2.1 방사계 전자기력 이론

방사계 전자기력은 방사 방향 힘의 시간적 흐름에 따른 변화를 관찰하는 시간적 전자기력과 모터가 동기 상태로 회전하는 중 순간적인 힘의 분포를 확인하는 공간적 전자기력으로 나타난다. 이 두 가지 방사계 전자기력의 고조파 차수는 2-D FFT(2-Dimensional Fast Fourier Transform)을 통하여 분석할 수 있으며, 공간 고조파는 회전자 극 수와 고정자 슬롯 수 최대공약수의 배수로 나타난다^[3]. 또한, 방사계 전자기력 밀도는 맥스웰 응력 텐서법 (Maxwell Stress Tensor, MST)에 따라 식 (1)과 같이 나타낼 수 있다. 이때 원주 방향 자속밀도의 크기는 방사 방향 자속밀도에 비해 매우 작으므로 무시한다고 가정하면, 방사계 전자기력 밀도를 방사 방향 자속밀도의 제곱과 진공 투자율로 나태낼 수 있다^[7].

$B_{r}(\theta ,\: t)$와 $B_{t}(\theta ,\: t)$는 각각 방사 방향과 원주 방향의 자속밀도를 나타내며, $\mu_{0}$는 진공 투자율이다. 하지만 식 (1)을 통하여 전자기력과 회전자에 의한 공극 자속밀도의 관계를 확인하기는 어렵다. 따라서 본 논문에서는 회전자 형상 변화에 따른 공극 자속밀도 및 전자기력의 변화를 확인하기 위하여 식 (2), (3)을 기반으로 무부하 공극 자속밀도 및 방사계 전자기력을 분석하였다.

$B_{NL}(\theta ,\: t)$과 $f_{NL}(\theta ,\: t)$는 각각 무부하에서의 공극 자속밀도와 전자기력 밀도이며, n은 무부하 공극 자속밀도 고조파의 차수를 의미한다^[7].

2.2 전자기적 진동 특성 이론

모터의 전자기적 진동 특성은 고정자에 전달되는 방사계 전자기력에 의한 진동에 큰 영향을 받기 때문에 진동 특성 분석을 위해서는 고정자의 원주 방향 진동 모드의 차수를 파악하여야 한다. 이때 n차 전자기력에 의하여 동일 진동 모드 차수 m(=n) 에서 진동 변위가 발생하는 것을 고려하여 진동 변위 $A_{m}$을 식 (4)와 같이 나타낼 수 있으며, 배율 계수 $h_{m}$ 을 이용하여 식 (4)를 식 (5)와 같이 나타낼 수 있다^[8].

$F_{m}$은 고정자 내경의 원주, 적층 길이, n차 전자기력 크기의 곱을 의미하며, $w_{n}$ 및 $w_{m}$ , $\zeta_{m}$은 각각 n차 전자기력의 각 주파수, m차 모드에서의 고유 각진동수와 감쇠상수를 의미한다. $M$은 고정자 시스템의 총 질량을 의미하며, 해석 모델링과 진동 모드 형상에 대한 분석을 용이하게 하기 위하여 고정자 시스템을 원통형으로 간이화할 수 있다^[8,9].

식 (4)와 식 (5)는 하나의 모드 m에 대한 수식이며, 두 식을 통하여 전자기력의 각주파수가 고유 각진동수에 근접할수록 진동 변위가 증가하는 것을 알 수 있다. 이때 저차 모드일수록 진동에 크게 영향을 주기 때문에 본 논문에서는 모터의 전자기적 진동 특성을 저감하기 위하여 저차 전자기력을 저감하기 위한 연구를 진행하였다^[8,10].

