1. 서 론

히스테리시스 전동기는 반 경질 재료로 구성된 회전자를 가지고 있다. 이 모터에 3상 전압을 인가하여 생성된 회전 자계에 의하여 회전자는 자화된다. 이는 경질 재료의 회전자를 가지고 있는 여타 동기기와 달리 자기동을 가능하게 한다. 이 특성에 의하여 히스테리시스 전동기의 출력은 회전자의 B-H 루프 면적이 된다. 전압은 자속밀도와 비례하고 전류는 자계 세기에 비례하기 때문이다. 이는 히스테리시스 전동기의 동적 해석에 매우 중요하게 사용된다. 히스테리시스 전동기 동적해석에서는 일반적으로 dq0 변환을 이용하여 각종 파라미터를 결정하게 된다. 이 때 입력되는 전압에 의해 결정된 전동기의 출력과 B-H 루프의 면적을 비교한다. 이 과정에 있어 회전자의 B-H 루프 특성을 측정해야 하며 동적 해석에 적용해야 한다. 이는 동적 해석과정이 매우 복잡해짐을 의미한다.

히스테리시스 전동기의 동적해석 과정 중 B-H 루프의 결정은 매우 난해한 문제이다. 이 전동기의 출력은 B-H 루프의 면적에 의하여 결정된다. 전동기의 출력은 전동기가 정상 상태에 돌입하기 전까지 일정하지 않다. 이 때 시뮬레이션에 사용될 B-H 루프, 즉 출력을 결정하기란 쉬운 일이 아니다. 이와 같은 문제로 인하여 과거에는 히스테리시스 전동기의 동기 진입 순간의 해석인 정적 상태 해석이 진행되었었다 ⁽¹⁾. 하지만 히스테리시스 전동기는 기동 후 정상 상태에 진입 하는 순간까지의 특성이 중요한 분야에 사용되는 전동기이다. 따라서 실질적인 전동기의 기동 특성을 확인하기 위한 히스테리시스 전동기의 동적 해석에 관한 연구들이 진행되었었다 ^(2~3). 하지만 이 연구들에서는 B-H 루프의 변화가 고려되지 않았다. 히스테리시스 전동기의 기동 동작시 출력의 변화가 가장 명확하게 발생되는 곳은 동기 진입 후이다. 동기 속도 진입 전까지 전동기는 관성 부하만큼의 에너지를 추가로 요구한다. 반면에 동기 속도 진입 후 관성 부하가 사라지게 된다면 전동기의 출력은 관성 부하에 요구되는 에너지만큼 감소되게 된다. 이는 B-H 루프의 면적이 감소됨을 의미한다.

본 논문에서는 더욱 실용적인 히스테리시스 전동기의 동적 해석을 위하여 동기 진입 후의 루프 변화를 시뮬레이션 하는 연구가 진행된다. 동기 속도 진입 후의 B-H 루프의 변화를 시뮬레이션하기 위하여 역 프라이자흐 모델을 이용한다. 이는 동기 속도 진입 전 B-H 루프에서 동기 속도 진입 후의 자속 밀도 값을 향해 마이너 루프를 그리는 것으로 구현된다. 또한 동기 속도 진입 후의 루프 변화를 설명하는 ⁽⁴⁾의 개념을 컴퓨터 시뮬레이션으로 구현한 ⁽⁵⁾의 방식과 역 프라이자흐 모델을 이용하는 방식과의 비교를 통하여 타당성을 보일 것이다. 두 방식간의 비교는 선행 연구된 ⁽⁶⁾의 실험 결과를 토대로 작성된 히스테리시스 전동기의 동적 해석 결과와의 비교를 통하여 진행된다.

2. 히스테리시스 전동기의 기동 특성

히스테리시스 전동기의 출력은 B-H 루프의 면적에 비례한다. 전동기의 출력은 전압과 전류의 곱으로 구해진다. 전동기 고정자에 인가되는 전압은 회전자에 자속을 유도하고 고정자에 흐르는 전류는 회전자에 자계 세기를 유도한다. 이 관계를 통하여 한 주기 동안의 전압과 전류의 곱이 한 주기 동안의 자속과 자계 세기의 곱과 비례함을 알 수 있다. 한 주기 동안의 자속과 자계 세기의 곱은 B-H 루프의 면적을 의미한다. 전동기의 출력은 부하와 속도의 곱으로도 구해진다. 전동기는 동기 속도에 진입 전 까지 관성 부하를 가지게 된다. 부하는 전동기에 흐르는 전류에 비례한다. 동기 속도에 진입한 후 관성 부하가 사라지게 된다면 전동기에 흐르는 전류의 양이 감소된다. 인가해주는 전압이 일정하기 때문에 전동기의 출력은 감소된다. 그림 1은 ⁽⁶⁾의 연구에서 확인한 히스테리시스 전동기의 기동시 출력을 보여준다.

