조건과 휨강성 영향 지배조건에 대해 이론적인 검토가 가능하다.

(18)

$\dfrac{\| \delta U \|}{\| U \|} = \kappa(F^T F) \dfrac{\| \delta \beta \|}{\| \beta \|}$

(19)

$S_T = \dfrac{\partial f_n / f_n}{\partial T / T} = \dfrac{1}{2} \left(\dfrac{1 - 2\alpha_n \lambda^2}{1 + \alpha_n \lambda^2}\right) \quad : \alpha_n = \text{모드형상계수}$

(20)

$S_{EA} = \dfrac{\partial f_n / f_n}{\partial EA / EA} = \dfrac{1}{2} \left(\dfrac{\alpha_n \lambda^2}{1 + \alpha_n \lambda^2}\right)$

(21)

$S_T = \dfrac{\partial f_n / f_n}{\partial T / T} = \dfrac{1}{2} \left(\dfrac{\xi^2}{\xi^2 + (n\pi)^2}\right)$

(22)

$S_{EI} = \dfrac{\partial f_n / f_n}{\partial EI / EI} = \dfrac{1}{2} \left(\dfrac{(n\pi)^2}{\xi^2 + (n\pi)^2}\right)$

새그 영향 지배조건에서, 케이블 축강성(EA)의 민감도($S_{EA}$)는 비대칭모드에서는 모두 0이며 $n^2$에 반비례하여 고차 모드에서 급격히 감소하므로 1차, 3차 대칭모드에 집중적으로 나타난다.(Irvine et al., 1995) 1차-3차 고유진동수를 목표함수로 하고 인식변수를 T, EA로 설정하면 3×2의 민감도 행렬(F)이 구성되며 새그 매개변수($\lambda^2$)에 따른 정보행렬의 조건수($\kappa$)를 계산할 수 있다. $\lambda^2 \ge 0.1$ 조건에서 $\kappa$는 645이하로 감소되어 2개의 인식변수를 사용해도 안정적으로 식별이 가능하다. 반면, $\lambda^2 < 0.1$ 조건에서는 $S_{EA}$가 계측오차($\varepsilon$) 이하로 감소함에 따라 조건수($\kappa$)는 급격히 상승하여 과적합이 발생하므로 T만을 인식변수로 적용해야 한다. 이때 식별된 장력은 단순 현이론과 유사한 결과를 나타낸다. 1-5차 고유진동수를 적용하여 5×2의 민감도 행렬을 구성할 때도 $\lambda^2 \ge 0.1$ 조건에서 $\kappa$는 약 1,010이하로 안정적인 변수 식별이 가능하다. 따라서, 새그 매개변수($\lambda^2$)의 임계치는 0.1로 설정하며 $\lambda^2 \ge 0.1$ 조건에서는 새그 영향을 고려하여 T, EA를 인식변수로 하고, 축강성 민감도가 큰 5차 모드 이하의 고유진동수를 사용하는 것이 바람직하며 최고 차수의 축강성 민감도가 계측오차를 초과하는 식 (24)의 최대 차수를 만족해야 한다.

휨 영향이 지배적인 케이블에서 고유진동수에 대한 휨강성의 민감도($S_{EI}$)는 식 (22)과 같이 $\xi$의 제곱에 반비례한다. 또한 $(n\pi)^2$에 비례하여 고차모드일수록 민감도가 급격히 증가한다. T, EI를 인식변수로 설정할 경우 조건수($\kappa$)는 1차∼n차 모드의 고유진동수를 고려하면 $n \approx \xi/10$의 조건에서 $1 \times 10^3$에 접근한다. $\xi$의 변화에 따라 정보행렬의 조건수($\kappa$)를 계산하면 Fig. 3과 같다. $\xi=100$에서 10차 모드까지 고유진동수를 측정하면 $\kappa=1,025$이며, $\xi<100$ 조건에서 T, EI를 인식변수로 설정하더라도 $\kappa<1,000$을 유지하며 역행렬 연산의 노이즈 저항성을 갖는다. $\xi \ge 100$에서는 휨강성 민감도가 감소하여 10차 모드 이상의 고유진동수 측정하더라도 조건수가 $1 \times 10^3$를 상회하므로 T를 단일 인식변수로 적용하되 휨강성에 따른 오차가 발생하지 않도록 식 (23a)를 만족하는 모드 차수($N_{min}$)까지 고려한다.