3.1 초기 모델 설계 사양

서론에서 언급하였듯이 에어컨 컴프레셔용 모터의 주요 설계 주안점인 고출력밀도를 고려하여 주요 운전점에서 평균 토크를 증대시킴과 동시에 진동 특성을 고려하여 저차 공간 전자기력이 작은 모델을 초기 모델로 선정하기 위한 토폴로지 검토를 진행하였다. 토크를 증대시키기 위하여 자석 형상은 토크가 비교적 크게 발생하는 V타입으로 선정하였다^[11]. 이때, 자석 사용량을 1-layer와 동일하게 유지하며 자석을 multi-layer로 배치할 경우, 자속 장벽 각도 및 자석 두께와 같은 형상 변수 설계를 통하여 영구자석 쇄교 자속($\lambda_{f}$) 및 공극 자속 밀도 고조파의 크기를 조정할 수 있다. 또한, $\lambda_{f}$ 감소에 따라 발생하는 마그네틱 토크 감소를 돌극비 향상을 통한 릴럭턴스 토크 증대로 보상하여 평균 토크의 감소를 방지할 수 있다^[12]. 따라서 3.1.1절에서는 V타입의 1-layer 및 2-layer IPMSM에 대하여 평균 토크와 전자기력을 분석하였으며, 두 모델의 형상 및 설계 사양을 각각 그림 1과 표 1에 나타내었다.

그림 1. (a) 1-layer, (b) 2-layer 형상

Fig. 1. Configuration (a) 1-layer (b) 2-layer

3.2 1-layer 및 2-layer 모델의 전자기력 및 토크 특성 분석

표 1에 표시한 주요 운전점을 기준으로 1-layer 및 2-layer 모델을 설계하였으며, 두 모델에 대하여 시간 고조파 8차를 기준으로 나타나는 공간 전자기력을 분석하여 각각 그림 2(a)와 (b)에 나타내었다. 그림 2에 따르면, 저차 공간 전자기력으로 발생한 공간 4차 전자기력이 시간 8차 전자기력에 영향을 주는 것을 알 수 있으며, 이를 기반으로 하여 공간 4차 전자기력을 저감함으로써 구동 주파수 $f_{1st}$의 8차수인 8$f_{1st}$에서의 진동 특성을 개선하고자 하였다.

그림 2. 전자기력 분석 결과 (a) 1-layer, (b) 2-layer

Fig. 2. Radial force density analysis results (a) 1-layer, (b) 2-layer

그림 2에 따르면 1-layer 모델 대비 2-layer 모델의 공간 4차 전자기력이 더 작은 것을 확인할 수 있으며, 전자기력 밀도 수식을 기반으로 그 원인을 분석한 후, 2-Dimensional-Finite Elecment Analysis(2D-FEA) 해석을 통하여 수식 기반의 분석 결과를 확인하고자 하였다. 따라서, 공간 4차 전자기력과 무부하 공극 자속밀도 고조파의 크기 $B_{r}$ 및 위상 $\alpha$의 관계를 파악하기 위하여 식 (2), (3)을 기반으로 식 (6)을 도출하였다.

식 (6)을 통하여 공간 4차 전자기력은 무부하 공극 자속밀도 4차, 8차 및 8차, 12차 등, 4차 차이를 갖는 고조파들의 영향으로 발생한다는 것을 알 수 있으며, 이는 그림 3의 2D-FEA를 통한 무부하 공극 자속밀도를 분석한 결과와 일치한다.

그림 3. 모델별 무부하 공극 자속밀도 분석 결과

Fig. 3. No-load air-gap flux density harmonics analysis results according to the models

그림 3에 따르면 영구자석의 영향으로 발생하는 고조파는 4, 12, 20차와 같이 np차수로 나타나며, 슬롯의 영향으로 발생하는 고조파는 8, 12, 16, 24차와 같이 $(S\pm kp)^{th}$ 차수로 나타나는 것을 알 수 있다. 이때 n = 1, 3, 5, ...., p = 극쌍수, S = 슬롯 수, k=0, 1, 2, 3, ...이다^[13]. 또한 무부하 공극 자속밀도 분석 결과와 식 (6)을 통하여 무부하 공극 자속밀도의 기본파인 4차 고조파가 기여하는 공간 4차 전자기력 성분이 가장 크며, 1-layer 대비 2-layer 모델의 무부하 공극 자속밀도 기본파가 더 작기 때문에 2-layer 모델의 공간 4차 전자기력이 더 작게 발생하는 것으로 판단할 수 있다. 이후, 무부하 공극 자속밀도 기본파 차이에 의해 나타나는 모델별 토크 특성을 확인하기 위하여 $\lambda_{f}$와 마그네틱 및 릴럭턴스 토크를 분석한 결과를 그림 4에 나타내었다.

