본 장에서는 2장에서 유한요소 해석을 통해 구한 매입형 영구자석 동기전동기 영상분 전압의 발생 원인에 관해 분석하고, 영상분 전압과 d-q축 전류
간의 커플링 성분을 고려한 변형된 자속 모델과 전압 식을 제안한다.
3.1 역기전력으로 인한 영상분 전압
그림 5 (a)는 고정자 권선을 개방하였을 때의 역기전력에 의해 발생하는 영상분 전압의 파형을 보여준다. 전동기의 고정자 슬롯 수가 48개로 고정되어 있어 권선의
기자력이 정현파가 아닌 구형파에 가까운 형태로 나타나게 되고, 이에 따라 영상분 전압이 발생하게 된다. 또한, 권선이 전기 각으로 $2\pi /3$마다
반복되므로, 영상분 전압은 기본파의 3차 고조파 형태로 나타나게 된다.
역기전력으로 인해 발생한 영상분 전압의 고조파 성분을 분석하기 위해 푸리에 변환이 적용되었고, 그림 5 (b)에 푸리에 변환의 결과를 나타내었다. 영상분 전압의 주된 고조파 성분은 역기전력 기본파의 3차, 9차, 15차 고조파로 나타났으며, 이는 영상분 기본파
주파수의 1배, 3배, 5배 고조파인 것을 알 수 있다. 본 해석에서는 회전자의 스큐(skew)를 고려하지 않았기 때문에 고조파 성분이 강조되었지만,
회전자에 스큐를 두게 되면, 영구자석에 의한 역기전력의 3차 고조파를 제외한 9차, 15차 고조파 등의 성분을 상쇄시켜 저감할 수 있다. 따라서,
본 논문에서는 영상분 전압의 3차 고조파만을 고려한 모델을 제안한다.
그림 5. 역기전력으로 인한 영상분 전압 : (a) 영상분 전압 파형, (b) 주파수 분석
Fig. 5. Zero Sequence Voltage generated by Back-EMF : (a) waveform of ZSV, (b) frequency
analysis
3.2 영상분 인덕턴스
매입형 영구자석 동기전동기는 회전자 내부의 영구자석으로 인해 자기적으로 돌극성을 띄어 회전자의 위치에 따라 인덕턴스가 변동한다. 매입형 영구자석
동기전동기의 인덕턴스는 누설 인덕턴스와 자화 인덕턴스로 나눌 수 있고, 자화 인덕턴스는 일정한 값을 가지는 평균값과 돌극성으로 인해 변화하는 값을
가지는 변동분으로 나누어 고려할 수 있다.
돌극성이 없는 경우의 자화 인덕턴스 평균값을 확인하기 위해서 영구자석을 제거한 후, 회전자를 고정하여 회전자 전기 각 $\theta_{e}$을
0으로 설정하고 권선의 전기자 쇄교자속을 측정하였다. 그림 6 (a)는 a, b, c 상 권선에 모두 같은 크기의 직류 전류 $i_{a}=i_{b}=i_{c}=10A$가 인가되어 영상분 전류가 존재할 때 발생하는 전동기
코어 내부의 자속 분포를 보여주고, 그림 6 (b)는 고정자 한 극의 단면과 쇄교자속을 도식적으로 보여주며, 그림의 화살표는 각 상의 권선이 만드는 쇄교자속의 방향과 분포를 나타낸다.
그림 6. a,b,c상에 같은 직류 전류가 인가되었을 때 쇄교자속, $i_{a}=i_{b}=i_{c}=10A$ : (a) 자속 분포, (b) 고정자
한 극의 도식
Fig. 6. Flux linkage when the same DC current is applied to phase a,b and c, $i_{a}=i_{b}=i_{c}=10A$
: (a) flux distribution (b) schematic of one pole of stator
그림 6 (a)와 같은 자속 분포는 기존의 매입형 영구자석 동기전동기의 쇄교자속 식으로는 설명되지 않는다. 기존의 쇄교자속 행렬식에 따르면, 돌극성이 없는 경우
각 상의 쇄교자속은 자화 인덕턴스 평균값의 합이 0이 되어 누설자속만 남게 되므로 영상분 자속은 식 (3)과 같이 누설 인덕턴스에만 영향을 받게 된다[11]. 따라서, 그림 6 (a)와 같이 슬롯 치에 자속이 발생한다는 것은 자화 인덕턴스 평균값의 합이 0이 되지 않아 누설 인덕턴스와 더불어 영상분 자속에 영향을 주는 추가적인
인덕턴스가 존재하는 것을 의미한다.
