2.1 Particle Swarm Optimization

PSO 알고리즘은 입자들의 정보 공유를 통해 최적화를 수행하여 최적해가 국소 최솟값에 빠지게 될 확률과 최적화의 수행시간을 효과적으로 감소시키는 메타 휴리스틱 최적화 기법이다^[16]. 대규모 비선형 전력 계통은 선형최적화 방법으로 해를 구하기 어렵기 때문에 본 논문의 경우 PSO 알고리즘을 기반으로 최적화를 수행하였다. 논문에서 사용된 PSO 알고리즘의 순서도는 그림 1과 같으며, 크게 초기조건 설정, 입자의 속도 및 위치 계산, 입자의 위치 기록 업데이트, 군집 위치 기록 업데이트 총 네 가지 과정으로 정리하였다.

2.1.2 Step 2: Calculation of Velocity and Position

최적해 수렴을 위해 각 입자는 최적해를 향해 적절한 속도로 접근해야 한다. 최적해로 접근 속도가 너무 느릴 경우 입자가 국소 최솟값에 빠질 수 있으며, 반대로 접근 속도가 너무 빠를 경우 전역 최적해를 지나칠 가능성이 있다. 따라서 입자 개인의 위치정보와 군집 입자의 위치정보 공유를 통해 입자의 속도를 업데이트하여 적절한 속도로 최적해를 탐색해야 한다.

그림 1. PSO 알고리즘의 순서도

Fig. 1. Flowchart of a PSO Algorithm

입자의 위치는 식 (1)과 같이 업데이트 된다. 입자의 속도는 식 (2)를 통해 계산할 수 있으며, 계산된 입자의 속도는 식 (1)에 대입한다. 식 (1)에서 첫 번째 항은 관성을 나타내며, 기존 입자의 속도를 얼마나 반영할 것인지를 결정한다. 두 번째 항은 개인 위치정보에 따른 탐색가중치이고, 세 번째 항은 군집 위치정보에 따른 탐색가중치를 의미한다.

(1)

$x_{i}^{(k+1)}=x_{i}^{(k)}+v_{i}^{(k+1)}$

(2)

\begin{align*}v_{i}^{(k+1)}= wv_{i}^{(k)}+c_{1}r{}{and}(-1,\: 1)({p}_{{i}}-{x}_{{i}}^{({k})})\\+{c}_{2}{r}{}{and}(-1,\: 1)({g}-{x}_{{i}}^{({k})})\end{align*}

여기서 $r{and}(-1,\: 1)$는 -1과 1 사이의 임의의 값을 의미한다. $k$는 반복 횟수를 의미하며, $x_{i}^{(k)}$는 $k$번째 반복에서의 입자 위치를 의미한다.

2.2 Voltage Sensitivity

PSO 알고리즘을 적용할 때, 전역 최솟값으로의 수렴 확률과 알고리즘의 수행시간은 trade-off 관계를 맺는다. 입자의 개수를 증가시켜 전역 최적해로의 수렴 확률을 증가시키면 알고리즘 계산시간이 증가하고, 입자의 개수가 줄어들면 알고리즘의 계산시간은 줄어드나 전역 최솟값으로의 수렴 확률이 감소한다. 따라서 PSO 알고리즘이 계통에 적용될 경우, 전역 최솟값으로의 수렴 확률 증가를 위한 과도한 수행시간을 피하기 위해 효율적인 입자의 초깃값 및 입자의 개수를 선택할 필요가 있다. 본 논문에서 이러한 문제를 해결하고자 전압 민감도를 고려하여 PSO 알고리즘의 초기 입자 및 위치를 결정하는 방법을 제안하였다. 전압 민감도는 전력조류 방정식을 기반으로 계산된다^[17]. 전력 계통 해석 시 어드미턴스를 고려한 전력조류 방정식은 식 (7), 식 (8)과 같다.

