2.1. 연구유역

TANK 모형의 매개변수에 대한 불확실성 평가는 낙동강 유역의 남강댐 상류에 위치한 수질오염총량관리 단위유역인 남강 A 유역을 대상으로 수행되었다. 유역 면적은 1,023 km² 이며, 2004년부터 2019년까지 유역 말단부에서 586회 관측 된 유량자료가 이용되었다. 이용된 유량자료는 환경부 물환 경정보시스템(^{ME, 2020})에서 획득 가능하다. 남강 A 유역이 선택된 이유는 인위적인 물수지의 영향을 가능한 배제하기 위하여 선정되었다. 인위적인 취수 및 방류가 불확실성 분석 에 영향을 미칠 수 있기 때문이다.

연 평균 강수량은 1,409 mm이며, Penman-Monteith 방법 으로 계산한 연 평균 잠재증발산량은 966 mm로서, 남강 A 유역은 한반도의 대표적인 습윤 지역이라 할 수 있다. 본 연 구에서는 기상청에서 운영 중인 거창, 남원, 산청, 장수 관측 소에서 관측된 Automated Synoptic Observing System (ASOS) 일 기상 자료(^{KMA, 2020})를 바탕으로, 남강 A 유역 을 대상으로 티센 가중치 방법으로 면적 평균된 기상자료가 적용되었다. 남강 A 유역의 위치도와 적용된 기상관측소의 위치를 Fig. 1에 나타내었다.

Fig. 1. Study area and location of meterological observation sites.

2.2. TANK 모형

다양한 연구자들이 제안한 수많은 TANK 모형이 있다. 본 연구에서는 유역 말단부의 장기 유출모의에 적합한 것으로 알려진 4개의 저장 탱크와 5개의 유출공, 3개의 침투공이 있 는 4단 탱크로 구성된 모형이 적용되었다(Fig. 2 참조). 수문 프로세스는 일련의 수직적인 물의 흐름으로 표현된다. 1번 탱크로 강수량이 입력된 이후, 각 탱크로부터 증발산, 침투, 유출이 일어나게 된다. 상층의 2개 탱크로부터 각각 지표면 유출과 중간 유출이 나타나게 되며, 하단의 2개 탱크로부터 조기 지하수 유출과 지하수 유출이 나타난다.

Fig. 2. TANK model (Kim et al., 2005).

TANK 모형의 실행을 위해서는 13개의 알려지지 않은 매

개변수를 추정해야 한다. 매개변수들은 탱크별로 아래와 같 이 구분된다.

여기서 A는 유출 매개변수이며, H는 탱크의 유출공의 높 이, B는 침투 매개변수이다. 각 탱크에서의 하천 유출 Q은 Q=A·(S-H)으로 계산된다. S는 탱크에 저장된 물의 높이 이다. TANK 모형에서 흐름의 단위는 단위면적당 유출고(본 연구의 경우 mm/day)이므로, 하천유출은 유역면적을 곱하여 유량의 단위로 환산해줄 필요가 있다. 상부 탱크에서 하부 탱크로의 침투 W는 W=B·S으로 계산된다. 이 외에 증발 산을 좌우하는 매개변수 α가 있다. TANK 모형에서 t일의 증발산량 ET_t은 아래와 같이 1번 탱크에서부터 아래 방향으 로 연속적으로 계산된 각각의 탱크에서의 증발산량의 합으 로 구해진다.

여기서 PET_t 는 t일의 잠재증발산량으로, 본 연구에서는 Penman-Monteith 방법으로 계산되었다. TANK 모형의 유출 해석에 대한 물리적 프로세스에 대한 자세한 설명은 ^{Kim et al. (2009)}, ^{Lee and Kim (2011)}, ^{Lee et al. (2012)} 및 이들 문헌에서의 참고문헌에서 살펴볼 수 있다.

2.3. 베이지안 접근법

매개변수의 사후분포는 아래와 같이 베이즈 정리를 이용하 여 주어진다.

