Mobile QR Code QR CODE : The Transactions of the Korean Institute of Electrical Engineers

The Transactions of the Korean Institute of Electrical Engineers

ISO Journal TitleTrans. Korean. Inst. Elect. Eng.

Main Menu

Journal Search

[

Research article

]

The Transactions of the Korean Institute of Electrical Engineers

KIEE Vol. 73, No. 07, p.1204-1212

ISSN (print) :

1975-8359

ISSN (online) :

2287-4364

Received : 18 Apr 2024Revised : 04 Jun 2024Accepted : 19 Jun 2024

DOI :

https://doi.org/10.5370/KIEE.2024.73.7.1204

PO와 ITD를 이용한 임피던스 경계 조건을 갖는 산란체의 RCS 예측

RCS Estimation of Objects with Impedance Boundary Condition Using PO and ITD

김준선 (Jun-Seon Kim) ¹iD 이현수 (Hyun-Soo Lee) ²iD 이재호 (Jae-Ho Lee) ³iD 서동욱 (Dong-Wook Seo) ^†iD

(National Korea Maritime & Ocean University, Korea)
(Agency for Defense Development, Korea)
(Kunsan National University, Korea)

^†Corresponding Authors: National Korea Maritime & Ocean University, Korea E-mail: dwseo@kmou.ac.kr

License :

This is an Open Access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution Non-Commercial License (http://creativecommons.org/licenses/by-nc/3.0)which permits unrestricted non-commercial use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.

Translated Abstract

This paper presents an impedance boundary conditioned physical optics (IBC PO) formula suitable for calculating θ- and ?-polarized scattered field from a scatterer with an impedance surface. In addition, while in previous studies, a formula using some of the diffraction coefficients was conceptually used to determine the PO edge contribution required to obtain the fringe field, in this paper, the scattering coefficient of the PO edge contribution was obtained by deriving a formula from the definition of the PO edge contribution. The IBC PO was applied to a coated rectangular metal plate and verified by comparing it with the results of the method of moments and VIRAF tool. The proposed PO edge contribution formula was verified by applying it to a two-dimensional impedance wedge. To verify the total scattered wave, which is the sum of the IBC PO and the fringe field, the proposed formula and VIRAF tool were applied to a cylindrical scatterer composed of a combination of curved wedges.

Key words

Fringe Field, Impedance Boundary Condition (IBC), Incremental Theory of Diffraction (ITD), Physical Optics (PO), Surface Impedance

1. 서 론

레이다 타깃에 대한 레이다 반사 단면적 (RCS; Radar Cross-Section) 예측에는 다양한 전자파 해석기법들이 적용된다. 레이다 타깃은 일반적으로 레이다 파장에 비해 표적이 큰 경우가 대부분이기 때문에 주로 고주파 해석 기법이 사용되고, 타깃의 공진특성이나 복잡한 구조물에 대한 영향을 해석하기 위한 용도로 저주파 해석 기법들이 사용된다.

고주파 해석기법은 이미 잘 알려진 바와 같이 반사파 계산을 위하여 PO (Physical Optics) 또는 GO (Geometrical Optics)를 사용하고 회절파 해석기법인 PTD (Physical Theory of Diffraction)와 GTD (Geometrical Theory of Diffraction) 기법을 추가하여 회절파까지 고려하는 경우가 대부분이다^[1].

물리광학 이론 기반의 PO와 PTD는 산란체가 완전도체(PEC; Perfectly Electrical Conductor)인 경우 반사파와 회절파를 계산하는데 사용되는 방법으로 산란체가 완전도체가 아니고 유전체를 포함하거나 흡수체가 코팅된 도체의 경우에는 안정적인 PTD 방법이 알려져 있지 않다. 광선 (ray) 기반의 GO는 이론적으로는 유전체에도 적용이 가능하며, GTD 역시 heuristic 공식을 이용하여 평면 유전체 산란체에 적용되는 사례도 있으나 정확한 해를 구하는 방식이 아닌 경험적인 외삽 (extrapolation)을 통하여 적절한 회절 계수를 사용하는 한계를 가지고 있다^[2,^3].

레이다 타깃은 레이더 반사신호를 줄이기 위하여 주요 산란 포인트에 흡수체를 바르거나, 도체가 아닌 재질을 사용하는 경우가 많으므로, 완전도체가 아닌 표적에 의한 정확한 반사파와 회절파 계산방법의 개발이 필요하다^[4]. 특히, 도체위에 RAM (Radar Absorbing Material)을 발라서 코팅된 경우 임피던스 경계조건을 적용하여 반사파나 회절파를 계산하는 연구가 지속적으로 이루어지고 있다. PO를 임피던스 경계조건 (IBC; Impedance Boundary Condition)에서 타깃에 적용하여 반사파를 성공적으로 계산한 문헌들이 다수 보고되고 있지만, 연구자들마다 서로 상이한 표기법 (notation)을 사용하여 정확하지 않는 정보를 제공하는 경우가 대부분이다[5-8]. 특히, 현재까지 보고된 문헌에서는 RCS 계산에 주로 사용되는 $\theta$-, $\phi$-편파가 아닌 수직(Vertical, V-), 수평(Horizontal, H-) 편파의 표기법이 사용되는 경우가 많다. 이러한 경우 입사평면을 기준으로 하는 수직 (Perpendicular), 수평 (Parellel) 편파와 혼동되어 수식이 전개되어 표기되는 경우가 흔하다.

한편, 회절파에 대해서는 기존의 PTD와 GTD와 달리 ITD (Incremental Theory of Diffraction) 기법은 금속쐐기부터 완벽하지 않은 전도성 표면 (유전체)의 쐐기로 확장되어 사용되고 있으며, 국부적인 구조로 근사화할 수 있는 정규형 (canonical) 문제해의 적절한 사용을 기반으로 한다[9-12]. 국부화 프로세스는 불연속 선 또는 그림자 선을 따라 적분하여 회절파를 계산하기 위한 증분계수 (incremental coefficient)를 정의할 수 있도록 한다. 이러한 증분기법들은 곡면의 쐐기에도 정확한 회절파를 얻을 수 있다는 장점이 있다. ITD를 유전체 물질에 대한 적용의 주요 목적은 heuristic ITD 계산식을 유도하는 것으로, 금속 재질에 대한 엄격한 공식에서부터 시작하여 유전체 쐐기에 대핵서도 간단하지만 정확한 해를 제공하는 데 있다.

