1. 서 론
시간 지연은 실제 시스템에서는 피할 수 없는 존재이기고 또한 시스템의 안정성에도 지대한 영향을 미치기에, 지난 수십 년 동안 이론 및 응용에서 매우
활발히 다루어진 분야이다[11,16,17].
다음으로 기술되는 시변 시간지연을 갖는 시간지연 선형 시스템을 생각하자.
여기서 $x(t)\in R^{n}$은 시스템의 상태, $A ,\: A_{1}\in R^{n\times n}$은 상수 시스템 행렬들, $\phi(\theta)$는
상태의 초기 조건, 그리고 시변 시간 지연 $d(t)$는 다음을 만족한다.
시간 지연
(2)를 갖는 시스템
(1)의 안정성을 보장하는 좀 더 나은 조건을 구하기 위해 다음의 세 가지 요인이 중심 요소이다: (i) 적당한 Lyapunov-Krasovskii 함수(LKF)의
선정. (ii) 적당한 적분 부등식의 선정. (iii) LMI형태로의 변환. 특히 적분 부등식의 경우 많은 진보가 있어왔다. 초기의 Jensen 부등식
[17]으로 시작하여 Wirtinger 부등식 기초한 적분부등식
[2]의 출현으로 많은 진보가 있었고, 이어 Bessel-Legendre 부등식에 기초한 적분부등식
[5]의 출현으로 더 많은 진보가 있었다. 그 외에 reciprocally convex 부등식
[1]과 이를 4개의 추가 변수를 이용한 적분부등식
[5], 그리고 Free-weighting matrices 적분부등식
[4]등이 안정성 해석에 많은 기여를 하였다.
또한, 고차의 Bessel-Legendre 부등식에 기초한 적분부등식[10]을 사용하거나, LKF에 포함된 특수 항으로 인하여 LKF의 시간 미분 항이 음이 되는 LMI 조건에 시간지연 $d(t)$에 대한 affine 함수
형식, 즉 $d(t)X_{1}+ X_{0}\le 0$, 이 아닌 2차 다항식 형식, 즉 $d^{2}(t)X_{2}+ d(t)X_{1}+ X_{0}\le
0$, 의 조건이 요구되어 이에 대한 충분조건이 제시되었다[6]. 또한 이를 개선하기 위한 여러 시도가 있었고, 최근에는 이의 필요충분조건이 제시되어[12-14] 안정성에 좀 더 개선이 이루어졌다.
본 논문에서는 첫째, 시스템 궤적에 따른 시간-미분이 시간지연 $d(t)$에 대한 2차 다항식의 형태와 2차함수의 적분의 합 형태를 갖는 LKF를
제시한다. 둘째, 2차함수의 적분항에 Bessel-Legendre 부등식[10]과 reciprocally convex 부등식[1]을 연속 적용한다. 셋째, 새로이 제시된 구속된 2차함수를 LMI로 등가 변환하는 필요충분조건을 이용하여 LKF의 시간-미분의 상한을 LMI형태로
변환하여, 안정성을 보장하는 LMI 형태의 충분조건을 제시한다. 끝으로, 대표적인 예제 2개를 통하여, 본 논문의 결과는 기존의 안정성 결과보다 향상된
결과임을 보인다.
2. 예비 결과
다음의 보조정리들은 주요 결과 유도에 사용될 예비 결과이다.
보조정리 1 [2]: $t_{1}< t_{3},\: t_{2}\in(t_{1},\: t_{3})$라 하고, 양확정 행렬 $R\in R^{n\times n}$에 대하여
$\hat R =\mathrm{d iag}\{R ,\: 3 R ,\: 5R\}$라 하면, 다음이 항상 성립한다.
여기서
$$q(a ,\:b)=\begin{bmatrix}x(b)-x(a)\\
x(b)+x(a)-\dfrac{2}{b-a}\int_{a}^{b}x(s)ds\\
x(b)-x(a)+\dfrac{6}{b-a}\int_{a}^{b}x(s)ds-\dfrac{12}{(b-a)^{2}}\int_{a}^{b}(s-a)x(s)ds\end{bmatrix}.$$
보조정리 2 [7]: 양확정 행렬 $R_{1},\: R_{2}\in R^{q\times q}$, 대칭행렬 $\hat X_{1},\:\hat X_{2}\in R^{q\times
q}$, 그리고 사각행렬 $\hat Y_{1},\:\hat Y_{2}\in R^{q\times q}$에 대하여 다음을 만족하면
$$
\left[\begin{array}{rr}
R_{1}-\hat{X}_{1} & \hat{Y}_{1} \\
\cdot & R_{2}
\end{array}\right] \geq 0,\left[\begin{array}{cc}
R_{1} & \hat{Y}_{2} \\
\cdot & R_{2}-\bar{X}_{2}
\end{array}\right] \geq 0
$$
스칼라 $\alpha\in(0,\: 1)$에 대하여 항상 다음이 성립한다.
$$-\dfrac{1}{\alpha}\xi_{1}^{T}R_{1}\xi_{1}-\dfrac{1}{1-\alpha}\xi_{2}^{T}R_{2}\xi_{2}\le
-\xi_{1}^{T}[R_{1}+(1-\alpha)\hat X_{1}]\xi_{1}$$
$$-\xi_{1}^{T}[\alpha\hat Y_{1}+(1-\alpha)\hat Y_{2}]\xi_{2}-\xi_{2}^{T}[R_{2}+\alpha\hat
X_{2}]\xi_{2}$$.
