2.1 임피던스 행렬 생성

본 연구의 이전 연구에서는 전력시스템에서 1선 지락고장이 발생했을 때 인버터 연계형 분산전원을 전류원으로 해석하여 고장 전류의 정상분, 역상분 및 영상분을 계산하는 방법을 도식화하였다. 예를 들어, 분산전원을 포함하는 전력시스템 네트워크가 다음 그림 1처럼 3개의 모선과 3개의 선로로 연결되면, Part 1에서 소개한 네 가지 규칙으로 다음과 같은 임피던스 행렬(Zbus)을 정의할 수 있다. 예를 들어, za = 0.1j p.u., zb = 0.1j p.u., zc = 0.1j p.u., zg1 = 0.01j p.u., zg2 = 0.01j p.u.일 때, 임피던스 행렬은 다음과 같은 절차에 의해 생성가능하다. 자세한 생성 규칙은 Part 1에서 소개하였다.

첫 번째와 두 번째 단계의 결과는 다음과 같다.

세 번째 단계에서는 노드 1과 3이 연결되어 다음과 같은 임피던스 행렬을 얻을 수 있다.

네 번째 단계에서는 노드 3이 zg2의 임피던스를 통해 그라운드로 연결되어 크론 리덕션(Kron reduction)을 이용하면, 다음과 같은 최종 임피던스 행렬을 얻을 수 있다.

2.2 전류 주입법

이렇듯 전력시스템의 모선과 선로 정보를 이용하여 N개의 모선이 환상형 (loop) 혹은 방사형 (radial) 형태로 연결되면, N×N 임피던스 행렬(Zbus)을 정의할 수 있다. 그림 2처럼 전압원으로 작동하는 분산전원이 모선 i에 연결되고, 전류원으로 동작하는 분산전원이 모선 k에 연결된다면 Zi 와 Zk (e.g., Zk=1/Yk)를 모두 포함하는 임피던스 행렬을 역시 정의할 수 있다. 만약, 그림 2와 같은 네트워크의 모선 혹은 선로 j에서 1선 지락고장이 발생한다면, 그림 2의 전력시스템은 그림 3처럼 정상분, 역상분, 영상분 회로의 직렬 형태로 표현 가능하다. 이때 정상분의 네트워크를 N×N 임피던스 행렬(Zbus)로 정의하고, 전류원으로 동작하는 분산전원의 전류주입 행렬을 통해, 각 모선과 선로 사이에 흐르는 1선지락 고장 전류의 정상분을 계산할 수 있다. 이러한 절차를 역상분과 영상분 회로에서 반복한다. 또한 1선지락 고장 전압의 영상분, 정상분 및 역상분을 계산할 수있다. 이에 대한 자세한 설명은 본 연구의 Part 1에서 소개하였다.

3.1 전압원 해석

중첩의 원리를 이용하여 전류원은 우선 개방한다. 그러므로 위의 그림 5에서 전류원으로 작동하는 분산전원을 개방하고 다음과 같은 시퀀스 네트워크 회로로 표현한다.

만약 1선지락 고장시에 전류원으로 동작하는 인버터가 전류의 제한을 하지 않는다면 정격 전류는 인버터 말단으로 흘러야하기 때문에 그림 5의 Znorton은 무한대 값을 사용하였다. 이러한 가정을 기반으로, 위 그림 5의 전력시스템에서 정상분 네트워크 회로를 이전에 소개한 임피던스 행렬 생성 규칙에 의해 생성하면 다음과 같다.

역상분 임피던스 행렬은 다음 수식 6과 같이 수식 5의 정상분과 같다.

영상분 임피던스를 나타내면 다음과 같다.

이러한 임피던스 행렬을 생성한 후 1선지락 고장 전류를 식 (8)을 이용하여 구하면 다음과 같다.