기존의 연구 ^[12]에서는 표면임피던스를 가지는 쐐기에 의한 회절파를 ITD기법으로 계산하기 위해 Hueristic UTD 회절계수로부터 ITD 회절기여분을 유도하고, ITD 회절기여분의 회절계수에서 조사되는 쐐기면에 의한 회절성분으로부터 PO 기여분을 개념적으로 얻었다.

본 논문에서는 임피던스 경계조건에서의 IBC PO 계산식을 θ-, 𝜙-편파 관점에서 다시 정립하고, heuristic ITD를 이용하여 임피던스 경계조건에서의 쐐기에 의한 Fringe 필드 계산시 PO 모서리 회절파 성분을 계산하는 방법에 대하여 모서리 회절파의 정의로부터 새롭게 정립하고자 한다.

2. 임피던스 경계조건에서의 PO 산란파 계산

그림 1과 같은 곡면의 임피던스 표면을 가지는 산란체에 의한 산란파는 곡면의 산란체 접평면에서 증분 (Incremental) PO 필드 Fpo를 면적분을 통해 다음과 같이 근사화하여 구할 수 있다.

(1)

$\overline {E}(P)\sim\overline {E}_{s}^{po}(P)=\iint_{S}\overline {F}^{po}\left(Q_{s}\right)d S$,

여기서 $S$는 접평면의 표면, $P$는 관측점, $Q_{s}$는 표면 $S$ 위의 점을 의미한다.

곡면 위의 점인 Qs에서의 증분 PO 필드인 ${F}^{po}\left(Q_{s}\right)$를 구하기 위해서 먼저 좌표계에 대한 정의가 필요하다. 그림 1과 같이 곡면과 무한 평면에 수직인 $z_{0}$축을 가지며, $Q_{s}$를 원점으로 하는 지역 좌표계 $\left(x_{0},\: y_{0},\: z_{0}\right)$를 정의한다. 이는 단위 벡터 $(\hat{r},\: \hat{\theta},\: \hat{\phi})$를 가지는 구 좌표계 $(r,\: \theta ,\: \phi)$로 표현될 수 있다. 입사파는 단위 벡터 $(\hat{r}',\: \hat{\theta}',\: \hat{\phi}')$와 좌표 $(\theta',\: \phi')$로 나타낸다.

그림 1. 증분 PO 기여분을 정의하기 위한 국부 접평면

Fig. 1. Local tangential plane for definition of the incremental PO contribution

표적이 소스로부터 충분히 멀리 떨어져 있다면, 입사파는 평면파로 가정할 수 있어 다음과 같이 표현할 수 있다.

(2)

$\overline{E}^{i}=\overline{E}_{0}^{i}e^{-j\overline{k_{i}}\bullet\overline{r}}=\left(E_{\theta}^{i}\hat{\theta}^{i}+E_{\phi}^{i}\hat{\phi}^{i}\right)e^{-j\overline{k_{i}}\bullet\overline{r}}$

(3)

$\overline{H}^{i}=\dfrac{1}{\eta}\hat{k}_{i}\times\overline{E}^{i}=\left(E_{\phi}^{i}\hat{\theta}^{i}-E_{\theta}^{i}\hat{\phi}^{i}\right)\dfrac{e^{-j\overline{k_{i}}\bullet\overline{r}}}{\eta}$

산란체의 곡면반경이 전기적으로 크고 코팅 두께가 곡면반경에 비해 매우 작은 경우, $\eta_{s}$의 임피던스를 가지는 임피던스 표면에서 다음과 같은 임피던스 경계조건이 적용된다.

(4)

$\hat{n}\times\overline{E}=\eta_{s}\hat{n}\times\hat{n}\times\overline{H}$

입사파가 $\eta_{s}$의 표면 임피던스를 가지는 산란체의 표면에 입사하는 경우, 표면의 총 자기장과 총 전기장에 의해 표면에서 전기전류 뿐만아니라 자기전류가 각각 다음과 같이 유도된다.

(5.1)

$\overline{J_{s}}=\hat{n}\times\overline{H^{t}}=\hat{n}\times\left(\overline{H}^{i}+\overline{H}^{s}\right)$

(5.2)

$\overline{J_{m}}=-\hat{n}\times\overline{E^{t}}=-\hat{n}\times\left(\overline{E}^{i}+\overline{E}^{s}\right)$

임피던스 표면에 의해 반사되는 산란파는 임피던스 표면의 반사계수를 입사파에 곱하여 구할 수 있다. 표면 임피던스 $\eta_{s}$인 경우 수평 (parallel polarization)과 수직편파 (perpendicular polarization)의 반사계수는 다음과 같이 근사화할 수 있다.

(6.1)

$\gamma_{\bot}=\dfrac{\eta_{s}\cos\theta_{i}-\eta_{0}\cos\theta_{t}}{\eta_{s}\cos\theta_{i}+\eta_{0}\cos\theta_{t}}\approx\dfrac{Z_{s }\cos\theta_{i}-1}{Z_{s }\cos\theta_{i}+1}\approx Z_{s}\cos\theta_{i}-1$

(6.2)

$\gamma_{DL\in E}=\dfrac{\eta_{s}\cos\theta_{t}-\eta_{0}\cos\theta_{i}}{\eta_{s}\cos\theta_{t}+\eta_{0}\cos\theta_{i}}\approx\dfrac{Z_{s}-\cos\theta_{i}}{Z_{s}+\cos\theta_{i}}\approx Z_{s}-\cos\theta_{i}$

여기서 Zs는 정규화된 표면임피던스로 $Z_{s}=\eta_{s}/\eta_{0}$이며, $\theta_{i}$와 $\theta_{t}$는 각각 입사파와 투과파의 입사각과 투과각이다. 임피던스 표면에서 실제 투과되는 파에 대해 고려치 않으므로 투과각은 0°로 근사화된다. 따라서, 이러한 수식은 입사파가 표면에 수직으로 입사할수록 더욱 정확한 결과를 가질 것을 예상할 수 있다.