그림. 1. 히스테리시스 전동기의 출력 변화

Fig. 1. Output variance of hysteresis motor

그림 1을 보면 1.476초에 동기 속도에 진입하는 것을 확인할 수 있다. 동기 진입 전까지 출력이 감소하는 이유는 와전류에 의한 출력이 제거되기 때문이다. 히스테리시스 전동기는 동기기이지만 동기 속도 진입 전까지는 유도기와 비슷한 특성을 가진다. 그림 2는 ⁽⁶⁾에서 히스테리시스 전동기 동적 해석에 사용된 등가 회로를 보여준다. 그림 2에서 $R_{s}$는 고정자 저항 $X_{ls}$는 고정자 리액턴스를 의미한다. $X_{m}$은 자화 리액턴스를 의미한다. $R_{e}$는 와전류 저항을 의미하며 $R_{h}$는 회전자 저항 $X_{h}$는 회전자 리액턴스를 의미한다. 고정자의 임퍼던스는 측정할 수 있는 값들이다. 하지만 $R_{h}$와 $X_{h}$는 (1)과 (2)를 통하여 계산되는 값이다.

그림. 2. 히스테리시스 전동기 등가회로

Fig. 2. Equivalent circuit of hysteresis motor

여기서 $m$은 상수를 의미하며 $\omega_{b}$는 회전 자계의 각속도를 의미한다. $K_{W}$는 권선 계수를 의미하며 $N_{W}$는 권선 수를 의미하고 $V_{r}$은 회전자 전압을 의미한다. $r_{r}$은 회전자의 반경을 의미하며 $\delta$는 B-H 사이의 위상각을 의미한다. 회전자 파라미터를 계산하는 곳에 사용되는 $\delta$는 동기 속도 진입 후 변화하게 된다. 입력 전압이 정현파일 때 페러데이 법칙에 의하여 자속과 전압 사이의 위상각은 90도가 된다. 암페어 주회법칙에 의하여 고정자 전류로부터 유도되는 자계 세기와 고정자 전류 사이의 위상각은 일정하다. 동기 속도 진입 후 관성 부하가 사라지기 때문에 전동기의 출력은 감소된다. 전동기의 출력이 감소되기 위해서는 고정자 전압과 전류 사이의 위상각이 증가하여 무효 전력 성분이 증가되어야 한다. 즉, B-H 사이의 위상각인 $\delta$는 감소된다. 히스테리시스 전동기의 출력은 B-H 루프 면적에 비례하기 때문에 B-H 사이의 위상각이 90도 일 때 최대가 된다. $\delta$가 감소되었다는 것은 출력이 감소되었다는 것을 의미한다. 위의 관계를 통하여 선간 전압과 상전류의 위상을 통해 B-H 사이의 위상각 $\delta$를 계산할 수 있다. 그림 3은 ⁽⁶⁾에서 측정된 선간 전압에 대한 상전류의 위상차를 보여준다.

그림. 3. 선간 전압과 상전류 사이의 위상각

Fig. 3. Phase difference between line-line voltage and phase current

그림 3을 통해 $\delta$는 실제로 변경된다는 것이 확인되었다. 실제 현상을 정확히 해석하기 위해서는 동기 진입 후 변경되는 $\delta$에 따른 루프를 계산할 수 있어야 된다. 이어지는 장에서는 동기 진입 후의 루프를 해석하기 위한 이전 연구들에 대한 설명이 이어진다.

