1. 서 론

외란관측기(Disturbance Observer; DOB) 제어기는 탁월한 외란감쇠 능력과 모델링오차 보상능력 때문에 산업현장에서 매우 활발히 사용되고 있는 제어기법 중의 하나이다 ^(1-7). 모델 기반 제어기는 플랜트 모델에 기초하여 설계되는데, 플랜트 모델에는 모델링 오차가 존재할 수 있다. 비구조적 불확실성(unstructured uncertainty)에 대한 DOB 제어기의 강인안정성에 대한 연구는 주로 소이득정리(small gain theorem)을 적용하여 충분조건을 구하는 연구가 대부분이었다 ^(1-3). 반면에, 구조적 불확실성(structured uncertainty)에 대한 DOB 제어 시스템의 강인안정성을 위한 필요충분조건은 ⁽⁴⁾에서 제시되었다. 특히, 구조적 불확실성의 크기가 유한하다면, Q-필터를 적절히 설계하여 항상 전체 시스템을 안정하게 만들 수 있다는 것이 참고문헌 ⁽⁴⁾에서 보고되었다. 한편, 이산시간 시스템에서의 DOB 제어기의 안정성과 강인성에 대한 연구결과가 ⁽⁵⁾에서 제시되었으며, 강인제어기법 중 하나인 $H_{\infty}$기법을 적용한 DOB 제어기 설계에 대한 연구가 ⁽⁶⁾에서 제시되었다. 참고문헌 ⁽⁷⁾에서는 센서잡음 효과를 저감시킬 수 있는 잡음감쇠-외란관측기(Noise Reduction Disturbance Observer; NR-DOB)가 제안되었다. NR-DOB 제어기는 Q-필터를 적절히 설계할 경우 외란의 효과를 적절히 감쇠시키면서 동시에 센서잡음의 영향을 효과적으로 억제시킬 수 있다. 하지만, ⁽⁷⁾의 연구결과는 플랜트와 공칭모델의 상대차수가 같은 경우에 대해만 적용할 수 있는 한계가 있었다.

본 논문에서는 플랜트의 상대차수가 공칭모델의 상대차수보다 큰 경우에 대해서 NR-DOB 제어기의 안정성에 대해서 연구하고자 한다. 제어기 설계시 구동기의 동역학은 충분히 빠르기 때문에 이를 무시한 전달함수를 고려하는 경우가 대부분이며, 이런 경우 실제 플랜트와 모델의 상대차수 차이가 1인 경우가 자주 나타난다. 이를 위해, 본 논문에서는 상대차수 차이가 1인 경우에 대해 NR-DOB 제어기의 강인안정성 조건을 제시하고자 한다.

본 논문의 구성은 다음과 같다. 2장에서는 NR-DOB 제어기의 구조를 소개하고, 저주파 영역에서의 외란감쇠와 고주파영역에서의 센서잡음 억제 메커니즘을 기술한다. 3장에서는 NR-DOB 제어시스템의 안정성을 위한 조건을 제시한다. 상대차수 차이가 1인 경우 공칭모델 선정이 매우 중요한데, 이는 상대차수가 같은 경우에는 공칭모델 선정이 상대적으로 자유롭다는 연구결과 ⁽⁷⁾과의 중요한 차이점이다. 4장에서는 컴퓨터 모의실험을 통해서 3장에서 제시된 조건을 검증하고, 마지막으로 5장에서는 본 논문의 결론을 제시한다.

Notations: 다항식 $D(s)= d_{n}s^{n}+ d_{n-1}s^{n-1}+\cdots + d_{1}s + d_{0}$에 대해서 $d_{n}neq 0$이면, 다항식 $D(s)$의 차수는 $n$ 이라고 하고 $\deg(D)= n$으로 표시한다. 또한, 다항식 $D(s)$의 근, 즉 $D(s)= 0$ 을 만족하는 $s$ 는 $r_{i}(D),\: i=1,\:\cdots ,\: n$ 으로 표시한다. 전달함수 $G(s)= N(s)/D(s)$에 대해서 $G(s)$의 차수와 상대차수는 $\deg(D)$와 $\deg(D)-\deg(N)$으로 정의하며, $G(s)$의 상대차수는 $r.\deg(G)$로 표시한다. 전달함수 $G(s)$에 대해서, $\kappa(G):=\lim_{s\to\infty}s^{r.\deg(G)}G(s)$와 $\mu(G):=$ (G 영점의 모든 합) - (G 극점의 모든 합) 으로 정의하며, $\kappa(G)$는 고주파이득이라고 부른다. LHP는 좌반평면(Left Half Plane), 즉 복소평면에서 $Re[s]<0$인 영역을 의미하며, RHP는 우반평면(Right Half Plane)을 의미한다.