그림 2와 같이 표면에 수직방향이 z축을 가지는 국부 좌표계의 경우 $\phi$-편파는 표면에 평행하고 입사평면에 수직인 수직편파 (perpendicular polarization)이고, θ-편파는 입사평면에 수평인 수평편파 (parallel polarization) 특성을 가진다. 따라서 입사표면에서의 총 전기장과 자기장은 식 (6)을 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

(7.1)

$\left .\begin{aligned}\overline{E^{t}}=\overline{E}^{i}+\overline{E}^{s}=\left[E_{\theta}^{i}\hat{\theta}+E_{ϕ}^{i}\hat{ϕ}\right]+\left[\gamma_{DL\in }E_{\theta}^{i}\hat{\theta}+\gamma_{\bot}E_{ϕ}^{i}\hat{ϕ}\right]\\=\left(1+\gamma_{DL\in E}\right)E_{\theta}^{i}\hat{\theta}+\left(1+\gamma_{\bot}\right)E_{ϕ}^{i}\hat{ϕ}\end{aligned}\right .$

(7.2)

\begin{align*}\overline{H^{t}}=\overline{H}^{i}+\overline{H}^{r}=(1-\gamma_{DL\in E})H_{ϕ}^{i}\hat{ϕ}+(1-\gamma_{\bot})H_{\theta}^{i}\hat{\theta}\\=-(1-\gamma_{DL\in E})\dfrac{E_{\theta}^{i}}{\eta_{0}}\hat{ϕ}+(1-\gamma_{\bot})\dfrac{E_{ϕ}^{i}}{\eta_{0}}\hat{\theta}\end{align*}

그림 2. 국부 좌표계에서의 θ-편파와 𝜙-편파

Fig. 2. θ-and 𝜙-polarization in local coordinate

식 (7)을 식 (5)에 대입함으로써, 임피던스 표면에서의 전기전류 $\overline{J}_{m}$과 전기전류 $\overline{J}_{s}$를 구할 수 있다. 이러한 표면의 전기전류과 자기전류에 의한 산란파는 다음과 같다.

(8)

$\overline{E}^{s}=\dfrac{(-j\omega\mu)}{4\pi r}e^{-jkr}\iint_{s}\left .\left[\overline{J_{s}}+\dfrac{1}{\eta_{0 }}\overline{J}_{m}\times\hat{r}\right .\right]e^{jk\overline{r}'\bullet\hat{r}}ds$

산란파의 $\theta$-편파 성분과 $\phi$-편파 성분은 산란파에 각각 $\hat{\theta}$와 $\hat{\phi}$ 방향벡터를 내적을 통해서 다음과 같이 얻을 수 있다.

(9.1)

\begin{align*}E_{\theta}^{s}=\dfrac{e^{-jkr}}{4\pi r}(-jk)\iint_{S}\left[\eta_{0}\overline{J}_{s}\bullet\hat{\theta}+\overline{J}_{m}\bullet\hat{\phi}\right]e^{jk\overline{r}'\bullet\hat{r}}ds \\=\dfrac{e^{-jkr}}{4\pi r}(-jk)\iint_{S}D_{\theta}e^{jk\overline{r}'\bullet\hat{r}}ds\end{align*}

(9.2)

\begin{align*}E_{\phi}^{s}=\dfrac{e^{-jkr}}{4\pi r}(-jk)\iint_{S}\left[\eta_{0}\overline{J}_{s}\bullet\hat{\phi}+\overline{J}_{m}\bullet\hat{\theta}\right]e^{jk\overline{r}'\bullet\hat{r}}ds \\=\dfrac{e^{-jkr}}{4\pi r}(-jk)\iint_{S}D_{\phi}e^{jk\overline{r}'\bullet\hat{r}}ds\end{align*}

여기서 $D_{\theta}$와 $D_{\phi}$는 각각 다음과 같이 정리할 수 있다.

(10.1)

\begin{align*}D_{\theta}=D_{\theta\theta}E_{\theta}^{i }+D_{\theta\phi}E_{\phi}^{i }\\= E_{\theta}^{i }\cos\left(ϕ_{i}-ϕ_{p})[-(1+\gamma_{DL\in E})\cos\theta_{i}+(1-\gamma_{DL\in E})\cos\theta_{p}\right]\\+E_{\phi}^{i }\sin\left(ϕ_{i}-ϕ_{p})[-(1-\gamma_{\bot})\cos\theta_{i}\cos\theta_{p}+(1+\gamma_{\bot})\right]\end{align*}

(10.2)

\begin{align*}D_{\phi}=D_{\phi\theta}E_{\theta}^{i }+D_{\phi\phi}E_{\phi}^{i }\\=E_{\theta}^{i }\sin\left(ϕ_{i}-ϕ_{p})[(1-\gamma_{DL\in E})-(1+\gamma_{DL\in E})\cos\theta_{i}\cos\theta_{p}\right]\\+E_{\phi}^{i }\cos\left(ϕ_{i}-ϕ_{p})[(1-\gamma_{\bot})\cos\theta_{i}-(1+\gamma_{\bot})\cos\theta_{p}\right]\end{align*}

각 $Q_{s}$에서 발생하는 증분 PO 필드은 고주파에서 아래와 같이 표현된다.

(11)

$\overline {F}^{po}\left(Q_{s}\right)=\left[\begin{aligned}F_{\Theta}^{po}\\F_{\Phi}^{po}\end{aligned}\right]=(-jk)\overline{\overline{D}}^{po}\left(Q_{s}\right)\bullet\overline {E}^{i}\left(Q_{s}\right)\dfrac{e^{-jkr}}{2\pi r}$

여기서 ${D}^{po}$는 IBC PO 필드를 위한 산란계수 다음과 같은 Diadic 형식을 가진다.