3. 관련 연구들

히스테리시스 전동기의 동적 해석에서 B-H 루프의 면적은 출력을 결정하는 중요한 요소이다. 하지만 이전의 연구들에서는 동기 진입 후의 루프 변화를 고려하지 않았다. Nitao의 논문에서는 이전의 연구들과 달리 동기 진입 후의 루프 변화가 고려되었다 ⁽⁷⁾. 그림 4는 ⁽⁷⁾에서 고려된 동기 진입 후의 루프의 변화를 보여준다. ⁽⁷⁾에서 제안된 루프의 경우 동기 진입 후 면적은 감소하지만 투자율은 변화지 않는다. 이는 동기 진입 후 루프의 물리적인 특성을 어느 정도 반영하였지만 실제 동기 속도 진입 후의 루프 변화와는 다르다.

그림. 4. Nitao 모델에 의한 동기 속도 진입 후 루프의 변화

Fig. 4. Loop changes after entering synchronous speed by Nitao’s model

그림. 5. 선행 연구에 의한 동기 속도 진입 후 루프의 변화

Fig. 5. Loop changes after entering synchronous speed in previous research

선행 연구를 통하여 동기 진입 후 B-H 루프는 면적이 감소되고 투자율이 변화된다는 것이 확인되었다 ⁽⁶⁾. (1)~(2)를 통하여 투자율은 동적 해석에서 파라미터 값을 결정하는 것에 사용된다는 것을 알 수 있다. 실질적인 시뮬레이션을 위해서는 변화되는 투자율을 고려하여야 한다. 그림 5는 선행 연구를 통하여 확인된 루프의 변화를 보여준다.

그림 4와 5에서 B-H 루프를 타원 등가 루프로 변환하는 것은 B와 H 사이의 직교성에 의하여 면적이 동일하기 때문에 계산의 편의성이 증대하기 때문이다. 이는 그림 3의 실제 B-H 루프의 위상각과 히스테리시스 동적 시뮬레이션 결과를 비교하여 얻은 결론이다. 투자율을 변경시키지 않고 동적 시뮬레이션을 진행한다면 동기 진입 순간이 실제 결과보다 늦게 되며 헌팅 현상의 진폭 또한 실제보다 크게 계산되어진다. 실제 현상과 맞는 시뮬레이션의 결과는 동기 진입 후 루프의 면적과 투자율을 동시에 변경시켰을 때 출력되는 것이 확인되었다.

⁽⁴⁾는 동기 속도 진입 후의 루프 변화의 개념에 대하여 현실적으로 설명하였다. 앞 서 설명하였듯이 동기 속도 진입 후 자속 밀도와 자계 세기 사이의 위상은 감소된다. 이 동기 진입 후 변화되는 위상각($\delta$)은 전동기의 특성에 따라 달라진다. 하지만 $\delta$만큼 위상각이 변화된다는 것을 알고 있다면 동기 속도 진입 후의 자속 밀도 혹은 자계 세기를 계산할 수 있음을 의미한다. 실제로 전동기 회전자의 자속 밀도는 자계 세기에 의하여 유도되기 때문에 입력이 자계 세기이고 출력이 자속 밀도인 시스템이지만 일반적으로 전동기에 인가하는 전원은 전압원이기 때문에 전압을 이용하여 계산을 하는 것이 관례이다. 따라서 ⁽⁴⁾에서도 동기 진입 전 자속 밀도($B$)를 $\delta$만큼 위상 천이 시킨 동기 진입 후 자속 밀도($B^{'}$)을 이용한다. $B$는 입력 전압에 비례하는 값이기 때문에 쉽게 계측할 수 있는 값이다. $B^{'}$ 또한 $B$를 통하여 쉽게 계산할 수 있다. ⁽⁴⁾에서는 $B$에서의 극값인 $B_{m}$과 $B_{m}$에서 $\delta$만큼 멀어진 값인 $B_{m}^{'}$을 이용한다. 이 두 값을 동기 속도 진입 전 B-H 루프에 표시한 뒤 두 점 사이를 잇는 선을 그린다. 이 선의 기울기를 동기 속도 진입 후 변경되는 루프의 이동 경로로 이용한다. 계산된 $B_{m}$과 $B_{m}^{'}$ 사이의 기울기를 가지는 직선을 동기 속도 진입 전 루프에서 한 자속 밀도 지점에서 그려 X축의 값이 그 자속 밀도와 $\delta$만큼 위상차이가 나는 값을 찾는다. 그 때의 Y축 값이 동기 속도 진입 후의 자계 세기의 값이 된다. 이 과정을 동기 속도 진입 전 루프의 모든 지점에서 반복하여 동기 진입 후 루프를 계산한다. 그림 6은 ⁽⁴⁾의 동기 속도 진입 후 루프 변화 계산의 개념을 보여준다.

