3.1 등가 제어기 활용의 이점

이전 논문지를 통해 게재한 “Python 기반의 제어기 모듈화를 통한 PSS/e 과도 모의 안정성 향상 연구”에서 언급했듯이 제어기 구조는 ANDES 프로젝트와 같이 Python 코드로 미분 방정식을 세워 상태방정식 혹은 전달함수로 모두 모델링할 수 있다. 지난 연구에서는 Python 코드 기반의 PI 제어기, Lag 제어기, Lead-Lag 제어기 등에 대해 제어기 구성을 개발하고 모듈화하는 내용을 소개하였다. 이를 배경으로 본 논문지에서는 더 확장성을 갖을 수 있는 일반화된 제어기 설계 방안을 소개하고자 한다. 이에 따라, 제안된 제어기는 Fortran과 Python 언어에서 모두 활용될 수 있어 기존 UDM 모델 개발 방식으로도 적용이 가능하고, 외부 제어기 연계용으로도 PSS/e와 연계가 가능하다.

본 논문에서는 구조가 다른 2개의 제어기의 응답을 동일하게 맞추기 위해 시간과 주파수 영역에서의 보드 선도 분석을 통해 설계 절차를 제안하였다. 다시 말해, 제조사에서 제공한 3번 블랙박스 모델과 비슷한 응답을 갖기 위해 어떤 방식으로 제어기 구조가 구성되어야 하는지 그리고 어떤 파라미터가 입력되어야 하는지를 선정하는 절차를 제안하였다. 제안하는 제어기 구조가 저차항 전달함수로 매우 간단하기 때문에 Fortran 언어로 UDM 모델 작성 시 초기화 단계에서는 특정 모델 파라미터로 발생할 수 있는 수치 불안정 문제는 발생할 수 없고, 안정적인 계통 데이터베이스 구성이 가능하다. Python 언어로 UDM 모델 작성 시에는 과도 모의가 시작하는 $t=0$부터 전력이 주입되므로 이 역시 초기화 문제가 발생하지 않는다.

3.2 등가 제어기 구조 제안

PSS/e에서 Generic 모델을 활용하는 것처럼, 본 연구에서도 1개의 Generic 제어기 구조를 두고 제조사의 블랙박스 모델의 응답과 너무 상이할 경우에만 필요시 제어기 구조를 수정하는 방향으로 절차를 수립하였다. 다시 말해 2개의 응답이 큰 차이가 날 경우에만 구조 수정을 진행하고 본래의 사용 목적에 맞게 제어기 구조를 바꾸지 않는 것이 첫 번째 목표로 가져간다. 제어기 구조 수정이 필요한 경우에는 주로 적분 제어기에서의 Wind-up 제한기나 추가적인 Lead-Lag 제어기를 덧붙이는 정도로만 진행할 예정이다.

기본적으로 우리는 아래 그림과 같은 폐루프 (Closed-loop) 시스템 구조를 가정할 수 있고, 이 시스템의 전달함수의 특성방정식은 $1+KL(s)=0$로 표현할 수 있다.

$L(s)$는 다음과 같이 $n$차 다항식 $a(s)$와 $m$차 다항식 $b(s)$로 정리할 수 있다. 정상상태 오차가 항상 0인 시스템이므로 $n>m$ 조건으로 정의할 수 있다.

$G(s)$의 경우 Plant에 해당하고, $D_{cl}$는 제안하는 등가 제어기의 구조가 되겠다. 일반적으로 Plant에는 필터 성분이 포함될 수 있으므로 사례연구에서는 고조파 필터를 포함했다. 제조사에서는 보통 $L(s)$형태를 dll 파일을 제공하고 있으므로 본 논문지에는 Controller에 해당하는 $D_{cl}$의 경우 기본 꼴을 아래와 같이 정의하고자 하며, 전체 주파수 응답을 분석할 때는 $L(s)$형태로 분석하였다. $D_{cl}$의 기본 구조는 PI 제어기 1개와 Lead 제어기 1개와 Lag 제어기 1개를 연계한 구조이다.