(12)

$\overline{\overline{D}}^{po}=0.5\times\begin{bmatrix}D_{\theta\theta}&D_{\theta\phi}\\D_{\phi\theta}&D_{\phi\phi}\end{bmatrix}$

PEC의 산란체에 PO를 적용하는 경우와 유사하게 식 (11)과 식 (12)을 통해 입사파에 직접 비춰진 표면에서의 증분 IBC PO 필드를 계산할 수 있으며, 식 (1)의 적분을 통해 IBC PO 산란파인 ${E}_{s}^{po}$를 획득할 수 있다.

3. 임피던스 경계조건에서의 ITD 회절파 계산

산란체에 의한 총 산란파 (${E}(P)$)는 다음과 같이 PO 필드 ($bold E_{s}^{po}(P)$)와 Fringe 필드 (${E}^{fw}(P)$)의 합으로 표현된다.

(13)

$\overline {E}(P)\sim\overline {E}_{s}^{po}(P)+\overline {E}^{fw}(P)=\overline {E}_{s}^{po}(P)+\left[\overline {E}_{l}^{d}(P)-\overline {E}_{e}^{po}(P)\right]$

이러한 수식은 PO 기반의 산란파를 계산하는 경우에 주로 사용되는 표현 방식으로 PO 필드를 구하고 추가적인 필드성분인 fringe 필드를 구함으로써 최종 산란파를 얻는 방식이다. PO 필드는 완전도체 산란체에 접하는 무한평면위에 균일하게 분포하는 균일전류(uniform current)에 의해 생성되는 필드 성분으로, 반사파를 의미하는 GO 필드와 회절파 성분의 일부인 PO 끝점 기여분을 포함한다. 또한, 산란체에 접하는 무한평면과 실제 표면과의 편차에 의한 회절파의 나머지 성분을 fringe 필드라 부르고 이를 생성하는 소스를 일반적으로 비균일전류(non-uniform current)로 모델링된다.

fringe 필드 역시 쐐기의 모서리들을 따라서 국부화된 증분 fringe 필드 (${F}^{fw}$)들의 합으로 다음과 같이 표현할 수 있다.

(14)

$\overline {E}^{fw}=\int_{l}\overline {F}^{{fw}}(Q')dl =\int_{l}\overline {F}^{d}(Q')-\overline {F}_{e}^{po}(Q')dl$

여기서 ${F}^{d}$와 ${F}^{po}$는 증분 회절파 기여분과 PO 끝점 기여분을 의미한다. ITD 기법은 이러한 증분 필드를 계산하는 방법으로 다음과 같이 회절계수와 입사파의 곱의 형태로 주로 표기한다.

(15.1)

\begin{align*}\overline {F}^{d}(Q')=\left[\begin{aligned}F_{\beta}^{d}(Q')\\F_{\phi}^{d}(Q')\end{aligned}\right]\\=\left[\begin{matrix}D^{s}(\phi ,\: \phi')&0\\0&D^{h}(\phi ,\: \phi')\end{matrix}\right]\bullet\left[\begin{aligned}E_{\beta'}^{i}(Q')\\E_{\phi'}^{i}(Q')\end{aligned}\right]\dfrac{e^{-jkr}}{2\pi r}\end{align*}

(15.2)

\begin{align*}\overline {F}_{e}^{po}(Q')=\left[\begin{aligned}F_{e,\: \beta}^{po}(Q')\\F_{e,\: \phi}^{po}(Q')\end{aligned}\right]\\=\left[\begin{matrix}D_{11}^{po}(\phi ,\: \phi')&D_{12}^{po}(\phi ,\: \phi')\\0&D_{22}^{po}(\phi ,\: \phi')\end{matrix}\right]\bullet\left[\begin{aligned}E_{\beta'}^{i}(Q')\\E_{\phi'}^{i}(Q')\end{aligned}\right]\dfrac{e^{-jkr}}{2\pi r}\end{align*}

Heuristic ITD는 임피던스 표면 (impedance surface)의 쐐기에서 증분필드를 얻기위한 수식으로, 앞선 연구^[12]을 통해서 증분 회절파 기여분의 회절계수를 임피던스 경계조건에서의 Heuristic UTD 회절계수에서 전이함수는 1로 원거리 근사를 적용하고, 첫 번째 공통항은 1/2n으로 대치함으로써 다음과 같은 수식을 제시하였다.

$\left . D^{\begin{aligned}s\\ h\end{aligned}}(\phi ,\: \phi')=\dfrac{1}{2n}\left[\dfrac{\psi\left(-\pi +\dfrac{n\pi}{2}-ϕ\right)}{\psi\left(\dfrac{n\pi}{2}-ϕ'\right)}\dfrac{\left .\left .\sin\left(\dfrac{ϕ'}{n}\right)+\sin\right(\dfrac{\theta_{0}}{n}\right)}{\left .\left .\sin\left(\dfrac{ϕ+\pi}{n}\right)+\sin\right(\dfrac{\theta_{0}}{n}\right)}\cot\left(\dfrac{\pi +\xi^{-}}{2n}\right)\right .\right .$

(16)

$\left . +\dfrac{\psi\left(\pi +\dfrac{n\pi}{2}-ϕ\right)}{\psi\left(\dfrac{n\pi}{2}-ϕ'\right)}\dfrac{\left .\left .\sin\left(\dfrac{ϕ'}{n}\right)+\sin\right(\dfrac{\theta_{0}}{n}\right)}{\left .\left .\sin\left(\dfrac{ϕ-\pi}{n}\right)+\sin\right(\dfrac{\theta_{0}}{n}\right)}\cot\left(\dfrac{\pi -\xi^{-}}{2n}\right)\right .$ $\left . +\dfrac{\psi\left(-\pi +\dfrac{n\pi}{2}-ϕ\right)}{\psi\left(\dfrac{n\pi}{2}-ϕ'\right)}\dfrac{\left .\left .\sin\left(\dfrac{ϕ'}{n}\right)-\sin\right(\dfrac{\theta_{0}}{n}\right)}{\left .\left .\sin\left(\dfrac{ϕ+\pi}{n}\right)+\sin\right(\dfrac{\theta_{0}}{n}\right)}\cot\left(\dfrac{\pi +\xi^{+}}{2n}\right)\right .$ $\left . +\dfrac{\psi\left(\pi +\dfrac{n\pi}{2}-ϕ\right)}{\psi\left(\dfrac{n\pi}{2}-ϕ'\right)}\dfrac{\left .\left .\sin\left(\dfrac{ϕ'}{n}\right)-\sin\right(\dfrac{\theta_{0}}{n}\right)}{\left .\left .\sin\left(\dfrac{ϕ-\pi}{n}\right)+\sin\right(\dfrac{\theta_{0}}{n}\right)}\cot\left(\dfrac{\pi -\xi^{+}}{2n}\right)\right]$

