2.1 무부하 임피던스 측정 및 등가회로 모델링

본 논문에서 활용한 초음파 진동자는 BLT(Bolt-clamped Langevin- type Transducer) 압전변환기로, 이러한 Langevin 타입 압전변환기의 전기-기계적인 해석을 위해서 Butter-worth Van-Dyke의 Dual Circuit 등가 모델을 활용하였으며⁽³⁾, Fig 1의 구성과 같다.

이는, 직렬 공진과 병렬 공진에서 가장 유효하게 사용되는 압전변환기의 두 가지 임피던스 모델로써, $R_{1/2}$는 기계적인 손실 요소를 나타내며, $L_{1/2}$와 $C_{1/2}$는 압전변환기의 기계적인 진동을 나타내는 성분이고, $C_{op / os}$는 압전변환기의 전기적인 요소로써 정전용량을 나타낸다 ^(6),(7). 압전변환기의 직렬 공진주파수($\omega_{1}$)에서는 Fig 1(a)를 기준으로 $L_{1}$과 $C_{1}$의 직렬 공진으로 인해 매우 낮은 임피던스를 나타내며, 병렬 공진 주파수($\omega_{2}$)에서는 Fig 1(b)를 기준으로 $L_{2}$와 $C_{2}$의 병렬 공진으로 인해 매우 높은 임피던스를 갖는다. 이는 식(1), (2)와 같이 리액턴스의 값에 따라 표현될 수 있으며 Fig 1의 이중 등가회로 모델에 따라 식(3)과 같이 직렬 공진 및 병렬 공진 주파수를 계산할 수 있다 ⁽³⁾.

이러한 등가 모델을 기준으로 임피던스 분석기를 통해 얻어낸 각 회로 상수를 활용하여 나타낸 임피던스 및 위상 곡선은 Fig 2와 같으며, 전기적인 구동회로 해석 및 설계를 위해 필요한 각 회로 상수는 Table 1에 나타내었다. 한편, 위상이 Zero-Crossing 되는 지점에서 압전변환기는 용량성 부하와 유도성 부하의 전환이 일어나며 L과 C의 공진 형태가 달라짐을 Fig 2를 통해 확인할 수 있다.

본 논문에 활용된 볼트 체결형 Langevin 타입 압전변환기에 대한 주파수에 따른 임피던스 특성은 Fig 3에 각각 Impedance Analyzer로 측정한 임피던스와 BVD 등가회로로 모델링한 임피던스 곡선에 대해 나타내었다.

또한, Langevin 타입 압전변환기의 임피던스 분석기를 통해 얻을 수 있는 회로 시정수는 각각 Table 1의 $C_{op}$, $R_{1}$, $L_{1}$, $C_{1}$이며 Series Inductive Compensation을 통한 구동회로 설계 시 기준이 되는 병렬 형태의 BVD 등가 모델 전기-기계적 회로 정수는 식(4) ~ (7)과 같이 계산할 수 있다⁽³⁾.

한편, 압전변환기의 기계적인 응답 특성에 대한 성능 지표 $Q_{m}$(기계적품질계수)는 압전변환기에 가해지는 전기적 에너지의 기계적인 응답으로 변환되는 척도로 활용될 수 있으며, Fig 3과 같은 임피던스 특성을 갖는 압전변환기의 품질계수는 다음과 같이 계산될 수 있다. 여기서 식(8)은 BVD 이중 등가회로 중 직렬 공진 시에 해당하며, 식(9)는 병렬 공진 시에 해당한다.

따라서, 위 Table 1의 회로 정수를 활용하여 Langevin 타입 압전변환기의 무부하 조건에 대한 전기회로를 모델링하여 전기적 입력을 통해 기계적 응답(진동 등)을 얻기 위한 구동 회로를 설계할 수 있다.