적분 (D) 제어기의 경우, 오차의 기울기를 기반으로 제어 입력을 생성하는 예상 제어의 특성이 있어 갑자기 변하는 신호에 대해 빠른 응답이 가능하다. 그러나, 오차 신호를 미분하는 형태로 측정값에 잡음이 포함 되어있는 경우 제어 성능이 악화된다. 전력계통 영역에서도 고조파를 증폭시킬 수 있어 적분 제어기는 기본 제어기 구조에서는 제외하였다. PI 제어기 뒤에 부분은 Lead와 Lag 제어기로 하나의 일반화된 전달함수로 나타내었다. Lead 제어기의 경우 $z>p$인 조건이며, Lag 제어기의 경우 $z<p$인 조건이다. 다른 등가 표현으로는 $z=1/T$, $p=1/\alpha T$로 표현하기도 한다. 이 경우 $a_{D}$는 1보다 작고, $a_{I}$는 1보다 크다. Lead 제어기는 주파수 응답 상에서 위상 보상을 주는 형태로 영점이 극점보다 주파수 상에서 높은 곳에 위치해야 하고, Lag 제어기의 경우 위상 지연을 주기 때문에 극점이 영점보다 더 높은 주파수에 위치해야 한다.

참고로 여러 개의 Lead-Lag 제어기를 둘수록 겹겹이 위상 보상과 지연이 가능해 더 효과적인 제어 성능을 보이므로 필요에 따라 추가적인 스터디를 통해 제어기 구조 변경이 필요한 경우에만 추가하도록 한다. 또한, 가능성은 낮지만 계통에 연계된 제어기 자체가 불안정 (Unstable)한 경우 영점의 추가를 통해 근궤적을 좌반평면 (LHP)으로 이동시키는 단순한 전략을 사용하고자 한다. 위와 같은 단순한 제어기 구조에서 Lead 제어기 사용 시 극점이 영점과 너무 가까우면 영점의 영향을 상쇄시키기 때문에 기존 Plant 근궤적과 동일시되므로 이를 주의해서 파라미터를 선정해야 한다.

또한, 본 연구에서는 정확한 고유주파수 $w_{n}$와 $\zeta$ (또는 $\alpha ,\: jw_{d}$)를 도출하고 시간 영역에서의 사양을 설계하는 것이 목표가 아니고, 기존 블랙박스 모델의 전달함수와 최대한 유사한 시간 및 주파수 응답을 나타내기 위한 등가 제어기를 설계하는 것이므로 아래와 같은 큰 방향성을 가지고 PI 제어기, Lead 제어기 그리고 Lag 제어기 파라미터를 우선으로 정한다. 아래 제어기별 파라미터 선정 방법은 별도의 보드 선도를 그리지 않고, 블랙박스 제어기의 step response만을 보고 시간 영역 사양에서 선정 및 조절할 수 있는 절차가 되겠다. 해당 방안은 참고문헌 ^[3-4]를 참고하였다.

[PI 제어기]

① 특성방정식에서 P 제어기는 상수항에 영향을 주므로 $w_{n}$값에 영향을 준다고 볼 수 있고, 이에 따라 상승시간을 빠르게 할 수 있어 전체 시스템 응답 기울기를 결정한다. 블랙박스 제어기의 응답 기울기를 확인 해보고 결정한다.

② I 제어기는 오차를 적분하여 활용하므로 외란이 클 경우 파라미터를 증가해야 하고, 과도한 오차 누적을 피하기 위해 필요시 Wind-up 제어기를 추가한다. 그러나, I 제어기는 오차의 누적값을 사용하므로 파라미터를 너무 크게 설정하면 시스템이 불안정해질 수 있다. 이 역시 블랙박스 제어기의 응답 기울기를 확인 해보고 결정한다.

[Lead 제어기]

① 더 작은 감쇠 필요시 극점을 감소시킨다. (점근선 때문에 근궤적이 무한대로 가는 형태이므로)

② 더 큰 감쇠 필요시 극점을 증가시키고, 영점를 감소 시킨다. (근궤적이 원을 마는 형태이므로)

③ 극점이 너무 크면 순수미분기의 형태에 가까워지므로 고조파 증폭을 최소화 하기 위해 극점/영점의 값을 30 이하로 유지한다.

[Lag 제어기]

① 과도 응답에 영향을 주지 않기 위해 저주파수에서 큰 gain을 갖고, 고유주파수 $w_{n}$근처에서는 gain이 1이 되도록 설계하는 것이 목적이므로 정상상태 오차가 존재할 때만 Lag 제어기 도입한다.

② 정상상태 오차 (=오차 상수)의 정도를 보고 gain과 영점/극점의 비율을 결정한다.

③ 시스템 고유주파수 $w_{d}$보다도 100~200배 작게 영점 값을 선택한다.

