Mobile QR Code QR CODE : The Transactions of the Korean Institute of Electrical Engineers

The Transactions of the Korean Institute of Electrical Engineers

ISO Journal TitleTrans. Korean. Inst. Elect. Eng.

Main Menu

Journal Search

[

Research article

]

The Transactions of the Korean Institute of Electrical Engineers

KIEE Vol. 68, No. 6, p.739-748

ISSN (print) :

1975-8359

ISSN (online) :

2287-4364

Received : 18 December 2018Revised : Accepted : 23 May 2019

DOI :

https://doi.org/10.5370/KIEE.2019.68.6.739

슬라이딩 모드 기반 관측기와 제어기를 이용한 역진자 시스템의 위치 및 안정화 제어

Position and Stabilization Control of Inverted Pendulum Systems using Sliding Mode based Control and Observer

허준서 (Junseo Heo) ¹iD 좌동경 (Dongkyoung Chwa) ¹^†iD

(Dept. of Electrical and Computer Engineering, Ajou University, Korea.)

^†Corresponding author, E-mail: dkchwa@ajou.ac.kr

License :

This is an Open-Access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution Non-Commercial License (http://creativecommons.org/licenses/by-nc/3.0/) which permits unrestricted non-commercial use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.(www.kiee.or.kr).

Abstract

This paper proposes a position and stabilization control method for the inverted pendulum systems with disturbances such that an unstable equilibrium point is maintained and the position of the actuated body that can move freely is controlled. It is difficult to design the controller due to the dynamic coupling and nonlinear characteristics of the underactuated systems because the degree of freedom of the system is more than the number of the actuators. It is also a difficult problem to compensate for the disturbance. To solve this problem, we introduced an integral sliding mode based observer. Observer can be used to estimate and compensate for disturbance and system model errors, and state variables can also be estimated. Sliding mode controller for position and stabilization control is also proposed. Controller consists of the part that generates a reference value for the pendulum to move the actuated body to the desired position and the part that generates a control input to make the angle of the pendulum track the reference value. The stability of the overall pendulum systems using the proposed control schemes is provided and the feasibility of the proposed control methods is demonstrated through simulation results.

Key words

Integral sliding mode observer, inverted pendulum, lyapunov stability, sliding mode control, tracking control

1. 서론

부족구동 시스템(Underactuated system)은 시스템에 존재하는 구동기의 수보다 시스템의 자유도가 더 많은 시스템을 의미하며, 모바일로봇, 크레인, VTOL(Vertical take-off landing), 호버크래프트 등이 있다^[1-^5]. 부족구동 시스템의 구동기는 시스템에 존재하는 한 개 이상의 자유도에 대한 상태와 직간접적으로 연관되어 있어 동적 결합이 나타나며, 이러한 시스템의 특성 때문에 부족구동 시스템은 대부분 비선형 시스템으로 이루어져 있어 이를 제어하는 것은 어렵고 복잡한 문제이다. 부족구동 시스템의 제어 방법으로는 크게 안정화 제어(Stabilization Control)와 추종 제어(Tracking Control)로 구분된다^[6-^12]. 안정화 제어는 불안정한 평형점이 존재하는 부족구동 시스템의 상태 변수를 불안정한 평형점에 유지할 수 있도록 하는 제어 방법이며, 펜듀봇, 아크로봇 등과 같은 시스템에 대해 안정화 제어와 관련된 문제들이 연구되고 있다^[6-^9]. 추종 제어는 상태 변수들이 자유롭게 변화 가능한 부족구동 시스템에서 특정 상태 값에 목표 값이 주어졌을 때, 상태변수가 목표 값을 쫓아가도록 하는 제어 방법으로 주로 모바일 로봇, 호버크래프트 등과 같은 부족구동 시스템 중 이동 로봇에 대해 추종 제어 분야의 연구들이 진행되고 있다^[10-^12].

본 논문에서 다루는 역진자 시스템 또한 부족구동 시스템의 대표적인 예로 수직으로 세워져 있고 회전축이 가장 밑인 진자가 구동기가 존재하는 구동체와 연결되어 있는 시스템으로 구성되어 있다. 역진자 시스템은 구동체의 형태 및 특징에 따라 카트 역진자 시스템과 회전 역진자 시스템으로 구분된다. 역진자 시스템은 진자가 위를 향하고 있는 상태인 불안정한 평형점을 가지고 있어 안정화 제어에 대한 연구들이 진행되고 있다^[13-^22]. 역진자 시스템을 안정화 제어하기 위해 에너지 기반 LQR 제어기법 및 적응형 상태 제어기법^[13], 안정화 제어 스위칭 영역에서의 라그랑지안 제어 기법^[14], 퍼지 이론을 활용한 안정화 제어 기법^[15-^17], 제어 법칙을 일련의 단계로 분해하여 비선형 제어 전략을 제시한 기법^[18], 비선형 적응 신경망을 이용한 기법^[19], 슬라이딩 모드 기반 제어기를 이용한 강인제어기법^[20,^21]에 대한 연구들이 진행되었다. 역진자 시스템에서 불안정한 평형점은 진자 부분의 상태에 대해서만 규정하고 있으며 이와 연결된 구동체는 자유로운 상태를 가질 수 있는데, 신경망을 이용한 지능 제어 기법을 통해 카트 역진자 시스템의 위치가 궤적을 추종하도록 하는 연구 또한 진행되었다^[22].

실제 환경에서의 시스템 제어 과정은 시스템 모델 오차 및 공기저항, 마찰 등과 같이 외부에서 가해지는 외란이 존재하게 되고, 이는 시스템의 제어 성능을 떨어뜨리는 요소가 된다. 외란의 요소를 극복하기 위해 외란 관측기에 대한 연구가 진행되고 있으며, 슬라이딩 모드 기반 관측기를 이용해 적응 제어기에서 알려지지 않은 매개 변수를 추정하는 기법^[23], 외란의 모델을 알고 있다고 가정하고 관측하는 기법^[24], 로봇 매니퓰레이터에 적용된 미지 입력의 계수를 추정하기 위해 리아푸노프(Lyapunov) 기반의 비선형 외란 관측기법^[25]에 대한 연구들이 진행되었다.