이러한 1선지락 고장 전류가 각 모선을 통해 흐른다면 각 모선에 흐르는 전류와 전압은 이전에 소개한 식을 이용하여 구할 수 있다. 표 1에서는 1선지락 고장시의 각 상전압과 영상분, 정상분 및 역상분을 나타내었고, 표 2에서는 각 모선에서 흐르는 1선 지락고장 선전류와 영상분, 정상분 및 역상분을 나타내었다.

3.2 분산전원 전류원 고장해석

그림 4의 5개의 모선을 가진 전력시스템에서 슬랙 발전기는 전압원으로 동작하고 분산전원은 전류원으로 동작한다고 가정했을 때, 본 항목에서는 중첩의 원리를 이용하여 전압원은 소거시키고 전류원으로 동작하는 분산전원만을 고려하고자 한다. 따라서 이전 항목에서와 같이 3번 모선에서 1선 지락고장이 발생하였다고 가정한다. 이때 전류원으로 동작하는 분산전원으로부터 흐르는 고장 전류를 계산하는 과정은 절차적으로 다음과 같다.

(1) 전압원 소거(단락)시키기. 중첩의 원리를 이용하여 전류원만을 고려하므로 모든 전압원은 소거(단락)시킨다.

(2) 전력시스템의 정상분, 역상분 및 영상분 시퀀스 네트워크 회로로 분리하기. 우선 분산전원만 존재하는 경우를 고려하기 위해서 위의 그림 4에서 제시된 전력시스템을 다음 그림 6에서처럼 정상분, 역상분 및 영상분으로 나누는 것이 필요하다. 이때 모든 전압원은 단락된다. 네트워크 회로의 형태가 변하지 않기 때문에, 이전 항목 식 (5)부터 7에서 제시된 정상분, 역상분 및 역상분의 임피던스는 동일하게 사용한다.

(3) 역상분 및 영상분 등가 임피던스 찾기. 여기서 등가 임피던스는 해당 시퀀스 네트워크회로의 전체 임피던스로 정의할 수 있다. 따라서 역상분 및 영상분 등가 임피던스는 3번 모선에서 고장이 발생하였으므로 이전 절차 (2)에서 생성된 임피던스 행렬 내의 (3,3)의 위치에 있는 개방회로 드랑이빙 포인트 임피던스를 의미한다.

(4) 정상분 기준으로 시퀀스 네트워크 회로 단순화하기. 다음의 그림처럼 정상분 네트워크 회로를 기준으로 영상분 등가 임피던스, 역상분 등가 임피던스 및 고장 임피던스를 정상분 네트워크 회로의 고장모선에 병렬로 삽입하여 회로를 단순화 한다. 본 항목에서는 1선 지락고장의 예를 들고 있기 때문에 영상분 등가 임피던스, 역상분 등가 임피던스 및 고장 임피던스의 선형적인 합을 삽입한다.

(5) 시퀀스 네트워크의 재생성. 이전 절차 (4)의 정상분 시퀀스 네트워크 회로를 이전 항목에서 설명한 임피던스 행렬 생성 규칙에 의하여 임피던스 행렬을 생성하면 수식 5와는 다르게 다음 수식 12와 같다.

(6) 전류원 주입 행렬의 정의. 전류원이 연결된 모선의 위치에 다음과 같은 전류원 주입 값을 정의한다. 전류원의 크기는 기준 용량(MVA)으로 환산한 값이다. 예를 들어, 5-모선 전력시스템의 예에서 10 MVA (100 MVA에서 0.1 p.u.)의 용량을 가진 분산전원이 100 MVA의 기준용량을 가진 전력시스템에 0.95의 지상 역률로 동작한다면, 분산전원의 용량은 9.5 + j3.1225 MVA 혹은 0.095 + j0.0312 p.u.로 환산된다. 본 예에서는 5번 모선에 하나의 전류원이 존재한다고 가정하였으므로 다음의 5번째 행에 전류원 주입 값을 갱신한다.

만약 전류원의 수가 두개 이상이라면 각각의 전류원을 p.u.로 환산하고 해당위치의 행렬에 갱신한다.