2.2 무부하 조건의 압전변환기 유한요소해석 환경

본 논문에서는 Langevin 타입 압전변환기에 대해 유한요소법(Finite Element Method, 이하 FEM)을 기반으로 한 압전효과의 물리해석으로 임피던스 주파수 특성 및 BVD 등가회로의 RLC 회로 정수를 도출하였다. 이처럼, FEM 해석을 통해 얻어낸 임피던스 특성은 Fig 3과 Table 1에 명시된 압전변환기의 Impedance Analyzer 측정값과 비교하였으며, 우선 무부하 조건에서의 FEM 시뮬레이션 결과와 실측값의 매칭 후 수중 부하 조건에 대한 FEM 임피던스 해석을 수행하였다^(4)-(6).

본 논문에 활용된 Langevin 타입 압전변환기에 대한 형상 및 치수는 실제 초음파 세척기용으로 판매되는 상용 BLT 진동자의 측정 치수를 바탕으로 3D 형상 설계하였으며⁽⁸⁾ Fig 4와 같다. 또한, 압전효과에 대한 시뮬레이션을 위하여 고체 역학 및 정전기학과 같은 유한요소해석 기반의 물리적 현상 설계와 형상 도메인별 대표적인 물성 정보는 Table 2에 나타내었다⁽⁹⁾.

이처럼, 다양한 초음파 시스템의 고출력 구동에 많이 활용되는 Langevin 타입 압전변환기는 Fig 4와 같이, 초음파 진동의 기계적인 증폭과 조정을 위한 Front/Back Driver와 압전 세라믹 디스크를 고정하기 위한 볼트로 구성되어 있으며, 압전효과의 핵심이 되는 압전 세라믹은 대표적 압전재료인 지르콘산염($Pb Zr O_{3}$), 티탄산염($Pb Ti O_{3}$)의 혼합 소결한 PZT-4를 사용하였다. 본 논문의 FEM 물리해석을 위해 사용한 COMSOL Multiphysics는 압전체에 대해 응력 및 변형률과 전하의 관계를 기반으로 물성 해석을 진행할 수 있다.

통상적으로 압전 소자는 직접 압전효과로 알려진 변형이 일어날 때 전기적으로 분극 되는 현상은 항상 역 압전효과를 동반하며, 전기장 내에 압전체가 있게 되면 변형이 일어남을 뜻한다. 이러한, 압전효과에 대해 수학적 모델링을 하려면 압전체의 분극과 변형 사이의 관계에 대해 앞서 언급한 바와 같이 Strain-Charge 또는 Stress-Charge의 두 가지 방식으로 정의할 수 있는데, 본 논문에서는 IEEE 1978 표준⁽⁷⁾을 기반으로 압전 변환에 대해 압전체의 변형과 일정한 변형률에서의 유전율 간의 결합으로 표현하였다. 따라서 압전효과에 대한 FEM 해석은 응력, 변형률, 압전 계수 등 사이의 기본 관계식을 바탕으로 계산되며, 압전변환기의 유한요소 해석에 대한 전기-기계적인 지배 방정식은 식(10), (11)의 형태로 표현될 수 있다. 이는 Strain-Charge form(변형률-전하)의 방법을 통한 해석을 뜻하며, 각 변수가 나타내는 바는 다음과 같다^(4),(6). 아래 식(10), (11)은 IEEE 표준에 따라 Voigt 표기법을 사용하여 두 방정식을 행렬로 나타낼 수 있으며, 각 매개변수는 본 논문에서 활용한 FEM 시뮬레이션 프로그램인 COMSOL Multiphysics를 통해 계산할 수 있다.