본 논문에서는 역진자 시스템의 불안정한 평형점에서 진자의 상태에 대한 안정화 제어와 자유로운 상태를 가질 수 있는 구동체에 대한 위치 제어를 동시에 수행하는 제어 기법을 제안한다. 제어기의 안정성을 증명하고 모의실험을 통해 제안한 제어기의 타당성을 검증한다.

2. 3차원 포물체의 운동 방정식

본 장에서는 역진자 시스템의 동역학 모델을 유도한다. 2개의 자유도를 가지는 역진자 시스템의 동역학 방정식은 오일러-라그랑지안 방정식을 통해 다음과 같이 얻을 수 있다^[26].

(1)

$\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{\partial L}{\partial\dot q}\right)-\dfrac{\partial L}{\partial q}=F$

여기서 $q=\begin{bmatrix}q_{1},\:q_{2}\end{bmatrix}^{T}\in R^{2},\:\dot q =\begin{bmatrix}\dot q_{1},\:\dot q_{2}\end{bmatrix}^{T}\in R^{2}$로 각각 자유도를 가지는 변수의 좌표 및 속도 벡터이며, $F=\begin{bmatrix}f,\:0\end{bmatrix}^{T}\in R^{2}$은 제어 입력 변수이다. $L$은 라그랑지 안으로 같이 얻어진다. $M(q)$는 관성과 관련된 양의 정부호 대칭 행렬이고, $V(q)$는 시스템의 위치 에너지이다. 시스템 불확실성, 외부 외란과 같은 외란 벡터 $D=\begin{bmatrix}d_{1},\:d_{2}\end{bmatrix}^{T}\in R^{2}$를 포함하여 식 (1)을 다음과 같은 행렬형태로 다시 정리할 수 있다.

(2)

$L(q,\:\dot q)=\dfrac{1}{2}\dot q^{T}M(q)\dot q -V(q)$

(3)

$M(q)\ddot q +C(q,\:\dot q)\dot q +G(q)=F+D$

여기서 $C(q,\:\dot q)$는 코리올리 힘 및 원심력과 관련된 행렬이고, $G(q)$는 중력가속도와 관련된 행렬이며, 각각의 행렬들은 다음과 같이 정의된다.

(4)

$M(q)=\begin{bmatrix}m_{11} & m_{12}\\m_{21} & m_{22}\end{bmatrix},\: C(q,\:\dot q)=\begin{bmatrix}c_{11} & c_{12}\\c_{21} & c_{22}\end{bmatrix},\: G(q)=\begin{bmatrix}g_{1}\\ g_{2}\end{bmatrix}$

이 때, 식 (3)을 $q_{1}$과 $q_{2}$에 관한 상태방정식으로 표현이 가능하다.

(5)

$\ddot q_{1}=f_{1}(q ,\:\dot q)+g_{1}(q ,\:\dot q)f+h_{1}$

$\ddot q_{2}=f_{2}(q ,\:\dot q)+g_{2}(q ,\:\dot q)f+h_{2}$

여기서

$f_{1}=g_{1}(-c_{11}\dot q_{1}-c_{12}\dot q_{2}-g_{1})+n_{1}(-c_{21}\dot q_{1}-c_{22}\dot q_{2}-g_{2}),\:$

$f_{2}=g_{2}(-c_{11}\dot q_{1}-c_{12}\dot q_{2}-g_{1})+n_{2}(-c_{21}\dot q_{1}-c_{22}\dot q_{2}-g_{2}),\:$

$g_{1}=m_{22}\det(M(q))^{-1},\:g_{2}=-m_{21}\det(M(q))^{-1}$

$h_{1}=g_{1}d_{1}+n_{1}d_{2},\: h_{2}=g_{2}d_{1}+n_{2}d_{2}$

$n_{1}=-m_{12}\det(M(q))^{-1},\:n_{2}=m_{11}\det(M(q))^{-1}$

이다.

2.1 카트 역진자 시스템의 동역학 모델

본 논문에서 다루는 카트 역진자 시스템의 형태는 그림. 1과 같이 동력원이 존재하는 카트(Cart)와 하나의 막대(Pendulum)로 이루어져 있다.

그림. 1. 카트 역진자 시스템의 기구학적 모델

Fig. 1. Kinematic model of cart inverted pendulum system

막대는 카트의 중심과 연결되어 있어 막대는 카트와 연결된 부분을 중심축으로 진자운동이 일어나고, 카트는 동력원과 막대의 진자운동에 따른 병진운동이 일어난다. 위와 같은 카트 역진자 시스템의 동역학 방정식은 식 (3)과 같이 표현되며 각 행렬의 변수들은 다음과 같다.

(6)

$M(q)=\left[\begin{array}{cc}{M+m } & { m l \cos q_{2}} \\ {m l \cos q_{2}} & {m l^{2}}\end{array}\right] $,

$C(q, \dot{q})=\left[\begin{array}{cc}{0} & {-m l \sin q_{2} \dot{q}_{2}} \\ {0} & {0}\end{array}\right] $,

$G(q)=\left[\begin{array}{c}{0} \\ {-m g l \sin q_{2}}\end{array}\right]$,

$q=\left[\begin{array}{l}{x} \\ {\theta}\end{array}\right]$,

$F=\left[\begin{array}{l}{u} \\ {0}\end{array}\right]$

여기서 $x,\:\theta$는 각각 카트의 위치와 진자의 회전 각도를 나타내며, $M$은 카트의 질량, $m$은 진자의 질량, $l$은 진자의 무게중심까지의 거리, $g$는 중력가속도, $u$는 카트에 가해지는 힘을 나타낸다.

2.2 회전 역진자 시스템의 동역학 모델

본 논문에서 다루는 회전 역진자 시스템의 형태는 그림. 2와 같이 첫 번째 막대(Arm) 및 첫 번째 막대와 동력원의 연결 부분의 반대쪽 끝에 수직으로 연결되어 있는 두 번째 막대(Pen- dulum)로 이루어져 있다. 두 번째 막대는 첫 번째 막대와 연결된 부분을 중심축으로 진자운동이 일어나고, 첫 번째 막대는 동력원과 두 번째 막대의 진자운동에 따른 회전운동이 일어난다. 위와 같은 회전 역진자 시스템의 동역학 방정식은 식 (3)과 같이 표현되며, 각 행렬의 변수들은 다음과 같다.

