3.1 회전자 슬롯 수에 따른 방사력 밀도
공극에서의 가진력은 고정자의 진동 변위를 발생시키고, 고정자의 진동 변위는 공기를 매개체로 하여 소음으로 전달된다. 소음 분석은 두 단계의 선행 분석이
요구된다. 첫 번째는 전동기 진동의 가진원을 분석하는 것이며, 두 번째는 가진원에 의한 진동 변위를 계산하는 것이다. 두 단계는 선행 연구에서 수행되었으며,
본 연구의 이해를 돕기 위해 선행 연구 결과를 본 장에서 간략히 정리하고자 한다.
전동기에서 진동은 공극에서의 방사력에 의하여 발생되며, 방사력($F_{r}$)은 식(1)과 같이 방사방향($B_{r}$)과 접선방향의 자속밀도($B_{t}$)로 계산된다.
이때 공기의 투자율($\mu_{0}$)은 $4\pi *10^{-7}H/m$이다.
방사방향과 접선방향 자속밀도는 공간 360°에 대하여 분포되고, 공간에 대한 자속밀도는 회전자가 회전하면서 시간에 따라 3차원적으로 분포된다. 3차원의
복잡한 방사력 분포는 2차원 FFT(Fast Fourier Transform)를 이용하여 각 시간 고조파 차수에 대한 공간 고조파 차수로 분해하여
고찰하는 과정이 필요하다. 본 연구진이 선행 연구를 통해 고정자와 회전자의 슬롯 조합에 따라 발생하는 시간 고조파와 공간 고조파의 주요 차수들을 예측할
수 있도록 수식적으로 계산하여 제안하였다
(18). 모든 11개 모델에서 발생하는 고조파 차수 및 계산 검증 과정은 선행 논문에서 확인할 수 있다.
3.2 회전자 슬롯 수에 따른 진동 가속도
이전 절 및 선행 논문에서 회전자 슬롯에 따라 발생하는 방사력 고조파 차수를 확인하였으며 시간과 공간에 대한 각각의 고조파들은 개별적인 진동 변위를
발생시킨다.
여기서 $F_{m}$, $M_{m}$, $\omega_{m}$, $\omega_{r}$, $\xi_{m}$은 각각 힘, 전동기의 질량, 공진 각주파수,
진동 모드의 각주파수, 모달 댐핑계수를 의미한다. 2, 3, 4차 모드의 고유진동수를 모달 해석을 통해 얻은 결과는
그림 2에 나타난다.
그림. 2. 유한요소해석을 통한 고유진동수
Fig. 2. Natural frequency results through FEA
그림. 3. 고정자 36슬롯 모델에서 회전자 슬롯 수에 따른 진동 가속도
Fig. 3. Acceleration of vibration according to the number of rotor slot in 36-slot
stator
공간 고조파(m)에 대한 진동 변위로 계산한 후, 이의 실효값(rms)을 계산한다. 이 과정을 모든 시간 고조파 차수(n)에 대해 반복하여 진동 가속도를
구한다
(21)-
(26).
그림 3은 식(2)의 진동 변위를 진동 측정에 가장 많이 쓰이는 진동 가속도로 계산해 11개 모델을 비교하여 나타낸다. 회전자 슬롯에 관계없이 3620Hz 대역에서
진동 가속도가 식별되는데 이는 그림 2에서 확인한 것과 같이 극 수 4와 4차 고유진동수에 의한 성분이다. 전자계적 특성과 진동 특성을 살펴보면, 11개의 모델은 정격 토크, 전동기 크기와
같은 전동기에서 중요한 변수를 모두 동일하게 설계하였음에도 불구하고, 진동에서의 특성 차이가 크게 나타나는 것이 확인된다. 진동 특성은 계산된 고조파
차수와 고유진동수에 의한 결과이며, 그 과정은 선행 논문에 서술되어 있다. 일반적으로 고유진동수는 진동 모드 m이 증가함에 따라 빨라지며, 식(2)에서와 같이 고유진동수와 진동은 반비례 관계에 있다. 이는 진동 모드가 증가하면 동일한 가진력일 때 진동에 대한 영향이 줄어드는 것을 의미한다. 11모델을
비교했을 때 주요 차수에서 공간 차수로 2차 성분을 진동원으로 갖는 회전자 30슬롯, 34슬롯, 38슬롯, 42슬롯 그리고 46슬롯 모델은 큰 값의
2차 성분에 의하여 진동에서 매우 취약한 특성을 보이는 것을 선행 연구에서 증명한 것과 같이 동일하게 발생하는 것을 확인하였다 (18). 같은 크기의 가진력이 발생하더라도 가진력을 구성하는 차수가 낮을수록 큰 진동을 발생시키므로 진동의 크기를 분석할 때는 가진력의 구성 성분을 파악하는
것이 중요하다. 또한 다음 장에서 기술할 소음 특성을 계산하는 과정에서도 가진력의 구성 성분이 중요한 역할을 하기 때문에 해당하는 주파수를 주목하여
분석해야 할 필요가 있다.