케이블 매개변수의 임계치($\lambda^2=0.1, \xi=100$)에 따라 1,076개 케이블을 예로 분류하면 Table 4, Fig. 1과 같다. Group I는 단순 현거동의 케이블로 장력(T)만을 인식변수로 고려하며, Group II는 새그 지배 거동 구간으로 T, EA를 인식변수로 고려한다. Group III은 휨 지배 거동 구간으로 T, EI를 인식변수로 고려하며 주탑근처의 짧은 케이블로 전체의 5.8%에 해당된다. 정의된 매개변수 임계치에 따라 인식변수를 조정하는 축소 SI를 적용하되, 실제 사장교 현장에서 계측 가능한 고유진동수의 개수와 차수를 확인하여 식 (23), (24)를 만족하도록 조정해야 하고, 장력식별의 오차가 최소화 되도록 인식변수를 조정해야 한다.

Fig. 2 Condition Number(κ) of F^TF for Sag Parameter(λ²)

Fig. 3 Condition Number(κ) of F^TF for Bending Parameter(ξ)

Table 4 Classification of Cable Based on Initial threshold of λ², ξ

Classification	Range of Parameter	Qty
Group I (Taut String)	λ2 < 0.1, ξ ≥ 100	541 (50.1%)
Group II (Sag Extensible)	λ2 ≥ 0.1, ξ ≥ 100	475 (44.0%)
Group III (Bending)	λ2 < 0.1, ξ < 100	63 (5.8%)
Group IV (Complex)	λ2 ≥ 0.1, ξ < 100	0 (0%)

3.1 상시 사장교 케이블 현장 적용을 통한 검증

20개 사장교 중 각각 Group I, II, III에 해당되는 새만금동진대교(SD)의 13번째 좌측 케이블 (SD_CAL13), 화태대교(HT) 37번째 좌측케이블(HT_CAL37), 전주천교(JC) 7번째 좌측케이블(JC_CAL7)의 실제 계측데이터를 이용하여 제안된 축소 SI기법을 검증하였으며, 교량과 케이블 제원, 축소 SI의 식별 결과는 Table 6과 같다. 국토안전관리원에서 운영 중인 통합모니터링시스템의 상시 데이터와 유지관리 중 케이블 장력 전수조사를 위해 측정한 가속도 데이터에 NExT-ERA(James et al., 1995)기법을 적용하여 케이블의 고유진동수를 추출하였다. 케이블 길이가 18.7m로 짧아 고차모드 측정이 필요한 전주천교는 200Hz, 이 외 교량은 100Hz로 측정된 10분 가속도 데이터를 활용하였다. 추출된 고유진동수는 Table 5에 나타내었으며 화태대교 CAL_37의 측정된 가속도와 추출된 고유진동수를 시각적으로 검증하기 위한 PSD(Power Spectral Density)를 Fig. 4에 참고로 제시하였다.

Fig. 4 Cable Acceleration and Averaged PSD for HT_CAL37

케이블의 분류를 위한 매개변수 산정 시에는 설계와 유지관리 중 측정된 물성치($T_0, EA_0, EI_0$)를 사용하였으며, SI의 반복계산을 위한 인식변수의 초기값($T_1, EA_1, EI_1$)은 수렴성 검증을 위해 매개변수 산정에 사용된 값의 80%를 적용하였다.

새만금동진대교 SD_CAL13은 도입장력이 커 새그와 휨강성의 영향이 작은 Group I의 케이블이다. 현장에서 측정 가능한 10개의 고유진동수를 목표로 T만을 인식변수로 적용하면 4회의 반복계산을 거쳐 평균장력 4,276kN, 오차(Norm) 0.384%로 수렴한다. 만약, 2개의 인식변수(T, EA)를 고려할 때 민감도 정보행렬의 조건수($\kappa$)는 약 $1.36 \times 10^6$으로 발산한다. 이는 EA에 대한 고유진동수 변화 민감도($S_{EA}$)가 1차 모드 0.148% ($< \varepsilon$)외에 거의 모든 모드에서 0에 가깝기 때문이다. Ren et al.(2005)의 단순 현수 케이블 거동에 해당하는 식 (4)에서 계산된 장력($T=4,300$kN)과 0.6%미만의 오차를 보인다.