그림. 2. 회전 역진자 시스템의 기구학적 모델

Fig. 2. Kinematic model of rotary inverted pendulum system

(7)

\begin{align*} M(q)=\begin{bmatrix}\Omega_{1}+\Omega_{2}\sin^{2}q_{2} & \Omega_{3}\cos q_{2}\\\Omega_{3}\cos q_{2} & \Omega_{2}\end{bmatrix},\:\\ C(q,\:\dot q)=\begin{bmatrix}\dfrac{1}{2}\Omega_{2}\sin 2q_{2}\dot q_{2} & -\Omega_{3}\sin q_{2}\dot q_{2}+\dfrac{1}{2}\Omega_{2}\sin 2q_{2}\dot q_{1}\\-\dfrac{1}{2}\Omega_{2}\sin 2q_{2}\dot q_{1} & 0\end{bmatrix},\:\\ G(q)=\begin{bmatrix}0\\-\Omega_{4}\sin q_{2}\end{bmatrix},\: q=\begin{bmatrix}\theta_{1}\\\theta_{2}\end{bmatrix},\: F=\begin{bmatrix}\tau \\0\end{bmatrix} \end{align*}

여기서 $\Omega_{1}=I_{1}+m_{1}l_{1}^{2}+m_{2}L_{1}^{2},\:\Omega_{2}=m_{2}l_{2}^{2},\:$ $\Omega_{3}=m_{2}L_{1}l_{2},\:$ $\Omega_{4}=gm_{2}$$l_{2}$이며, $\theta_{1},\:\theta_{2}$는 각각 막대의 회전 각도, $L_{1}$은 첫 번째 막대의 길이, $l_{1},\: l_{2}$는 각각 막대의 무게중심까지의 거리, $m_{1},\: m_{2}$는 각각 막대의 질량, $I_{1}$은 첫 번째 막대의 관성모멘트, $g$는 중력가속도, $\tau$는 동력원의 토크를 나타낸다.

3. 슬라이딩 모드 기반 관측기 및 제어기 설계

3.1 적분 슬라이딩 모드 관측기 설계

본 절에서는 이차 동역학 방정식에서 출력의 미분값(속도, 각속도 등)과 외란을 알 수 없는 상태에서 오로지 출력값만을 사용하여 다른 상태값과 시스템에 가해지는 외란을 추정하기 위한 적분 슬라이딩 모드 관측기를 설계한다.

본 논문에서 다루는 시스템의 이차 동역학 방정식을 다음과 같이 나타낸다.

(8)

$\ddot q =f+gu+ \overline{h}$ $

여기서 $q$는 측정 가능한 출력이고, $f,\:g$는 비선형 함수로서 $f=[f_{1},\: f_{2}]^{T},\:g=[g_{1},\:g_{2}]^{T}$이며, $\overline{h}$는 측정 불가능한 외란으로 $\overline{h}$ $=[h_{1},\: h_{2}]^{T}$이다. 여기서 $\overline{h}$는 양의 상수 $\overline{\gamma}$에 대해 $||\overline{h}||_{\infty} < \overline{\gamma}$로 유계되어 있다. 설계하는 관측기의 목표는 식 (8)의 동역학 방정식에서 알지 못하는 외란 $\overline{h}$를 추정하는 것이다.

$\hat q$이 $q$의 추정치라고 가정하면 적분 슬라이딩 모드 관측기는 식 (8)의 방정식에 기초하여 다음과 같이 설계된다. 먼저 측정가능하지 않은 상태변수 $\dot q$의 추정값을 다음과 같이 가정한다.

(9)

$\dot {\hat {q}} =k_{0}s_{e}+p+\dot e_{si}$

여기서 $k_{0}:=2k$인 양의 상수이고, 적분슬라이딩 평면 $s_{e}$는 다음과 같다.

(10)

$s_{e}=e_{s}+e_{si}$

$e_{s}:=q-\hat q$는 추정에러와 관련된 항이고, $e_{si}$는 다음과 같이 얻어진다.

(11)

$\dot e_{si}=\gamma\tanh(e_{s})$

여기서 $e_{si}(0)=-e_{s}(0)$이고, $p$는 다음과 같이 얻어진다.

(12)

$\dot p =f+gu+\hat{\overline{h}}$

식 (12)에서 추정한 외란 $\hat{\overline{h}}$는 다음과 같이 얻어진다.

(13)

$\hat{\overline{h}}=k_{1}s_{e}+\gamma sgn(S_{e})$

여기서 $k_{1}:=k^{2},\:\gamma =\overline{\gamma}+\underline\gamma ,\:\underline\gamma > 0$이고 슬라이딩 평면 $S_{e}$는 다음과 같이 정의된다.

(14)

$S_{e}=\dot s_{e}+ks_{e}$

정리 1: 식 (8)에서 제시된 동역학 방정식에서 측정가능한 상태변수만을 가지고 식 (9)-식 (14)로 설계된 적분 슬라이딩 모드 관측기를 사용하였을 때 관측기의 슬라이딩 평면은 0으로 수렴하고, 측정 불가능한 상태변수 $\dot q$과 외란 $\overline{h}$의 추정오차 또한 0으로 수렴한다.

식 (10)을 시간에 대해 미분하면 다음과 같다.

(15)

\begin{align*} \ddot s_{e} & =\ddot {q} -\ddot{\hat {q}} +\ddot {e_{si}}\\ & =(f+gu+\overline{h})-(k_{0}\dot {s_{e}}+f+gu+\hat{\overline{h}}+\ddot {e_{si}})+\ddot {e_{si}}\\ & =\overline{h}-k_{0}\dot s_{e}-\hat{\overline{h}} \end{align*}

위의 식은 다음과 같이 정리된다.

(16)

$\ddot s_{e}+k_{0}\dot s_{e}+k_{1}s_{e}+\gamma sgn(S_{e})=\overline{h}$

여기서 리아푸노프 함수를 다음과 같이 설정한다.

(17)

$V=\dfrac{1}{2}S_{e}^{2}$

식 (17)을 시간에 대해 미분하면 다음과 같다.