최근에는 이차함수를 LMI로 변환하는 필요충분조건이 제시되어[12-14] 안정성 결과에 크게 기여하였다. 다음의 보조정리 3은 기존의 결과와 다른 형태로 주어지는 필요충분조건이다.
보조정리 3: 스칼라 $y\in R ,\:$ 벡터 $\xi\in R^{q}$ 그리고 대칭행렬 $A_{2},\: A_{1},\: A_{0}\in R^{q\times
q}$와 사각행렬 $M,\: Y_{1}\in R^{q\times q}$에 다음의 동치관계가 성립한다.
증명: 먼저 $\mathrm{g}(y)=(y-h_{1})(y - h_{2})\le 0,\:\forall y\in[h_{1},\: h_{2}]$임과
음확정성의 정의, 그리고 잘 알려진 S-procedure 성질[15]을 적용하면 다음을 얻는다.
이것으로 증명을 마친다.
Remark: 보조정리 3의 특징은 $y$항에 있는 행렬의 일반적인 형태인 대칭행렬($A_{1}= A_{1}^{T}$)과 비대칭행령의 대칭행렬 항($Y_{1}^{T}+
Y_{1}$)의 합 형태를 그대로 살려서 구속조건이 있는 2차함수의 음에 관한 필요충분조건을 S-procedure를 이용하여 얻은 것이다. 구하여진
조건이 필요충분조건이 되는 것은 S-procedure의 성질에 의한 것이다.
3. 주요 결과
먼저, 주요 결과를 유도하는데 편의를 위하여, 다음을 정의하자.
다음으로 새로운 형태의 LKF 후보함수인 다음 quadratic 함수를 생각하자.
그러면 대칭행렬들의 조건 $S_{1},\: S_{2,\:}P_{1},\: P_{2,\:}Q_{1},\: Q_{2},\: R>0$하에서
(5)의 $V(x_{t})$는 LKF 후보함수로써의 조건을 갖춤을 알 수 있다
[16].
다음으로는 위의 LKF 후보함수(5)를 이용하여 시간지연(2)를 갖는 시간지연 선형 시스템(1)의 안정성을 보장하는 주요 결과를 제시한다.
정리 1: 7개의 확정 대칭행렬들 $S_{1},\: S_{2}\in bold R^{5n\times 5n},\:$ $P_{1},\:$ $P_{2}\in
bold R^{7n\times 7n},\:$ $
Q_{1},\:$ $Q_{2}\in bold R^{3n\times 3n},\:$ $R\in bold R^{n\times n}$, 2개의 대칭행렬 $\hat
X_{1},\:\hat X_{2}\in bold R^{3n\times 3n},\:$ 그리고 4개의 일반행렬 $\hat Y_{1},\:$ $\hat
Y_{2}\in bold R^{3n\times 3n},\:$ $M_{1},\:
$ $M_{2}\in bold R^{9n\times 9n}$이 존재하여, 다음의 LMI들을 만족하면
시간지연
(2)를 갖는 시간지연 선형 시스템
(1)은 점근적으로 안정하다. 여기서
이며, 또한 사용된 벡터 또는 행렬들은 다음과 같다.
$$
\begin{aligned}
&e_{i}=\left[\begin{array}{lll}
0_{n} \times(i-1) n & I_{n} \times n & 0_{n \times(9-i) n}
\end{array}\right], i=1,2, \cdots, 9, \quad e_{0}=0_{n \times 9 n}\\
&\tilde{e}_{2}=(1-\dot{d}(t)) e_{2}\\
&\tilde{e}_{6}=(1-d(t)) e_{6}\\
&A_{c}=A e_{1}+A_{1} e_{2}\\
&\hat{R}=\operatorname{diag}\{R, 3 R, 5 R\}\\
&C_{1}=\operatorname{col}\left\{e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{6}, e_{8}\right\}\\
&C_{2}=\operatorname{col}\left\{e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{7}, e_{9}\right\}\\
&C_{3}=\operatorname{col}\left\{e_{0}, e_{0}, e_{0,} e_{1}-\tilde{e}_{2}-d(t) e_{6,}
e_{1}-\tilde{e}_{6}-2 d(t) e_{8}\right\}\\
&C_{4}=\operatorname{col}\left\{A_{c,} \tilde{e}_{4}, e_{5}, e_{0}, e_{0}\right\}\\
&C_{5}=\operatorname{col}\left\{h A_{c}, h e_{4}, h e_{5}, \tilde{e}_{2}-e_{3}+\dot{d}(t)
e_{7}, \tilde{e}_{2}-e_{7}+2 d(t) e_{9}\right\}\\
&E_{5}=\operatorname{col}\left\{e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{0}, e_{0}, h e_{7}, h e_{9}\right\}\\
&E_{6}=\operatorname{col}\left\{e_{0,} e_{0}, e_{0}, e_{6}, e_{8},-e_{7},-e_{9}\right\}\\