여기서 Y는 관측유량자료의 벡터, π(θ)는 매개변수의 사 전분포, π(θ|Y)는 매개변수의 사후분포, π(Y)는 π(θ|Y)을 매 개변수 공간에 대하여 적분할 경우 1이 되어야 하는 조건에 의해 결정되는 비례상수, π(Y|θ)는 우도함수이다. 우도는 매 개변수 θ가 주어질 경우 유량이 Y가 될 확률이다. 우도의 값은 모형에 의해 모의된 유량자료와 관측된 자료 사이의 오 차의 확률분포로부터 결정된다. 매개변수의 사전분포와 관측 자료 모두 매개변수의 사후분포에 영향을 미친다는 것을 쉽 게 알 수 있다.

2.4. Metropolis-Hastings 알고리즘

MH 알고리즘은 사후분포 π(θ|Y)에서 표본을 추출하는 MCMC 표본추출을 위한 알고리즘들 중 하나이다. MH 알고 리즘은 벡터 값 θ_o와 함께 시작된다. 그런 다음 매개변수 벡 터의 N + M개 시퀀스 θ_i, i=1,…,N + M가 아래와 같은 절차 를 거쳐 생성된다.

(1) 제안분포 q(θ*|θ_i-1)로부터 후보 매개변수 벡터 θ*을 생 성한다. 이 때, 제안분포는 본 연구에서는 평균 θ_i-1, 분산 Σ 인 끝이 상한과 하한에 의해 잘려진 정규분포가 적용되었다.

(2) 채택 기준 값 T 계산

여기서 π(Y|θ*)와 π(Y|θ_i-1)은 각각 매개변수 벡터 θ*와 θ_i-1에서의 우도 값이고, π(θ*)와 π(θ_i-1)은 각각 θ*와 θ_i-1 에 대응하는 사전확률밀도이다.

(3) 0에서 1 사이의 균등난수 u에 대하여 min(1,T)>u을 만족하면, θ_i = θ*가 되며, 그렇지 못할 경우에는 θ_i = θ_i-1 이 된다.

초기 N회 반복하는 단계를 거친 후에 구성된 chain은 매개 변수의 사후분포 π(θ|Y)에서 무작위로 추출된 매개변수 벡터 를 갖는 chain으로 수렴된다. 이 때, 초기 N회 반복되기 전 에 추출된 매개변수 벡터들은 버려야 한다.

MH 알고리즘을 사용하기 전에, 초기 매개변수 벡터 θ_o, 제 안분포 q(θ*|θ_i-1), 초기 반복 추출 횟수 N, 총 반복 추출 횟 수 N + M 등이 결정될 필요가 있다. 이러한 요소를 선택하기 위한 정확한 규칙을 결정하는 것은 여전히 활발한 연구 분야 이다(^{Makowski et al., 2002}). ^{Gilks et al. (1995)}에 따르면, θ_o의 선택은 일반적으로 결과에 민감하지 않다. 반면에, 제안 분포 q(θ*|θ_i-1)의 선택은 중요하게 다루어져야 한다. 일반적 인 방법은 평균 θ_i-1 과 일정한 공분산 행렬 Σ인 정규분포를 사용하는 것이다. 즉, θ*|θ_i-1 ~ N(θ_i-1, Σ). 몇몇 연구들에 따 르면(^{Campbell et al., 1999}; ^{Harmon et al., 1997}), 전술한 알 고리즘 절차의 단계 (2)에서 수행되는 min(1, T)>u의 채택 률이 20~70%가 되도록 Σ을 선택하는 것을 추천하고 있으 며, 이러한 추천사항을 본 연구에서도 따랐다. 또한 본 연구 에서는 매개변수들은 서로 독립이라고 가정하였으며, 사전분 포에서 정의된 매개변수의 표준편차의 v%를 공분산 행렬 Σ 에 적용하였다. 이 때, v 값은 채택률이 20~70%의 범위가 되도록 시행착오방법에 의해 결정되었다. 버려질 반복 횟수 N과 총 반복 횟수 N + M의 선택은 간단하지 않다. 본 연구 에서는 N = 0.3×M을 사용하였는데, ^{Geyer (1992)}가 제안한 N = (0.01 ~ 0.02)×M과 ^{Raftery and Lewis (1995)}가 제안한 N = 0.2×N을 참고하여 이보다 큰 반복 횟수를 적용하였다. 따라서 사후분포와 상관성이 떨어지는 매개변수 값이 chain 으로부터 생성될 가능성이 많지 않도록 설정하였다. 초기 시 행 N회 이후 시행되는 반복 횟수인 M을 결정하는 가장 확 실한 방법은 chain이 진행되는 경과를 추적하여 매개변수 사 후분포의 평균값들의 수렴 여부를 판단하는 것이다(^{Gelman, 1995}). 수렴이 확인되지 않는다면 반복 횟수 M을 늘려한다. 본 연구에서도 이러한 추적 분석이 수행되어졌다.