4. 소음 특성 분석
그림 4는 전동기에서 발생하는 진동 및 소음의 과정을 보여준다. 회전자가 회전하면서 공간과 시간적으로 발생한 전자기력이 고정자 치에 가해지며, 고정자와 하우징의
최외각 변형을 일으키고 이는 소음원으로 작용하여 최종적으로 소음이 발생하게 된다. 그러나 기계 구조에서 진동과 소음의 관계는 구조의 치수, 경계 조건,
재료 특성 등에 의해 간단하게 계산되는 것은 아니다. 진동하는 물체는 주변 매질에서 음파를 생성하며, 특정 구조에서는 더 큰 진동이 더 높은 음압과
방사 소음을 일으키지만 대부분의 경우 구조적인 이유로 소음과 진동은 정확하게 비례 관계에 있지 않다. 본 논문에서는 방사방향 진동 및 소음을 예측하기
위해 축 방향 진동은 발생하지 않는다고 가정하여 소음을 예측한다.
그림. 4. 전동기에서 진동과 소음의 발생 메커니즘
Fig. 4. Mechanism of vibration and noise generation in a motor
전동기의 고정자에서 방사방향으로 발생하는 소음은 전자기력의 공간 및 시간 고조파의 주파수가 고정자 진동 모드의 고유진동수에 가까울 때 특히 중요하다.
각 진동 모드에 대한 주파수 영역의 음향 출력을 계산한 후 각 진동 모드의 결과를 중첩하여 음파를 분석할 수 있다. 고정자 모드 m에 대한 고정자
표면에서 발생하는 음향 출력(Sound power)은 다음 식과 같이 계산할 수 있다.
$S_{f}$는 고정자의 외부 단면적, $A_{m}$은 방사방향의 진동 변위를 의미한다. 음압을 계산할 때 사용되는 공기의 밀도는 $\rho_{0}=1.188kg/m^{3}$,
공기에서의 속도는 $c_{0}=344m/s$로 모두 $20^{\circ}{C}$ 조건에서 계산한다. 또한 $\sigma_{m}$은 모드 별 음향 방사
효율을 나타낸다.
그림. 5. 음향 방사 효율 (a) 10000Hz 범위, (b) 5000Hz까지 범위 확대
Fig. 5. Sound radiation efficiency (a) up to 10000Hz, (b) the zoomed-in version of
(a)
위에서 구한 음향 출력을 통해 음향 출력 레벨 Sound Power Level(SWL)을 계산할 수 있으며, 다음과 같은 수식을 통해 계산된다.
일반적으로 소음의 정도를 평가하는 음압 레벨 Sound Pressure Level(SPL)로 변환하기 위해
식(5)를 사용한다.
이때 $Q$는 방향 계수, $r$은 소음을 측정하는 마이크와의 거리를 의미하며 본 연구에서는 대부분 실측 방법에서 사용되는 $1m$의 거리로 가정하고
계산한다. 음향 출력을 계산하는
식(3)의 $\sigma_{m}$은
식(6)에 의해 계산된다.
식(6)에서 $J_{m}(k_{0}a)$와 $J_{m+1}(k_{0}a)$은 각각 m차, m+1차의 제1종 베셀 함수이며 $Y_{m}(k_{0}a)$와 $Y_{m+1}(k_{0}a)$은
m차, m+1차의 제2종 베셀 함수이다. 이때 $k_{0}$는 $\omega /c_{0}$로 계산되며, $c_{0}=344m/s$, $a$는 전동기를
포함한 하우징 외부 반지름을 나타낸다
(22).
그림. 6. 고정자 36슬롯 모델에서 회전자 슬롯 수에 따른 음압 레벨
Fig. 6. Sound pressure level according to the number of rotor slot in 36-slot stator
모드 $m$과 $k_{0}a$에 따른 본 논문의 유도전동기 고정자에 대한 모드에 따른 음향 방사 효율은
그림 5(a)와 같다. 모드가 작을수록 낮은 주파수에서부터 음향 방사 효율이 발생하기 시작하며 주파수가 매우 높아졌을 때 1에 가까운 값으로 수렴하는 특징을 갖는다.