2. 잡음감쇠-외란관측기(Noise reduction Disturbance Observer; NR-DOB)

잡음감쇠-외란관측기(Noise reduction Disturbance Observer; NR-DOB) 제어기는 외란의 영향과 센서잡음의 영향을 동시에 감쇠시키면서 모델링 오차에 대한 강인 안정성을 보장하는데 유용하게 사용될 수 있다. 그림 1은 NR-DOB 제어기를 나타내는데, 신호 $r$, $u$는 시스템의 기준입력과 시스템에 인가되는 제어입력을 나타내며, 신호 $d$와 $y$는 입력외란과 시스템의 출력을 나타낸다. 또한, $P$는 실제 플랜트, $P_{n}$은 시스템의 공칭 모델(nominal model), $Q$는 저역통과필터인데, 주로 식 (1)과 같은 형태를 사용한다 ^(1-4).

여기서, $\tau$는 $Q$ 필터의 시정수로 양의 실수이며 $k$, $l$은 $l-k\ge r.\deg(P_{n})$을 만족하는 양의 정수로 선정한다. 또한, $a_{0}= b_{0}$이며 계수 $a_{l-1},\:\cdots ,\: a_{1},\: a_{0}$는 다항식 $s^{l}+a_{l-1}s^{l-1}+\cdots$$+a_{1}s +a_{0}$의 모든 근이 LHP 에 존재하도록 선정한다. 그림 1로부터 전체 시스템의 전달함수를 구하면 식 (2)와 같다.

여기서,

$T_{yr}(s)=\dfrac{P_{n}PC}{(1+P_{n}C)(P_{n}+Q(P-P_{n}))}$

$T_{yd}(s)=\dfrac{P_{n}P(1-Q)}{P_{n}+Q(P-P_{n})}$

$T_{yn}(s)=\dfrac{PQ}{P_{n}+Q(P-P_{n})}$

이다. $Q$ 필터는 식(1)과 같이 표현된 저역 통과 필터로서 고주파 영역에서는 $Q(s)\approx 0$, 저주파 영역에서는 $Q(s)\approx 1$로 근사할 수 있다. 또한, 기준입력과 외란은 대부분 저주파 성분이고 저주파 영역에서는 $T_{yr}(s)\approx\dfrac{P_{n}C}{1+P_{n}C}$, $T_{yd}(s)\approx 0$, $T_{yn}\approx 1$ 로 근사되기 때문에, 저주파 영역에서 출력은 식(2)로부터 다음과 같이 근사가능하다.

즉, $Q(s)\approx 1$인 주파수 영역에서는 외란의 영향은 거의 소거되고, 실제 시스템의 출력은 공칭 폐루프 시스템(nominal closed-loop system) 출력과 거의 비슷한 특성을 갖게 된다. 이는 기존 DOB 제어기와 매우 유사한 특징이다. 한편, 고주파영역에서 노이즈 감쇠효과를 분석하기 위하여, 제어입력 $u$ 에 대한 식을 구하면 다음과 같다.

$u(s)=T_{u r}(s)r(s)+T_{u d}(s)d(s)-T_{u n}(s)n(s)$

여기서,

$T_{u r}(s)=\dfrac{P_{n}C}{(1+P_{n}C)(P_{n}+Q(P-P_{n}))}$

$T_{u d}(s)=\dfrac{PQ}{P_{n}+Q(P-P_{n})}$

$T_{u n}(s)=\dfrac{Q}{P_{n}+Q(P-P_{n})}$

이다. 따라서, 고주파 영역에서는 $Q(s)\approx 0$ 이 성립하고, 이로부터 $T_{u r}(s)\approx\dfrac{C}{1+P_{n}C}$, $T_{u d}(s)\approx\dfrac{P}{P_{n}}Q$, $T_{u n}\approx\dfrac{Q}{P_{n}}$ 로 근사됨을 알 수 있다. 따라서, $r(s)\approx 0$, $d(s)\approx 0$ 인 고주파 영역에서 제어입력은 다음과 같이 근사가능하다.

(4)로부터 $P_{n}$과 $Q$를 적절히 설계하면 센서 잡음의 영향을 감소시킬 수 있음을 알 수 있다. 한편, DOB 제어기의 경우에도 고주파 영역에서는 $Q(s)\approx 0$ 라는 성질을 이용하면

을 얻을 수 있다. 식(4)와 식(5)를 비교하면 NR-DOB 제어기는 공칭모델 $P_{n}$과 Q-필터를 적절히 설계하여 센서잡음의 영향을 억제시킬 수 있지만, DOB 제어기는 그렇지 않다는 것을 알 수 있다.