그림 4. 모델별 (a) $\lambda_{f}$ (b) 마그네틱 토크, 릴럭턴스 토크 비교

Fig. 4. (a) $\lambda_{f}$, (b) magnetic torque and reluctance torque according to the models

3.1절에서 언급하였듯이, 분석 결과 2-layer 모델의 $\lambda_{f}$가 더 작기 때문에 마그네틱 토크가 비교적 작지만, 릴럭턴스 토크가 1-layer 대비 크게 나타남에 따라 평균 토크가 동일 수준으로 나타나는 것을 알 수 있다.

결과적으로, 동일 운전점에서 2-layer 모델의 공간 4차 전자기력이 더 작기 때문에 본 논문에서 개선하고자 8$f_{1th}$ 에서의 진동 특성이 더 우수하고 판단하여 V타입의 2-layer IPMSM을 초기 모델로 선정하였다.

3.3 2-layer 모델의 무부하 공극 자속밀도 분석

모델별 무부하 공극 자속밀도를 분석한 그림 3을 통하여 2-layer 모델의 경우 무부하 공극 자속밀도의 4차와 8차 및, 16차와, 20차 고조파가 공간 4차 전자기력에 주요하게 영향 줄 것으로 예상할 수 있다. 따라서 해당 고조파들과 공간 4차 전자기력의 관계를 확인하기 위하여 각 고조파들의 위상을 분석하였으며, 그 결과를 그림 5에 나타내었다.

그림 5. 2-layer모델 (a) 무부하 공극 자속밀도 고조파 위상, (b) 고조파 차수 조합에 따른 공간 4차 전자기력 밀도의 위상차

Fig. 5. 2-layer model (a) phase angle of no-load air-gap flux density harmonics, (b) phase relationship between 4$^{th}$ order radial force density and no-load air-gap flux density

식 (6)와 그림 5를 통하여 기본파와 8차 및 16차와 20차 고조파가 기여하는 공간 4차 전자기력이 서로 180°의 위상차를 갖기 때문에 상쇄 관계에 있다는 것을 알 수 있다. 이를 기반으로 무부하 공극 자속밀도의 20차 고조파 크기를 증가시킴으로써 기본파에 의한 공간 4차 전자기력을 상쇄시키기 위하여 회전자에 노치를 적용하는 설계 방안을 도출하였다.

3.4 회전자 노치 적용을 위한 민감도 분석

2-layer 모델 회전자에 노치를 적용함으로써 무부하 공극 자속밀도 20차 고조파의 크기를 증가시키기 위하여 한 극 기준 노치의 개수와 위치 및 반지름을 주요 설계 변수로 선정한 후, 민감도 분석을 진행하였다. 한편, 노치를 적용하는 과정에서 노치 형상에 따라 토크 리플 변동이 나타나기 때문에 노치 형상 설계 과정에서 토크 리플이 증가하는 것을 방지하기 위해서는 민감도 분석을 통하여 변수에 따른 20차 고조파 크기와 토크 리플의 경향을 모두 확인해야 한다^[14]. 따라서 3.4절에서는 노치의 설계 변수에 따른 무부하 공극 자속밀도 20차 고조파의 크기와 토크 리플의 경향을 확인하였고, 이후 민감도 분석 결과를 기반으로 노치 형상 설계를 진행하였다.

3.4.1 1-Notch 모델 민감도 분석

1-Notch 모델의 설계 변수와 변수 범위를 각각 그림 6과 표 2에 나타내었다.