그림 5(b)에서는 본 연구의 유도전동기의 진동을 분석한 대역의 주파수에서 값을 갖는 짝수 차수 모드에 대해 나타내었다. 이러한 특성에 의해 약 3000Hz 이하에서는
4차 이상의 모드에 의한 큰 진동이 존재하더라도 음향 방사 효율이 0이므로 2차 모드에 의한 소음만 발생할 것으로 예측되며, 따라서 각 차수 별로
소음에 미치는 영향을 따로 분석할 필요가 있다.
그림 6은 고정자 36슬롯의 회전자 슬롯 수에 따른 11개 모델에 대한 SPL을 나타낸다. 그림 3에서 진동 가속도를 봤을 때 회전자 30, 34, 38, 42, 46슬롯 모델에서는 나머지 6개 모델에 비해 큰 진동이 발생하는 것으로 나타난다.
이를 그림 6의 SPL 결과와 비교해보면 위에 나열한 5개의 모델은 큰 진동이 발생하는 차수에 따라 최고 소음이 발생하는 주파수 대역은 다르지만, 모두 100dB
이상의 큰 소음이 발생하는 반면 나머지 6개 모델에서의 SPL 최댓값은 100dB 이하이다. 본 논문에서는 유도전동기의 상세 설계 전에 진동 및 소음에
취약할 것으로 예측되는 슬롯 조합을 사전에 제거하고자 하는 목적을 가지므로, 고정자 36슬롯 모델 중 진동에서 이미 취약한 특성을 보이는 회전자 30,
34, 38, 42, 46슬롯을 제외한 26, 28, 32, 40, 44, 48 슬롯 6가지 모델에 대해 소음을 분석한다. 앞서 서술한 음향 방사
효율을 고려하여 각 차수에 의해 발생하는 소음을 분리하여 파악하기 위해 진동을 분석할 때와 동일한 주파수 대역에서 영향력있는 음향 방사 효율이 발생하는
2차와 4차 모드에 의한 소음을 차례로 분석하고자 한다.
그림. 7. 고정자 36슬롯 모델에서 회전자 슬롯 수에 따른 SPL과 Acm에 미치는 2차 모드의 영향
Fig. 7. Effect of 2nd mode on SPL and Acm according to the number of rotor slot in
36-slot stator (a) 26-slot, (b) 28-slot, (c) 32-slot, (d) 40-slot, (e) 44-slot, (f)
48-slot
4.1 2차 모드에 의한 소음 분석
그림 7은 선정한 6가지 모델에 대한 진동 및 소음을 보여준다. 각 그림에서 네 가지 그래프는 전체 소음, 2차 모드에 의한 소음, 전체 진동 가속도, 2차
모드에 의한 진동 가속도를 나타낸다. 본 절에서는 2차 모드에 의한 소음 및 진동을 집중적으로 전체 소음 및 진동과 비교하여 분석하고자 한다. 이때
주목할 점은 약 3000Hz 전까지 발생하는 진동 가속도와 2차 모드에 의한 진동 가속도는 일치하는 슬롯 모델도 있고, 일치하지 않는 모델도 존재하지만,
6가지 모델 모두에서 전체 소음과 2차 모드에 의한 소음은 완벽하게 일치한다는 것이다. 이는 그림 5에서 보여준 것과 같이 약 3000Hz까지는 2차 모드의 음향 방사 효율이 유일하므로 아무리 큰 진동이 발생하더라도 2차 모드를 제외한 모드에서는
그 진동으로 인한 소음이 발생할 수 없다. 진동 분석에서 낮은 차수의 영향이 클수록 진동이 크게 나타난 것과 마찬가지로, 2차 모드에 의한 진동이
클수록 소음도 크게 발생하는 것을 확인할 수 있다.
진동이 작은 모델 중에서도 그림 7(c), 7(d), 7(e), 7(f)에 해당하는 32, 40, 44, 48 슬롯에서는 2차 고유주파수 대역을 포함하여 2차에 의한 진동이 거의 발생하지 않으며 이는 작은 소음으로 이어진다.
위 4가지 모델 중 그림 7(e)의 2차 모드 고유진동수 대역에서 발생한 소음이 68dB로 회전자 44슬롯 모델의 분석 주파수 중에서 가장 크지만 이를 제외한 나머지 2차 모드에
의한 주파수 대역에서는 2차 모드에 의한 진동이 매우 작음에 따라 큰 소음도 발생하지 않는다.
