2.1 정전용량 해석식 유도

본 논문에서는 비스듬히 기울어진 모델 계면에 대한 전기장을 계산하기에 앞서, 비스듬히 기울어진 모델에 대한 정전용량을 구하고자 한다. 아래 그림 1은 $\theta$의 각도로 인가 전극에 비유전율이 $\epsilon_{2}$인 매질이 있고 접지전극에 비유전율이 $\epsilon_{1}$인 매질이 있는 구조이다. 그림 1에서 표현된 모델에 대한 정전용량을 커패시터의 직렬과 병렬의 구성에서의 모델 및 등가 정전용량(Equivalent Capacitance)을 구하는 방법을 이용하여 구하고자 한다.

계면이 이루는 각이 $\theta$이고, x축으로 미소 부분인 $\Delta x$ 부분으로 비유전율이 $\epsilon_{1}$인 매질의 정전용량을 $C_{1}$이라고 하고 비유전율이 $\epsilon_{2}$인 매질의 정전용량을 $C_{2}$라 하면 커패시터가 직렬로 연결되어 있으므로 등가 정전용량 $C_{eq}$에 대한 값은 식(1)과 같이 나타낼 수 있다.

$C_{1}$과 $C_{2}$의 부분을 $y=(tan\theta)x$의 그래프가 분할하고 있고, Z축의 방향으로의 길이가 1이라 하면 정전용량은 이루고 있는 유전체의 유전율에 비례하며 넓이에 비례하므로 $\Delta x$에 비례하며 길이에 반비례하는 형태로 표현할 수 있다. 따라서, 각 정전용량 값은 식(2)와 식(3)과 같다.

따라서, 식(2)와 식(3)을 식(1)에 대입하여 미소 부분 $\Delta x$에 대한 등가 정전용량을 계산할 수 있다. 계산 식의 과정은 아래 식(4)와 식(5)로 나타낼 수 있다.

식(5)에 나타나는 식은 $\Delta x$ 부분에 대한 정전용량을 나타내며, 각 $x$값에 따라서 커패시터가 병렬이므로 전체 정전용량 $C$는 전체 $x$의 범위에 따라 적분을 한 형태로 나타낼 수 있다. $y=(tan\theta)x$이므로 적분의 형태는 식(6)과 같은 일반형의 형태를 가지고 있다.

여기서, $a=(\epsilon_{2}-\epsilon_{1})tan\theta$, $b=\epsilon_{1}d$, $c=\epsilon_{0}\epsilon_{1}\epsilon_{2}$, $\alpha =\dfrac{d}{tan\theta}$

이 조건들을 모두 종합하여 $\theta$의 각도로 경사진 계면을 이루는 모델의 전체 정전용량 $C$는 식(7)과 같이 표현할 수 있다.

식(7)과 같이 계면이 이루는 각도와 비유전율에 대한 함수로 전체 정전용량에 대한 식이 유도되며 2.2절에서 2.1절에서 구한 $C$를 이용하여 전기장을 구하고자 한다.

2.2 정전용량을 이용한 전기장 해석

그림 2는 그림 1의 경사진 유전체 계면에 대해 전기장 해석을 하기 위하여 계면에 대한 수직 방향(Normal Direction)과 평행 방향(Tangential Direction)으로 나누어 평행사변형 형태로 각 방향으로 펼쳐놓은 모델이다. 좌표축 회전 이동을 이용하여 전기장 해석을 하기 위함이며 전기장을 수직 성분(Normal Component)과 평행 성분(Tangential Component)으로 나누어서 구하고자 함이다. $\epsilon_{2}$인 매질에 대해서 계면에 대한 수직 성분의 경우는 계면의 수직 방향의 경로에 따라 조금씩 변화하며 평행 성분도 계면의 평행 방향에 따라 조금씩 변화한다. 이는 유전체가 맞닿아 있는 계면이 기울어져 있고 유전율이 다른 유전체가 맞닿아 있으므로 전기장의 굴절(Refraction of Electric Field)에 의하여 전기장의 변화가 있으나 본 논문에서는 전기장의 각 성분이 평균적으로 일정한 모델을 사용하여 전기장을 구하도록 한다. 평행사변형이 양방향으로 존재하는 형태이므로, 수직 성분에 대한 식과 평행 성분에 대한 식을 따로 나누어 구하지 않고, 수직 성분에 대한 식만 구하여 계산한다. 이는 아래 표현되는 식(12)에 나타나 있다.

그림 2에 표현된 모델에 대한 정전용량은 두 개의 커패시터가 병렬로 놓여있는 경우이므로 전체 정전용량 값은 식(8)과 같이 나타난다.

식(8)을 통하여 정전용량을 계산할 수 있고 본 시스템에 저장되는 에너지는 인가되는 전압이 $V_{0}$이므로 식(9)와 같이 표현된다.