HT_CAL_37은 Group II의 케이블로 케이블 장력(T)과 축강성(EA)을 인식변수로 고려하였다. 휨강성(EI)의 영향을 배제하기 위해서 최대 고유진동수($N_{max}$) 식 (23a)에 따라 17차 이하로 제한해야 하며, 계측오차 이상의 축강성 민감도를 갖는 최대 고유진동수($N_{max}$)는 식 (24)에 따라 5차로 결정된다. 이에 따라 현장에서 측정된 5개의 저차모드만 사용할 때 오차(Norm) 0.158%미만으로 수렴하였다. 인식된 케이블 평균장력은 교량 준공 직후 스트랜드 잭으로 측정한 3,177kN과 0.3%미만의 오차를 보이며 축강성도 초기치의 99.7%로 식별되었다. 별도의 정규화(Regularization)기법을 적용하지 않으면 3개의 인식변수를 모두 사용할 경우 10개의 고유진동수를 적용하더라도 역해석의 과적합을 해결하지 못하고 발산하는 것을 확인하였다.

반면, 케이블 장력을 단일 인식변수로 고려할 경우에도 동일한 장력 식별이 가능하였다. Group II의 케이블에서 축강성의 민감도는 대칭1차 모드에서 가장 크게 나타나며(HT_CAL37의 경우 4.15%) 이 후 대칭모드에서는 급격히 감소하므로 장력은 전체 오차(Norm)는 증가하더라고 2차 모드 이상의 다수의 고유진동수의 오차를 줄이기 위한 방향으로 결정된다. 따라서 Group II의 케이블에서 1차 고유진동수가 정확히 측정되지 않은 경우에는 이를 제외하고 T를 단일인식변수로 고려할 수 있다.

JC_CAL07은 Group III의 케이블로 휨강성의 민감도($S_{EI}$)가 4차 모드에서 9.62%로 저차 모드에서도 휨강성 식별을 위한 충분한 민감도를 나타내고 있다. 또한 식 (23)에 따라 3차 모드 이상의 고유진동수를 적용해야 한다. 현장에서 200Hz로 측정된 5개의 고유진동수를 목표로 T, EI를 인식변수로 제한하는 축소 SI를 수행한 결과 4번의 반복계산을 거쳐 오차 0.93%로 평균장력($T_{avg}$) 7,877kN에 수렴하였다. Group III의 케이블 장력 식별과 이론적으로 부합하는 축력을 받는 빔이론(Shinke et al., 1980)의 장력 7,889kN과 약 0.2%의 차이를 보이고 있다. 반면, Ren et al.의 식 (5)에 정확하지 않은 초기 겉보기 EI를 적용할 경우 계산된 장력은 4,730kN으로 큰 차이가 발생하며, 축소 SI로 식별된 EI를 이용할 경우 6,412kN으로 오차가 다소 감소한다. 만약, 이 케이블에 대해 인식변수로 T만 고려할 경우 오차는 6.65%로 증가하며 100회 반복계산 이후에도 더 이상 감소하지 않는다. 인식된 장력(8,492kN)에도 큰 오차가 발생하고 있어 Group III 케이블의 정확한 장력식별을 위해서는 반드시 EI를 인식변수에 포함해 함을 알 수 있다.

3.2 사장교 케이블 손상 사례를 통한 검증

HT CAL37은 강연선이 정착구에서 이탈하는 손상이력이 있는 케이블이다. ’18년 4월 수시점검 중 덕트의 이상변형을 발견하고 2개(5% 손상 Case)의 강연선 이탈을 확인하여 보수 중이었으나 태풍이 통과하면서 5개가 추가 이탈하면서 총 7개(17.5% 손상 Case)가 이탈되었다. 이 케이블의 각 손상단계, 보수 후 측정(보수 후 Case)한 가속도 데이터를 이용하여 축소 SI를 검증하였다.

HT_CAL37케이블은 케이블의 1차 모드가 Table 8에 제시된 바와 같이 교량의 연직 3차 대칭진동모드(0.5005Hz)에 근접하여 식별이 어렵고, 3개의 Case에서도 모두 측정이 불가능하였다. 이런 경우 T, EA를 모두 인식변수로 고려할 경우 민감도 정보행렬의 조건수는 $57 \times 10^6$ 이상으로 급증하여 EA는 의미 있는 값으로 수렴하지 않으므로, 케이블 장력(T)만을 인식변수한 축소 SI를 적용하였다.

각 Case의 케이블 장력 식별 결과는 Table 7에 정리된 바와 같이 축력을 받는 빔이론의 선형회귀법에 의한 값과 1% 미만의 오차를 보이며, 이는 Group II의 케이블에서 1차 고유진동수를 제외할 경우 빔이론의 선형회귀법도 정확한 장력식별이 가능한 것을 의미한다. 특히, 7개의 강연선이 정착구에서 이탈된 상황에서 Strand Jack을 이용하여 측정된 장력(2,690kN)과 축소 SI기법에 의한 장력(2,692kN)은 0.1%이하의 오차를 보이고 있다.