(18)

\begin{align*} \dot {V } = S_{e}(\ddot {s_{e}}+k\dot {s_{e}})\\ & =-k S_{e}^{2}-\gamma | S_{e}|+\overline{h}\\ & ≤ -k S_{e}^{2}-\underline{\gamma} | S_{e}| \end{align*}

식 (17)에 의해 리아푸노프 함수 $V$는 양의 한정(positive de- finite) 함수가 되고, 식 (18)에 의해 $\dot V$은 음의 한정(negative definite) 함수임이 자명하므로, $S_{e}$는 $S_{e},\:s_{e},\:\dot {s_{e}}\in$ $L_{\infty}$와 $S_{e}\in L_{\infty}$를 만족시킨다. 특히 $S_{e}$는 유한시간내에 0으로 수렴하므로 $e_{s}$와 $\dot {e_{s}}$는 0으로 수렴한다. 따라서 $\hat {q}$과 $\dot{\hat {q}}$는 각각 $q$와 $\hat {q}$에 수렴한다. 식 (15)로부터 $\ddot {s_{e}}=-k_{0}\dot {s_{e}}+\widetilde{\overline{h}}$가 성립한다. $\dot {s_{e}}$이 0으로 수렴하므로 $\widetilde{\overline{h}}$ 또한 점차적으로 0으로 수렴한다. ■

3.2 슬라이딩 모드 제어기 설계

본 절에서는 역진자 시스템을 불안정한 평형점에서 다른 불안정한 평형점으로 위치 제어 및 안정화 제어를 하기 위한 제어기를 설계한다. 제어기를 설계하기 위해 역진자 시스템을 동력원과 직접 연결되어 있는 링크(카트 역진자 시스템의 카트, 회전 역진자 시스템의 첫 번째 막대)와 동력원과 직접 연결되어 있지 않는 링크(카트 역진자 시스템의 막대, 회전 역진자 시스템의 두 번째 막대)로 나누고 이를 각각 Actuated Link, Unactuated Link라 정의한다. 제어하고자 하는 역진자 시스템의 불안정한 평형점은 $(q_{1},\:\dot q_{1},\: q_{2},\:\dot q_{2})=(\ast ,\: 0,\: 0,\: 0)$이다. Actuated Link의 위치와 관계없이 Unactuated Link의 위치는 상단을 향하고 있어야 한다. 이 때, 불안정한 평형점에서 다른 불안정한 평형점으로 위치제어하기 위해서 Actuated Link에 대한 제어기를 설계하고, Actuated Link에 대한 제어기에서 나오는 Unac- tuated Link Reference 값을 Unactuated Link가 추종할 수 있도록 하는 제어기를 설계한다.

3.2.1 Unactuated Link의 위치 제어기 설계

본 절에서는 Unactuated Link의 위치가 Unactuated Link Re- ference의 값을 추종하기 위해서 슬라이딩 모드 제어기를 설계한다. Unactuated Link의 위치를 제어하기 위해서 슬라이딩 평면을 다음과 같이 설정한다.

(19)

$S_{1}= k_{2}(q_{2}-q_{2ref})+k_{3}(\dot q_{2}-\dot q_{2ref})$

여기서 $k_{2},\:k_{3}$는 모두 양수인 상수이며, $q_{2ref}$는 Unactuated Link Reference 값이다. 식 (19)를 시간에 대해 미분하면 다음과 같다.

(20)

\begin{align*} \dot {S_{1}} =k_{2}(\dot {q_{2}}-\dot {q_{2ref}})+k_{3}(\ddot {q_{2}}-\ddot {q_{2ref}}) & = k_{2}(\dot {q_{2}}-\dot {q_{2ref}})+k_{3}(f_{2}(q ,\:\dot {q})+g_{2}(q ,\:\dot {q})f+h_{2}-\ddot {q_{2ref}}) \end{align*}

이 때, Unactuated Link의 위치 제어를 위한 제어입력은 다음과 같이 설계된다.

(21)

\begin{align*} f = \dfrac{1}{g_{2}(q,\:\dot q)}(\ddot q_{2ref}-f_{2}(q,\:\dot q)-h_{2} -\dfrac{k_{2}}{k_{3}}(\dot q_{2}-\dot q_{2ref})-\dfrac{1}{k_{3}}(k_{4}S_{1}+k_{5}\tanh(\dfrac{S_{1}}{\gamma_{1}}))) \end{align*}

여기서 $k_{4},\:k_{5}$는 모두 양수인 상수이다. 일반적인 슬라이딩 모드 제어기법에서는 부호함수를 사용하지만 부호함수를 사용하게 되면, 슬라이딩 평면 근처에서 채터링 현상이 발생하게 된다. 이를 해결하기 위해서 부호함수 대신 sigmoid 혹은 hyber- bolic tangent와 같은 함수들로 대체한다. 이 심해서 본 논문에서는 hyperbolic tangent함수를 사용한다. 본 논문에서는 채터링 문제를 해결하기 위해 hyperbolic tangent 함수를 사용하는데 양의 매개변수 $\gamma_{1}$를 조정해 줌으로써 슬라이딩 표면에서의 채터링 정도와 강인함을 조절할 수 있다.

정리 2: 역진자 시스템의 Unactuated Link에 대해 식 (21) 과 같은 제어입력을 사용하였을 때 Unactuated Link Error는 0으로 수렴한다.

리아푸노프 함수를 다음과 같이 설정한다.

(22)

$V_{1}=\dfrac{1}{2}S_{1}^{2}$

식 (22)를 시간에 대해 미분하면 다음과 같다.

여기서 $k_{4}$는 양수이므로 $\dot V_{1}$이 음의 한정 함수이고 $V_{1}$이 양의 한정 함수이므로 $S_{1}$은 0으로 점근적으로 수렴한다. 따라서 $q_{2}$는 $q_{2ref}$값에 점근적으로 수렴한다. ■

(23)

\begin{align*} \dot {V_{1}} & =S_{1}\dot S_{1}\\ & =S_{1}(k_{2}(\dot {q_{2}}-\dot {q_{2ref}})+k_{3}(f_{2}(q,\:\dot {q})+g_{2}(q,\:\dot {q})f+h_{2}-\ddot {q_{2ref}}))\\ & =S_{1}(-k_{4}S_{1}-k_{5}\tanh(\dfrac{S_{1}}{\gamma_{1}}))\\ & ≤ -k_{4}S_{1}^{2} \end{align*}

3.2.2 Actuated Link의 위치 제어기 설계

본 절에서는 Actuated Link의 위치가 Actuated Link Reference의 값을 추종하기 위한 제어기를 설계한다. 이 때 Actuated Link에 대한 본래의 동역학 방정식을 사용할 경우 제어 입력이 커플링되어 있어 일반적인 방법을 사용할 경우 모든 Link를 제어하는 제어 입력을 구하기 힘들다. 본 논문에서는 Actuated Link를 제어하기 위한 제어 입력으로 Unactuated Link Reference를 생성하여 문제점을 해결한다.