생성된 표본은 매개변수의 사후분포의 특성을 정량화하는 데 사용될 수 있다. 예를 들어, 매개변수 벡터 θ_i, i=N+1,…,N + M의 표본을 사용하여 사후분포의 손실을 최 소화하는 사후평균을 아래와 같이 계산할 수 있다(^{Bernardo and Smith, 1994}).

벡터 θ는 모형 매개변수의 추정치로 간주될 수 있다. 매개 변수 추정 값의 계산에는 전체 사후확률분포와 비교하여 정 보가 손실된다. 매개변수 벡터의 표본은 사후분산, 매개변수 들 사이의 상관관계, 모형으로부터 예측된 값의 분포 등을 계산하는 것에도 사용될 수 있다.

2.5. Generalized likelihood uncertainty estimation

GLUE 방법의 원리는 매개변수 벡터 θ_i 와 연계된 확률 p_i 을 갖는 이산 확률분포 (θ_i,p_i), i=]1,…,M, ∑ i = 1 M p i = 1 에 의해 매개변수의 사후분포 π(θ|Y)을 추론하는 것이다. GLUE 방 법의 절차는 아래와 같다.

순서쌍 (θ_i,p_i), i=1,…,M은 사후분포의 다양한 특성을 결 정하는데 사용된다. 예를 들어, 매개변수의 사후평균은 아래 와 같다.

GLUE 방법의 적용을 위해서는 단순히 생성된 매개변수 벡터의 총 수 M을 결정하는 것만 필요하므로, MH 알고리즘 의 적용보다 더 간단하다. 그러나 이러한 간단함이 GLUE의 우수성을 보증하는 것은 아니며, 다양한 조건에 대한 다양한 수문모형의 적용을 통하여 MH 알고리즘과 GLUE 방법의 성능을 비교하기 위한 연구는 아직 충분히 수행되지 않았다.

3.1. 불확실성 분석을 위한 설정

Fig. 2에서 살펴볼 수 있듯이, TANK 모형의 매개변수들은 각자 고유의 유출 프로세스를 담당하고 있다. 또한 추정된 매개변수들 사이에는 상호의존성이 존재한다. 예를 들어, 두 번째 탱크의 유출계수를 작은 값으로 설정하면 직접 유출되 는 양을 맞추기 위하여 첫 번째 탱크의 유출계수가 상대적으 로 큰 값이 설정된다. 따라서 모형 매개변수 민감도 분석이 큰 의미를 가질 수 없다. SWAT 또는 HSPF와 같은 유역모 형의 경우에는 수질모의 프로세스, 식생 상호작용 프로세스, 지하수대 연결 프로세스 등 유출량의 크기와는 큰 관련이 없 는 많은 매개변수들이 존재하기 때문에 모형 매개변수의 민 감도 분석이 유출모의에 많은 영향을 미치는 중요한 매개변 수를 찾는 것에 도움이 될 수 있다. 그러나 유출만을 모의하 는 TANK 모형의 경우에는 매개변수 민감도 분석으로부터 얻을 수 있는 정보가 제한적일 수밖에 없기 때문에, 별도의 민감도 분석을 수행하여 중요 매개변수를 식별하는 절차는 수행하지 않았다.

TANK 모형 매개변수의 사전분포는 균등분포로 가정하였 다. 균등분포의 하한과 상한은 매개변수의 물리적인 의미를 참고하여, 최대한 넓은 범위의 구간을 갖도록 설정하였다. 즉, 증발산 매개변수 α는 0에서 1 사이의 값으로, 유출 매개 변수 A11, A12, A2, A3, A4와 침투 매개변수 B1, B2, B3는 모두 0.001에서 0.999 사이의 값으로 설정되었으며, 유출공 의 높이 매개변수 H11, H12, H2, H3는 모두 1에서 100 사이 의 값으로 설정되었다. 충분히 넓은 범위의 균등분포가 적용 되었기 때문에, 매개변수의 참 값은 사전분포에서 다루는 값 의 범위 안에 있을 것으로 판단되었다.