3. NR-DOB 제어기 안정성

잡음감쇠-외란관측기 제어기가 적절한 동작을 수행하기 위해서는 시스템의 안정성이 반드시 보장되어야 한다. 그림 1로부터 $[r,\:d,\:n]$ 에서 $[u,\:y,\:y_{r},\:\bar{e}]$ 로의 전달함수를 계산하면 다음과 같다.

여기서,

$\Delta(s)=(1+PC)P_{n}+ Q(P-P_{n})$

이고

$\bar{T}= -Q(1+P_{n}C),\:$

$\bar{T}_{s} = P_{n}P(1-Q)(1+P_{n}C)$

이다. 전체시스템이 내부적 안정(internally stable)하기 위해서는 전달함수 식(6) 모두가 안정하여야 한다.

이제부터, $P_{n}$의 상대차수는 1이고 Q-필터는 $l=1 ,\: k=0$ 이라고 가정한다. 다음 정리는 공칭모델의 상대차수보다 실제 플랜트의 상대차수가 1 만큼 큰 경우, 공칭모델이 적절한 조건을 만족하면 시스템을 안정화할 수 있다는 것을 의미한다.

정리 1: 그림 1과 같은 NR-DOB 제어 시스템에 대해서 $r.\deg(P)= r.\deg(P_{n})+1$ 이고 $\kappa(P_{n})\kappa(P)> 0$이라고 하자. 그러면, 아래의 조건을 모두 만족하는 경우, 충분히 작은 $\tau >0$에 대해서 NR-DOB 제어시스템은 안정하다

(i) $P_{n}$이 안정하다.

(ii) $\dfrac{P_{n}C}{1+ P_{n}C}$가 안정하다.

(iii) $P(s)$ 가 최소위상이다.

(iv) $\mu(P_{n})<\mu(P)$

반대로, $P_{n}$의 극점, $P_{n}C /(1+P_{n}C)$의 극점, $P(s)$의 영점 중 하나라도 RHP에 존재하거나 $\mu(P_{n})>\mu(P)$이면, 충분히 작은 $\tau >0$에 대해서 NR-DOB 제어 시스템은 불안정하다.

■

증명: 다항식 $N,\: N_{c},\: N_{n},\: N_{Q}$, $D,\: D_{c}$,$D_{n},\: D_{Q}$ 를 $P(s)=\dfrac{N(s)}{D(s)}$, $P_{n}(s)=\dfrac{N_{n}(s)}{D_{n}(s)}$, $C(s)=\dfrac{N_{c}(s)}{D_{c}(s)}$, $Q(s)=\dfrac{N_{Q}(s)}{D_{Q}(s)}$로 정의되는 서로소 다항식(coprime polynomial) 이라고 하자. 그러면, 전달함수 식(6)은 다음과 같이 표현가능하다.

$\dfrac{1}{\delta(s)}\begin{bmatrix}D_{n}DD_{Q}N_{n}N_{c},\: & R_{12},\: & R_{13}\\ D_{n}D_{Q}N N_{n}N_{c},\: & R_{22},\: & R_{12}\\ DN_{n}^{2}N_{c}D_{Q},\: & R_{32},\: & R_{33}\\ R_{41},\: & 0,\: & 0\end{bmatrix}$

여기서,

이고

$R_{12}= -D_{n}N N_{Q}(D_{n}D_{c}+N_{n}N_{c})$

$R_{13}= -D_{n}D N_{Q}(D_{n}D_{c}+N_{n}N_{c})$

$R_{22}= NN_{n}(D_{n}D_{c}+ N_{n}N_{c})(D_{Q}- N_{Q})$

$R_{32=}- N_{n}N N_{Q}(D_{n}D_{c}+N_{n}N_{c})$

$R_{33}= -N_{n}D N_{Q}(D_{n}D_{c}+ N_{n}N_{c})$

$R_{41}= D_{n}D_{c}(N_{n}DD_{Q}+ N_{Q}(ND_{n}-D N_{n}))$

이다. 따라서, 폐루프 시스템이 안정하기 위한 필요충분 조건은 특성다항식 식(7)의 모든 근이 LHP 에 존재하는 것이다. 이제 다항식

$\bar{\delta}(s):= N_{n}DD_{Q}+ N_{Q}(ND_{n}- DN_{n})$

를 정의하자. 그러면 특성다항식은 다음과 같이 표현되며,

$\delta(s)=(D_{c}D_{n}+ N_{c}N_{n})\bar{\delta}(s)$

가정 (i)에 의해서 $(D_{c}D_{n}+ N_{c}N_{n})$은 안정한 다항식이다. 따라서, NR-DOB 시스템이 안정하기 위해서는 $\bar{\delta}(s)$가 안정한 다항식이어야 한다. $D_{Q}= a_{1}(\tau s),\: N_{Q}= a_{0}$를 이용하면