그림 6 (b)를 보면, 권선이 감긴 구조에 의해 세 상의 권선이 만드는 자속이 모두 존재하는 슬롯 치와 두 상의 권선이 만드는 쇄교자속만 존재하는 슬롯 치가 번갈아
가며 위치하게 되고, 반대 방향의 자속이 서로 상쇄되어 고정자 슬롯 치 내부에 그림 6 (a), (b)와 같은 영상분 자속 경로를 가지게 되는 것을 알 수 있다. 또한 b상 권선이 만드는 자속의 대수합과 a상 권선이 만드는 자속의 비를 계산하면,
a 상과 b 상의 상호자속 계수가 -2/5 = -0.4인 것을 알 수 있다. 마찬가지로 c 상 또한 -0.4의 상호자속 계수를 가진다. 그림 6 (a), (b)의 결과를 고려한 매입형 영구자석 동기전동기의 누설자속과 자화 인덕턴스 평균값을 행렬식으로 나타내면 다음과 같이 표현될 수 있다.
그림 7. a상 권선에만 직류 전류를 인가했을 때 쇄교자속 : (a) $i_{a}$=50A, (b)$i_{a}$=350A
Fig. 7. Flux linkage when only the a-phase DC current is applied : (a)$i_{a}$=50A,
(b)$i_{a}$=350A
다음으로는 회전자의 자화 인덕턴스 변동분을 확인하기 위해 a상 한 상에만 직류 전류를 인가하고 구한 쇄교자속에서 영구자석의 자속을 뺀 결괏값을
그림 7에 나타냈다. 영구자석을 제거하지 않고 쇄교자속을 구한 후 영구자석의 자속을 빼준 이유는 영구자석으로 인한 회전자 코어의 자기포화로 인한 특성을 고려하기
위함이다. 이는 비선형성이 큼에도 불구하고 중첩의 원리를 적용해 구한 값이기 때문에 인덕턴스를 정확하게 설명하진 못하지만, 전류의 크기가 커짐에 따라
어떠한 양상으로 인덕턴스가 변하는지를 대략적으로 확인하기 위해 적용되었다. 그림 7의 (a)는 $i_{a}$=50A인 경우의 쇄교자속을 보여준다. 자기 인덕턴스와 상호 인덕턴스의 자화 인덕턴스 변동분 크기가 같지 않아 기존의 자화
인덕턴스 변동분 계수인 1보다 큰 값($\alpha$)을 가지는 것을 알 수 있다. 이를 식으로 나타내면 다음과 같이 표현될 수 있다.
회전자 위치에 따른 3상 쇄교자속의 각 지점은 베타 각이 각각 다른 경우의 쇄교자속 값으로 생각할 수 있다. 초기에 회전자의 d축이 a상 권선의
축과 정렬되어있고 정방향 회전하므로, a상 기준 회전자의 위치가 전기각 기준으로 0°, 90°, 180°, 270°일 때의 자속값은 각각 d축, -q축,
-d축, q축으로 전류가 인가되었을 때의 쇄교자속 값임을 알 수 있다. 그림 7 (b)는 $i_{a}$=350A로 상대적으로 큰 전류가 흐르는 경우의 쇄교자속을 보여준다. 이 경우, a상 쇄교자속 기준으로 가장 큰 값을 가지는 회전자의
위치가 전기각 기준 90°, 180°에 위치하지 않고 틀어진 것을 알 수 있는데, 이는 큰 전류로 인해 회전자 코어의 자기포화가 크게 일어나 유효공극이
증가함에 따라 전동기 릴럭턴스의 변화가 생겨 회전자 돌극성의 위상변화가 발생하기 때문이다. 이러한 돌극성의 위상변화를 고려하여 쇄교자속을 식으로 나타내면
다음과 같이 표현될 수 있다.