매개변수의 사후분포는 MH 알고리즘 또는 GLUE 방법을 사용하여 생성된 모든 자료 표본에 의해 만들어진다. 모형 오차들은 서로 독립이고 정규분포로 가정하여 표본 생성을 위한 우도함수를 아래와 같이 설정하였다.

여기서 Q^o 는 관측된 유량, Q^s 는 매개변수 벡터 θ을 이용 하여 모의된 유량, n은 관측자료의 개수, σ_o² 는 관측된 평방 근 유량의 분산이다. 유량자료에 평방근을 취한 이유는 큰 유량에 치우쳐서 사후분포가 고 유량에 적합하도록 편향되 게 만들어지는 것을 방지할 목적으로 도입되었다.

MH 알고리즘의 단계 (1)에서 후보 매개변수 값을 생성하 기 위해 사용된 제안분포는 평균 θ_i-1, 상수로서의 분산, 그 리고 공분산 0인 정규분포이다. 제안분포의 표준편차는 알고 리즘의 단계 (2)에서 수행된 min(1,T)>u의 채택률이 20~70% 범위에 있도록 선택되었다. 채택률 조건이 만족되도록 여러 가지 시도를 한 결과, 3%의 v을 적용하는 것으로 결정 되었다 (Fig. 3 참조). MH 알고리즘의 초기 반복횟수 N은 39,000회로 설정하였으며, 이후 체인의 반복횟수 M는 130,000회로 고정하였다.

Fig. 3. Acceptance rate for Metropolis-Hastings algorithm.

GLUE 방법의 모의발생 횟수 M은 130,000회로 고정하였 으며, M개의 매개변수 벡터는 사전분포로부터 Latin Hypercube 샘플링 방법으로 획득되었다(^{Mckay et al., 1979}; ^{Sun et al., 2016}). 모든 계산은 MATLAB으로 수행되어졌으며, 실행시 간은 일반적인 개인컴퓨터 상에서 MH 알고리즘과 GLUE 방법 모두 30분 이내였다.

3.2. TANK 모형의 결과

MH 알고리즘 및 GLUE를 이용한 TANK 모형의 매개변수 추정결과는 Table 1과 같다. Table 1에서 각 매개변수에 대 응하는 Mean 열에 있는 값들이 최종 추정된 매개변수 값이 다. MH 알고리즘은 결정계수 0.89, 모형효율계수 0.89, KGE 0.93의 결과를 나타내고 있으며, GLUE 방법은 결정계수 0.83, 모형효율계수 0.82, KGE 0.78의 결과를 보여주고 있 다. 따라서 관측자료의 재현 정도를 나타내는 수치는 MH 알 고리즘이 GLUE 방법보다 약간 더 우수함을 알 수 있다. Fig. 4는 MH 알고리즘과 GLUE 방법에 의해 추정된 매개변 수를 이용하여 계산한 증발산량과 하천유량을 보여주고 있 다. Fig. 4(a)와 (b)의 왼편 그림에 2004년부터 2019년까지 일 단위의 수문성문 관측값 및 모의값을 나타내었으며, 오른 편 그림은 관측유량과 모의유량의 Q-Q plot를 보여주고 있 다. 두 가지 방법 모두 유사한 증발산량과 하천유량 모의 결 과를 보여준다. 수치적으로 살펴보면, MH 알고리즘에 의한 유출계수는 0.59, GLUE 방법에 의한 유출계수는 0.62로, MH 알고리즘이 증발산량을 약간 더 많이 모의하고 있음을 살펴볼 수 있다. 이는 관측자료가 있는 날의 하천유량을 살 펴보면, MH 알고리즘은 관측자료가 있는 날의 모의 하천유 량의 평균이 관측자료 평균의 99.7%, GLUE 방법은 101.8% 로, GLUE 방법이 약간 더 하천유량을 많이 모의하고 있음 을 알 수 있다. 그러나 두 방법 사이의 차이는 5% 내외로 실 제 편차는 큰 의미가 없는 것으로 판단되었다.

Fig. 4. Simulation results using best parameters.