내부에 전기장을 구하기 위해서는 에너지밀도를 계산하여야 한다. 부피당 저장되는 에너지는 식(10)과 같이 표현할 수 있다⁽²⁸⁾.

따라서, 식(10)의 결과를 부피에 대해 적분을 하면 식(9)의 결과와 같다. 본 논문에서는 비유전율이 $\epsilon_{2}$인 매질에 대한 에너지를 구한 후 계면에 대하여 전기장의 평행 성분과 수직 성분을 구하고자 한다. 먼저 $\epsilon_{2}$의 매질에 저장되는 에너지는 평행사변형을 같은 면적으로 나누고 있으므로 비유전율의 내분으로 표현할 수 있다.

식(10)에서 비유전율이 $\epsilon_{2}$이므로 에너지밀도는 식(12)와 같이 표현할 수 있다.

앞서 언급한 바와 같이 평행사변형 모델에서 계면에 대한 평행 성분과 수직 성분의 경향이 같다. 따라서, $E_{\tan}\approx E_{no}$이라 할 수 있고 식(12)와 같이 근사화가 가능하다. 그리고, 경로에 따라서 평균적으로 거의 일정하다고 가정하였기 때문에 해당 영역에 대해 에너지밀도를 적분할 수 있다.

그림 3은 $\epsilon_{2}$인 유전율을 갖는 매질에 대한 에너지밀도 적분 모델이다. 전기장의 수직 성분이 일정하다고 가정할 때, 본 모델이 유전율이 서로 다른 절연물이 맞닿아 있는 형태이므로 전기장은 $y'$에 따른 반비례함수로 표현할 수 있고, 길이와 비유전율에 대한 내분의 형태로 나타난다.

여기서,

$A=\epsilon_{2}-\epsilon_{1}$, $B=\epsilon_{1}\dfrac{d}{\cos\theta}$, $f(x'_{i})=-tan\theta x+\dfrac{d}{\cos\theta}$

$E_{no}$을 구하기 위하여 $C$값을 구해야 하며, 적분을 통하여 $C$값을 구하고 이를 통해 $E_{no}$을 구한다.

여기서, $m=-tan\theta$, $n=\dfrac{d}{\cos\theta}$, $\alpha =\dfrac{d}{\sin\theta}$

식(18)과 식(19)에서 구한 값을 더한 후 비유전율의 비율로 내분하여 계면에 수직 성분(Normal Component)을 구한다. 계면 표면의 연면 성분(Tangential Component)의 경우는 유전율과 상관이 없으며 본 논문에서 다루는 전기장이 정적인 전기장과 관련된 것이므로 연면 성분에 따라 전기장을 적분하면 인가하는 전압이 나타난다.

식(20)에 따라 연면 성분의 전기장을 구하며 각 성분을 계산한 후 식(21)과 같이 전계 강도를 구하게 된다.

상기 모델은 유전율이 다른 2가지 물질에 대한 경우이다. 위의 모델과 다르게 유전율이 다른 2가지 이상의 물질이 중첩되어 있는 경우 계면에서의 전기장을 구하는 경우를 하기와 같이 논하고자 한다.

그림 4는 3개의 유전율이 다른 모델을 보여준다. $\epsilon_{1}$인 유전율을 갖는 매질은 각도 $\alpha$로 기울어진 형태로 구성되어 있으며 $\epsilon_{2}$인 유전율을 갖는 매질은 각도 $\beta$로 기울어진 형태로 구성되어 있고 나머지 부분은 $\epsilon_{3}$인 유전율을 갖는 매질로 구성되어 있다. 이 경우에 대해서 계면이 두 개가 존재하게 된다. 즉, $\epsilon_{1}$인 유전율을 갖는 매질과 $\epsilon_{2}$인 유전율을 갖는 매질에 대한 계면과 $\epsilon_{2}$인 유전율을 갖는 매질과 $\epsilon_{3}$인 유전율을 갖는 매질에 대한 계면, 총 두 개의 계면이 존재하게 된다. 각각의 계면에 대해 전기장을 구할 경우 예를 들어 $\epsilon_{1}$인 유전율을 갖는 매질과 $\epsilon_{2}$인 유전율을 갖는 매질에 대한 계면을 고려할 경우 $\epsilon_{2}$인 유전율을 가진 매질과 $\epsilon_{3}$인 유전율을 가진 매질은 두 매질을 대표하는 등가유전율 $\epsilon_{eq}$로 표현할 수 있다. 예를 들어 정전용량의 경우 매질의 유전율과 기하학적인 크기로 결정이 되기 때문에 직렬이거나 병렬일 경우에 등가정전용량을 구하는 것과 마찬가지로 등가유전율 $\epsilon_{eq}$로 표현이 가능하다. 마찬가지로 $\epsilon_{2}$인 유전율을 갖는 매질과 $\epsilon_{3}$인 유전율을 갖는 매질에 대한 계면을 고려할 경우에도 $\epsilon_{1}$인 유전율을 가진 매질과 $\epsilon_{2}$인 유전율을 가진 매질은 두 매질을 대표하는 등가유전율 $\epsilon_{eq}$로 표현할 수 있는 것이다. 본 물리적 의미를 표현한 그림은 아래 그림 5와 같다.