그림. 8. 고정자 36슬롯 모델에서 회전자 슬롯 수에 따른 SPL과 Acm에 미치는 4차 모드의 영향
Fig. 8. Effect of 4th mode on SPL and Acm according to the number of rotor slot in
36-slot stator (a) 26-slot, (b) 28-slot, (c) 32-slot, (d) 40-slot, (e) 44-slot, (f)
48-slot
나머지
그림 7(a)와
그림 7(b)에 해당하는 회전자 26, 28슬롯을 통해 2차 모드 진동에 의해 발생하는 소음을 확실하게 분간할 수 있다. 26슬롯 모델에서는 약 3000Hz까지
발생하는 진동이 2차 모드에 의해 발생하는 진동과 몇몇 주파수 대역을 제외하고는 거의 일치한다. 1020Hz와 2220Hz에서 발생하는 진동은 2차
모드에 의한 진동의 크기와 일치하며, 두 주파수에서 발생한 진동의 크기도 비슷하다. 하지만 3% 차이로 거의 동일한 크기의 진동에 의해 발생하는 소음의
크기는 79% 차이로 벌어지는데, 이는 앞에서 설명한 음향 방사 효율($\sigma_{m}$)에 의해 나타나는 현상이다. 주파수가 커질수록 커지는
$\sigma_{m}$의 성질에 의해 큰 진동이 발생했다 하더라도 낮은 주파수 대역에서는 그만큼의 소음이 그대로 이어져 나타나지 않을 수 있기 때문에
진동의 크기를 토대로 소음을 예측할 수 없고, 음향 방사 효율까지 고려하는 것이 필수적이다.
그림 7(b)의 회전자 28슬롯 모델에서는 2차 고유진동수 대역을 제외하고는 전체 진동 가속도의 크기도 작을 뿐만 아니라 2차 모드에 의한 진동도 거의 발생하지
않기 때문에 2차 고유진동수 대역을 제외하고는 3000Hz 이하 대역에서 26슬롯 모델에 비해 현저히 낮은 소음이 발생한다.
그림. 9. 고정자 24슬롯 모델에서 회전자 슬롯 수에 따른 SPL과 Acm에 미치는 2차 모드의 영향
Fig. 9. Effect of 2nd mode on SPL and Acm according to the number of rotor slot in
24-slot stator (a) 20-slot, (b) 22-slot, (c) 26-slot, (d) 28-slot, (e) 30-slot, (f)
32-slot
4.2 4차 모드에 의한 소음 분석
본 절에서는 앞 절에서 2차 모드에 의한 소음을 분석한 것과 같은 방법으로 4차 모드에 의한 진동과 소음을 집중하여 분석하고자 한다. 그림 8은 그림 7과 동일하게 선정된 6가지 모델에 대한 네 가지 그래프 전체 소음, 4차 모드에 의한 소음, 전체 진동 가속도, 4차 모드에 의한 진동 가속도를 나타낸다.
그림 5의 $\sigma_{m}$에 의한 영향으로 약 3000Hz 이하의 주파수 대역에서는 발생하는 소음이 2차 모드에 의한 소음과 일치하며, 4차 모드에
의한 진동이 발생하더라도 그로 인한 소음은 발생하지 않는다. 예를 들어 그림 8(c) 32슬롯 모델에서의 960Hz와 2040Hz, 그림 8(d) 40슬롯 모델의 1200Hz에서 4차 모드로 인한 비교적 큰 진동이 발생하지만, 그 주파수 대역에서는 앞서 그림 7에서 확인한 바와 같이 전체 소음이 2차 모드에 의한 소음과 정확하게 일치하며, 4차 모드에 의한 소음은 전혀 발생하지 않는다. 하지만 3000Hz
주파수 대역부터는 2차 모드에 의한 진동이 매우 작아짐에 따라서 2차 모드의 음향 방사 효율이 1에 가까운 값으로 수렴했음에도 불구하고 2차 모드에
의한 소음이 거의 발생하지 않는 것을 그림 7에서 확인하였으며, 진동이 대부분 4차 모드에 의한 것을 그림 8에서 볼 수 있다. 이에 따라 3000Hz 대역부터는 2차 모드가 아닌 4차 모드에 의한 소음이 전체 소음과 거의 일치한다.
6가지 모델 중에서 2차 모드 고유진동수 대역에서는 2차 모드에 의한 진동이 발생한 회전자 슬롯 모델이 일부였지만 4차 모드에 해당하는 3620Hz
대역에서는 모든 모델이 4극이므로 공통적으로 큰 진동과 소음이 발생한다. 2차 모드에 의한 큰 진동이 발생했던 26슬롯 모델을 제외한 모든 모델에서
3620Hz일 때 가장 큰 진동이 발생하지만, 식(3)과 같이 소음 출력을 계산하는 과정에서 4차 모드의 낮은 음향 방사 효율과 로그 값으로 계산되는 특성에 의해 진동만큼의 크기 차이는 발생하지 않는다.