여기서 $P_{i}$와 $Q_{i}$는 각각 $i$번째 모선에서의 유효전력과 무효전력, $Y_{ij}$와 $\theta_{ij}$는 각각 어드미턴스 행렬의 ($i,\: j$) 번째 원소의 크기와 위상각을 의미하며, $V_{i}$와 $\delta_{i}$ 는 각각 $i$번째 모선의 전압 크기와 위상을 의미한다.

식 (7)과 식 (8)을 바탕으로 전압 크기와 위상각의 변화량에 따른 유효전력과 무효전력의 변화량을 식 (9)와 같이 정리했다. 자코비안 행렬 $J$는 식 (10)과 같이 표현한다.

유효전력과 무효전력 변화량에 따른 전압 민감도를 나타내는 식을 도출하기 위해 자코비안 행렬 $J$의 역행렬을 활용하여 정리한다. 따라서 식 (9)는 식 (11)로 정리할 수 있으며, 전압에 대해서 행렬을 정리해 식 (12)로 나타낸다.

여기서 $S_{VP}$와 $S_{VQ}$는 유효전력 전압 민감도 계수, 무효전력 전압 민감도 계수로 $S_{VP}=(\partial V/\partial P)$, $S_{VQ}=(\partial V/\partial Q)$로 정의된다. $\Delta V$는 전압 변동률이며, $\Delta P$와 $\Delta Q$는 유효전력과 무효전력 변동량을 의미한다. 식 (12)와 같이 전압 민감도 계수를 통해 계통에 투입되는 전력이 변할 때 전압 변동이 크게 발생하는 모선을 찾을 수 있다. 따라서 PSO 알고리즘의 초깃값 설정 단계에서 전압 변동이 크게 발생하는 지점을 입자의 초기위치 후보로 설정함으로써, BESS의 위치 및 용량 최적화를 위한 PSO 알고리즘의 계산시간을 단축하고 전역 최적해로 수렴할 확률을 높일 수 있다.

2.3 P-V Curve Analysis

무한 모선에서 전압과 유효전력 간의 관계를 나타내는 P-V 곡선은 그림 2에 나타내었으며 식 (13)을 통해 도출된다.

임의의 모선에서 소비되는 전력량이 P-V 곡선 포물선의 끝점인 nose-point에 도달하는 경우 계통은 불안정한 상태에 놓이게 되어 붕괴한다. 이때, 모선에 무효전력을 보상하면 식 (13)에 따라 P-V 곡선의 nose-point를 x축의 양의 방향으로 이동시켜 계통의 유효전력 수용 능력을 향상시킬 수 있다. 또한, BESS를 활용하여 모선의 유효전력 소비량을 줄이면 nose-point에 동작점이 도달하지 않도록 조정할 수 있다. 본 논문은 BESS의 유효전력 및 무효전력 조정 기능을 모두 활용하여 계통의 전력 수용 능력을 증가시키는 것을 목표로 한다. 이를 위해, 재생에너지 연계 모선의 P-V 곡선을 도출하여 전력 수용 능력 한계를 평가하였다.

2.4 Objective Function

BESS가 역률 제어가 가능하여 유효전력과 무효전력을 동시에 계통에 유입할 수 있다고 가정하면, BESS의 유효 및 무효전력 연계에 의한 $j$번째 모선의 전압 변화량은 식 (14)와 같이 계산할 수 있다. $j$번째 모선의 위상 변화량은 식 (15)를 통해 계산할 수 있다. 계산된 전압과 위상값을 기반으로 재생에너지원에서 발전되는 재생에너지의 유효전력은 식 (16)을 통해 계산된다.