그림 6. 1-Notch 모델 설계　변수

Fig. 6. Design parameter of 1-Notch model

표 2 1-Notch 모델 설계 변수 범위

Table 2 Range of design parameters for 1-Notch model

설계 변수	변수 범위
	최솟값	최댓값	비고
θ1 [deg]	19.5	26.0	R1=1.0mm
R1 [mm]	0.5	1.5	θ1=22.5°

그림 7. 1-Notch 모델 설계 변수 (a) θ1 (b) R1 에 따른 민감도 분석 결과

Fig. 7. Sensitivity analysis results for 1-Notch model according to (a) θ1 (b) R1

그림 7의 민감도 분석 결과에 따르면 노치 중심각(θ1)이 증가할 경우 토크 리플은 증가하며, 20차 고조파의 크기는 증가 후 감소하는 것을 알 수 있다. 한편, 노치 반지름(R1)이 커짐에 따라 토크 리플과 20차 고조파의 크기가 모두 증가하는 경향이 나타났다.

한 극 기준으로 하나의 노치를 적용한다면 노치의 위치 및 크기에 따라 20차 고조파를 향상시킬 수 있다. 하지만, 토크 리플은 대체적으로 크게 나타나기 때문에 1-Notch 모델을 적용할 경우 추가적인 토크 리플 개선 설계가 요구된다는 것을 알 수 있다.

3.4.2 2-Notch 모델 민감도 분석

2-Notch 모델의 경우 영구자석의 중심을 기준으로 두 노치가 대칭되도록 적용하였으며, 설계 변수와 변수 범위를 각각 그림 8과 표 3에 나타내었다.

그림 8. 2-Notch 모델 설계　변수

Fig. 8. Design parameter of 2-Notch model

표 3 2-Notch 모델 설계 변수 범위

Table 3 Range of design parameters for 2-Notch model

설계 변수	변수 범위
	최솟값	최댓값	비고
θ2 [deg]	14.0	16.1	R2=0.5mm
R2 [mm]	0.45	1.3	θ2=14.3°

그림 9. 2-Notch 모델 설계 변수 (a) θ2 (b) R2 에 따른 민감도 분석 결과

Fig. 9. Sensitivity analysis results for 2-Notch model according to (a) θ2 (b) R2

그림 9에 나타낸 분석 결과에 따르면 노치 중심각(θ2)이 증가할수록 즉, 두 노치가 영구자석의 중심에 위치할수록 토크 리플과 20차 고조파가 모두 증가하는 것을 알 수 있으며, 반지름(R2)이 증가함에 따라 토크 리플과 20차 고조파의 크기가 모두 감소하는 경향이 나타났다.

결과적으로 두 개의 노치를 적용할 경우 초기 모델 대비 토크 리플은 우수하지만 20차 고조파의 크기는 대체로 작게 나타나는 것을 알 수 있다.

3.4.3 3-Notch 모델 민감도 분석

3-Notch 모델의 경우 영구자석 중심을 기준으로 두 노치가 대칭이 되도록 적용한 후, 두 노치 중간에 하나의 노치가 적용된 형상을 도출하여 각각의 중심각 및 반지름 크기에 대한 민감도 분석을 진행하였으며, 설계　변수와 변수 범위를 각각 그림 10과 표 4에 나타내었다.

그림 11의 분석 결과에 따르면, 중간에 위치한 노치의 중심각(θ3)이 증가할 때, 토크 리플은 증가하였고, 20차 고조파의

그림 10. 3-Notch 모델 설계　변수

Fig. 10. Design parameters of 3-Notch model

표 4 3-Notch 모델 설계 변수 범위

Table 4 Range of design parameters for 3-Notch model

설계 변수	변수 범위
	최솟값	최댓값	비고
θ3 [deg]	21.0	24.0	R3=1.1mm
R3 [mm]	0.7	1.3	θ3=22.5°
θ4 [deg]	14.3	16.1	R4=0.5mm
R4 [mm]	0.45	0.63	θ4=14.3°