이 방식은 동기 진입 후 루프 변화의 개념에 대하여 간략하게 설명을 할 수 있지만 두 가지의 문제점이 있다. 첫 째로 이 방식은 작도를 통해 진행되는 방식이다. ⁽⁴⁾에서 Kataoka는 동기 속도 진입 후 루프의 변화를 컴퓨터 시뮬레이션으로 구현한 것이 아닌 기울기를 사람 손으로 직접 계산하는 방식을 제안했다. 이는 ⁽⁴⁾의 연구가 진행된 시기를 고려하였을 때 타당한 문제이다. 동기 속도 진입 후 루프의 컴퓨터 시뮬레이션에 적용하기 위하여 ⁽⁵⁾에서 이 ⁽⁴⁾의 방식을 컴퓨터 시뮬레이션으로 적용시키는 연구가 진행되었다. ⁽⁵⁾의 연구를 통하여 ⁽⁴⁾의 방식은 동기 속도 진입 후 루프의 투자율 변화를 고려할 수 있음이 확인되었다. 두 번째 문제점으로 이 방식에서는 동기 속도 진입 후의 루프를 계산할 때 자속 밀도 및 자계 세기의 변화를 직선으로 가정하였다. 일반적인 상황에서 자속 밀도와 자계 세기의 변화는 비 선형성을 갖는다. 통상적으로 확인하는 B-H 루프의 모형 또한 비 선형성에 의하여 생성된 모형이다. 현재 자속 밀도와 자계 세기의 값을 고려하지 않고 자속 밀도와 자계 세기의 값이 선형적으로 변화될 것이라고 가정하는 것은 문제가 있다. 따라서 이 문제점을 해결하고 더욱 현실적인 루프 변화를 계산할 수 있는 알고리즘의 개발이 필요하다.

그림. 6. 동기 속도 진입 후 루프 변화의 개념

Fig. 6. Concept of Loop Variance After Synchronous Speed

4. 역 프라이자흐 모델을 이용한 동기 속도 진입 후 루프 시뮬레이션

⁽⁴⁾의 방식은 동기 속도 진입 후 루프의 면적 변화와 투자율의 변화를 고려할 수 있으나 계산을 하는 과정에서 자속 밀도와 자계 세기 변화의 선형성을 가정하기 때문에 이를 실질적인 루프 시뮬레이션이라고 하기는 어렵다. 자속 밀도와 자계 세기의 비 선형성을 고려하여 루프를 계산하기 위해서 일반적으로 프라이자흐 모델을 이용한다. 프라이자흐 모델은 자계 세기를 입력으로 받아 이력 상태를 고려하여 자속 밀도를 출력하는 모델이다. 이 모델을 이용하여 B-H 루프의 메이저 루프와 마이너 루프를 현실적으로 계산할 수 있다. 앞 서 언급하였듯이 전동기의 입력은 일반적으로 전압이기 때문에 히스테리시스 동적 해석에 적용하기 위하여 자속밀도를 입력으로 하고 출력을 자계 세기로 하는 역 프라이자흐 모델을 이용한다. 역 프라이자흐 모델은 실제 자속밀도와 자계 세기를 조금씩 변화시켜가며 프라이자흐 모델을 통해 출력되는 자속 밀도를 비교해가며 두 값이 동일해질 때 까지 계산을 반복하는 모델이다. 동기 속도에 진입하기 전 자속 밀도와 동기 속도에 진입 한 후의 자속 밀도는 쉽게 구할 수 있는 값이다. 동기 속도에 진입하기 전 자속 밀도와 자계 세기는 메이저 루프를 계산함에 따라 자연스럽게 얻어진다. 즉, 역 프라이자흐 모델을 통하여 계산하고자 하는 값은 동기 속도 진입 후의 자계 세기($H^{'}$)이다. 역 프라이자흐 모델을 이용한다면 자속 밀도의 변화에 따른 자계 세기의 변화를 마이너 루프를 통하여 계산할 수 있고 이는 자계 세기의 변화가 선형성을 갖는다는 가정을 한 ⁽⁴⁾의 방식보다 더욱 실질적인 동기 속도 진입 후 루프 시뮬레이션이 될 것이다.