케이블 단면의 손상은 교량 전체 시스템에서는 동일한 비율의 장력 이완을 의미하며, 이 이완하중이 케이블 양측 정착구에 외부하중으로 작용한다. 이완하중은 인접 케이블에 재분배되어 케이블 장력의 변동을 유발한다. 본 연구에서는 케이블 단면이 각각 5% 및 17.5% 손상되었을 때 발생하는 이완 하중을 4.2절의 화태대교 전체계 유한요소모델에 재하하였다. 이후 장력 재분배로 인해 나타나는 손상된 케이블의 변동 장력 해석값을 실제 현장 측정치와 비교 분석하였다. 케이블 단면의 17.5% 손상 시에는 변동장력의 축소 SI에 의한 측정치와 교량 전체계 유한요소모델의 이론적 변동장력이 0.1% 오차의 동일한 결과를 나타낸다. 반면, 5% 단면 손상시의 변동장력은 10배 정도의 큰 차이가 발생하고 있고 인접 케이블 장력 측정결과도 손상전과 큰 차이가 없어 계측당시의 하중 상태 변화 등을 확인할 필요가 있다. 이는 계측 노이즈로 인해 5% 이하의 손상이 발생한 케이블의 변동장력을 고유진동수 측정을 통해 정확한 식별하기는 어렵다는 것을 반증하기도 한다.

4.1 기본이론

축소 SI기법을 이용하여 케이블 장력변동($\Delta T$)을 정확히 측정하면, 케이블 단면손상에 따른 각 케이블의 장력변동의 민감도를 교량의 Global 유한요소모델을 활용하여 계산하고 시스템 인식기법을 적용하여 손상된 케이블의 위치와 손상정도를 식별할 수 있다. 케이블 장력 식별을 위한 Local SI를 교량의 Global System에 확장하는 개념이며 기본적인 SI 알고리즘은 아래와 같다.

(Phase 1) 축소 SI를 적용한 케이블 장력(T) 측정 ;

축소 SI에서 식 (12)의 시스템인식을 위한 목표치는 식 (25)와 같이 q개의 측정된 케이블의 장력(T)으로 변경된다. 이 때, 측정장력은 측정시 온도를 고려하여 유한요소모델을 통해 기준치(15℃)로 보정한 값을 적용한다. 기준치를 상시 계측시스템의 10분전 측정치로 할 경우, 온도보정은 필요하지 않다.

(Phase 2) 유한요소해석을 통한 민감도 행렬구성 ;

SI를 통해 식별해야 하는 변수는 식 (26)의 p개의 케이블 단면적이며, 민감도행렬(F)은 케이블 단면적의 단위감소율($\partial U/U, \%$)에 대한 측정 장력변동의 변화율($\partial\beta/\beta, \%$)로 식 (27)와 같이 정의되며 교량의 전체 유한요소해석을 통해 산정한다. 이 때, 케이블 단면적의 감소는 교량의 유한요소모델에서는 해당 케이블의 축강성 감소와 그에 따른 케이블 장력의 이완하중을 케이블 양단에 재하 하는 것으로 모사할 수 있다.

(Phase 3) 케이블 단면적 감소율($\alpha$) 산정 ;

케이블 장력의 측정치와 해석치 간 보정되어야 하는 장력변동 오차율(Z)을 식 (28)에 따라 산정하고, 케이블 단면적 감소율은 식 (29)과 같이 장력변동 오차율(Z)과 식 (27)의 민감도 행렬의 역행렬의 곱으로 계산한다. 이 때, 역행렬계산의 과적합을 방지하기 위해 정규화계수($\lambda$)를 적용한다.

(Phase 4) 교량 유한요소모델의 반복 업데이팅;

Phase 2 – 3을 반복하여 민감도 행렬(F)를 재구성하고 케이블 단면적 감소율이 수렴조건을 만족할 때까지 반복하여 최종단면적(U)를 식별한다. 여기서, 식 (31)의 k는 반복회수를 나타내며, k=1인 최초 계산에서 식 (26)의 케이블 단면적은 설계나 유지관리 절차에서 확인된 온도영향이 제거된 기준치 적용한다.