(7) 전류원에 기인한 정상분 네트회크 회로의 각 모선 전압 계산. 이전 절차 (6)에서 정의한 전류원 주입 행렬을 이용하여 정상분 시퀀스 네트워크 회로의 각 모선에서의 전압을 계산하면 다음과 같다. 이 때의 임피던스행렬은 수식 12에서와 같이 변형된 정상분 네트워크회로를 이용한다.

(8) 정상분 네트워크 회로의 고장 전류 계산. 이전 절차 (7)의 전압과 절차 (3)의 등가 임피던스를 이용하면 다음과 같이 정상분 고장 전류를 계산할 수 있다. 이때, 1선 지락고장이므로 역상분 및 영상분에서는 같은 크기의 고장 전류가 흐르게 된다.

(9) 역상분 기준으로 시퀀스 네트워크 회로 합치기. 다음의 그림처럼 역상분 네트워크 회로를 기준으로 5-모선 예제를 다시 그리면 다음과 같다. 역상분 시퀀스 네트워크 회로에 흐르는 고장 전류는 이전 절차 (8)에서 계산하였으므로 이 값을 사용하게 된다.

(10) 역상분 시퀀스 네트워크 회로의 임피던스 행렬 재생성. 이전 절차 (9)의 역상분 시퀀스 네트워크 회로를 이전 항목에서 설명한 임피던스 행렬 생성 규칙에 의하여 임피던스 행렬을 생성하면 다음과 같다.

(11) 전류원 주입 행렬의 정의. 역상분 네트워크 회로에서 전류원은 고장 모선에서 흐르는 이전 절차 (8)에서의 If–의 전류원만 존재하므로 다음과 같이 전류원 주입 행렬을 정의할 수 있다. 이때 고장이 3번 모선에서 발생하였으므로 3의 행에 갱신한다.

(12) 역상분 네트회크 회로의 각 모선 전압 계산. 이전 절차 (11)에서 정의한 전류원 주입 행렬을 이용하여 역상분 시퀀스 네트워크 회로의 각 모선에서의 전압을 계산하면 다음과 같다. 네트워크 형태가 변형되지 않았으므로 식 (18)에서 정의된 임피던스 행렬을 재사용 할 수 있다.

(13) 영상분 기준으로 시퀀스 네트워크 회로 합치기. 다음의 그림처럼 영상분 네트워크 회로를 기준으로 5-모선 예제를 다시 그리면 다음과 같다. 영상분 시퀀스 네트워크 회로에 흐르는 고장 전류의 영상분은 이전 절차 (8)에서 계산하였으므로 이 값을 사용하게 된다.

(14) 영상분 시퀀스 네트워크 회로의 임피던스 행렬 재생성. 이전 절차의 영상분 시퀀스 네트워크 회로를 이전 항목에서 설명한 임피던스 행렬 생성 규칙에 의하여 임피던스 행렬을 생성하면 다음과 같다. 네트워크 형태가 변형되지 않았으므로 식 (7)에서 정의된 임피던스 행렬을 재사용 할 수 있다.

(15) 전류원 주입 행렬의 정의. 영상분 네트워크 회로에서 전류원은 고장 모선에서 흐르는 이전 절차에서 발견된 If0 의 전류원만 존재하므로 다음과 같은 전류원 주입 행렬을 정의할 수 있다. 이때 고장이 3번 모선에서 발생하였으므로 3의 행에 갱신한다.

(16) 영상분 네트회크 회로의 각 모선 전압 계산. 이전 절차 (15)에서 정의한 전류원 주입 행렬을 이용하여 영상분 시퀀스 네트워크 회로의 각 모선에서의 전압을 계산하면 다음과 같다.

(17) 각 모선의 상전압 계산. 이전 절차에서 각 모선 전압의 영상분, 역상분 및 정상분을 계산하였으므로, 다음의 수식처럼 각 상의 전압을 구할 수 있다. 아래의 수식을 모선 수까지 반복하면 모선의 상전압을 계산할 수 있다.

다음 표3는 이러한 각 모선의 상전압과 시퀀스 네트워크 회로의 전압을 나타내고 있다.