역 프라이자흐 모델을 이용한 동기 속도 진입 후 루프 시뮬레이션의 과정은 다음과 같다. 우선 계산하고 하는 회전자의 B-H 루프의 메이저 루프를 역 프라이자흐 모델을 통하여 계산한다. 이 때 메이저 루프의 시뮬레이션은 두 주기 이상을 한다. 이는 초기자화 곡선을 무시하기 위함이다. 동기 속도 진입 직전의 루프는 이미 수 주기의 반복이 진행된 후 이기 때문에 초기 자화 곡선을 계산에 고려할 필요는 없다. 두 주기 이상의 메이저 루프 시뮬레이션이 완료되면 그 다음 스텝의 자속 밀도 값에서의 자계 세기 값을 변경시켜가며 프라이자흐 모델을 통하여 출력된 자속 밀도의 값이 $\delta$만큼의 위상이 차이나는 값이 나올 때 까지 계산을 반복한다. 자계 세기의 값은 $B$가 $B^{'}$보다 큰 구간에서는 감소시키며 반대의 경우 증가시킨다. 이 때 자계 세기를 변화시켜가며 출력하는 자속 밀도가 정확히 $B^{'}$값과 일치되기는 어렵다. 따라서 자속 밀도의 변화 수준을 고려하여 허용 오차를 설정한다. 이 때 허용 오차는 $10^{-5}$ [T]로 설정되었다. 허용 오차값이 작을수록 계산의 정확도는 높아진다. 하지만 자계 세기를 변화시킴에 따라 출력되는 자속 밀도의 정밀도가 이를 따라오지 못할 수 있다. 즉, 출력되는 자속 밀도의 값이 허용 오차를 만족하지 못하고 계산 하고자 하는 $B^{'}$값을 지나칠 수 있다는 것이다. 이는 프라이자흐 모델의 계산을 위해 작성된 에버렡 테이블의 분해능에 의한 문제이다. 이 문제점을 해결하기 위하여 허용 오차를 만족하지 못하는 경우 선형 보간을 통하여 $B^{'}$의 값을 계산한다. 만약 $B$가 $B^{'}$보다 큰 구간에서 출력된 자속 밀도가 $B^{'}$과의 허용 오차를 넘어가고 $B^{'}$보다 작다면 계산된 자속 밀도와 바로 그 직전의 스텝에서의 출력된 자속 밀도 사이를 선형 보간한다. 자속밀도와 자계 세기는 비 선형성을 가지고 있지만 매우 짧은 순간에서는 선형 보간을 하는 것이 가장 성능이 좋다. 선형 보간을 통하여 $B^{'}$과 가장 유사한 값을 갖는 자계 세기의 값을 저장한다. 출력된 자속 밀도가 허용 오차이내라면 그 때의 자계 세기 값을 저장한다. 그림 7은 제안된 방식의 개념을 보여주며 그림 8은 제안된 방식의 순서도를 보여준다.

그림. 7. 역 프라이자흐 모델을 이용한 동기 속도 진입 후 루프 시뮬레이션의 개념

Fig. 7. Concept of Loop Variance After Synchronous Speed Using Inverse Preisach Model

그림. 8. 역 프라이자흐 모델을 이용한 동기 속도 진입 후 루프 시뮬레이션의 순서도

Fig. 8. Flowchart of Loop Variance After Synchronous Speed Using Inverse Preisach Model

여기서 $F$는 자속밀도의 최대값이며 $B_{cal}^{'}$은 역 프라이자흐 모델을 통해 계산된 자속 밀도값이다.

5. 시뮬레이션 결과 비교

본 장에서는 3장에서 설명된 ⁽⁵⁾의 방식에 의한 시뮬레이션과 역 프라이자흐 모델을 이용한 시뮬레이션 결과 비교가 진행된다. 표 1은 실험에 사용된 시뮬레이션 파라미터들을 보여준다. 이 파라미터들에서 자속 밀도와 자계 세기 등은 B-H 트레이서를 통하여 측정된 값들이며 권선 저항 및 인덕턴스는 계측 장비를 통해 실측된 값들이다. 자화 의존 계수 및 허용 오차들은 시뮬레이션 값을 실측값과 비교해가며 조정된 파라미터들이다.