그림 2. P-V 곡선

Fig. 2. P-V Curve

여기서 $V_{RE}$와 $V_{grid}$는 재생에너지원 모선의 전압과 계통 연계 모선의 전압, $X$는 계통 연계 선로의 리액턴스, $P_{RE}$ 는 재생에너지의 유효전력, $\theta_{RE},\: \theta_{Grid}$는 재생에너지원 모선과 계통의 연계 모선의 위상을 의미한다. $S_{VP,\: j,\: k}$ , $S_{VQ,\: j,\: k}$ , $S_{\theta P,\: j,\: k}$ , $S_{\theta Q,\: j,\: k}$는 민감도 행렬이며, 행렬의 원소는 변수 $j$와 $k$를 통해 결정된다. 이때 변수 $j$는 변화량을 계산할 대상 모선의 모선 번호를 뜻하며, 변수 $k$는 BESS가 설치된 모선의 모선 번호를 의미한다. 따라서, $\Delta Q_{BESS}$와 $\Delta P_{"BESS"}$를 BESS에 의해 조정되는 유효전력과 무효전력의 변화량 벡터로 정의하면, 계통의 전력 수용량 최대화를 위한 목적함수는 식 (17)과 같이 계통에 설치된 $n$개의 재생에너지원 발전량을 모두 합한 값으로 결정할 수 있다.

식 (17)으로 정의된 목적함수의 변수는 BESS의 위치와 정격 전력 두 가지로 정의되며, PSO 알고리즘을 통한 최적화 변수는 두 차원에서 수행된다. 각 차원에 있는 입자들의 초기위치는 전압 민감도를 활용하여 결정되며, 최적화 과정에서 각 입자의 위치가 업데이트된다. 이는 식 (1)-(6)의 과정을 식 (18)-(23)으로 확장하여 수행되고, 식 (24)와 같이 일정 기간 목적함수의 개선이 없으면 해당 과정은 종료된다.

여기서 $x_{loc}$은 BESS의 설치 위치, $x_{c a p}=[P_{BESS},\: Q_{BESS}]$는 BESS의 유효전력과 무효전력 용량을 의미한다.

2.5 Constraints

계통에 존재하는 모든 모선은 안정적인 운영을 위해 전압 제한 범위를 만족해야 한다. 따라서 식 (25)와 같은 전압 제약 조건을 고려해야 한다. 또한 본 논문에서 제안하는 BESS의 유효전력과 무효전력의 용량 제약 조건은 영국, 독일, 프랑스, 요르단 및 남아프리카의 사례를 참고하여 식 (26)과 같이 결정하였다^[18,19].

$N$은 계통 모선 개수를 의미하며 $V_{\min }$, $V_{\max }$는 각각 전압의 최소, 최댓값을, $BESS_{\max }$은 BESS의 최대 용량을 의미한다.

3.1 실험 환경

본 논문은 제안하는 알고리즘을 검증하기 위해 그림 3에 나타낸 IEEE-300 Bus 모의 계통을 사용하였다^[20]. 동기발전기는 슬랙 모선의 영향을 최소화하기 위해 191번 모선에 설치되었으며, 재생에너지원은 풍력발전 단지가 연계된 상황을 가정하였다. 해당 풍력발전 단지는 8, 10, 20번 모선에 연계되었으며, 전압의 최소 및 최대 허용 범위는 각각 0.95 p.u.와 1.05 p.u.로 설정하였고^[21], BESS의 최대 용량은 150 MVA로 설정하였다^[18,19]. BESS의 역률 제어는 가장 효율적인 제어를 위해 0.90으로 고정되었다^[22,23]. BESS의 개수는 계통의 모선 개수 대비 대규모 풍력단지의 전력 수용 능력 향상 효율을 고려해 5대로 제한하였으며, PSO 알고리즘 수행에 사용된 입자의 수는 25개로 설정하여 최적화를 진행하였다.

3.2 실험 결과

그림 4는 IEEE-300 Bus 모선의 전압 민감도 계수를 나타낸다.