하지만 Fig. 5에 나타낸 각 탱크에서의 물의 높이의 시간 적인 변화를 살펴보면, MH 알고리즘에 의한 모의결과와 GLUE 방법에 의한 모의결과에 많은 차이가 있음을 알 수 있다. MH 알고리즘에 의한 모의결과는 상대적으로 큰 매개 변수 B1에 의하여 1번 탱크에 저장된 물이 빠르게 2번 탱크 로 침투되기 때문에 1번 탱크에서의 물의 높이가 전체적으 로 낮다. 반면에 GLUE 방법에 의한 모의결과는 상대적으로 큰 매개변수 B2에 의하여 2번 탱크에 저장된 물이 빠르게 3 번 탱크로 침투되기 때문에 2번 탱크에서의 물의 높이가 전 체적으로 낮게 모의된다. 또한 2번 탱크의 낮아진 물의 높이 에 반응하여 유출을 발생시키기 위하여 2번 탱크의 유출공 의 높이 H2가 낮게 추정된 것으로 분석된다. 전체적으로 MH 알고리즘은 2번 탱크에서의 유출량이 지표면 유출의 대 부분을 구성하도록 매개변수를 추정하고 있으며, GLUE 방 법은 1번 탱크에서의 유출량이 지표면 유출의 대부분을 구 성하도록 매개변수를 추정하고 있음을 살펴볼 수 있다. 두 방법 모두 비슷한 하천 유량을 모의하고 있다는 점을 상기해 볼 때, 이는 전형적인 equifinality 문제인 것으로 보인다 (^{Beven, 2019}). 여기서 equifinality 문제는 수문 모형화 분야 에서 최근 제기되고 있는 문제로서, 서로 다른(또는 잘못된) 매개변수에 의해 같은 모형 결과를 도출하는 문제를 의미한 다. 전형적인 equifinality 문제는 유역 말단부에서의 유량 을 우수하게 재현하는 매개변수를 설정하는 것이 유역을 올바르게 모형화 했음을 반드시 보증할 수 없다는 사실을 다룬다.

Fig. 5. Simulated TANK water height evolution using best parameters.

3.3. TANK 모형 유량모의 불확실성 분석

Table 1에서 매개변수의 평균과 표준편차를 살펴봄으로써 MH 알고리즘과 GLUE 방법을 이용하여 추정된 매개변수에 내재된 불확실성을 파악할 수 있다. MH 알고리즘에 의해 추 정된 매개변수들 중에서는 H12, A4, A12 순으로 변동계수가 큰 것을 알 수 있으며, GLUE 방법에 의해 추정된 매개변수 들 중에서는 H3, H2, A12 순으로 불확실성이 크게 계산되었 다. 일반적으로 1번과 2번 탱크와 관련된 매개변수들의 불확 실성이 더 크다는 사실을 알 수 있다. 이는 지표면유출 계산 에 내재되는 불확실성이 지하수유출 계산에 내재되는 불확 실성보다 더 크다는 사실을 의미한다.

앞서 Fig. 5에서 살펴본 바와 같이 MH 알고리즘에 의한 유출은 2번 탱크에서 더 많은 유출량이 모의되었으며 GLUE 방법에서는 1번 탱크에서 더 많은 유출량이 모의되었다. 불 확실성 측면에서는 MH 알고리즘의 경우에는 1번 탱크 매개 변수들의 불확실성이, GLUE 방법은 2번 탱크 매개변수들의 불확실성이 더 큰 것으로 조사되었다. 이는 민감도가 작은 매개변수의 불확실성이 상대적으로 크기 때문이다. 다른 방 향으로 살펴보면, 남강 A 유역의 경우에는 본 연구에서 적용 한 4단 탱크를 이용하여 관측된 유량을 적절하게 모의할 수 있지만, 3단 탱크를 적용하여도 유량을 모의하는데 부족함이 없을 것이란 사실이다. 실제로 모형의 매개변수를 과도하게 많게 사용할 경우 모형의 관측자료에 대한 적합도는 좋아지 지만, 그에 따른 불확실성의 증가를 피할 수 없기 때문이다.