표 1의 전동기 파라미터들은 ⁽⁶⁾에서 사용된 실제 히스테리시스 전동기의 파라미터들이다. 메이저 루프 계산시의 허용오차가 마이너 루프 계산시의 허용오차보다 큰 이유는 마이너 루프 계산시의 자속 밀도의 변화가 더욱 작기 때문이다. 그림 9는 $\delta$가 2.5$^{\circ}$일 때의 ⁽⁵⁾의 방식(카타오카 방식)과 역 프라이자흐 모델을 이용하였을 때의 동기 속도 진입 후 루프 출력을 보여준다. 그림 10은 $\delta$가 2.5$^{\circ}$일 때의 각 방식에서의 동기 속도 진입 후의 루프로 이동하는 경로를 보여준다. 그림 11은 각 모델에서 $\delta$를 0~5$^{\circ}$ 까지 변경시켜가며 출력한 동기 속도 진입 후 루프 출력이다. 그림 9를 보면 카타오카 모델을 이용한 경우의 출력이 역 프라이자흐 모델을 이용하였을 때의 비하여 매우 작은 것이 확인된다. 이는 카타오카의 방식은 자속 밀도 변화의 선형성을 가정하였기 때문에 발생하는 현상이다.

그림. 9. 동기 속도 진입 후 루프 시뮬레이션 출력($\delta$=2.5$^{\circ}$)

Fig. 9. Loop variance after synchronous Speed ($\delta$=2.5$^{\circ}$)

$B_{m}$과 $B_{m}^{'}$ 의 차이는 매우 작다. 하지만 동기 속도 진입 전 자속밀도의 값이 0이 되는 지점에서의 동기 속도 진입 전 자속밀도와 동기 속도 진입 후의 자속 밀도의 차이는 상대적으로 매우 크다. 이 변화량을 제대로 고려하지 않고 같은 기울기를 이용하여 루프를 계산하기 때문에 상대적으로 매우 작은 루프가 출력되는 것이다. 그림 1에서 확인된 동기 진입 후 히스테리시스 전동기의 출력 변화의 비는 80.56%이다. 앞 서 언급하였듯이 루프의 면적은 전동기의 출력과 비례하고 카타오카의 방식은 가시적으로도 이 비율과 다르다는 것을 알 수 있다. 반면에 그림 10(a)를 통해 역 프라이자흐 모델을 이용할 경우 자속 밀도의 값에 따라 마이너 루프의 기울기가 달라지는 것을 확인할 수 있다. 이는 카타오카 방식에 비하여 더욱 현실적인 결과이다. 그림 11을 통하여 카타오카 모델을 이용하였을 때 $\delta$변화에 따라 매우 선형적인 루프 면적의 변화를 확인할 수 있다. 하지만 카타오카 방식을 이용하였을 때 $\delta$가 3.5도 일 때 음의 면적이 출력된다. 회전자계보다 회전자가 더 앞서게 되면 마이너루프는 음이 될 수 있지만 실험에 사용된 히스테리시스 전동기의 출력과는 다르다. 이는 카타오카 방식에서 동기 진입 후의 루프를 계산하기 위한 기울기를 결정하는 방법이 모호하기 때문이다. 동기 진입 전 루프의 극 값에서 얻는 기울기는 자속 밀도 사이의 크기 차이가 매우 작고 자계 세기 사이의 크기 차이는 상대적으로 매우 크기 때문에 투자율은 매우 작아진다. 카타오카 방식에서는 동기 진입 후 루프 계산 시 최초에 구해진 하나의 기울기만을 이용하기 때문에 루프의 투자율이 매우 작은 경우 자속 밀도 사이의 차가 상대적으로 큰 구간에서 음의 출력을 발생시킬 수 있다. 반면에 역 프라이자흐 모델을 이용하였을 때 $\delta$ 변화에 대하여 루프의 변동은 상당히 선형적이라는 것이 확인된다. 위의 시뮬레이션의 결과를 통하여 실질적인 루프 시뮬레이션의 첫 번째 충족요건인 루프 면적의 변화에 대하여 확인하였다. 하지만 실질적인 루프 시뮬레이션은 루프의 투자율 변화까지 고려할 수 있어야한다. 그림 12는 위의 각 방식을 이용하였을 때의 $\delta$변화에 따른 투자율 및 루프 면적의 값들을 보여준다.