이다. 이제, $\tau$ 가 0으로 수렴할 때 $\bar{\delta}(s)= 0$의 근을 분석하기 위하여 양변을 $a_{1}(\tau s)N_{n}D$로 나누면

이다. 여기서 $\tau$가 0 으로 수렴하면, $1/\tau$가 $\infty$로 수렴하고 근궤적 기법을 적용할 수 있다. 다항식 $N_{n}$과 $N$의 차수를 $m_{1}$과 $m_{2}$라고 하면, 다항식 $D_{n}$의 차수는 $m_{1}+ 1$이 되고 $D$의 차수는 $m_{2}+ 2$가 된다. 따라서, 근궤적 기법에 의하면 $1/\tau$가 $\infty$로 수렴함에 따라서, 전체 $\deg(s N_{n}D)= 1+m_{1}+ m_{2}+ 2$ 개의 근은 다음 성질을 만족한다: 1) $m_{2}+ m_{1}+ 1$개의 근은 $N(s)D_{n}(s)$로 수렴하며, 2) 나머지 2개의 근(앞으로 $s^{*}$로 표현)은 근궤적의 점근선으로 수렴하게 된다 ⁽⁸⁾. 가정 (ii)와 (iii)에 의해서 $N(s)D_{n}(s)$은 안정한 다항식이 되기 때문에 결국 $s^{*}$가 LHP 에 존재하는 것을 보이면 된다. 이를 위해서 다항식 $ND_{n}$과 $N_{n}D$의 근을 $s_{0,\:i}$와 $s_{1,\:i}$로 표현하자. $\kappa(P_{n})\kappa(P)> 0$ 이므로 $\dfrac{ND_{n}}{D N_{n}}$의 분모와 분자의 최고차항의 계수는 같은 부호이고, 결과적으로 $1/\tau$가 $\infty$로 수렴함에 따라 $s^{*}$는 근궤적의 점근선으로 수렴하게 되는데 그 중심 $\sigma$와 출발각 $\phi_{i}$는 다음과 같이 주어진다 ⁽⁸⁾.

$\phi_{i}=\dfrac{180 + 360(i-1)}{2}= 90,\: 270$

$\sigma =\dfrac{\sum_{i=1}^{m_{1}+m_{2}+3}s_{1,\:i}- \sum_{i=1}^{m_{1}+m_{2}+ 1}s_{0,\:i} }{2}$

중심 $\sigma$의 분자는

\begin{align*} &\sum[r_{i}(N_{n})+ r_{i}(D)]-\sum[r_{i}(N)+r_{i}(D_{n})]\\ =&\sum[r_{i}(N_{n})- r_{i}(D_{n})]-\sum[r_{i}(N)-r_{i}(D)]\\ =&\mu(P_{n})-\mu(P) \end{align*}

이므로 가정 (iv)에 의하여 $\sigma < 0$ 이다. 결국, $\tau$ 가 0 으로 수렴할 때, $s^{*}$ 는 LHP 에 위치한다. ■

정리 1의 조건 (ii)와 (iii)은 기존 DOB 제어기의 안정성을 위해서 필요한 조건이며 ⁽⁴⁾, 조건 (i)은 NR-DOB 제어기의 안정성을 위해서 필요한 조건이다 ⁽⁷⁾. 한편, 조건 (iv)는 공칭모델 $P_{n}$ 과 관련되어, $r.\deg(P)= r.\deg(P_{n})+1$ 인 경우에는 $P_{n}$ 선정이 매우 중요하다는 것을 의미한다. 이는 실제 플랜트 상대차수와 공칭모델의 상대차수가 같은 경우에는 $P_{n}$ 선정이 중요하지 않았던 연구결과 ⁽⁷⁾과의 중요한 차이점이다.

4. 모의 실험

본 장에서는 정리 1에서 제시된 조건을 모의실험을 통하여 검증해 보고자 한다. 이를 위해서 다음과 같은 플랜트를 고려해 보자.