④ 시간 영역에서 반응성이 너무 늦다면 영점/극점 비율을 유지하면서 영점과 극점을 증가시킨다. 위와 같은 설계 방안은 보통 2차 시스템에 대한 일반화된 특성을 많이 갖고 있으므로 기본적인 방향은 따르되 Python 혹은 Matlab 프로그램을 가지고 try-and-error를 통해 파라미터를 설계한다.

3.3 고차항 블랙박스 제어기와 제안 제어기와의 비교 분석

제조사에서 제공한 전체 제어기 구조는 알 수 없지만, 그림7과 같이 Python이나 MATLAB의 System Identification (SI) 모듈을 활용해 어느 정도 전달함수 추정이 가능하고 Flag 정보는 제조사가 제공하는 문서에 의해 파악이 가능하므로 기본적으로 어떤 Flag일 때 어떤 방식의 제어가 이뤄지는 파악할 수 있다. 아주 간단한 예로는 인버터의 경우 전압 제어를 하는 경우 Flag=0, 무효전력 제어를 하는 경우 Flag=1로 둘 수 있다. 하지만 우리는 전체 제어기 구조를 파악할 수 없으므로 각 Flag마다의 제어기 설계를 3.2절과 3.3절에 따라 진행해야 하며 전압 제어를 수행하기 위한 $D_{vcl}$과 무효전력 제어를 수행하기 위한 $D_{qcl}$을 별도로 설계해서 PSS/e에 적용해야 한다. 또한, 보호 동작에 따른 제어 모드 전환이 이에 해당 된다고 말할 수 있다. 제어 로직은 일반적으로는 제어기 Flag 정보로 나눠지며, PSS/e 프로그램에서는 ICONS 정보에 따라 나눠진다. 제안하는 연구에서는 더 간단히 적용이 가능한데, 제조사에서 제공하는 Flag 정보대로 등가 제어기의 파라미터를 같이 변경해 주면 된다.

등가 제어기를 제조사 블랙박스 모델로 맞추기 위해 3.2절을 통해 시간 영역 사양에서의 파라미터를 어느 정도 결정했다면 이후에는 주파수 영역에서의 해석이 필요하다. 근궤적 비교는 2개의 제어기의 전달함수 차수가 크게 차이가 나기 때문에 형태를 통일시킬 수 없어 사실상 큰 의미가 없다. 그러므로, 우선 제조사에서 제공한 블랙박스 제어기를 SI 방식을 통해 전달함수 응답을 제어 로직별로 추정한다. 추출된 전달함수는 아래 순서에 따라 등가 제어기 구조와 비교 분석을 수행한다.

① 3.1절에 따라 PI 제어기는 블랙박스 제어기의 step response에 대한 시간 사양 응답을 보면서 try-and-error를 통해 선정한다. 초기치는 별도로 둔다. PSCAD/EMTDC에서도 Optimal Run이라는 기능을 통해 이와 같은 방식을 사용하고 있으며, 반복 모의는 MATALB을 통해서 수행한다.

② 주파수 영역에서의 비교를 위해 전달함수의 특성방정식에 대해 절점 주파수의 위치와 Phase margin을 비교해보고 큰 방향을 잡는다. 기본적으로 $\left | KD_{cl}G_{s}(jw_{c})\right | =1$이 되는 주파수 $w_{c}$가 phase margin을 결정짓는 주파수이고, 2차 시스템에 한정된 이야기지만 Phase margin이 오버슈트와 상승시간, 정착시간, 대역폭에 영향을 주기 때문에 이 부분의 결정이 가장 중요하다. 제어기 설계 과정에서 전체 이득이 증가하면 phase margin은 줄어들 수밖에 없으므로 보드 선도에서 제어기별 이득이 0이 되는 교차 주파수를 비교 해본다.

③ 만약 교차 주파수가 다르다면 블랙박스 제어기의 교차 주파수와 동일하게 만들기 위해 Lead 제어기를 통해 교차 주파수를 조절한다. 조절을 위해서는 $\alpha$ 파라미터가 가장 중요한데, $\alpha$와 $T_{D}$ 파라미터를 통해 교차 주파수를 통일시킬 수 있다. 참고로 $\alpha$가 작으면 phase margin을 더 증가시킬 수 있다. 여기서 주의할 점은 모든 제어기 파라미터가 결정되고 나면 $w_{c}$가 변할 수 있으므로 가장 마지막에 조절한다.