한편, 증분 PO 끝점 기여분은 무한평면위의 균일전류에 의한 PO 필드중 모서리 부분의 전류에 의해 생성되는 회절파의 일부분을 의미한다. 이러한 물리적인 의미를 바탕으로 지난 연구 ^[12]에서 증분 PO 끝점 기여분을 식 (16)의 회절파 기여분에서의 ISB (incident shadow boundary)와 RSB (reflection shadow boundary)에서의 회절파 성분인 두 번째와 네 번째항에서 무한평면을 의미하는 n=1을 대입하여 다음과 같이 개념적으로 얻었다.

$D^{po_{e}}(\phi ,\: \phi')=\dfrac{1}{2}\left[\left .\dfrac{\psi\left(\pi +\dfrac{\pi}{2}-ϕ\right)}{\psi\left(\dfrac{\pi}{2}-ϕ'\right)}\dfrac{\left .\sin(ϕ')+\sin(\theta_{0}\right)}{\left .\sin(ϕ-\pi)+\sin(\theta_{0}\right)}\cot\left(\dfrac{\pi -\xi^{-}}{2}\right)\right .\right .$

(17)

$\left . +\dfrac{\psi\left(\pi +\dfrac{\pi}{2}-ϕ\right)}{\psi\left(\dfrac{\pi}{2}-ϕ'\right)}\dfrac{\left .\sin(ϕ')-\sin(\theta_{0}\right)}{\left .\sin(ϕ-\pi)+\sin(\theta_{0}\right)}\cot\left(\dfrac{\pi -\xi^{+}}{2}\right)\right]$

식 (17)과 같이 개념적으로 얻은 증분 PO 끝점 기여분의 산란계수를 사용하여 PO 끝점 기여분을 간단하게 계산이 가능하지만, 쐐기에서 한 쌍의 입사각과 산란각의 각도에 대해서 Malyuzhinet 함수를 회절 기여분 뿐만아니라 PO 끝점 기여분 계산에도 사용해야 된다는 문제가 있다. Malyuzhinet 함수은 복잡한 적분식으로 표현되기 때문에 계산시간이 급격하게 상승한다는 문제점이 있으며, 기존의 수식 (17)의 경우 교차편파 성분에 대한 정보를 전혀 제공하지 못하는 문제가 있다.

PO 끝점 기여분의 정의에 따라 균일전류를 쐐기의 끝부분에서만 국부적으로 적분을 통하여 다음과 같이 PO 끝점 기여분을 표현할 수 있다.

(18)

$\overline{E}_{e}^{po}=(-jk)\iint_{sl}\left .\left[\eta_{0 }\overline{J_{s}}+\overline{J}_{m}\times\hat{r}\right .\right]\dfrac{e^{-jk R}}{4\pi R}ds'$

여기서 조사된 표면 slit은 쐐기의 윗면을 의미한다. 이를 쐐기 좌표에 맞게 적분구간을 정의하면 다음과 같이 적을 수 있다.

(19)

\begin{align*}\overline{E}_{e}^{po}\dfrac{=(-jk)}{4\pi}\int_{0}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\left .\left[\eta_{0 }\overline{J_{s}}+\overline{J}_{m}\times\hat{r}\right .\right]\\\bullet\dfrac{e^{-jk\sqrt{(x-x')^{2}+y^{2}+(z-z')^{2}}}}{\sqrt{(x-x')^{2}+y^{2}+(z-z')^{2}}}dz'dx'\end{align*}

이러한 적분은 ^[13]에서 나타낸 것과 같이 정리할 수 있다.

(20)

$\left .\overline{E}_{e}^{PO}\simeq\dfrac{e^{-jk_{0}s}}{\sqrt{s}}\dfrac{e^{-j\pi /4}}{\sqrt{2\pi k_{0}}}\dfrac{1}{\sin\beta^{i}\left(\cos\phi +\cos\phi_{0})\right .}\left[\eta_{0 }\overline{J_{s}}+\overline{J}_{m}\times\hat{r}\right]\right.$

앞선 UTD 회절파로부터 회절계수를 유추한 것처럼 식 (20)의 PO 끝점 산란파로부터 산란계수는 다음과 같이 정리할 수 있다.

(21)

$\overline{\overline{D}}_{e}^{po}=\dfrac{-1}{\cos\phi +\cos\phi_{0}}\left[\eta_{0 }\overline{J_{s}}+\overline{J}_{m}\times\hat{r}\right]$

위 수식의 오른쪽 항은 IBC PO 계산시 사용했던 식 (8)에서의 중괄호로 표현된항과 동일하다. 따라서 IBC PO에서 계산한 방식과 동일하게 구할 수 있다. 하지만, IBC PO 계산시 국부좌표계가 산란체 표면에 xy평면에 놓이는 반면 쐐기에서의 PO 끝점 기여분 계산시 그림 3과 같이 쐐기평면이 zx평면에 놓이기 때문에 zx평면에서 xy평면으로 좌표변환 후 식 (10)을 계산해야 한다.

그림 3. 증분 PO 끝점 기여분 계산시 국부 좌표계

Fig. 3. local coordinate for incremental PO edge contribution

좌표변환 전후의 입사파 θ-편파와 𝜙-편파 벡터를 각각 $\hat{\theta}_{i}$,$\hat{\theta}_{i,\: t}$,$\hat{\phi}_{i}$,$\hat{\phi}_{i,\: t}$이고, 좌표변환 전후의 산란파와 θ-편파와 𝜙-편파 벡터를 각각 $\hat{\theta}_{r}$,$\hat{\theta}_{r,\: t}$,$\hat{\phi}_{r}$,$\hat{\phi}_{r,\: t}$라고 정의하면 좌표변환이 고려된 PO 끝점 산란파를 위한 산란계수는 다음과 같다.