지표면 유출에 대한 불확실성에 대한 원인은 다양하게 제 시될 수 있다. 우선, 남강 A 유역이 지리산 동쪽에 위치한 산악지역에 속하므로 강우의 공간적인 변동성이 매우 클 것 이며, 이는 입력된 공간평균 강우량의 오차를 유발시켜 지표 면유출의 불확실성을 증폭시켰을 가능성이 매우 높다. 또한 유량관측에서 오는 오차도 지표면유출 불확실성의 중요한 원인들 중 하나일 것으로 판단된다. 전술한 바와 같이 남강 A 유역은 산악지역이므로 지표면유출의 비중이 상대적으로 큰 지역이다. 본 연구에서 사용된 관측유량자료는 실제 일 유량이기 보다는 사실상 관측된 시점에서 순간 유량이기 때 문에, 이를 일 유량으로 간주하는 것에서 기인된 오차가 지 표면유출의 불확실성을 증가시켰을 것으로 판단된다.

Fig. 6은 MH 알고리즘과 GLUE 방법을 이용하여 추정된 유량모의결과의 95% 신뢰구간을 보여주고 있다. Fig. 6에서 음영으로 칠해진 95 PPU는 MH 알고리즘과 GLUE 방법으 로부터 모의 발생된 매개변수를 이용하여 계산된 유량의 95%가 속하는 구간을 의미한다. 모의된 유량의 신뢰도를 도 식적으로 살펴볼 수 있는 유용한 방법들 중 하나는 관측유량 이 모의된 95 PPU 안에 얼마나 포함되어 있는 지일 것이다. 이를 정량적으로 나타낸 수치가 Table 1의 p-factor이며, 100%에 수렴할수록 추정된 매개변수에 대한 신뢰도가 높다 (^{Ryu et al., 2012}). MH 알고리즘의 p-factor는 87.4%이다. 즉, 관측유량의 87.4%가 95 PPU로 표시된 범위 안에 포함된 다는 것을 의미한다. GLUE 방법의 p-factor는 91.0%로 계산 되었다. 따라서 p-factor의 관점에서 보면, GLUE 방법에 의 해 추정된 매개변수의 신뢰도가 상대적으로 더 높다고 볼 수 있을 것이다. 하지만 관측유량이 표준편차에 대한 95 PPU의 평균적인 폭을 의미하는 r-factor의 관점에서 보면 다른 결론 이 도출된다(Table 1 참고). MH 알고리즘의 경우 r-factor는 0.38이며, GLUE 방법의 경우 0.48이다. ^{Joh et al. (2012)}에 서 언급한 바와 같이 r-factor는 작을수록 추정된 매개변수의 신뢰도가 높으므로, r-factor의 관점에서 보면, MH 알고리즘 에 의해 추정된 매개변수의 신뢰도가 상대적으로 더 높다고 말할 수 있다.

Fig. 6. Uncertainty of simulated daily stream-flow.

Fig. 7과 8은 각각 MH 알고리즘과 GLUE 방법을 이용하 여 도출된 매개변수의 사후분포를 사전분포와 함께 나타내 고 있다. 사전분포와 비교하였을 때, MH 알고리즘에 의한 사후분포의 경우 매개변수 α, A11, A12, H11와 같은 지표면 과 관련 매개변수들의 사후분포가 대응되는 사전분포와 크 게 다르지 않음을 살펴볼 수 있다(Fig. 7 참조). 이는 MCMC 표본추출을 통하여 넓은 범위의 사전분포의 정보가 원하는 만큼 축소되지 않았음을 의미한다. 이러한 사후분포의 형태 가 MH 알고리즘에 의한 유출 모의 시에 지표면 유출에 대 한 불확실성을 증가시키는 원인으로 작용한 것으로 판단된 다. 또 다른 원인은 매개변수들 사이의 상관성을 고려하지 않았다는 것에서 찾아볼 수 있다. 실제 TANK 모형은 관측 유량을 재현하기 위하여 여러 가지 매개변수들이 복합적으 로 작용하게 된다. 예를 들어, 1번 탱크의 매개변수들과 2번 탱크의 매개변수들의 서로에게 영향을 미치면서 관측유량자 료를 재현하도록 체인이 진행될 개연성이 있다. 매개변수들 사이의 상관성을 고려한 MCMC 표본추출을 구성하는 것은 수문모형의 불확실성 분석에서 또 다른 연구주제가 될 수 있 는 부분이므로, 추후 연구에서 보다 상세히 다뤄질 필요가 있을 것이다.

Fig. 7. Prior and posterior distributions in Metropolis-Hastings algorithm.

Fig. 8. Prior and posterior distributions in GLUE method.