④ 위와 같은 절차를 끝내고 정상상태 오차가 남아있는 경우에만 Lag 제어기를 설계한다. 과도 성능은 유지해야 하므로 저주파 영역에서 gain을 조절하고, 고조파는 증폭하지 않는다. 또한 ②번 과정을 거쳤는데도 교차 주파수가 다를 경우 Lag 제어기를 활용할 수도 있다. 보통 Lag 제어기는 교차 주파수를 감소시키므로 이를 위해 $T_{1}$을 조절한다.

⑤ 위와 같은 작업을 반복하고, 블랙박스 제어기가 특정 주파수 대역에서 위상이 크게 다른 경우 추가적인 Lead-Lag 제어기를 달아 해당 주파수에서의 위상 보상을 해준다.

⑥ 완성된 제어기 구조와 파라미터를 가지고 이전 논문지에서 제시했던 Python 기반의 제어기 모듈화에 넣어주고 시간 응답 사양을 평가 해보고 비교 분석 해본다. 크게 다르지 않다면 Fortran 기반의 UDM 모델로도 적용한다.

4.1 사례 연구 – 1

첫 번째 사례연구는 직관적인 해석을 위해 제조사의 블랙박스 제어기 모델을 받아 SI 기능을 통해 전달함수를 추정했다고 가정하였다. 편의를 위해 아래 $G(s)$와 같이 저차항으로 추정하여 전달함수는 아래와 같다고 가정하였다.

등가화된 제어기는 우선 PI와 Lead-Lag 1개로 구성된 제어기를 대상으로 1차 조정을 진행 해보았다. 결과를 보니 너무나도 뚜렷하게 절점 주파수 이후의 위상 지연이 크게 차이 나는 것을 확인하여 위상 보상을 위해 2개의 Lead-Lag 제어기로 등가 제어기를 구성하여 다음과 같은 전달함수로 비교 분석을 진행하였다.

첫 번째 사례연구에서는 시스템 자체가 간단하므로 별도의 최적화 혹은 회귀 모델을 사용하지 않고 3.1절 ~ 3.3절에 나온 순서대로 제어기 설계를 진행하였다. 그림 9를 보면 파라미터 조정을 하지 않은 등가 제어기와 제조사의 제어기가 주파수 응답에서 큰 차이가 있는 것을 볼 수 있다. 파라미터를 조정하기 위해 가장 먼저 전체 이득 값을 조정하였다.

이득이 클수록 위상이 우측 위로 올라가기 때문에 $k_{p}$값을 증가시켰고, 고조파 대역에서의 차이를 좁히고 정상상태 오차를 줄이기 위해 Lag 제어기의 이득을 의도적으로 높였다. 이에 따라 초반에 아래 왼쪽과 같이 구성된 파라미터들이 오른쪽 파라미터들로 재조정되었다.

위와 같은 설계 과정을 통해 그림 10과 같이 2개의 제어기에 대해 주파수 응답 파형을 비슷하게 만들었지만, 시간 영역에서 step response를 살펴보면 과도 상태에서의 아직 차이가 큰 것을 확인하였다. 1차 파라미터 조정을 거친 제안한 등가 제어기의 주파수 응답을 보면, 중간 지점에서의 이득이 부족해 보이는 것으로 판단되었다. 이는 결국 Lead 제어기의 시상수 값이 연관이 있으므로 마지막으로 해당 Lead 제어기를 조정하는 작업을 진행하였다. 그렇게 조정한 최종 등가 제어기의 파라미터는 아래와 같다.

\begin{align*} k_{p}=15,\: k_{i}=1,\: \alpha_{1}=0.5,\: T_{1}=1.1,\: \\ T_{2}=0.8,\: \alpha_{2}=0.5,\: T_{3}=1.1,\: T_{4}=0.8 \end{align*}

2차 파라미터 조정 과정을 try-and-error를 통해 수행하였고, 그림 11과 12과 같이 주파수 영역과 시간 영역에서 모두 원하는 결과를 얻을 수 있었다. 또한, 절점 주파수 근처에서도 이득이 보상되는 것으로 확인해 실제로 시간 영역에서 그 응답을 비교 해보았을 때도 매우 흡사한 결과를 얻을 수 있었다. 그림 12의 경우도 일반적으로 우리가 보는 HVDC 제어 결과와 매우 비슷한 시간 영역 응답을 보였다.