위에 기술한 바와 같이, 3개의 유전율이 다른 모델로 구성되었을 경우 그림 5와 같이 2개의 유전율이 다른 모델로 나누어서 계산이 가능하다. 따라서, 4개 이상의 유전율이 다른 모델일 경우라도 각 계면에 대해 나누어서 등가 유전율을 구하여 계산하면 본 절에서 다루었던 정전용량을 구하여 전기장을 계산하는 방법을 적용 가능하다고 할 수 있다. 일반적으로 $n(n\ge 3)$개의 유전율이 다른 매질이 중첩되어 있는 경우 $n-1$개의 등가 유전율을 구하며 계산하면 본 절에서 다룬 방법을 적용 가능하다고 할 수 있다.

2.3 사례 연구

2.1절과 2.2절을 통하여 유도한 전기장 계산식을 이용하여 Matlab으로 전기장을 계산하고, 비교 검증을 위하여 상용프로그램인 Maxwell을 사용하였다. 인가되는 전압은 50[kV]로 설정하고, 전극 간 거리는 25[cm]로 설정하였다. 비유전율은 2, 4, 6, 8의 경우로 나누어 계산을 하였고, 계면의 각도를 10°부터 80°까지 10°씩 증가시켜 각각의 경우에 대하여 계산을 하였다.

그림 6으로부터 그림 13까지 본 절에서 유도된 해석식을 이용한 결과와 상용프로그램인 Maxwell을 이용하여 구한 데이터를 비교하였으며, 불일치함과 관련된 데이터를 정량화하기 위하여 불일치 정도 $E$ 를 아래 식(22)와 같이 표현하였다.

여기서, $n="Division"$

값이 상당히 크므로 상용로그값을 취하였으며, 식(22)를 이용하여 계면 각도에 따라 불일치 정도 $E$ 를 계산한 결과는 아래 그림 14와 같이 나타난다.

그림 14에서 보듯이 유전율이 2인 경우는 계면 각도가 10°에서부터 50°까지는 불일치 정도가 작으나 계면 각도가 60°에서부터 80°까지는 불일치 정도가 큰 것으로 나타났다. 유전율이 4 또는 6인 경우는 계면 각도가 10°에서부터 60°까지는 불일치 정도가 작으나 계면 각도가 70°에서부터 80°까지는 불일치 정도가 큰 것으로 나타났다. 유전율이 8인 경우는 10°인 경우부터 60°까지의 경우는 불일치 정도가 작고 70°인 경우와 80°인 경우에 불일치 정도가 크게 나타났다. 따라서, 본 논문에서 제시한 방법은 계면 각도가 10°에서부터 50°까지 신뢰성이 있는 결과를 보였다. 이는 제시한 방법이 해당 모델을 좌표축 회전을 이용한 평행사변형의 형태로 변환하여 전기장의 계면에 대한 수직 성분과 평행 성분의 경향이 거의 같다는 조건을 가지고 계산한 것이므로 전체각도에 대해서 유도한 방법이 만족하지 않고 10°에서부터 50°까지 신뢰성을 갖음을 알 수 있었다. 전체각도에 대해 모두 만족하지 않는 이유는 본 논문에서의 수학적 방법이 전기장의 수직 성분을 구하는 방법을 통하여 유도된 방법이므로 90°로 근접할수록 전기장의 연면 성분이 수직 성분에 비해 커지므로 오차가 나타나는 것으로 사료된다. 또한 삼중점(Triple Junction Point) 부근에서는 상용프로그램을 통하여 전원과 접지부분의 삼중점 부근에서 메쉬를 나누어서 전기장을 구할 경우, 특이점(Singular Point)의 일종인 삼중점(Triple Junction Point)에서 에너지가 집중되는 경향을 보이므로 인가전압 전극 부근의 삼중점(Triple Junction Point)에서 전계가 급격히 상승하며, 본 모델은 정전기장이므로 계면의 길이 미소 성분에 대한 전기장의 적분이 전체인가되는 전압이 되므로 인가되는 전압이라는 경계조건을 만족하기 위해 접지측 부근의 삼중점(Triple Junction Point)에서는 전계가 급격히 하강하는 형태를 띄었다. 그러나, 본 논문에서 해석적 방법에서는 앞서 서술한 바와 같이 계면에 대한 전기장의 수직 성분과 평행 성분의 경향이 거의 같다는 조건을 가지고 다항식의 형태로 나타낸 것이기 때문에 삼중점(Triple Junction Point) 근처에서의 급격한 변화는 적었음을 알 수 있었다.