먼저, 식 (21)의 제어 입력을 고려한 시스템에서 식 (5)의 동역학 방정식의 Actuated Link 식은 다음과 같이 정리된다.

(24)

$\ddot {q_{1}}= f_{1}(q,\:\dot {q})+\dfrac{g_{1}(q,\:\dot {q})}{g_{2}(q,\:\dot {q})}(\ddot {q_{2ref}}-f_{2}(q,\:\dot {q})h_{2} -\dfrac{k_{2}}{k_{3}}(\dot {q_{2}}-\dot {q_{2ref}})-\dfrac{1}{k_{2}}(k_{4}S_{1}+k_{5}\tanh(\dfrac{S_{1}}{\gamma_{1}})))+h_{1}$

식 (24)에서 Actuated Link를 제어하기 위한 제어입력으로 고려되는 항과 나머지 항을 나누면 다음과 같이 정리된다.

(25)

$\ddot q_{1}=A(q_{2})+B(q)+C(q,\: h_{1},\: h_{2})$

여기서 $A(q_{2})$는 식 (24)에서 $q_{2}$의 상태변수로만 정리되는 항, $C(q,\: h_{1},\: h_{2})$는 식 (24)에서 시스템 외란을 포함하는 항, $B(q)$는 식 (24)에서 $A(q_{2}),\: C(q,\: h_{1},\: h_{2})$를 제외하고 정리되는 남은 항이다. $A(q_{2})$는 복잡한 비선형 함수로서 역함수를 구하기 힘들어 제어 입력의 근을 찾기가 원할하지 않기 때문에 다음과 같이 동역학 방정식을 근사화한다.

(26)

$\ddot q_{1}=\Omega(q_{2})+B(q)+C(q,\: h_{1},\: h_{2})+E$

$E:=A(q_{2})-\Omega(q_{2})$는 근사화 오차이며 식 (26)은 다음과 같이 정리된다.

(27)

$\ddot q_{1}=\Omega(q_{2})+d(t)$

여기서 $\Omega(q_{2})$는 측정가능한 변수들로 근사화한 역함수가 존재하는 비선형 함수이며, $\Omega(q_{2})$의 함수는 $A(q_{2})$ 함수의 그래프를 확인하고 Trust Region Methods^[27]를 사용하여 근사화하여 얻었다. $d:=B(q)+C(q,\:h_{1},\:h_{2})+E$는 모델 근사화 에러를 포함한 외란으로 3.1절의 관측기를 적용하여 관측한다.

위와 같이 근사화한 동역학 방정식을 바탕으로 Actuated Link의 위치가 Actuated Link Reference 값을 추종하기 위한 슬라이딩 모드 기반 제어기를 설계한다. $q_{1ref}$는 Actuated Link Reference 값이며 상수(constant)이다. 먼저 식 (27)으로 표현되는 동역학 방정식에서 $q_{1}$의 에러를 수렴시키기 위한 슬라이딩 평면을 다음과 같이 설정한다.

(28)

$S_{2} = k_{6}(q_{1}-q_{1ref})+k_{7}(\dot {q_{1}}-\dot {q_{1ref}}) =k_{6}\widetilde {q_{1}}+k_{7}\dot{\widetilde {q_{1}}}$

여기서 $k_{6},\:k_{7}$는 모두 양수인 상수이며, $q_{1ref}$는 Actuated Link Reference 값이다. 식 (28)을 시간에 대해 미분하면 다음과 같다.

(29)

$\dot {S_{2}} =k_{6}(\dot {q_{1}}-\dot {q_{1ref}})+k_{7}(\ddot {q_{1}}-\ddot {q_{1ref}}) = k_{6}(\dot {q_{1}}-\dot {q_{1ref}})+k_{7}(\Omega(q_{2})+d(t)-\ddot {q_{1ref}})$

이 때, Actuated Link를 제어하기 위한 Unactuated Link의 Pseudo 각은 다음과 같이 설계된다.

(30)

$q_{2ref}=\Omega^{-1} \left ( -k_{8} \widetilde {q_{1}}-k_{9}\dot{\widetilde {q_{1}}}+\ddot {q_{1ref}}-|\hat {d} |\tanh \left (\dfrac{S_{2}}{\gamma_{2}} \right ) \right ) $

여기서 $k_{8}=k_{6}/k_{7},\:k_{9}=(k_{6}+k_{7})/k_{7}$이며, $\hat d$은 3.1절에서 설계한 관측기를 이용하여 식 (26)에서 외란을 추정한 값이다.

정리 3: 역진자 시스템의 Actuated Link에 대해 식 (30)와 같은 Unactuated Link Reference를 사용하였을 때 Actuated Link Error는 0으로 수렴한다.

리아푸노프 함수를 다음과 같이 설정한다.

(31)

$V_{2}=\dfrac{1}{2}S_{2}^{2}$

식 (31)을 시간에 대해 미분하면 다음과 같다.

(32)

\begin{align*} \dot {V_{2}} = S_{2}\dot {S_{2}} & =S_{2}(k_{6}\dot{\widetilde {q_{1}}}+k_{7}\ddot{\widetilde {q_{1}}})\\ & =S_{2}(k_{6}\dot{\widetilde {q_{1}}}+k_{7}(\ddot {q_{1}}-\ddot {q_{1ref}}))\\ & =S_{2}(k_{6}\dot{\widetilde {q_{1}}}+k_{7}(\Omega(q_{2})+d(t)-\ddot {q_{1ref}})) \end{align*}

식 (21)의 입력을 사용할 경우 $q_{2}$는 $q_{2ref}$ 값에 점근적으로 수렴하므로 식 (32)는 다음과 같이 정리된다.