$\begin{bmatrix}S_{xx}\\S_{yy}\\S_{zz}\\S_{yz}\\S_{xz}\\S_{xy}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}s_{E11}&s_{E12}&s_{E13}&s_{E14}&s_{E15}&s_{E16}\\s_{E21}&s_{E22}&s_{E23}&s_{E24}&s_{E25}&s_{E26}\\s_{E31}&s_{E32}&s_{E33}&s_{E34}&s_{E35}&s_{E36}\\s_{E41}&s_{E42}&s_{E43}&s_{E44}&s_{E45}&s_{E46}\\s_{E51}&s_{E52}&s_{E53}&s_{E54}&s_{E55}&s_{E56}\\s_{E61}&s_{E62}&s_{E63}&s_{E64}&s_{E65}&s_{E66}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}T_{xx}\\T_{yy}\\T_{zz}\\T_{yz}\\T_{xz}\\T_{xy}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}d_{11}&d_{21}&d_{31}\\d_{12}&d_{22}&d_{32}\\d_{13}&d_{23}&d_{33}\\d_{14}&d_{24}&d_{34}\\d_{15}&d_{25}&d_{35}\\d_{16}&d_{26}&d_{36}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}E_{x}\\E_{y}\\E_{z}\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}D_{x}\\D_{y}\\D_{z}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}d_{11}&d_{12}&d_{13}&d_{14}&d_{15}&d_{16}\\d_{21}&d_{22}&d_{23}&d_{24}&d_{25}&d_{26}\\d_{31}&d_{32}&d_{33}&d_{34}&d_{35}&d_{36}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}T_{xx}\\T_{yy}\\T_{zz}\\T_{yz}\\T_{xz}\\T_{xy}\end{bmatrix}+\epsilon_{0}\begin{bmatrix}\epsilon_{r T11}&\epsilon_{r T12}&\epsilon_{r T13}\\\epsilon_{r T21}&\epsilon_{r T22}&\epsilon_{r T23}\\\epsilon_{r T31}&\epsilon_{r T32}&\epsilon_{r T33}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}E_{x}\\E_{y}\\E_{z}\end{bmatrix}$

$\vec{S}$ : Strain

$\vec{T}$ : Stress

$\vec{E}$ : Electrical field

$\vec{D}$ : Electric displacement field

$s_{E}$ : Material compliance

$d$ : Coupling properties

$\epsilon_{r T}$ : Relative permittivity at constant stress

$\epsilon_{0}$ : Permittivity of free space

이처럼, Langevin 타입의 경우 압전변환기를 이루고 있는 구조물에 대한 응력 및 변형률과 정전하에 대한 다중물리 해석을 통해 압전효과에 대한 FEM 시뮬레이션이 수행된다. 압전변환기는 전기-기계적인 에너지의 변환체로서 기계적인 품질이 높을수록 에너지의 변환 효율이 높으며 물체의 운동을 저지하려는 성질인 기계적인 댐핑과의 반비례 관계를 갖는다. 따라서, 앞서 계산된 기계적품질계수를 바탕으로 본 논문의 FEM 구조체 해석에 필요한 기계적 댐핑 계수($\zeta$)는 식(12)와 같이 계산될 수 있다⁽³⁾.

2.3 무부하 조건에서 압전변환기의 FEM 임피던스 해석

Langevin 타입 진동자의 경우 압전체만을 활용한 Disk, Ring Type 등의 진동자와는 달리, Steel, Bolt 등의 구조물과 결합 되어있기 때문에 구조물의 형상에 따라 임피던스가 달라지며, 통상적으로 압전체의 두께 및 폭과 압전정수($d^{c}_{jk}$)에 따라 공진주파수가 결정된다.

유한요소법을 통한 압전변환기의 임피던스 해석은 전극에서의 외부 전하량과 전위와의 비를 이용하여 식(13)과 같이 계산될 수 있다. 특히 임피던스의 크기는 Fig 5와 같이, +Z 분극에 대해 수직 방향으로의 전류밀도를 면적분하여 전하량을 얻고 이를 통해 식(14), (15)와 같이 도출될 수 있다^(4),(5).

압전변환기의 FEM 해석을 위해 형상 및 메쉬(Mesh)에 대한 모델링을 Fig 6을 통해 확인할 수 있으며, 압전체에 인가된 전압에 따라 역압전효과에 의해 초음파 진동자의 변위를 Volume Plot을 통해 나타내었다.