위 수식에서 $\alpha$,$\theta_{s}$는 상호 인덕턴스의 자화 인덕턴스 계수와 돌극성의 위상변화를 각각 나타낸다.
3.3 매입형 영구자석 동기전동기 쇄교자속 모델 제안
식 (7), (10), (11)을 사용해 매입형 영구자석 동기전동기 3상 고정자 권선의 인덕턴스를 구하면 다음과 같이 표현될 수 있다.
위 식에서 $L_{asas}$,$L_{bsbs}$,$L_{cs cs}$는 자기 인덕턴스를 나타내며 $L_{asbs}$,$L_{ascs}$,$L_{bsas}$,$L_{bscs}$,$L_{csas}$,$L_{csbs}$는
상호 인덕턴스를 나타낸다. 식 (12)~(20)의 인덕턴스를 사용하여 d-q 동기 좌표계에서의 쇄교자속 식을 구하면 다음과 같다.
식 (21)~(23)은 $\alpha$와 $\theta_{s}$로 인해 영상분 축인 z축과 d-q축 사이에 기본파의 3 고조파 형태로 커플링 항이 발생함을 보여준다.
또한, 상호자속 계수가 -0.4가 됨에 따라 영상분 자기 인덕턴스에 누설 인덕턴스와 더불어 추가적인 인덕턴스 값이 존재함을 보여준다. 식 (6)에 식 (23)을 대입하여 영상분 전압 수식을 구하면 다음과 같이 표현할 수 있다.
위 식에서 $I_{s},\: \beta$는 상전류의 크기와 베타 각을 각각 나타내며 $I_{s}=\sqrt{(i_{q}^{e})^{2}+(i_{d}^{e})^{2}}$이고
$\beta =-{arctan(i_{d}^{e}}/ i_{q}^{e})$이다. 정상 상태에서 동기 좌표계의 d-q축 전류는 일정한 값을 가지므로 미분
값은 0이 되어 사라지게 된다. 따라서, 수식의 마지막 항이 d-q축 전류와 영상분 전압의 커플링 성분을 나타내게 된다. 이 식에서 영상분 전압의
커플링 항은 3 고조파의 형태로 나타나며, 전압의 크기는 커플링 계수 $\alpha$와 상전류의 크기 $I_{s}$에 비례하고 돌극성의 위상변화를
나타낸 $\theta_{s}$에 영향을 받는다. 그림 8은 복소평면에서 나타낸 유한요소 해석으로 구한 d-q축 커플링 영상분 전압을 보여준다. 전류의 크기는 50, 100, 150, 200, 250, 300,
350A가 각각 인가되었고, 베타 각은 0°, 10°, 20°, 30°, 40°, 50°, 60°, 70°, 80°, 90°가 각각 인가되었다. 만약
자기포화를 고려하지 않는다면 베타 각이 0° ~ 90°로 변화함에 따라 전류와 상관없이 커플링 영상분 전압은 모두 -d축 ~ -q축 사이에 놓여야
하지만, 그림 8의 결과는 전류가 증가함에 따라 코어의 자기포화가 심화되어 $\theta_{s}$가 증가하는 모습을 보인다. 베타 각이 90°인 경우 모든 값이 –q축에
놓이는 것을 보이는데, 이는 $\theta_{s}$가 0°에 가까운 값을 가지게 됨을 알 수 있다.
그림 8. 복소평면에서의 커플링으로 인한 영상분 전압의 유한요소 해석 결과
Fig. 8. FEA simulation result of coupling zero sequence voltage in complex domain
그림 9. 커플링으로 인한 영상분 전압의 위상과 계수 : (a) 돌극성의 위상변화, (b) 커플링 계수
Fig. 9. Phase and coefficient of ZSV due to the coupling component : (a) phase change
of saliency, (b) coupling coefficients
그림 9 (a), (b)의 $2\theta_{s}$와 $L_{B}*(\alpha -1)/2$는 각 전류-베타 각 조합에서의 돌극성의 위상변화로 인한 커플링 영상분
전압의 위상과 커플링 계수를 각각 나타낸다. 이를 통해 베타 각이 증가하면 영구자석의 자속과 반대 방향으로 전기자 자속이 발생함에 따라 영상분 전압의
커플링 계수는 감소하고 자기포화가 약화되어 돌극성의 위상변화가 줄어드는 것을 알 수 있다. 식 (24)에 그림 9에서 나타낸 값을 대입하면 각 운전점에서 커플링으로 인해 발생하는 영상분 전압을 수식적으로 계산할 수 있다.