(33)

\begin{align*} \dot V_{2}= S_{2}(k_{6}\dot{\widetilde {q_{1}}}-k_{7}k_{8}\widetilde {q_{1}} -k_{7}k_{9}\dot{\widetilde {q_{1}}}-k_{7}|\hat {d} |\tanh(\dfrac{S_{2}}{\gamma_{2}})+k_{7}d(t))\\ = -S_{2}^{2}-k_{7}S_{2}|\hat {d} |\tanh(\dfrac{S_{2}}{\gamma_{2}})+k_{7}S_{2}d(t)\\ = -S_{2}^{2}-k_{7}S_{2}| d |\tanh(\dfrac{S_{2}}{\gamma_{2}}) +k_{7}S_{2}|\widetilde {d} |\tanh(\dfrac{S_{2}}{\gamma_{2}})+k_{7}S_{2}| d | \end{align*}

여기서 $S_{2}$는 균등 유계(Uniformly bounded)이고 이의 종국 유계(ultimately bounded)의 여부는 $\widetilde d$의 값에 종속적인데 $\widetilde d$가 0으로 수렴하므로 $S_{2}$는 0으로 수렴한다. ■

4. 모의 실험

본 장에서는 제안한 관측기 및 제어기의 타당성을 확인하기 위해 역진자 시스템의 제어성능을 검증한다. MATLAB/ Simulink를 이용하여 카트 역진자 시스템과 회전 역진자 시스템 각각에 대한 모의 실험을 진행하였다.

4.1 카트 역진자 시스템의 위치 및 안정화 제어 모의 실험

카트 역진자 시스템 모의 실험에서 사용한 시스템의 모델 파라미터는 표 1에, 관측기 설계 변수는 표 2에, 제어기 설계 변수는 표 3에 나타내었다.

표 1. 카트 역진자 시스템 파라미터

Table 1. Cart inverted pendulum system parameters

$M$	1.1kg	$m$	0.13kg
$l$	0.25m	$g$	9.8m/s²

표 2. 카트 역진자 시스템 모의실험 관측기 설계 변수

Table 2. Observer design parameters in cart inverted pendulum simulation

$k$	10
$\overline{\gamma}$	2
$\underline \gamma$	1

표 3. 카트 역진자 시스템 모의실험 제어기 설계 변수

Table 3. Controller design parameters in cart inverted pendulum simulation

$k_{2}$	3	$k_{3}$	1
$k_{4}$	4	$k_{5}$	4
$k_{6}$	2.1	$k_{7}$	0.9
$\gamma_{1}$	0.5	$\gamma_{2}$	1

본 모의 실험의 목표는 카트 역진자 시스템의 카트 위치와 진자의 각도를 초기 불안정한 평형점 상태$(x=0,\:\theta =0^{\circ})$에서 원하는 목표 위치$(x=1)$로 보내는 동시에 진자의 불안정한 평형 상태를 유지하는 것이다. 이 때 제안된 제어기와 관측기를 사용한 모의 실험의 결과는 그림. 3에 나타내었다. 그림. 3은 카트 위치에 대한 목표 위치 기준값이 주어졌을 때 카트 위치 상태의 변화를 나타내고, 그림. 4는 카트 목표 위치를 추종하기 위한 진자의 각도 기준값과 이를 추종하는 진자의 각도 상태의 변화를 나타내며, 그림. 5에서는 이때 사용된 제어 입력을 나타낸다. 카트 위치 상태가 목표한 값으로 가기 위해 생성된 진자의 각도 기준값에 대해 제어기가 이 값을 추종하도록 하는 제어 입력을 생성해 내었고, 그 결과 카트 위치가 원하는 목표값에 도달한 것을 확인할 수 있었다. 그림. 6은 관측기의 관측값을 나타내는데 그림. 6은 식 (26)의 실제 $d(t)$와 이를 추정한 값, 그림. 7은 실제 카트의 속도와 추정한 카트의 속도 값, 그림. 8은 실제 진자의 각속도와 추정한 진자의 각속도 값을 나타내었으며, 외란 및 상태에 대한 관측 성능이 우수한 것을 확인할 수 있다.

그림. 3. 카트 역진자 시스템 모의실험에서 카트 위치 추종 성능(실선: 제안된 기법, 파선: 기준값)

Fig. 3. Tracking performance of the cart position in cart inverted pendulum (solid: proposed, dashed: reference)

그림. 4. 카트 역진자 시스템 모의실험에서 진자 각도 추종 성능(실선: 제안된 기법, 파선: 기준값)

Fig. 4. Tracking performance of the pendulum angle in cart inverted pendulum (solid: proposed, dashed: reference)

그림. 5. 카트 역진자 시스템 모의실험에서의 제어기 입력

Fig. 5. Controller input in cart inverted pendulum

그림. 6. 카트 역진자 시스템 모의실험에서 관측기 관측 성능(실선: 실제값, 파선: 추정값)

Fig. 6. Disturbance observation performance in the cart inverted pendulum (solid: real, dashed: estimated)

그림. 7. 카트 역진자 시스템 모의실험에서 카트 속도 상태 관측(실선: 추정값, 파선: 실제값)

Fig. 7. Observation performance of the cart velocity in the cart inverted pendulum (solid: estimated, dashed: real)

그림. 8. 카트 역진자 시스템 모의실험에서 진자 각속도 상태 관측(실선: 추정값, 파선: 실제값)

Fig. 8. Observation performance of the pendulum angular velocity in the cart inverted pendulum (solid: estimated, dashed: real)

4.2 회전 역진자 시스템의 위치 및 안정화 제어 모의 실험

회전 역진자 시스템 모의 실험에서 사용한 시스템의 모델 파라미터는 표 4에, 관측기 설계 변수는 표 5에, 제어기 설계 변수는 표 6에 나타내었다.

표 4. 회전 역진자 시스템 파라미터

Table 4. Rotary inverted pendulum system parameters

$L_{1}$	0.192m	$L_{2}$	0.188m
$l_{1}$	0.096m	$l_{2}$	0.094m
$m_{1}$	0.2702kg	$m_{2}$	0.0733kg
$g$	9.8m/s²

표 5. 회전 역진자 시스템 모의실험 관측기 설계 변수

Table 5. Observer design parameters in rotary inverted pendulum simulation

$k$	10
$\overline{\gamma}$	2
$\underline\gamma$	1

표 6. 회전 역진자 시스템 모의실험 제어기 설계 변수

Table 6. Controller design parameters in rotary inverted pendulum simulation

$k_{2}$	3	$k_{3}$	1
$k_{4}$	4	$k_{5}$	4
$k_{6}$	2.1	$k_{7}$	0.9
$\gamma_{1}$	0.5	$\gamma_{2}$	1