(22)

$\overline{\overline{D}}_{e}^{po}=\dfrac{-1}{2}\begin{bmatrix}\hat{\theta}_{r}\bullet\hat{\theta}_{r,\: t}&\hat{\theta}_{r}\bullet\hat{\phi}_{r,\: t}\\\hat{\phi}_{r}\bullet\hat{\theta}_{r,\: t}&\hat{\phi}_{r}\bullet\hat{\phi}_{r,\: t}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}D_{\theta\theta}&D_{\theta\phi}\\D_{\phi\theta}&D_{\phi\phi}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\hat{\theta}_{i,\: t}\bullet\hat{\theta}_{i}&\hat{\theta}_{i,\: t}\bullet\hat{\phi}_{i}\\\hat{\phi}_{i,\: t}\bullet\hat{\theta}_{i}&\hat{\phi}_{i,\: t}\bullet\hat{\phi}_{i}\end{bmatrix}$

제안한 식 (21)과 기존의 식(17)의 가장 큰 차이점은 Malyuzhinets 함수가 포함되어 있지 않다는 것이다. 일반적으로 Malyuzhinets 함수의 적분이 까다로운 편이고 많은 계산시간이 요구된다. 또한, 제안한 산란계수는 PO 끝점 기여분에서의 교차편파 성분을 얻을 수 있지만, 기존의 산란계수로는 교차편파 성분을 얻을 수 없다.

4. 해석결과

4.1 IBC PO 산란파 해석결과

본 논문에서 제시하는 표기법을 바탕으로 구현된 IBC PO를 검증하기 위하여 1 m × 1 m 크기의 유전체 코팅된 사각형 도체판에 의한 PO 산란파를 계산하고 전자기 해석툴인 FKEO와 VIRAF의 계산결과와 비교하였다. 검증을 위한 산란체 구조는 그림 4와 같으며, 완전도체 (PEC; perfectly effective conductor)위에 비유전율 ($\epsilon_{r}$) 10, 전도도 (σ) 0.04 S/m의 유전체가 0.04 m의 두께로 코팅되어 있다.

그림 4. IBC PO 산란파 해석을 위한 1m2의 유전체 코팅된 사각형 금속 산란체

Fig. 4. Dielectric coated rectangular PEC scatterer for IBC PO field

코팅된 금속에 수직으로 입사하는 필드에 대한 표면 임피던스는 700 MHz에서 다음과 같이 계산된다.

(23)

\begin{align*}Z=j\eta\tan(Nk_{0}d)=j\sqrt{\dfrac{\mu_{0}}{\epsilon_{0}\epsilon_{r}} }\tan\left(\sqrt{\epsilon /\epsilon_{0}}k_{0}d\right)\\=146.8-j355.69\end{align*}

FEKO를 이용한 IBC PO 계산시 유전체 특성 및 두께 정보를 이용하고, FEKO의 IBC MoM, VIRAF의 IBC PO, 본 논문에서 제안한 IBC PO 계산시에는 식 (23)로 계산된 등가 표면임피던스 정보를 적용한다.

입사파가 $\theta_{i}=90^{\circ}$, $\phi_{i}=0^{\circ}$의 각도로 입사하는 경우, $\theta_{s}=90^{\circ}$, $\phi_{s}=0^{\circ}\sim 90^{\circ}$의 각도에서 산란파를 계산하여 편파별로 그림 5에 나타내었다. 본 논문에서 적용한 IBC PO의 결과는 VIRAF의 IBC PO와는 동일한 RCS 값을 가지는 것을 확인할 수 있다. 반면에 FEKO의 PO와 IBC MoM 결과와 본 논문에서 적용한 IBC PO의 결과는 $\phi\phi$-와 $\theta\theta$-편파 RCS에서 모두 차이가 있다. FEKO의 경우 IBC PO solver 없이 코팅된 도체에 대한 PO와 IBC MoM solver만 제공되기 때문에 IBC PO Solver가 없어 직접적인 비교가 어려우며 참고치 정도로 활용되었다.

그림 5. 1 m2의 유전체 코팅된 사각형 금속 산란체에 의한 Bistatic RCS: (a) 𝜙𝜙- (b)θθ-편파

Fig. 5. Bistatic RCS with dielectric coated square metal scatterer: (a) 𝜙𝜙- (b)θθ-polarization

4.2 증분 Fringe 필드 해석결과

제안한 증분 PO끝점 기여분 수식을 적용한 쐐기에 의한 증분 Fringe 필드 기여분을 검증하기 위하여, 그림 6과 같은 60°의 내부각도를 가지는 쐐기구조(n =1.6667)에 대해서 표면 임피던스 Zs가 0인 완전도체와 0.5Ω 두가지 경우에 대해서 고려하였다. 참고로 증분 Fringe 필드 (${F}^{fw}$)을 2차원 쐐기에 대해서 계산한 결과를 제공하는 EM 해석툴은 존재하지 않기 때문에 별도로 다른 방법과의 비교는 수행하지 않았다.

그림 6. 60도의 내부 각도를 가지는 2차원 쐐기 구조

Fig. 6. Two-Dimensional wedge with the internal angle of 60 degrees

그림 6의 쐐기 구조에 고정된 입사각 𝜙′=30°에 쐐기 전체 관측각 𝜙 = 0°~360°에서 계산한 결과를 그림 8에 나타내었다.회절기여분과 제안한 PO끝점 기여분 계산식은 표면임피던스 외 에도 PEC에서도 정상적으로 계산되어야 한다. 회절기여분과 PO끝점 기여분 모두 그림 8(a)와 같이 ISB와 RSB인 𝜙 = 210°, 150°에서 발산하여 0으로 예외처리 되는 지점을 제외하고는 정상적으로 계산된다. 여기서 ISB와 RSB에서 발산하는 것은 회절기여분의 경우 식 (16)에서의 cot항에 의해 발산하는 것으로 PO 끝점 기여분과의 차를 통하여 일정한 값의 Fringe 필드를 얻어야 하지만 컴퓨터 프로그래밍을 통한 값의 범위를 넘어서기 때문에 예외처리 되었다.