케이블의 Local SI에서는 케이블의 비선형 거동을 고려하여 $\alpha$가 수렴되도록 비선형 FE 해석을 반복적으로 수행하고 민감도 행렬을 매 반복단계별로 업데이트 하였다. 그러나 교량 전체계에서는 케이블 손상에 따른 비선형 거동이 크지 않아 반복계산 없이 최초의 민감도 행렬을 사용하여 케이블단면적 손상을 식별할 수 있다. 화태대교의 경우 1개 케이블의 단면손상 시, 민감도 행렬을 업데이트 하지 않으면 약 10%의 오차가 발생한다. 본 논문에서는 반복계산 없이 최초의 민감도 행렬을 이용하여 손상을 식별 하였으나 목표 오차 정도에 따라 반복계산여부를 결정해야 한다.

현장에서 측정된 케이블 장력에는 필연적으로 오차가 포함된다. 더욱이 손상을 식별해야 하는 케이블의 개수(p)가 측정된 장력의 개수(q)보다 많아 과적합(Overfitting)이 우려되는 경우, 식 (24)와 같이 페널티계수($\lambda$)를 도입한 정규화(Regularization) 기법을 적용해야 한다. 교량 공용 중 발생하는 케이블 손상은 전체 케이블에서 동시에 미세하게 발생하는 것이 아니라, 특정 1∼2개 케이블에서 국부적으로 크게 발생하므로 이에 적합한 L₁-Norm(LASSO)의 정규화 기법을 적용하며 패널티계수($\lambda$)는 L-Curve기법을 이용하여 결정하였다. 추가적으로 케이블 단면적은 증가할 수 없으므로 단면적 감소율($\alpha$)은 음수가 될 수 없는 조건(Non-Negative Least Square, NNLS) 을 추가하여 노이즈로 발생할 수 있는 L₁-Norm의 오류를 보완하였다.

4.2 수치모델을 통한 검증 및 분석

화태대교(HT)의 수치해석 모델을 통해 제안된 장력변동 측정기반 케이블 손상감지 SI기법을 검증하였다. 해당교량은 주경간 500m의 강합성 사장교로 교량단면의 좌⋅우측에 각 68개, 총 136개의 평행강연선 케이블이 설치되어 있다. 교량 전용 FE 해석 프로그램인 RM Bridge를 사용하였으며 거더와 주탑은 6자유도의 Beam요소, 케이블은 축강성만을 갖는 Cable요소로 모델링하였다(Fig. 5).

Fig. 5 Numerical Analysis(FE) Model of Hwa-Tae Bridge

’15년 12월 교량 개통 전 측정된 전체 케이블의 가속도를 기준으로 앞서 제안된 축소 SI기법을 이용하여 케이블의 장력을 식별하고, 가속도 측정시 교량 모니터링시스템에서 각 부재의 측정 온도에 대해 15℃ 기준으로 장력의 온도보정을 수행하고 케이블 기준 장력을 설정하였다(Fig. 6). 주탑 근처의 19번, 51번 케이블은 Group I, 이외의 모든 케이블은 Group II로 분류되어 그에 부합하는 축소 SI를 적용하였으나 Group II에서 1차 고유진동수 측정이 어려운 경우 케이블 장력을 단일 인식변수로 적용하였다. 또한 유한요소모델은 실제 교량의 거동특성을 반영하기 위해 현장에서 케이블의 기준 장력과 교량의 고유진동수(Table 8)를 기반으로 사전에 모델 업데이팅을 수행하였다.

Fig. 6 Cable Force Baseline of HT Bridge (by Reduced SI)

화태대교의 유한요소모델에서 케이블 1개의 1%단면 손상에 대한 케이블의 장력변동의 민감도 행렬(F)를 산정하였으며 그 예로 CL01, CL08, CL17, CL37에 대한 민감도를 산정하여 Fig. 8에 표시하였다. 교량에서 각 케이블의 위치와 케이블 단면적 등 물리량은 Fig. 7과 Table 9와 같다.

Fig. 7 General Layout of HT Bridge

Fig. 8 Sensitivity of Cable Force Variation to Cable Damage

케이블 단면의 1% 손상은 손상 케이블의 약 0.8% 장력감소를 유발하여, 인접 케이블의 장력은 0.1%내외로 증가하는 경향을 보인다. 따라서 계측오차 1%를 넘는 장력의 감소가 확인된 케이블은 반드시 손상 확인을 위한 인식변수에 포함하고 장력 증가가 측정된 케이블은 손상 가능성이 작아 인식변수에서 제외하는 등, 이론적으로 인식변수를 사전에 축소하는 것이 SI의 과적합 문제에 대응하는데 가장 중요하다.