$P(s)=\dfrac{s+10}{(s^{2}+7s -7)(\epsilon s + 1)}$

여기서 $\epsilon$은 0 과 같거나 큰 상수이다. 플랜트 $P(s)$는 불안정한 시스템이기 때문에 정리 1의 조건 (i)을 만족할 수 없다고 생각하기 쉽지만, $P_{n}(s)$를 안정하게 선정하여 정리 1을 적용할 수 있다는 점에 유의하자.

첫 번째로, $\epsilon =0$ 인 경우, 즉 $P(s)=\dfrac{s+10}{s^{2}+7s -7}$ 인 경우를 고려해 보자. NR-DOB 제어기를 설계하기 위하여 공칭모델과 Q-필터는 다음과 같이 선정하였다고 가정한다.

제어기 설계 파라메터를 식(10)와 같이 선정한 경우, $P_{n}$과 $\dfrac{P_{n}C}{1+P_{n}C}$ 모두 안정하기 때문에 참고문헌 ⁽⁷⁾의 결과를 적용하면 NR-DOB 시스템은 안정하다. 모의실험은 기준입력 $r(t)=1,\:$ 외란 $d(t)= 0.5\sin(\pi t)$, 센서잡음 $n(t)= 0.05\sin(3000 t)$ 인 경우를 고려한다. 또한, NR-DOB 제어기의 Q-필터 시정수는 $\tau =0.05$ 로 선정한다. 모의실험 결과를 그림 2에서 볼 수 있는데, NR-DOB 제어기는 공칭제어기 $C(s)$와 비교하여 외란의 영향을 훨씬 효과적으로 억제하고 있으며 초기 오버슛도 상대적으로 매우 작은 것을 알 수 있다. 이로부터 NR-DOB 제어기의 성능복원(performance recovery) 성질 식(3)을 확인할 수 있다.

이제, 플랜트의 상대차수가 공칭모델의 상대차수보다 큰 경우, 즉 $r.\deg(P)= r.\deg(P_{n})+1$ 를 고려해 보자. 이를 위해서 $\epsilon =0.2$, 즉 $P(s)=\dfrac{s+10}{(s^{2}+7s -7)(0.2 s + 1)}$인 경우를 가정하고 NR-DOB 제어기는 식(10)과 동일하게 설계하였다고 가정한다. 정리 1의 조건 (iv)를 검증하기 위하여 $\mu(P_{n})$과 $\mu(P)$를 계산해 보면

$\mu(P_{n})= -5/2 -(-4)= 3/2$

$\mu(P)= -10 -(-7-5)=2$

이므로 조건 (iv)를 만족함을 알 수 있다. 따라서, $P_{n}$과 $P$의 상대차수가 동일하지 않지만 NR-DOB 제어시스템이 안정할 것이라고 예상할 수 있다. 이를 확인하기 위하여 모의실험을 수행하였으며, 그 결과를 그림 3에서 확인할 수 있다. 그림 3으로부터 NR-DOB 제어기는 시스템을 안정화시키며, 외란의 영향도 매우 효과적으로 억제시킨다는 것을 알 수 있다.

마지막으로, 공칭모델 $P_{n}$ 이 적절히 선정되지 않은 경우 제어시스템이 불안정해질 수 있다는 정리 1의 두 번째 결론을 검증해 보고자 한다. 이를 위해서 $\epsilon =1/3$, 즉 $P(s)=\dfrac{s+10}{(s^{2}+7s -7)(s/3 + 1)}$인 경우를 고려해 보자. NR-DOB 제어기가 식(10)과 동일하게 설계된 경우 $\mu(P_{n})$과 $\mu(P)$를 계산해 보면

$\mu(P_{n})= -5/2 -(-4)= 3/2$

$\mu(P)= -10 -(-7-3)=0$

이고, 정리 1의 조건 (iv)를 만족하지 않는다는 것을 알 수 있다. 그림 4는 모의실험 결과를 나타내는데, NR-DOB 시스템의 출력이 발산하면서 시스템이 불안정해진다는 것을 확인할 수 있다.

6. 결 론

본 논문에서는 플랜트의 상대차수가 공칭모델보다 큰 경우에 대해서 NR-DOB 제어시스템의 안정도에 대해서 연구하였다. 상대차수 차이가 1인 경우, 모델 불확실성이 매우 크다고 하더라도 NR-DOB 제어기를 이용하여 강인안정화 가능하다는 것을 알 수 있었다. 하지만, 상대차수가 같은 경우와 비교할 때, Q-필터 뿐만 아니라 공칭모델 $P_{n}$도 매우 신중하게 선정되어야 함을 알 수 있었다. 또한, 컴퓨터 모의실험을 통하여 제안된 조건이 적절함을 확인할 수 있었다.