그림 7. 60도 쐐기에 의한 𝜃𝜃-편파 필드 계산결과: (a) PEC 쐐기에 의한 증분 회절기여분, PO 끝점 기여분 및 (b) 증분 Fringe 기여분, (c) 0.5Ω 표면임피던스를 가지는 쐐기에 의한증분 회절기여분, PO 끝점 기여분 및 (b) P증분 Fringe 기여분.

Fig. 7. 𝜃𝜃-polarized field by 60 degree wedge: (a) incremental diffraction contribution, PO edge contribution, and (b) incremental fringe contribution by PEC wedge, (c) incremental diffraction contribution, PO edge contribution, and (d) incremental fringe contribution by impedance wedge.

회절기여분과 PO끝점 기여분이 거의 비슷한 레벨과 양상을 가지고, 이 두 기여분의 차인 증분 Fringe 기여분이 그림 7(b)와 같이 연속적인 값을 가짐을 알 수 있다. 동일한 구조이지만 표면 임피던스가 0.5Ω인 쐐기에 적용한 결과는 그림 7(c)와 (d)와 같다. PEC가 아닌 표면임피던스를 가지는 경우에도 비슷하게 특이점 없이 증분 회절기여분, PO 끝점 기여분, Fringe 기여분들이 PEC와 유사하게 계산되는 것을 확인할 수 있다. 특히, Fringe 기여분의 레벨이 PEC보다 조금 낮은 레벨을 가지는 상식적인 결과를 확인할 수 있다.

4.3 총 산란파 해석 결과

본 연구에서 적용한 IBC PO와 증분 PO 끝점 기여분의 계산 방법을 검증하기 위하여 그림 8과 같이 5λ 두께와 10λ 지름을 가지는 원통형 구조물에 의한 monostatic RCS를 계산한다. ITD와 같은 증분기법은 곡면의 쐐기에도 적용이 가능하기 때문에, 곡면의 쐐기가 포함된 원통형 구조물이 선택되었다.

그림 8. 임피던스 표면을 가지는 5λ 높이와 10λ 지름의 원통형 산란체

Fig. 8. Cylindrical scatterer with 5λ-height and 10λ-diameter with an impedance surface

원통형 구조물의 표면 임피던스 Zs가 0.5Ω인 경우에 대해서 10 GHz 주파수에서 θ = 90°, 𝜙 = 0°~360°로 입사각과 산란각을 같이 변경하며 θθ-편파의 IBC PO, Fringe 필드, 총 산란파 (= PO필드 + Fringe 필드) 계산하여 그림 9에 나타내었다.

그림 9(a)의 IBC PO의 결과는 입사(산란)각에 따른 VIRAF의 결과와 정확하게 일치한다. 그림 9(b)는 회절파에서 PO기여분을 제거한 Fringe 필드의 계산결과로, 선행연구와 본 논문에서 제안한 계산방법으로 계산결과와 VIRAF의 계산결과 비슷한 패턴을 가지지만 RCS 레벨이 5~8 dB가 더 낮게 나온다. 임피던스 표면을 가지는 산란체에 대하여 VIRAF로 계산한 Fringe 필드의 결과가 낮은 레벨을 가지는 것은 ^[12]에서도 비슷한 결과로 VIRAF의 결과가 부정확한 것임을 이미 확인되었다. 파란색의 실선은 식 (17)의 기존의 개념적인 PO 기여분으로 계산한 결과이고, 검정색의 점선은 식 (21)의 제안한 PO 기여분으로 계산한 결과이다. Fringe 필드의 경우 180°를 기준으로 정확한 좌우 대칭이 안되는 결과를 보이는 반면, 제안한 방법은 정확하게 좌우 대칭으로 정확도가 더 높다고 판단할 수 있다. 그림 9(c)와 같이 PO필드와 Fringe 필드를 합한 총 산란파의 경우에도 제안한 방법이 정확하게 좌우대칭의 신뢰성 높은 결과를 보인다.

그림 9. 원통형 산란체에 의한 𝜃𝜃편파 필드 해석결과: (a) IBC PO 산란파, (b) Fringe 필드 및 (c) 총 산란파

Fig. 9. 𝜃𝜃-polarized field by cylindrical scatterer: (a) IBC PO field, (b) fringe field, and (c) total scattered field.

5. 결 론

본 논문에서는 θ편파와 𝜙편파의 입사파와 산란파 계산에 적합한 IBC PO 산란파 수식을 정리하였다. 또한, 기존의 연구에서 Fringe 필드를 얻기위해 필요한 PO 끝점 기여분을 개념적으로 회절계수 중 일부를 이용한 수식이 사용된 반면, 본 논문에서 PO 끝점 기여분의 정의로부터 적분 수식을 정리하여 PO 끝점 기여분의 산란계수를 정립하였다.

IBC PO는 코팅된 사각형 금속판에 적용하여 MoM과 VIRAF 해석툴의 결과와 비굑하여 검증하였고, PO 끝점 기여분 계산방법은 2차원 임피던스 쐐기에 적용하여 검증하였다. IBC PO와 Fringe 필드의 합인 총 산란파 검증을 위하여 곡선의 쐐기 조합으로 구성된 원통형 산란체에 제안한 계산방법과 VIRAF 해석툴을 적용하여 검증을 수행하였다.

PTD 기법처럼 PO 필드와 Fringe 필드의 합으로 총 산란파를 계산하는 방법들이 입사각과 산란각이 180° 차이나는 경우 grazing singularity가 발생하는 특성이 있다. ITD 기법에서도 동일한 문제점이 발생하며 향후 ITD 기법에서 Grazing Singularity를 해결하는 방법 연구로 확장할 계획이다.

Acknowledgements

This work was supported by the Agency for Defense Development Grant, funded by the Korean Government (No. UD210001FD).

References

F. Hacıvelioğlu, M. Alper Uslu and L. Sevgi, "A MATLAB-Based Virtual Tool for the Electromagnetic Wave Scattering from a Perfectly Reflecting Wedge," IEEE Antennas and Propagation Magazine, vol. 53, no. 6, pp. 234-243, Dec. 2011, doi: 10.1109/MAP.2011.6157766.