본 시뮬레이션의 목표는 회전 역진자 시스템의 첫번째 막대와 두번째 막대가 초기 상태$(\theta_{1}=0^{\circ},\:\theta_{2}=0^{\circ})$에서 원하는 목표 위치$(\theta_{1}=10^{\circ})$로 보내는 동시에 두 번째 막대의 불안정한 평형 상태를 유지하는 것이다. 이 때 제안된 제어기와 관측기를 사용한 모의 실험의 결과는 그림. 9에 나타내었다. 그림. 9는 첫 번째 막대에 대한 목표 각도 위치의 기준값이 주어졌을 때 첫 번째 막대의 각도 위치 상태의 변화를 나타내고, 그림. 10은 첫 번째 막대의 목표 위치를 추종하기 위한 두 번째 막대의 각도 기준값과 이를 추종하는 두 번째 막대의 각도 상태의 변화를 나타내며, 그림. 11에서는 이 때 사용된 제어 입력을 나타낸다. 첫 번째 막대의 각도 위치가 목표한 값으로 가기 위해 생성된 두 번째 막대의 각도 기준값에 대해 제어기가 이 값을 추종하도록 하는 제어 입력을 생성해 내었고, 그 결과 첫 번째 막대의 각도 위치가 원하는 목표값에 도달한 것을 확인할 수 있었다. 그림. 12은 관측기의 관측값을 나타내는데 그림. 12는 식 (26)의 실제 $d(t)$와 이를 추정한 값, 그림. 13은 실제 첫 번째 막대의 각속도와 추정한 첫 번째 막대의 각속도 값, 그림. 14는 실제 두 번째 막대의 각속도와 추정한 두 번째 막대의 각속도 값을 나타내었으며, 외란 및 상태에 대한 관측 성능이 우수한 것을 확인할 수 있다.

그림. 9. 회전 역진자 시스템 모의실험에서 Arm 각도의 위치 추종 성능(실선: 제안된 기법, 파선: 기준값)

Fig. 9. Tracking performance of the arm angle in rotary inverted pendulum (solid: proposed, dashed: reference)

그림. 10. 카트 역진자 시스템 모의실험에서 펜듈럼 각도의 추종 성능(실선: 제안된 기법, 파선: 기준값)

Fig. 10. Tracking performance of the pendulum angle in the rotary inverted pendulum (solid: proposed, dashed: reference)

그림. 11. 회전 역진자 시스템 모의실험에서의 제어기 입력

Fig. 11. Controller input in rotary inverted pendulum

그림. 12. 회전 역진자 시스템 모의실험에서 관측기 관측 성능(실선: 실제값, 파선: 추정값)

Fig. 12. Disturbance observation performance in the rotary inverted pendulum (solid: real, dashed: estimated)

그림. 13. 회전 역진자 시스템 모의실험에서 Arm 각속도 상태 관측(실선: 추정값, 파선: 실제값).

Fig. 13. Observation performance of the arm angular velocity in the rotary inverted pendulum (solid: estimated, dashed: real).

그림. 14. 회전 역진자 시스템 모의실험에서 펜듈럼 각속도 상태 관측(실선: 추정값, 파선: 실제값).

Fig. 14. Observation performance of the pendulum angular velocity in the rotary inverted pendulum (solid: estimated, dashed: real).

5. 결 론

본 논문에서는 비선형 부족구동 시스템 중에서도 역진자 시스템의 위치 및 안정화 제어 방법을 제안했다. 외란이 포함된 역진자 시스템의 동역학 모델을 기반으로 위치 제어를 위해 슬라이딩 모드 기반 제어기를 설계하는 방법들을 다루었다. 구동기와 연결된 구동체의 위치제어를 위한 진자 위치의 기준값을 생성해내는 제어기를 설계하였고, 진자 위치의 기준값을 추종하는 제어기를 설계하였다. 적분 슬라이딩 모드 관측기를 설계함으로써 시스템에 가해지는 외란 및 모델 오차를 추정하여 보상해 주었다. 제안된 제어기가 제시된 기준값을 추종하는 것과 관측기가 외란을 추정하는 것을 이론적으로 증명하였고, 모의실험을 통해 제어기 및 관측기의 추정 성능 및 제어 성능을 확인하였다. 추후 연구에서는 실험을 통해 제안된 제어기법의 성능을 확인하고 다양한 시스템에 적용하는 연구를 진행하는 것이 필요하다.

감사의 글

이 논문은 정부(미래창조과학부)의 재원으로 한국연구재단의 지원을 받아 수행된 연구임(2017R1A2B4009486)

References

N. Seegmiller, A. Kelly, Jun 2016, High-fidelity yet fast dynamic models of wheeled mobile robots, IEEE Transactions on Robotics, Vol. 32, No. 3, pp. 614-625

N. Sun, Y. Fang, H. Chen, B. Lu, Y. Fu, Oct 2016, Slew/translation positioning and swing suppression for 4-DOF tower cranes with parametric uncertainties: design and hardware experimentation, IEEE Transactions on Industrial Electronics, Vol. 63, No. 10, pp. 6407-6418

D. Chwa, Oct 2015, Fuzzy adaptive output feedback tracking control of VTOL aircraft with uncertain input coupling and input-dependent disturbances, IEEE Transactions on Fuzzy Sys- tems, Vol. 23, No. 5, pp. 1505-1518

S. Jeong, D. Chwa, May 2018, Coupled multiple sliding-mode control for robust trajectory tracking of hovercraft with external disturbances, IEEE Transactions on Industrial Elec- tronics, Vol. 65, No. 5, pp. 4103-4113

R. Ortega, M. W. Spong, F. Gómez-Estern, G. Blan- kenstein, Aug 2002, Stabilization of a class of underactuated mechanical systems via interconnection and damping assignment, IEEE Transactions on Automatic Control, Vol. 47, No. 8, pp. 1218-1233

M. Eom, D. Chwa, Apr 2015, Robust swing-up and balancing control using a nonlinear disturbance observer for the pendubot system with dynamic friction, IEEE Transactions on Robotics, Vol. 31, No. 2, pp. 331-343

X. Z. Lai, J. H. She, S. X. Yang, M. Wu, Mar 2008, Control of acrobat based on non-smooth Lyapunov function and com-prehensive stability analysis, IET Control Theory & Appli-cations, Vol. 2, No. 3, pp. 181-191

Z. Zhu, Y. Xia, M. Fu, Oct 2011, Adaptive sliding mode control for attitude stabilization with actuator saturation, IEEE Transactions on Industrial Electronics, Vol. 58, No. 10, pp. 4898-4907