(18) 각 모선의 선전류 계산. 정상분, 역상분 및 정상분 시퀀스 네트워크 회로에서 각 모선의 전압을 계산하였으므로 각 시퀀스 네트워크 회로에 흐르는 전류는 각 모선 사이의 임피던스를 이용하여 다음과 같이 구할 수 있다.

3.3 중첩의 원리

이전의 전압원만 존재하는 시스템과 전류원만 존재하는 경우의 해(이를테면 고장 전류, 고장시의 모선 전압 및 전류)를 중첩하면 최종적인 다음과 같은 1선지락 고장 전류를 구할 수 있다. 이때, 슬랙 발전기는 전압원으로 동작하고 분산전원은 전류원으로 동작한다.

또한, 1선지락고장 시 다음과 같이 중첩의 원리를 이용하여 각 모선에서의 상전압과 이들의 영상분, 정상분, 역상분을 구할 수 있다. 예를 들어, 전압원으로 동작하는 슬랙 발전기와 전류원으로 동작하는 분산전원이 동시에 존재하는 시스템의 모선 전압을 구하면 다음 표 5와 같다. 이는 표 1와 표 3의 선형적인 합과 일치하여 본 연구의 타당성을 입증한다. 1선 지락고장시의 선전류를 전압원(슬랙 발전기)과 전류원(분산전원)이 동시에 존재하는 경우의 모선의 선전류와 이들의 영상분, 정상분, 역상분을 구하면 다음 표6과 같다. 마찬가지로 이는 표 2와 표 4의 선형적인 합과 일치하여 본 연구의 타당성을 입증한다.

3.4 분산전원의 용량 변화에 따른 고장 전류에 대한 영향 및 분산전원의 용량, 부하, 선로 임피던스의 변화를 통한 검증

인버터 기반의 분산전원이 전력시스템에 연결되고 1선지락 고장이 발생했을 때 고장 전류에 대한 분산전원의 효과를 보기위해 다음 그림 10의 시스템을 가정한다. ∆-Y 및 Y-∆ 결선 변압기에서 30도의 위상 변화는 무시하였다. 시스템의 기준 용량은 100 MVA이다. 슬랙 발전기의 소스 임피던스는 무시하였고, 주변압기의 임피던스는 100 MVA에서 정상분과 역상분은 각각 0.4j p.u., 영상분은 0.5j p.u.를 가정하였다. 선로는 정상분과 역상분은 0.2+0.4j p.u.를 영상분은 0.5+1.1j p.u.를 사용하였다. 두 번째 변압기는 10 MVA에서 0.06j p.u.의 임피던스를 사용하였다. 분산전원의 영상분 임피던스는 0.05j p.u., 정상분은 1.1j p.u., 역상분 임피던스는 0.13j p.u.를 사용하였다 ⁽¹³⁾. 이전 3장 항목에서 제안된 방법을 통해 다음과 같은 모의를 진행하였다.

만약 부하의 용량, 선로 임피던스의 크기 (예를 들어, 선로의 임피던스가 0 p.u.라면 단락회로를 의미하고, 무한대의 값은 개방회로를 의미함), 분산전원의 용량이 변화하였을 때, 고장전류의 크기가 수렴하는 특성을 보인다면, 본 연구의 방법론을 증명하는 것이 또한 가능하다. 그러므로, 다음 그림 11은 분산전원의 용량의 증가시켰을 때의 고장 전류의 크기를 나타내고 있다. 예를 들어, 분산전원이 설치되지 않는 경우에는 다음과 같은 고장 전류가 흐른다.

만약 분산전원의 용량이 100 MVA까지 증가하면 다음과 같은 고장 전류가 흐른다.

고장 전류의 크기는 1.5684 p.u.에서 1.8144 p.u.로 15.69%가 증가하였다.

다음 그림 12는 부하의 용량의 증가시켰을 때의 고장 전류의 크기를 나타내고 있다. 예를 들어, 부하를 무시하였을 때는 다음과 같은 고장 전류가 흐른다.