GLUE 방법에 의한 사후분포의 경우 넓은 범위의 사전분 포와 비교해볼 때, 확실히 축소된 범위에서 사후분포가 만들 어졌음을 알 수 있다(Fig. 8 참조). MH 알고리즘과 GLUE 방법에 의한 사후분포를 비교해보았을 때, 전반적으로 GLUE 방법에 의한 사후분포의 분산이 작게 형성되어 있음 을 알 수 있으나, 지하수유출 관련 매개변수들의 경우에는 MH 알고리즘에 의한 사후분포의 분산이 상대적으로 더 작 게 형성되어 있는 경우도 있음을 발견할 수 있다. 또한 GLUE 방법의 경우, 방법의 특성 상 사후분포의 분포형을 사전에 결정해야만 하는 제한이 있다. 따라서 GLUE 방법으 로 생성된 사후분포는 분포형의 형태를 특정할 수 없는 MH 알고리즘의 사후분포와는 달리 모두 끝이 상한과 하한에 의해 잘려진 정규분포의 형태를 보이고 있음을 살펴볼 수 있다.

3.4. 신뢰도 분석

본 연구에서는 MH 알고리즘과 GLUE 방법이 수문모형의 매개변수를 추정하는 두 가지 유용한 방법임을 보여주었다. 이들의 첫 번째 장점은 불연속적인 관측유량자료(1년 40회 미만)에서도 만족스러운 매개변수 추정치를 제공한다는 것 이다. 사실 이러한 관측자료의 상황은 수질총량관리 단위유 역 단위에서 장기유출을 다루는 수문모형에서 일반적인 상 황이기도 하다. 이는 베이지안 방법을 사용하여 계산된 매개 변수 추정치가 두 가지 유형의 정보, 즉 매개변수 값에 대한 모형 전문가의 지식과 관측자료에 기초한다는 사실에 기인 한다. 모형 전문가의 지식은 매개변수의 사전분포를 통해 반 영된다. 사전분포는 모형의 매개변수가 비현실적인 값을 취 하는 것을 방지한다. 베이지안 방법의 두 번째 장점은 매개 변수 값에 대한 불확실성을 분석하는 데 유용하다는 것이다. 베이지안 접근법에서 매개변수는 확률변수인 것으로 가정한 다. 매개변수의 사후분포는 모형의 매개변수 값에 대한 불확 실성의 정도를 나타낸다. 매개변수의 불확실성의 이러한 표 현은 모형을 기반으로 하는 의사결정에서 위험도를 고려하 는 데 유용하게 적용될 수 있다.

중요하게 언급해야할 사항은 Table 1에 나타난 두 가지 방 법으로부터 도출된 매개변수들의 최종 추정값이다. 두 가지 접근방법에 의한 최종적인 유출모의 정확도는 서로 비슷하 지만 추정된 매개변수들 사이에는 유의한 차이가 있기 때문 에 equfinality 문제의 전형을 보여준다고 말할 수 있을 것이 다. 사실 equfinality 문제가 발생했지 아닌지를 검증할 수 있 는 방안은 현재로서는 마련되어 있지 않은 실정이다. 현재로 서는 equfinality 문제가 발생될 소지가 있으니, 단일 매개변 수 조합에 의존하는 것보다는 다양한 매개변수 조합으로 도 출될 결과를 확률적으로 살펴볼 필요가 있다는 사실을 인지 하는 것이 더 중요한 사안이 될 것이다. 참고로 사전분포의 범위를 본 연구에서 적용한 것 보다 훨씬 넓게 설정하더라도 최종 추정된 사후분포의 형태는 본 연구에서 제시된 분포와 유사하게 형성되고 있음을 확인할 수 있었다.