좌측 케이블(CL)의 1% 손상에 대한 우측 케이블의 민감도는 0.036%미만이며 좌측케이블 장력 증가율의 5%미만이다. 이는 화태대교의 주형인 강합성 박스거더는 폐단면 구조 특성상 매우 강력한 비틀림강성을 갖고 있고, 이로 인해 좌측 케이블(CL)의 장력이 소실되더라도 단면이 크게 비틀리지 않아, 맞은편 우측 케이블(CR)의 앵커리지 변위가 거의 발생하지 않기 때문이다. 따라서 좌측 케이블 68개만을 적용하여 케이블 손상감지를 위한 SI기법 적용하였다.

수치모델에서 Table 10과 같이 6개 케이블 손상을 시뮬레이션하고 그에 따른 케이블 장력 측정이 CL01, CL03,…,CL67까지 총 34개만 측정된 상황을 가정하여 케이블 손상의 식별 여부를 검증하였다. Fig. 9은 34개의 측정된 케이블과 34개의 측정되지 않은 케이블 장력의 변동비율을 같이 표시하고 있다. 장력 변동비율이 1%이상 감소를 나타내는 케이블 CL01, CL37은 인식변수에 포함하며, 나머지 측정되지 않은 34개 케이블을 추가하면 총 36개의 케이블을 인식변수로 적용하여 34×36의 민감도 행렬(F)를 구성하여 SI를 적용한다.

Fig. 9 Measured Tension Variation(%) from FE Model of HT Br.

Fig. 10 Identified Cable Damage of HT Bridge Using SI

Table 10과 Fig. 10은 SI를 통해 식별된 케이블 손상정도를 나타내며 케이블 장력측정 시 ±1%∼±5%의 백색잡음(Gaussian Noise)을 추가하여 노이즈에 따른 SI의 케이블 손상 식별정도를 확인하였다. 실무적인 계측시스템에서는 3.1의 NExT-ERA 기법의 상호상관함수 연산을 통해 무작위 잡음을 상쇄하고, Welch 기법의 2분 단위 평균화를 병행하여 일시적인 동적 교란 요소를 통계적으로 제거한다. 또한, 장기적인 온도 변화의 영향은 4.1절의 절차에 따라 유한요소모델을 통해 15℃ 기준으로 사전 보정된다. 따라서 본 연구에서 모델링한 ±1∼5%의 Gaussian Noise는 이러한 일련의 물리적 전처리 및 온도 보정 과정을 모두 거친 후 최종 식별된 장력에 남아있는 센서의 기계적 분해능 한계 및 무작위 잔차 오차(Random residual error)를 통계적으로 대표한다.

노이즈가 없는 경우 손상케이블의 위치와 정도는 1.5%미만의 범위에서 정확히 식별되고 있다. 고유진동수 측정에 의한 케이블 장력 산정 시 통상적인 오차 1%(Kim et al., 2024)를 고려할 경우 케이블 장력감소가 직접 측정된 CL01, CL37의 장력 변동율은 오차를 훨씬 상회하는 민감도를 갖기 때문에 정확한 식별이 가능하다. 반면, 장력감소가 직접 측정되지 않아 민감도가 작은 인접 케이블의 장력 증가로 손상이 식별되어야 하는 케이블은 노이즈가 증가할수록 오차가 크게 발생하며, 최외측의 CL68은 2%오차에서도 식별이 불가능하였다. 또한, 실제 케이블 손상이 아닌 노이즈를 10% 수준의 손상으로 잘못 식별하는 경우도 발생한다. 반면, 30% 단면손상을 가정한 CL18, CL56의 경우 2% 노이즈에서도 4%미만의 오차로 손상정도를 식별하고 있고 5%이상의 노이즈에서도 손상여부는 정확히 식별하고 있어 SI적용에 있어 손상감지의 목표수준과 그에 따른 계측센서의 배치간격이 중요함을 알 수 있다.

4.3 케이블 손상 사례를 통한 SI적용 절차 제안

화태대교(HT) 케이블 CL37의 7개 강연선이 이탈되어 단면이 17.5% 손상된 상태의 현장 계측데이터를 이용하여 SI기법의 손상감지를 검증하였다. 교량의 상시모니터링 시스템은 케이블 가속도계가 6개의 케이블(CL01, 26, 34, 35, 43, 68)에만 설치되어 있고 인식변수가 68개인 SI적용의 한계를 보여주는 극단적인 과소결정 시스템이다.