만약 부하의 용량이 50 p.u. (5,000 MVA)까지 증가하면 다음과 같은 고장 전류가 흐른다.

고장 전류의 크기는 1.6727 p.u.에서 2.8091 p.u.로 67.94%가 증가하였다. 부하는 다음의 수식을 이용하여 등가 임피던스로 환산된다.

용량이 증가할수록 임피던스는 0과 같은 작은 임피던스로 환산되어 각각의 시퀀스 네트워크에 삽입되므로 이러한 0의 임피던스가 고장 전류를 계산하는 데 있어서 정상분, 역상분, 영상분 임피던스의 주요한 값이 되기 때문에 그림 12처럼 수렴하는 형태를 보이게 된다.

다음 그림 13은 선로의 임피던스를 증가시켰을 때의 고장 전류의 크기를 나타내고 있다. 예를 들어, 분산전원의 용량이 100 MVA이고 초기의 임피던스(정상분과 역상분은 0.2+0.4j p.u.를 영상분은 0.5+1.1j p.u.)를 사용하였을 때 고장 전류는 1.8144∠-55.50°p.u.이다 (그림 13의 오른쪽). 하지만 선로 임피던스를 90 p.u.까지 증가시키면 0.0186∠-50.58°p.u.까지 98.98% 감소함을 알 수 있다. 또한, 다음 그림 14는 선로의 임피던스를 0으로 감소시켰을 때(그림 14의 왼쪽)의 고장 전류의 크기를 나타내고 있다. 분산전원의 용량이 100 MVA이고 초기의 임피던스(정상분과 역상분은 0.2+0.4j p.u.를 영상분은 0.5+1.1j p.u.)를 사용하였을 때 고장 전류는 1.8144∠-55.50°p.u.이다. 하지만 선로 임피던스를 0 p.u.(그림 14의 왼쪽)까지 감소시키면 3.9395∠-63.84°p.u.까지 117.12% 증가함을 알 수 있다.

다음 그림 15는 분산전원과 부하 용량의 증가의 고장 전류의 크기에 대한 효과를 보여준다. 예를 들어, 분산전원의 0 p.u. 이고 부하 또한 0 p.u. 일 때 1.5512∠-75.852°p.u.의 고장 전류가 흐르게 된다. 만약 분산전원을 1.0 p.u. (100 MVA)까지 증가시키고, 또한 부하를 1.0 p.u. (100 MVA)까지 증가시키면 1.8144∠-55.50°p.u.의 고장 전류 증가하게 된다. 이는 17.44%의 증가를 의미한다. 즉, 부하와 분산전원을 각각 1.0 p.u.까지 증가시키면 17.44%의 1선지락 고장 전류 크기를 증가시킬 수 있다.

다음 그림 16은 분산전원과 부하 용량의 증가의 모선 전압의 크기에 대한 효과를 보여준다. 예를 들어, 분산전원의 0 p.u. 이고 부하 또한 0 p.u. 일 때, 모선에서 경험할 수 최대 전압 (예를 들어 b3의 b상 혹은 c상)은 1.0752∠128.026°p.u.이다. 만약 분산전원과 부하를 각각 최대 1.0 p.u. (100 MVA)까지 증가시키면 모선에서 경험할 수 있는 최대 전압은 1.2426∠142.504°p.u.이다. 이는 15.99%의 증가를 의미한다. 즉, 부하와 분산전원을 각각 1.0 p.u.까지 증가시키면 모선에서 경험할 수 있는 최대 전압의 크기를 15.99%까지 증가시킬 수 있다.

본 연구에서 제시된 방법론을 이용하여 2선지락, 2선단락 및 3상 사고에 적용해본 결과 다음의 표를 얻을 수 있다. 분산전원의 효과를 분석하기 위해, 부하는 무시하였다. 분산전원의 크기를 100% 증가시키면, 1선지락, 2선지락, 2선단락 및 3상 사고에서 고장전류는 약 7.8% 증가하였다.