&E_{7}=\operatorname{col}\left\{A_{c}, \tilde{e}_{4}, e_{5}, e_{1}-\tilde{e}_{2},
e_{1}-\tilde{e}_{6}-\dot{d}(t) e_{8}, \tilde{e}_{2}-e_{3}, \tilde{e}_{2}-e_{7}+\dot{d}(t)
e_{9}\right\}\\
&E_{8}=\operatorname{col}\left\{e_{0}, e_{1}, A_{c}\right\}\\
&E_{9}=\operatorname{col}\left\{e_{0}, e_{2}, e_{4}\right\} \\
&E_{10}=\operatorname{col}\left\{e_{6}, e_{0}, e_{0}\right\} \\
&E_{11}=\operatorname{col}\left\{e_{1}, e_{0}, e_{0}\right\} \\
&E_{12}=\operatorname{col}\left\{e_{0}, e_{0}, e_{1}-e_{2}\right\} \\
&E_{13}=\operatorname{col}\left\{e_{0}, e_{6}, e_{0}\right\} \\
&E_{14}=\operatorname{col}\left\{e_{8}, e_{0}, e_{0}\right\} \\
&E_{15}=\operatorname{col}\left\{e_{0}, e_{2}, e_{4}\right\} \\
&E_{16}=\operatorname{col}\left\{h e_{7}, e_{3}, e_{5}\right\} \\
&E_{17}=\operatorname{col}\left\{-e_{7}, e_{0}, e_{0}\right\} \\
&E_{18}=\operatorname{col}\left\{\tilde{e}_{2}, e_{0}, e_{0}\right\} \\
&E_{19}=\operatorname{col}\left\{h^{2} e_{9}, h e_{7}, e_{2}-e_{3}\right\} \\
&E_{20}=\operatorname{col}\left\{-2 h e_{9},-e_{7}, e_{0}\right\} \\
&E_{21}=\operatorname{col}\left\{e_{9}, e_{0}, e_{0}\right\} \\
&U_{1}=\operatorname{col}\left\{e_{1}-e_{2}, e_{1}+e_{2}-2 e_{6}, e_{1}-e_{2}+6 e_{6}-12
e_{8}\right\} \\
&U_{2}=\operatorname{col}\left\{e_{2}-e_{3}, e_{2}+e_{3}-2 e_{7}, e_{2}-e_{3}+6 e_{7}-12
e_{9}\right\}
\end{aligned}
$$
증명: 먼저 위의(5)에 정의된 증강된 LKF 후보함수의 시스템 궤적(1)에 따른 시간 미분을 구하면 다음을 얻는다.
여기서 벡터 $\xi_{t}$는
(4)에 정의된 것이고, 적분항의 상한을 구하기 위하여 보조정리 1과 보조정리 2를 연속적으로 적용하고, $\rho_{1}= U_{1}\xi_{t},\:\rho_{2}=
U_{2}\xi_{t}$라 하면 다음을 얻는다.
다음으로
(14)를
(13)에 적용하면 다음을 얻는다.
$$
\begin{aligned}
\dot{v}\left(x_{t}\right) \leq & \xi_{t}^{T}\left\{d^{2}(t) A_{2}(\dot{d}(t))\right.\\
&\left.+d(t)\left[A_{1}+Y_{1}^{T}(d(t))+Y_{1}(\dot{d}(t))\right]+A_{0}(\dot{d}(t))\right\}
\xi_{t} \\
&=\xi_{t}^{T}\{\Psi[d(t), \dot{d}(t)]\}\xi_{t}
\end{aligned}
$$
여기서 $A_{2}(\dot d(t)),\: A_{1},\: Y_{1}(\dot d(t)),\: A_{0}(\dot d(t))$는(9)-(12)에 정의된 대칭행렬들이고 이들은 모두 스칼라 $\dot d(t)$에 대한 affine 함수이다. 끝으로 보조정리 3을 적용하면 다음을 얻으므로
$$
\begin{aligned}
(6)-(8) &\Leftrightarrow\left[\begin{array}{cc}
A_{0}\left(\mu_{i}\right) & \frac{1}{2} A_{1}+Y_{1}^{T}\left(\mu_{i}\right)+h M_{i}
\\
\cdot & A_{2}\left(\mu_{i}\right)-\left(M_{i}^{T}+M_{i}\right)
\end{array}\right]<0, i=1,2 \\
& \Leftrightarrow \Psi[d(t), \dot{d}(t)]<0, \forall d(t) \in[0, h], \mu_{1} \leq \dot{d}(t)
\leq \mu_{2}<1 \\
& \Rightarrow \dot{v}\left(x_{t}\right)<0, \forall x_{t} \neq 0 \text { and under
}(2).
\end{aligned}
$$
지연 조건(2)를 갖는 시간지연 시스템(1)은 점근적으로 안정하다. 이것으로 증명을 마친다.