계측시스템에서 측정된 장력변동 비율(Fig. 11)을 만족하는 해는 여러 개가 존재하므로 L₁정규화 기법을 적용하더라도 민감도가 큰 케이블로 손상을 집중시켜 실제와 다른 식별결과를 도출할 수 있다. 본 논문에서는 센서 데이터의 노이즈와 모델링 오차를 우도 함수(Likelihood function)로 정의하고 확률분포를 계산하는 Beck(1998)의 베이시안 추론을 기반으로 각 케이블이 손상되었을 확률을 계산하고 확률이 높은 케이블을 추가 계측하여 손상을 확정하는 절차를 제안한다.

각 케이블이 하나씩 손상되었을 경우 SI를 수행하여 6개 케이블의 측정치와의 오차(RSS)를 계산하여 식 (32)의 우도함수를 정의할 수 있다. 이때, 교량 내 특정 케이블에 결함 이력이 집중되었다는 명확한 사전 정보가 없는 초기 모니터링 상태를 가정하여, 모든 케이블의 손상 발생 가능성이 동일하다는 무정보 사전확률(Non-informative Prior)을 적용하였다. 사전확률이 동일하게 유지되므로 베이시안 사후확률 산정식이 간략화되며, 결과적으로 식 (33)과 같이 각 케이블 손상의 우도를 총합으로 나눈 정규화 확률로 사후확률을 계산할 수 있다.

CL36, 37의 손상확률은 각각 74.6%, 19.5%로 두 케이블에서 손상이 발생할 확률은 94%달한다. 상시 계측시템은 이를 표출하여 추가 계측의 필요성을 알리게 된다.

상시 계측시스템의 데이터 분석 결과를 기준으로 CL36, 37의 추가 계측한 결과는 Fig. 11과 같고, 2개 케이블만을 인식변수로 설정하고 SI를 재수행한 결과, CL37의 손상율은 17.9%로 식별되었으며 실제 손상율과 2% 이하의 오차를 나타낸다.

Fig. 11 Measured Tension Variation and Damage Probability in case of 17.5% damage on CL37

4.4 케이블 손상감지를 위한 가속도계 최적 배치

4.2의 수치모델을 통해 분석한 바와 같이 정확한 손상감지를 위해서는 식별 목표로 하는 손상의 정도와 센서의 배치위치를 결정해야 한다. 현재 적용되고 있는 케이블 교량의 설계하중조합(KDS 24 12 12)은 케이블 파단의 극단하중조합을 고려하고 있으며, 인접 케이블의 추가파단을 방지하기 위해 최대 허용장력($0.95f_{pu}$)을 초과하지 않도록 설계하고 있다.

화태대교의 경우 한 개 케이블이 1% 손상은 인접 케이블의 0.1% 내외의 장력 증가를 유발하며, 케이블의 파단 시 약 10% 장력 증가를 예상할 수 있다. 이를 고려하여 인접 케이블의 추가파단을 방지하고 사전조치를 수행하기 위해 손상감지를 위한 목표 손상도를 설정해야 하며, 화태대교는 50%, 70%, 90% 단면손상의 식별을 목표로 신호 간 유클리디안 거리(Euclidean Distance; D)와 식 (34)의 이항가설 검증(Binary Hypothesis Testing)의 오진확률을 10%($Z = D/2\sigma = 1.282$)로 설정하여 최적의 케이블 가속도계 설치 위치를 분석하였다. 계측오차를 1%로 가정할 경우 요구되는 신호거리는 2.563으로 산정된다.

특정 케이블의 손상을 감지하기 위해서는 해당 케이블에 센서를 설치하지 않는 경우, 상대적으로 작은 변동율로 인해 손상 케이블 양측으로 최소 2개 이상의 케이블에 설치하여 한다. CL12의 손상감지를 위해 Gap±($k=2$)의 케이블(CL10, 14)에 설치된 센서의 신호가 CL12손상 시(가설A), 그리고 이 외의 67개 케이블 손상(가설B)에 의한 신호간 거리를 측정하여 오진확률을 검증한다. 이 때 Gap±($k=10$)까지 반복 수행하여 최대 간격의 k를 결정하였다.