C. A. Balanis, Advanced Engineering Electromagnetics, John Wiley & Sons Inc, 2012.

P. Y. Ufimtsev, Fundamentals of the Physical Theory of Diffraction, Wiley-IEEE Press, 2014.

J. H. Kwon, C. H. Hyoung, J.-H. Hwang, and H. H. Park, “Improvement in Shielding Effectiveness of Large Enclosures Using Electromagnetic Absorbers,” The Journal of Korean Institute of Electromagnetic Engineering and Science, vol. 32, no. 2, pp. 164-167, Feb. 2022.

E. O. Boadu, K. K. Mireku, and K. Gbongli, “Physical Optics and the Impedance Boundary Condition,” American Journal of Engineering Research (AJER), vol. 6, no. 7, pp. 17–29, 2017.

H. Kobayashi, S. Shi, and Y. Yamaguchi, “Polarimetric RCS Prediction Software Code for Large and Complex Objects,” Journal of Control Engineering and Technology (JCET), vol. 2, no. 3, July 2012.

J.-H. Nam, J.-U. You, and I.-S. Koh, “Large Complex Impedance and Dielectric Inhomogeneous Structure Scattering Analysis Based on Multi-Level Fast Multipole Method and Iterative Physical Optics,” The Journal of Korean Institute of Electromagnetic Engineering and Science, vol. 32, no. 10, pp. 916-924, Oct. 2021.

K. Kim, J.-H. Kim, T.-M. Choi, and D.-S. Cho, “Development of radar cross section analysis system of naval ships,” International Journal of Naval Architecture and Ocean Engineering, vol. 4, no. 1, pp. 20-32, Mar. 2012.

R. Tiberio, S. Maci, and A. Toccafondi, "An incremental theory of diffraction: electromagnetic formulation," IEEE Transactions on Antennas and Propagation, vol. 43, no. 1, pp. 87-96, 1995.

S. Lee, H. Lee, H. Shin, D. Yoon, and Y. B. Park, "Analysis of radar cross-section of perfect electric conductor scatterer using the incremental theory of diffraction," Journal of Korean Institute of Electromagnetic Engineering and Science, vol. 32, no. 10, pp. 925–932, 2021. https://doi.org/10.5515/KJKIEES.2021.32.10.925

J. I. Lee, H. S. Lee, S. H. Lee, and D. W. Seo, "Application of incremental theory of diffraction formulation for bistatic RCS estimation," Journal of Korean Institute of Electromagnetic Engineering and Science, vol. 33, no. 3, pp. 238–243, 2022.

J.-S. Kim, H. Kim, J.-Y. Park, and D.-W. Seo, "Heuristic Incremental Theory of Diffraction for Wedge with Impedance Surfaces," Journal of Electromagnetic Engineering and Science, vol. 24, no. 2, pp. 191-197, Mar. 2024.

T. B. A. Senior and J. L. Volakis, Appoximate Boundary Condition in Electromagnetics, The Institution of Electrical Engineers, 1995.

저자소개

김준선 (Jun-Seon Kim)

He received his B.S. and M.S. degree in radio engineering from National Korea Maritime & Ocean University (KMOU), Busan, South Korea in 2022 and 2024, respectively. He is currently working toward his Ph.D. degree at the same university. His research interests include numerical techniques in the areas of electromagnetics and radar cross-section analysis.

이현수 (Hyun-Soo Lee)

He received his B.S, M.S., and Ph.D. degrees from InhaUniversity, Incheon, South Korea in 2012, 2014, and 2019, respectively. In 2019, he joined the Agency for Defense Development (ADD), Daejeon, South Korea, where he is currently a Senior Researcher. His current research interests include numerical and analytical methods for electromagnetic fields.

이재호 (Jae-Ho Lee)

He received the B.S. degree in electronic and electrical engineering from Kyungpook National University, Daegu, Korea, in 2002, and the M.S. degree in electrical and electronic engineering from Korea Advanced Institute of Science and Technology (KAIST), Daejeon, Korea, in 2004. He was also awarded his Ph.D. degree in electrical and electronic engineering from Tokyo Institute of Technology (TIT), Tokyo, Japan, in 2010. He is currently an Assistant Professor with the Dept. of Electronics Engineering at Kunsan National University, Kunsan, South Korea.

서동욱 (Dong-Wook Seo)

He received the B.S. degree in electrical engineering from Kyungpook National University (KNU), Daegu, South Korea, in 2003, and the M.S. and Ph.D. degrees in electrical engineering from the Korea Advanced Institute of Science and Technology (KAIST), Daejeon, South Korea, in 2005 and 2011, respectively.

He is currently a Professor with the Division of Electronics and Electrical Information Engineering at National Korea Maritime and Ocean University (KMOU), Busan, South Korea.

KIEEThe Transactions ofthe Korean Institute of Electrical Engineers

The Transactions of the Korean Institute of Electrical Engineers

ISO Journal TitleTrans. Korean. Inst. Elect. Eng.

Journal Search

Journal XML

Journal Information

RCS Estimation of Objects with Impedance Boundary Condition Using PO and ITD

Translated Abstract

Key words

1. 서 론

2. 임피던스 경계조건에서의 PO 산란파 계산

(1)

(2)

(3)

(4)

(5.1)

(5.2)

(6.1)

(6.2)

(7.1)

(7.2)

(8)

(9.1)

(9.2)

(10.1)

(10.2)

(11)

(12)

3. 임피던스 경계조건에서의 ITD 회절파 계산

(13)

(14)

(15.1)

(15.2)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

4. 해석결과

4.1 IBC PO 산란파 해석결과

(23)

4.2 증분 Fringe 필드 해석결과

5. 결 론

Acknowledgements

References

저자소개

김준선 (Jun-Seon Kim)

이현수 (Hyun-Soo Lee)

이재호 (Jae-Ho Lee)

서동욱 (Dong-Wook Seo)

Article Information (continued)

Key words

KIEEThe Transactions of
the Korean Institute of Electrical Engineers