그림 10은 계산된 수식의 결과와 유한요소 해석으로 구한 커플링 영상분 전압을 시간 축 상에서 비교한 그래프를 나타낸다. 전류는 100, 200, 300A이고
베타 각은 0°, 30°, 60°, 90°이다. 그림 10의 결과는 베타 각이 낮은 운전점에서 제안된 영상분 전압 모델과 유한요소 해석의 결과가 유사함을 보여준다. 하지만, 베타 각이 증가할수록 영상분 전압의
왜곡이 발생하여 수식과 유한요소 해석 결과 사이의 차이가 발생하는 현상이 나타나는데, 이는 d축에 놓인 영구자석의 낮은 투자율로 인해 전기자 자속이
영구자석을 통해 지나가지 못하여 주로 누설자속 경로에 의존하게 되고, 이러한 누설자속은 고정자 치 끝과 회전자 립(rib) 근처의 회전자 적층 영역
주변의 자기 포화도를 더욱 악화시켜 상전압의 왜곡을 유발하기 때문이다[12]-[13]. 따라서, 영상분 전압 또한 베타 각이 90°에 가까워질 때 왜곡이 발생하여 높은 차수의 고조파 성분을 가지게 된다. 하지만, 높은 차수의 고조파
성분이 발생하더라도 3차 고조파 성분이 지배적이고, 통상적으로 전동기 제어 시에 베타 각을 최대 60° ~ 70°까지만 사용하기 때문에, 베타 각이
낮은 운전점에서 유한요소 해석 결과와 유사한 값을 가지는 제안된 영상분 전압 모델을 사용하면 OEW 인버터 운전 시에 영상분 전류를 발생시키는 영상분
전압을 전향 보상을 통해 제어하여 영상분 전류의 저감이 가능할 것으로 예상된다.
그림 10. 커플링 성분으로 인한 영상분 전압 모델과 유한요소 해석 결과 비교 : speed = 3000RPM, (a)$I_{s}=100A$,$\beta
=0^{\circ}$, (b)$I_{s}=100A$,$\beta =30^{\circ}$, (c)$I_{s}=100A$,$\beta =60^{\circ}$,
(d)$I_{s}=100A$,$\beta =90^{\circ}$, (e)$I_{s}=200A$,$\beta =0^{\circ}$, (f)$I_{s}=200A$,$\beta
=30^{\circ}$, (g)$I_{s}=200A$,$\beta =60^{\circ}$, (h)$I_{s}=200A$,$\beta =90^{\circ}$,
(i)$I_{s}=300A,\: \beta =0^{\circ}$, (j)$I_{s}=300A,\: \beta =30^{\circ}$, (k)$I_{s}=300A,\:
\beta =60^{\circ}$, (l)$I_{s}=300A,\: \beta =90^{\circ}$
Fig. 10. Comparing coupled ZSV model and finite element analysis results : speed =
3000RPM, (a)$I_{s}=100A$,$\beta =0^{\circ}$, (b)$I_{s}=100A$,$\beta =30^{\circ}$,
(c)$I_{s}=100A$,$\beta =60^{\circ}$, (d)$I_{s}=100A$,$\beta =90^{\circ}$, (e)$I_{s}=200A$,$\beta
=0^{\circ}$, (f)$I_{s}=200A$,$\beta =30^{\circ}$, (g)$I_{s}=200A$,$\beta =60^{\circ}$,
(h)$I_{s}=200A$,$\beta =90^{\circ}$, (i)$I_{s}=300A,\: \beta =0^{\circ}$, (j)$I_{s}=300A,\:
\beta =30^{\circ}$, (k)$I_{s}=300A,\: \beta =60^{\circ}$, (l)$I_{s}=300A,\: \beta
=90^{\circ}$