Table 11은 케이블 단면이 50% 손상되었을 때, 장력변동 민감도를 나타낸다. 케이블 스팬의 중앙부에 위치한 케이블 CL07∼16, CL21∼31는 손상 시 좌⋅우측 케이블로 하중분배율이 높다. 반면, 측경간 단부의 CL01은 지점부에 위치하여 손상으로 인한 인접케이블로 하중분배율 상대적으로 작고, 인접 케이블의 손상 신호와 구분이 어렵다. 주탑측에 위치한 짧은 케이블인 CL17, 18도 주탑으로 인해 인접케이블로 하중분배율이 작고 주탑 건너편의 케이블은 오히려 장력이 감소하고 있어 해당 케이블에 직접 센서를 설치해야 손상감지가 가능하다. 이러한 경향은 손상정도를 90%까지 증가시키더라도 유사하게 나타난다.

각 케이블에 대해 손상의 식별 목표에 따른 2개 센서의 최대 설치간격(±k)을 산정하면 Fig. 12과 같다. 70% 손상에 대해 중앙부 케이블 CL21-31은 k=3∼4로 산정되어 2k인 6∼8개 케이블 간격으로 센서를 배치할 수 있다. 케이블 단면의 70% 손상을 식별 목표로 할 경우 Fig. 12의 같이 빨간점으로 표시된 케이블에 총 28개의 센서를 배치할 수 있다.

Fig. 12 Maximum Gap for Sensor Location for Cable Damage Detection of HT Bridge

Fig. 12에서 도출된 최적 센서 배치 결과는 화태대교의 고유한 구조적 특성에 기인한 결과이다. 그러나 손상 민감도의 유클리디안 거리 산정과 이항가설검증을 결합하여 오진 확률을 통제하는 센서 배치 알고리즘은 특정 교량에 국한되지 않고 범용적으로 적용 가능한 일반화된 방법론이다. 거더 형식, 케이블의 배치 간격, 교량의 경간장 등 구조적 조건이 달라질 경우, 단면 손상 시 발생하는 이완하중의 인접 케이블 재분배 민감도가 근본적으로 변화하게 된다. 제안된 기법은 대상 교량의 사전 유한요소모델을 통해 이러한 고유의 민감도 특성을 수치화하므로, 어떠한 제원의 사장교에 대해서도 해당 교량의 특성을 반영한 센서 배치 간격(k)을 객관적으로 제시할 수 있는 실무적 활용성을 갖는다.

70% 케이블 손상 시 센서 최적 배치안과 제안된 손상감지 절차를 검증하기 위해 센서 간격이 가장 넓은 주경간 케이블 CL24, CL29에 각각 70%의 손상이 발생한 경우를 해석적으로 시뮬레이션 하여 Table 12에 나타내었다. 측정된 28개 케이블의 장력변동 비율에는 표준정규분포를 따르는 1% 오차를 포함하였다. 초기 L₁정규화와 NNLS를 적용하면 손상이 여러 케이블로 분배된 것으로 식별되나, 베이시안 추론을 적용한 각 케이블의 손상확률을 확인하여 손상 가능성이 가장 높은 케이블을 특정하고 이를 단일 인식변수 설정하여 다시 SI를 적용하면 실제 손상케이블과 손상정도를 10%오차 범위 내에서 식별할 수 있음을 확인하였다. 민감도 행렬을 업데이트하여 반복계산을 수행하지 않은 상태에서, 케이블 단면 70% 손상에는 약 7∼8%의 식별오차가 발생할 수 있는 점을 고려할 때, 비교적 정확하게 전체계 SI 알고리즘이 가동하는 것을 알 수 있다.

다만, 표에서 나타나듯 실손상 케이블(CL24) 외의 인접 케이블(CL23, CL50 등)에서도 상당한 잔여 손상 확률이 도출되는 오탐지 가능성에 유의해야 한다. 이는 소수의 센서로 다수의 케이블 상태를 추정해야 하는 과소결정 시스템의 한계로, 계측 노이즈가 유입될 경우 하중 재분배 신호가 인접 케이블로 분산 왜곡되기 때문이다. 따라서 상시 계측 시스템을 통한 1차 SI 및 베이시안 추론은 손상을 단번에 확정 짓는 것이 아니라 확률이 높은 의심 케이블 구역을 압축하는 역할로 신뢰수준이 제한된다. 이를 극복하기 위해서는 도출된 고확률 손상 의심케이블에 대하여 관리자가 추가 계측을 수행하고, 이를 바탕으로 2^nd SI를 가동하여 최종 확정하는 2단계 상호보완 체계가 현장 실무에 수반되어야 한다.