그림. 10. 동기 진입 후 마이너 루프 시뮬레이션($\delta$=2.5$^{\circ}$)

Fig. 10. Minor loop simulation after entering synchronous speed($\delta$=2.5$^{\circ}$)

그림. 11. $\delta$ 변화에 따른 동기 속도 진입 후 루프 시뮬레이션

Fig. 11. Loop simulation after entering synchronous speed for $\delta$

그림. 12. $\delta$가 0~5$^{\circ}$로 변화시 투자율 및 루프 면적의 변화

Fig. 12. Permeability and loop area change when $\delta$ is changing between 0~5$^{\circ}$

그림 12를 통하여 두 방식 모두 투자율의 변화와 루프 면적의 변화를 고려할 수 있음이 확인되었다. ⁽⁷⁾에서 제안한 것과 달리 ⁽⁶⁾에서 확인된 투자율의 변화를 두 방식 모두 충족시킨다. 하지만 카타오카 모델을 이용하였을 때의 루프 면적 변화는 실제 값과 차이가 상당히 나는 것이 확인된다. 그림 3의 실험 데이터로부터 동기 진입 후의 $\delta$는 3.4$^{\circ}$정도의 값을 가지고 있다. 카타오카 모델의 출력은 400정도로 그림 1의 출력 값인 6100과 큰 차이를 갖는다. 반면에 역 프라이자흐 모델을 이용하였을 때의 루프 면적은 동기 진입 시의 $\delta$인 3.4$^{\circ}$거의 유사한 값을 보이는 것으로 확인된다. 투자율의 경우 두 방식 모두 $\delta$가 증가함에 따라 증가되는 것이 확인된다. 카타오카 방식의 투자율의 경우 매우 선형적으로 증가되지만 프라이자흐 모델의 경우는 선형이라고 보기 어렵고, 약간 불규칙하다. 이는 실험에서 측정된 에버렡 함수자체의 분해능의 문제와 미세한 자속 밀도 변화에도 자계 값의 크기가 크게 달라질 수 있는 문제가 복합적으로 영향을 끼친 것으로 판단된다. 하지만 이 문제들은 루프 면적을 구하는 관점에서의 해석에는 심각한 영향을 주지 않는다. 루프의 면적은 자계 세기의 기본파를 추출한 타원 등가를 이용하여 계산하기 때문에 상대적으로 계산에서 생기는 고조파 성분에 대한 영향이 적다. 따라서 더욱 현실적인 히스테리시스 전동기 동적 해석을 위한 동기 속도 진입 후 루프 시뮬레이션에는 역 프라이자흐 모델을 적용하는 것이 더욱 타당하다고 생각한다.

6. 결 론

히스테리시스 전동기는 동기 속도에 진입 후 관성이 없어진 부하에 맞추어 루프가 작아지게 된다. 동기 진입 후 루프 시뮬레이션을 위하여 카타오카는 자속 밀도의 변화를 선형적이라는 가정을 하여 개념을 제시하였지만 히스테리시스 마이너루프의 비선형성을 일정 기울기의 선형으로 간주하여 실제 전동기의 루프 변화를 제대로 고려하기 곤란하다. 본 연구에서는 역 프라이자흐 모델을 이용하여 전동기 동기 진입후 루프의 변화를 실질적으로 고려하였다. 즉, 히스테리시스 모터가 동기 속도에 진입하면 회전자 링의 각 위치 또는 루프 각 위치에서 부하가 변동하는 것에 맞춰 자속밀도와 자계세기의 위상차 변화하고 이에 대한 마이너루프를 역 프라이자흐 모델을 이용하여 시뮬레이션할 수 있었다. 이로부터 본 시뮬레이션에 사용된 히스테리시스 전동기의 부하각 $\delta$의 변화는 실험으로부터 약 3.4$^{\circ}$정도이며, 이 때의 루프면적은 실험과 거의 일치하여 역 프라이자흐 모델을 이용한 경우 루프의 변동을 잘 설명할 수 있음을 보였다. 제안된 방법이 히스테리시스 전동기의 동기 진입 후의 동특성 해석에 범용적으로 적용된다면 히스테리시스 전동기 동적해석에서의 루프의 변동 면적을 고려하여 동기 진입후의 동특성을 계산하는데 더욱 실질적인 도움이 될 것으로 기대된다.