본 연구에서 제시된 두 가지 방법은 관측자료의 재현 측면 에서는 모두 우수한 것으로 밝혀졌으며, 추정된 매개변수의 신뢰성 측면에서도 어느 방법이 더 우수하다고 명시적으로 말하기가 어려운 것으로 판단되었다. 그러나 우리는 GLUE 방법보다는 MH 알고리즘을 사용하는 것이 더 좋다고 추천 한다. 실제로, 수학적 특성을 살펴보면, 일단 체인이 형성되 면 MH 알고리즘으로 생성된 매개변수 시퀀스는 모형 매개 변수의 수가 많더라도 매개변수의 사후분포와 동일한 분포 를 나타낸다(^{Campbell et al., 1999}; ^{Gilks et al., 1995}). 이는 Fig. 7에 도시한 사후분포의 모양을 봐도 확인이 된다. MH 알고리즘에 의해 생성된 사후분포는 사전에 특정 분포형(예 를 들어, 정규분포 또는 지수분포 등)을 가정할 필요가 없다. 그러나 GLUE 방법은 매개변수 공간의 이산화에 의해 표본 추출이 진행되며, 사후분포의 분포형을 특정하여 표현하게 된다(Fig. 8 참조). 본 연구에서는 상한과 하한에 의해 끝이 잘려진 정규분포로 가정하였다. 따라서 GLUE 방법은 모형 의 매개변수의 수가 많아질 경우 매개변수의 사후분포를 부 정확하게 표현할 가능성이 많을 것으로 판단된다(^{Makowski et al., 2002}).

베이지안 접근법에서 관측자료는 우도함수를 통해 고려된 다. 이러한 기능은 본 연구에 제시된 두 가지 방법에서 모두 중요한 역할을 한다. 우도함수는 모형 오차에 대한 가설에 의해 결정된다. 본 연구에서는 모형 오차가 모두 독립적이라 고 가정했다. 이러한 가정은 특정 상황에서는 비현실적일 수 있다. 예를 들어, 특정 기간에 대규모 하천 사업이 진행된 경 우 또는 유역에 최근 대규모 개발 사업이 진행된 경우에는 특정 기간 동안에 발생된 모형의 오차들이 독립적이라고 간 주될 수 없을 것이다(^{Wallach, 1995}). 본 연구에서 적용된 우 도함수는 이러한 상황에 적합하지 않으므로 경우에 따라서 는 수정이 필요할 것이다.

마지막으로 다루어 볼 사항은 2004년부터 2019년까지 유 역 말단부에서 586회 관측된 유량자료를 이용하여 남강 A의 기준유량(즉, 풍수량, 평수량, 저수량, 갈수량)을 결정할 수 있을 것인지의 여부이다. Fig. 9는 모의된 유량을 이용하여 도출된 유황곡선을 보여주고 있다. Fig. 9에서 ▢는 큰 순서 대로 각각 풍수량, 평수량, 저수량, 갈수량을 나타내며, ×는 관측된 586회 유량자료를 이용하여 각각 누적확률 95/365에 해당하는 유량, 누적확률 185/365에 해당하는 유량, 누적확 률 275/365에 해당하는 유량, 누적확률 355/365에 해당하는 유량을 의미한다. 실제 수질오염 총량관리 실무에서는 단위 유역 말단부에서 불연속적으로 관측된 유량자료(즉, 본 연구 에서 사용된 관측유량자료)만을 이용하여 기준유량(평수량과 저수량)을 도출하는 경우가 많다. Table 2에서 수치적으로 살펴볼 수 있듯이, MH 알고리즘에 의해 획득된 기준유량과 관측유량자료만을 이용하여 계산된 기준유량은 비교적 잘 일치하고 있음을 확인할 수 있다. 특히, 수질오염총량관리 기준유량인 평수량과 저수량의 경우에는 일치도가 매우 높 다. 반면에 GLUE 방법에 의해 획득된 기준유량은 관측유량 자료와 유의한 차이가 있는 것을 살펴볼 수 있다. 두 방법 모두 95 PPU Band 안에 관측유량자료로부터 계산된 기준유 량이 포함되어 있기 때문에, 관측유량자료를 이용한 기준유 량의 산정은 최소한의 신뢰도를 확보하고 있음을 알 수 있 다. 특히, 관측유량자료를 이용한 저수량은 MH 알고리즘에 의한 기준유량의 9.1 PPU 안에 들어오는 것을 살펴볼 수 있 으므로, 간단한 개념으로 말하자면, 수문모형을 이용한 유량 모의결과와 비교할 때 90% 수준의 높은 신뢰도를 가지고 있 다고 말할 수 있을 것이다. 반면에 풍수량이나 갈수량과 같 은 극단의 기준유량을 살펴보면, 관측유량자료를 이용한 풍 수량 또는 갈수량의 추정은 50~80% 수준의 신뢰도를 가질 수도 있음을 살펴볼 수 있다.

Fig. 9. Flow duration curve.