그림 3. IEEE-300 Bus와 전압 민감도가 높은 구역

Fig. 3. IEEE-300 Bus and Area with High Voltage Sensitivity

그림 4. IEEE-300 Bus의 전압 민감도

Fig. 4. Voltage Sensitivity of an IEEE-300 Bus

‘Bus’ 축은 민감도 계산 모선, ‘Case’ 축은 유효전력과 무효전력 변동이 발생한 모선, ‘Deviation’ 축은 로그 스케일로 변환된 후 min-max 정규화된 전압 민감도를 의미한다. 그림 4에서 볼 수 있듯이, 전압 민감도는 주로 250 에서 300번 모선에서 높은 값을 기록하였다. 본 논문에서는 PSO 알고리즘의 계산 속도를 높이고 전역 최적해 탐색 확률을 향상시키기 위해, 25개의 입자의 초기위치를 주로 250~300번 모선에 집중하여 선정하였다.

그림 5와 그림 6에는 전압 민감도를 기반으로 초깃값을 설정한 경우와 무작위로 초깃값을 설정한 경우를 구분하여, PSO 알고리즘 반복 횟수에 따른 모든 입자의 목적함수 값을 비교한 결과를 나타내었다. 이때 가로축과 세로축은 각각 알고리즘의 반복 수행 횟수와 목적함수인 $\Sigma_{i=1}^{n}P_{RE,\: i}$를 의미한다. 전압 민감도 분석을 기반으로 초깃값을 설정한 그림 5의 경우, 대부분의 입자들이 최종적으로 일정한 값에 수렴하는 것을 확인할 수 있었다. 반면, 무작위로 초깃값을 설정한 그림 6에서는 각 입자가 서로 다른 값으로 수렴하는 것을 확인할 수 있다.

그림 5. 전압 민감도를 고려한 PSO 입자의 목적함수 수렴 경로

Fig. 5. Objective Function Convergence Path of PSO Particles Considering Voltage Sensitivity

그림 6. 전압 민감도를 고려하지 않은 PSO 입자의 목적함수 수렴 경로

Fig. 6. Objective Function Convergence Path of PSO Particles without Considering Voltage Sensitivity

또한, 그림 5의 최종 수렴 값이 그림 6에 비해 더 높다는 점은 제안된 방법이 전역 최적해를 더 잘 탐색했음을 나타낸다. 이를 통해 전압 민감도를 기반으로 초깃값을 설정할 경우, PSO 알고리즘의 전역 최적해 탐색 확률이 증가하고 전반적인 최적화 성능이 향상되었으며, 동일한 입자 수와 하이퍼파라미터를 적용했음에도 불구하고 제안된 방법이 전역 최적해로 도달하는 확률을 크게 높였음을 확인할 수 있었다.

그림 7. 사례별 재생에너지 수용 능력 비교

Fig. 7. Comparison of Renewable Energy Hosting Capacity by Case

최적화 수행 결과, 풍력발전 단지의 전력 수용 능력 향상을 위한 5대의 BESS의 최적 위치는 51, 106, 210, 266, 278번 모선으로 선정되었으며, 최적 용량은 각각 94, 89, 79, 103, 141 MVA로 산정되었다. 전압 제약 조건을 고려한 기존 계통, BESS의 유효전력 능력만 고려한 계통 그리고 제안된 방법의 사례별 최대 수용량은 표 1과 그림 7에 나타내었다. 표 1에서 제안된 방법으로 분석한 최대 수용량은 1130 MW로, 전압 제약 조건을 고려하지 않았던 그림 5와 그림 6에서 제시된 1200 MW 이상의 최대 수용량에 비해 감소된 결과를 보였다. BESS의 유효전력만 고려하였을 때 기존 계통 대비 수용량이 280MW로 37.3% 증가하였으나 본 논문에서 제안한 방법은 최대 수용량이 381 MW로 50.8% 증가하였다. 제안된 방법은 유효전력만을 고려한 방법보다 9.8% 더 높은 수용량을 확보하였다.