무부하 조건에서 압전변환기의 FEM 압전효과 해석에 따른 임피던스 특성 곡선은 Fig 7과 같으며, FEM 시뮬레이션을 통해 얻어낸 압전변환기의 BVD 등가 모델에 대한 RLC 정수와 Impedance Analyzer를 통해 측정된 RLC 정수에 대한 비교를 Table 3을 통해 확인할 수 있다.

Fig. 4에 명시된 Langevin 타입 압전변환기의 유한 요소해석을 통해 얻어낸 임피던스 곡선을 통해 공진주파수($f_{1}$)는 27.96[kHz], 병렬 공진 주파수($f_{2}$)는 29.14[kHz], 공진 점에서의 최소 임피던스($vert Z_{\min}vert$)는 약 13.36[$ohm$], 병렬 공진 점에서의 최대 임피던스($vert Z_{\max}vert$)는 약 51[k$ohm$]이며, Fig 7과 같다.

또한, 유한요소법을 통해 얻어낸 압전변환기의 전기적인 임피던스($R_{2}$, $C_{2}$, $L_{2}$)를 활용하여 Table 1과 같이, 병렬 형태의 BVD 등가 모델 전기-기계적 회로 정수를 식(4)~(7)과 같이 계산할 수 있다.

3.1 압전변환기의 FEM 해석을 위한 수중 부하 모델링

본 논문에서 다루는 압전변환기는 전기-기계적인 결합체로서, 그 특성에 대해 BVD 등가회로로 모델링하고 있다. 이는, 기계적인 응답과 전기적인 응답에 대해 R, L, C와 같은 전기적 요소로 특성화한 것이다. 이러한, BVD 등가회로 관점에서 일반적으로 중부하 조건의 압전변환기는 기계적인 저항성 Damping 성분만 남고, 기계적인 공진을 일으키는 L과 C와 같은 Mass, Spring 등의 성분의 영향은 줄어든다. 또한, 부하가 증가할수록 압전변환기는 Capacitive 부하로 변하게 되며 무부하 조건에서 나타나는 위상의 Zero Crossing의 영향이 줄어드는데, 이러한 기계적인 손실 및 저항성 부하 모델링을 Fig 8을 통해 확인할 수 있다. 여기서 Fig 8은 BVD 이중 등가회로 중 병렬 공진 형태를 기준으로 Series Inductive Compensation을 통한 임피던스 매칭 및 단순 부하 변동에 따른 모델링을 나타낸다^(3),(7),(10).

한편, 단순 저항 부하 변화에 따른 임피던스 및 위상변화는 Fig 9와 같다. 이러한, 단순 저항 부하 변동에 따른 임피던스 특성 모델링은 실제 Mass, Spring 성분의 영향이 줄어드는 것을 충분히 반영하지 못하므로 공진주파수의 변동에 큰 변화가 없음을 확인할 수 있다.

또한, 무부하 조건에서의 Langevin 타입 압전변환기에 대한 임피던스를 기준으로, $Q_{n}$(정규화된 Quality Factor)의 크기에 따라 Fig 9와 같이 임피던스의 크기 및 위상이 변화하고 압전변환기는 정전용량 성분만 남게 되며, 이에 따라 Fig 8과 같은 공진 회로의 전압 이득 곡선은 단순 LC 직렬 공진 형태로 바뀌게 되며, 이는 전기적인 관점에서 보았을 때 초음파 구동 시스템의 전력변환 효율이 줄어들며 기계적인 응답 특성의 감소를 뜻한다. 이로 인해, 실제 초음파 시스템 응용의 경우 압전변환기는 RLC를 포함한 임피던스의 변동이 나타나며 이를 대처하기 위해 PLL 등의 기법을 통한 제어 시스템에서 대응하고 있다.