J. Tjønnås, T. A. Johansen, May 2010, Stabilization of automotive vehicles using active steering and adaptive brake control allocation, IEEE Transactions on Control Systems Tech-nology, Vol. 18, No. 3, pp. 545-558

D. Chwa, Man, Tracking control of differential-drive wheeled mobile robots using a backstepping-like feedback linearization, IEEE Transactions on Systems, Vol. , No. , pp. -

D. Chwa, Oct 2016, Robust distance-based tracking control of wheeled mobile robots using vision sensors in the presence of kine-matic disturbances, IEEE Transactions on Industrial Electronics, Vol. 63, No. 10, pp. 6172-6183

A. p. Aguiar, J. p. Hespanha, Aug 2007, Trajectory-tracking and path-following of underactuated autonomous vehicles with parametric modeling uncertainty, IEEE Transactions on Auto-matic Control, Vol. 52, No. 8, pp. 1362-1379

N. Muškinja, B. Tovornik, Apr 2006, Swinging up and stabilization of a real inverted pendulum, IEEE Transactions on Industrial Electronics, Vol. 53, No. 2, pp. 631-639

K. Sakurama, S. Hara, K. Nakano, Jun 2007, Swing-up and stabilization control of a cart-pendulum system via energy control and controlled lagrangian methods, Electrical Engineering in Japan, Vol. 160, No. 4, pp. 24-31

J. Yi, N. Yubazaki, K. Hirota, Aug 2001, Upswing and stabilization control of inverted pendulum system based on the SIRMs dynamically connected fuzzy inference model, Fuzzy Sets and Systems, Vol. 122, No. 1, pp. 139-152

S. Yurkovich, M. Widjaja, Apr 1996, Fuzzy controller synthesis for an inverted pendulum system, Control Engineering Practice, Vol. 4, No. 4, pp. 455-469

T. Yamakawa, Sep 1989, Stabilization of an inverted pendulum by a high-speed fuzzy logic controller hardware system, Fuzzy Sets and Systems, Vol. 32, No. 2, pp. 161-180

Q. Wei, W. p. Dayawansa, W. S. Levine, Jun 1995, Nonlinear controller for an inverted pendulum having restricted travel, Automatica, Vol. 31, No. 6, pp. 841-850

X. Yang, X. Zheng, Sep 2018, Swing-up and stabilization control design for an underactuated rotary inverted pendulum system: theory and experiments, IEEE Transactions on Industrial Electronics, Vol. 65, No. 9, pp. 7229-7238

C. S. Chen, W. L. Chen, Apr 1998, Robust adaptive sliding-mode control using fuzzy modeling for an inverted-pendulum system, IEEE Transactions on Industrial Electronics, Vol. 45, No. 2, pp. 297-306

M. S. Park, D. Chwa, Sep 2009, Swing-up and stabilization control of inverted-pendulum systems via coupled sliding-mode control method, IEEE Transactions on Industrial Electronics, Vol. 56, No. 9, pp. 3541-3555

S. Jung, S. S. Kim, Mar 2008, Control experiment of a wheel-driven mobile inverted pendulum using neural network, IEEE Transactions on Control Systems Technology, Vol. 16, No. 2, pp. 297-303

W. F. Xie, Jun 2007, Sliding-mode-observer-based adaptive control for servo actuator with friction, IEEE Transactions on Industrial Electronics, Vol. 54, No. 3, pp. 1517-1527

W. H. Chen, Dec 2004, Disturbance observer based control for non-linear systems, IEEE/ASME Transactions on Mechatronics, Vol. 9, No. 4, pp. 706-710

W. H. Chen, D. J. Balance, p. J. Gawthrop, and J. O’Reilly, Aug 2000, A nonlinear disturbance observer for robotic manipulators, IEEE Transactions on Industrial Electronics, Vol. 47, No. 4, pp. 932-938

I. Fantoni, R. Lozano, 2001, Non-linear Control for Under-actuated Mechanical Systems, New York: Springer-Verlag

W. Sun, Y. X. Yuan, 2006, Optimization Theory and Methods, New York: Springer-Verlag

저자소개

허준서(Junseo Heo)

Junseo Heo received the B.S. and M.S. degrees in electrical and computer engineering from Ajou Uni- versity, Suwon, Korea, in 2017 and 2019, respectively, where he is currently working toward the Ph.D. degree.

Tel : 031-219-2489

Fax : 031-212-9531

E-mail : hjs1994@ajou.ac.kr

좌동경(Dongkyoung Chwa)

Dongkyoung Chwa received the B.S. and M.S. degrees in control and instrumentation engineering and the Ph.D. degree in electrical and computer engineering from Seoul National University, Seoul, Korea, in 1995, 1997, and 2001, respectively. Since 2005, he has been with the Department of Electrical and Computer Engineering, Ajou University, Suwon, Korea, where he is currently a Professor.

Tel : 031-219-1815

Fax : 031-212-9531

E-mail : dkchwa@ajou.ac.kr

KIEEThe Transactions ofthe Korean Institute of Electrical Engineers

The Transactions of the Korean Institute of Electrical Engineers

ISO Journal TitleTrans. Korean. Inst. Elect. Eng.

Journal Search

Journal XML

Journal Information

Position and Stabilization Control of Inverted Pendulum Systems using Sliding Mode based Control and Observer

Abstract

Key words

1. 서론

2. 3차원 포물체의 운동 방정식

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

2.1 카트 역진자 시스템의 동역학 모델

(6)

2.2 회전 역진자 시스템의 동역학 모델

(7)

3. 슬라이딩 모드 기반 관측기 및 제어기 설계

3.1 적분 슬라이딩 모드 관측기 설계

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

3.2 슬라이딩 모드 제어기 설계

3.2.1 Unactuated Link의 위치 제어기 설계

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

3.2.2 Actuated Link의 위치 제어기 설계

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

4. 모의 실험

4.1 카트 역진자 시스템의 위치 및 안정화 제어 모의 실험

4.2 회전 역진자 시스템의 위치 및 안정화 제어 모의 실험

5. 결 론

감사의 글

References

저자소개

허준서(Junseo Heo)

좌동경(Dongkyoung Chwa)

Article Information (continued)

Key words

KIEEThe Transactions of
the Korean Institute of Electrical Engineers