4차 모드 고유진동수 3620Hz에서 진동 및 소음이 가장 작은 26슬롯과 가장 큰 28슬롯을 비교해보면, 26슬롯 기준 28슬롯의 진동 가속도는
$0.68m/s^{2}$에서 $1.18m/s^{2}$로 약 74% 증가했지만, 소음은 63.3dB에서 75.5dB로 약 19%밖에 증가하지 않는다.
또한 28슬롯 모델에서 2차 고유진동수와 4차 고유진동수 주파수 대역의 진동과 소음을 비교해보면, 2차 모드 고유진동수 1709.6Hz 대역에서의
진동 가속도는 $0.68m/s^{2}$, 4차 모드 고유진동수 (3919.9Hz)에서는 $1.18m/s^{2}$로 4차 모드 기준 57.6%의 크기밖에
되지 않지만, 발생하는 소음의 크기는 2차 모드 고유진동수에서 82.7dB, 4차 모드에서는 75.5dB로 오히려 2차 모드일 때 9.5% 더 큰
SPL이 발생한다. 이 대표적인 예시를 통해 단순히 진동을 통해 소음을 예측할 수 없을 뿐만 아니라 $\sigma_{m}$의 특성을 고려해 진동을
일으키는 성분을 파악해야 소음 특성을 정확하게 예측할 수 있다는 것을 알 수 있다.
4.3 고정자 24슬롯 모델을 통한 검증
지금까지 고정자 36슬롯의 유도전동기를 기준으로 진동과 소음의 특성을 분석한 결과가 다른 모델에서도 동일하게 적용되는지 확인하기 위해 같은 4극에서
고정자 24슬롯 모델에 대해 동일한 방법으로 분석하여 검증한다. 고정자 36슬롯 모델과 마찬가지로 4극 유도전동기에서 고정자 24슬롯일 때 주로 사용되는
회전자 슬롯 수 조합을 선택하여 총 6가지 모델을 선정하였다. 6개의 모델 모두 표 1의 정격 성능을 만족하게 설계하였으며, 고정자와 회전자의 최외각 직경은 36슬롯 고정자와 동일하다. 그림 9에서 6개 모델에 대한 진동 가속도와 SPL을 위와 동일한 방법으로 나타내었다. 음향 방사 효율은 운전 속도와 하우징 외부 반지름의 크기에 의해 결정되기
때문에 36슬롯 고정자와 동일하게 그림 5의 그래프를 따른다.
그림 9에서는 그림 7과 동일하게 전체 소음, 2차 모드에 의한 소음, 전체 진동, 2차 모드에 의한 진동 4가지 그래프로 표현하였으며 마찬가지로 음향 방사 효율로 인해
약 3000Hz까지는 2차에 의한 소음이 전체 소음과 일치한다. 선행 논문에서 계산했던 2차 대각 차수가 발생하는 그림 9(b), 그림 9(c), 그림 9(e)의 22, 26, 30슬롯 모델에서 2차에 의한 큰 진동이 발생하며, 이는 660Hz와 780Hz로써 음향 방사 효율이 작은 주파수 대역임에도 불구하고
진동 가속도의 크기가 36슬롯 고정자일 때보다 크기 때문에 저주파수 대역에서 더 큰 소음이 발생한다. 음향 방사 효율의 영향을 다시 한번 확인하기
위해 그림 9(c)를 통해서 6가지 모델의 전체 영역에서 진동 가속도가 가장 큰 780Hz와 2차 모드 고유진동수 대역 1710Hz의 진동 가속도와 SPL을 비교해보면,
진동 가속도가 $3.04m/s^{2}$에서 $1.00m/s^{2}$로 63% 감소했지만 SPL은 91.1dB에서 92.4dB로 1.4% 증가하는 결과를
통해 주파수가 빨라질수록 커지는 음향 방사 효율의 영향을 확인할 수 있다. 또한 약 3000Hz 이후부터는 2차에 의한 진동이 거의 발생하지 않고
4차 모드에 의한 진동이 지배적임에 따라 소음에서도 2차에 의한 영향이 없어지는 것을 확인할 수 있다.
고정자 24슬롯 모델에서도 동일하게 음향 방사 효율의 영향을 확인해봄으로써 큰 진동이 발생하더라도 그 진동을 만들어내는 성분에 따라 소음으로 이어질
수도 있고, 음향 방사 효율과 같이 작용하지 않는다면 진동이 소음에 영향을 미칠 수 없다는 것을 검증하였다.