본 논문에서는 압전변환기의 수중 부하 조건을 모델링하고 이에 대한 FEM 임피던스 해석을 통해 녹조 환경 개선 등 고출력 초음파 시스템에 활용되는 Langevin 타입 압전변환기에 대한 부하 모델링을 수행하였다^(4)-(8).

압전변환기에 대한 수중 부하 조건 모델링을 위하여 FEM 기반의 Piezoelectric Effect 및 Acoustic-Structure 다중물리해석을 수행하였다. 이에 따른 시뮬레이션 형상 및 메쉬(Mesh) 설계는 Fig 10의 (a)와 (b)에 나타내었으며, 압전변환기가 수면에 위치한 형상과 Acoustic 해석에 따른 수중으로 퍼지는 초음파 파동 및 압력 등을 적용하기 위한 물리적 경계조건 PML(Perfectly Matched Layer)로 둘러싸인 Water 도메인에 대한 설계를 각각 Fig 10의 (c)와 (d)를 통해 확인할 수 있다. 한편, 반지름 200[mm] 가량의 반구로 설계된 Water 도메인에 대해 실제 Geometry 영역의 경계조건을 넘어 매우 먼 거리에 대해 효과적으로 적용될 수 있도록 Infinite Element Domain을 통한 물리적인 경계조건(Physics)을 설계하였다.

이러한 유한요소 해석 환경을 바탕으로 압전변환기에 대한 수중 환경을 모델링하였으며, Fig 10(c)의 수면에 위치한 압전변환기를 각각 68[mm], 150[mm], 300[mm]씩 수심 속으로 위치시켜가며 임피던스 특성 및 다중물리 해석을 수행하였다.

3.2 수중 부하 조건에서의 임피던스 해석

앞서 명시된, 압전변환기의 FEM 해석을 위한 수중 부하 모델링을 바탕으로 도출한 임피던스 특성 곡선 및 BVD 등가회로의 각 RLC 회로 정수는 Fig 11및 Table 5를 통해 나타내었다. 압전변환기의 수중이나 수면에 설치될 부하 조건에 대해 FEM 시뮬레이션 환경에서 모델링을 수행하였으며, 단순 저항 부하 변동이 아닌 RLC를 포함하는 임피던스 변동에 의한 공진 점 및 $Q_{m}$의 변화를 확인할 수 있다. Fig 11의 각 곡선은 무부하 조건에서의 압전변환기에 대한 임피던스 곡선을 기준으로 정규화된 Quality Factor($Q_{n}$)에 대해 50%, 25%, 10%로 수심의 깊이가 깊어지는 부하 조건에서의 임피던스 곡선을 나타낸다.

또한, 압전변환기가 위치하는 수심이 깊어질수록 단순 Resistance의 부하 변동이 아닌, 기계적인 공진에 해당하는 Mass와 Spring 성분에 의한 전기적 요소 L, C의 변동으로 인해 공진주파수($f_{r}$)의 변동을 확인할 수 있으며, 중부하로 갈수록 위상 선도에서 Zero Crossing에 가까워짐에 따라 압전변환기가 Capacitive 부하로써 동작하게 됨을 확인할 수 있다.

이러한 구조해석-압전효과-수중초음파에 대한 다중 물리해석을 통해 압전변환기의 역 압전효과에 의한 변위(진동), 압전체의 전위, 압전변환기의 진동 때문에 수중으로 퍼져나가는 Acoustic Pressure에 대한 시뮬레이션 결과를 Fig 12를 통해 각각 확인할 수 있다. 또한, 실질적으로 초음파 구동 시스템에서 활용하기에 적합한 기계적 응답(진동) 특성을 만족하도록 하는 부하 조건 내에서의 기계적 품질계수를 BVD 등가회로의 직렬, 병렬 구성을 기준으로 각각 Fig 13의 $Q_{m1}$, $Q_{m2}$를 통해 확인할 수 있다.