그림 11. 3-Notch 모델 설계 변수 (a) θ3 (b) R3 (c) θ4 (d) R4 에 따른 민감도 분석 결과

Fig. 11. Sensitivity analysis results for 3-Notch model according to (a) θ3 (b) R3 (c) θ4 (d) R4

크기는 증가 후 감소하는 경향을 보였으며, 반지름(R3)이 증가할 경우 토크 리플과 20차 고조파 크기가 모두 증가하는 경향을 보였다. 또한, 대칭된 두 노치의 중심각(θ4)이 증가할 때, 20차 고조파의 크기와 토크 리플이 모두 증가하는 경향을 보였으며, 반지름(R4)이 증가할 경우 20차 고조파 크기 및 토크 리플이 모두 감소하는 것을 알 수 있다. 이를 통하여 중간에 위치한 노치를 영구자석의 중심에 적용하며, 반지름을 증가시킴으로써 20차 고조파의 크기를 증대시킴과 동시에 대칭되는 두 노치를 영구자석의 양 끝에 적용하며, 반지름을 작게 형성함으로써 토크 리플을 저감할 수 있다는 것을 알 수 있다.

3.5 개선 모델 도출

민감도 분석 결과 1-Notch 모델이 20차 고조파의 크기를 증가시키기에 용이한 반면, 토크 리플이 대체적으로 크게 발생했으며, 2-Notch 모델은 토크 리플이 우수하지만 20차 고조파의 크기가 작게 나타난다. 3-Notch 모델의 경우 중간 노치와 양 끝 노치의 중심각 및 반지름을 조정하여 20차 고조파의 크기를 증가시킴과 동시에 토크 리플 증가를 방지하는 것이 가능하다. 따라서 민감도 분석 결과를 기반으로 회전자에 노치 3개를 적용한 후, 노치 형상 설계를 통한 개선 모델을 도출하였으며 회전자 형상의 변화 및 개선 모델 형상을 그림 12에 나타내었다.

그림 12. (a) 개선 설계 과정에서의 회전자 형상 변화 및 (b) 개선 모델 형상

Fig. 12. Improved model (a) variation of rotor shape during design process and (b) configuration

3.6 모델별 전자계 성능 및 진동 특성 비교

개선 설계 결과, 효율과 평균 토크 및 토크 리플을 동일 수준으로 유지하였으며, 이와 같은 토크 특성 및 전자계 성능을 주요 운전점에서 해석하여 표 5에 나타내었다.

그림 13과 같이 기본파에 의한 공간 4차 전자기력 상쇄에 주요하게 영향을 주는 무부하 공극 자속밀도의 20차 고조파를 약 13% 저감하였으며, 이에 따라 공간 4차 전자기력을 약 9% 저감하였다.

추가적으로, 진동 특성에 대한 공간 4차 전자기력의 영향을 확인하기 위해 JMAG을 이용하여 3D 구조 해석을 진행하였다. 우선, 모델별 2D-transient 해석으로 nodal force를 추출하여 주파수 영역으로 변환하였다. 이후, 변환된 nodal force를 간이 하우징이 포함된 3D 고정자 시스템에 맵핑하여 모드별 frequency response function(FRF)를 계산한 결과에 대해 superposition method를 적용함으로써 고정자 시스템의 진동 특성을 분석하였다.

그림 13. 모델별 (a) 무부하 공극 자속밀도 20차 고조파 및 (b) 공간 4차 전자기력 밀도 비교

Fig. 13. Comparison (a) $20^{th}$ order harmonic of no-load air-gap flux density (b) $4^{th}$ order radial force density

그림 14는 가속도를 모델별로 분석한 결과이며, 시간 8차, 공간 4차 전자기력을 감소시킨 결과, 8$f_{1st}$ 주파수에서 진동 가속도가 약 31% 저감된 것을 알 수 있다.

그림 14. 모델별 진동 가속도 비교

Fig. 14. Comparison of and vibration acceleration according to the models