첫 번째 사례의 경우 간단한 전달함수로 설계를 해보았지만, 이와 같은 절차를 통해 최대한 비슷한 응답을 갖는 간단한 제어기를 PSS/e에 연계함으로써 다양한 모의를 간편하고 빠르게 할 수 있다는 것을 증명하였다.

물론 조금 더 세밀한 제어기 파라미터 조정을 통해 매우 흡사하게 만들 수도 있지만, 본 논문지에서 계속 강조하고자 하는 부분은 조금의 오차를 감내하더라도 수천 개의 시나리오를 분석해야 하는 계통 계획 측면에서는 이러한 복잡한 제어기들을 다소 가볍게 가져가자는 것이므로, 더 이상의 파라미터 조정 과정은 거치지 않았다.

4.2 사례 연구 – 2

두 번째 사례연구는 더 복잡한 전달함수를 가정하였고, 제조사의 블랙박스 제어기 모델을 시간 영역에서 분석해 Step response에 대한 전달함수를 추정하는 것부터 시작하였다. SI를 통해 추정한 제조사의 전달함수는 6차항으로 설정하였다.

제조사로부터 제어기 모델을 받으면 HVDC 모델의 경우 두 번째 사례와 같은 유효전력과 무효전력 응답을 보이는 경우가 종종 있다. 물론 실제 응답의 경우 조금 더 오버슛이 작고 정상상태 도달 시간이 짧지만, 사례연구로 적합하다고 말할 수 있다. 오버슛은 약 1.22pu 정도이며, 정상상태 도달 시간은 약 4초, 상승시간은 약 2초 정도로 계산된다. Step response에 대해 전달함수를 추정하기 위해 MATLAB의 SI 라이브러리를 활용하였고 첫 번째 사례와 마찬가지로 등가 제어기 파라미터를 여러 번의 try-and-error를 통해 조정하였고, 아래와 같이 최종 파라미터를 선정할 수 있었다.

\begin{align*} k_{p}=0.3,\: k_{i}=0.2,\: \alpha_{1}=5,\: T_{1}=2,\: T_{2}=0.6,\: \alpha_{2}=20,\: \\ T_{3}=2,\: T_{4}=0.6,\: \alpha_{3}=20,\: T_{5}=2,\: T_{6}=0.6 \end{align*}

절차대로 파라미터를 조정한 결과 특정 주파수 대역에서의 위상 응답이 일부 차이가 있어 1개의 Lead-Lag 제어기 세트를 추가하였고, try-and-error를 통해 파라미터를 조정하였지만, 고조파 대역에서의 위상 차이까지는 정확히 맞출 수는 없었다. 시간 영역에서의 응답은 아래 그림처럼 거의 비슷한 응답을 도출하였으며, 짧게는 10초 길게는 30초까지만 보는 PSS/e 모의 상에서는 이 정도의 오차는 파라미터 조정을 통해 충분히 감내할 수 있으리라 판단하였다. 전달함수 차이가 큼에 따라 필연적으로 오차는 발생할 수밖에 없고, 오차를 줄이기 위해서는 등가 제어기를 더 복잡하게 구성해야 하지만, 그림 13와 같이 고조파 대역에서의 추가적인 위상 조절이 필요하므로 추가적인 제어기를 달면 충분히 보상되는 것으로 확인하였으나, 이 경우 등가 제어기 자체의 전달함수가 너무 커져 애초의 의도와는 멀어진다. 그러므로, 오차를 감내하더라도 시간 영역에서 비슷한 응답을 가져갈 수 있는 현 제어기 구조를 그대로 활용하는 방향으로 결론을 내렸다.

이 사례로부터 언급하고 싶은 점은 고정 주파수로 해석하는 PSS/e 특성상 파라미터 조정을 해보고 시간 영역에서 정말 큰 차이가 나지 않는다면 조류 해석과 같은 기본적인 정적 해석이나 주파수 해석 혹은 전압 해석과 같은 과도 해석에 있어서는 큰 문제를 발생시키지는 않을 것이라는 점이다. 계통 계획에 있어서 많은 시나리오를 검토해야 하는 만큼, 이와 같은 방식이 정확도는 조금 낮출 수 있으나 더 효율적인 방식이라고 말할 수 있다.

추가적으로 위와 같이 try-and-error 방식이 아니라 Python 환경에서 최적화 모델을 활용해 제어기 파라미터를 최적 선정하는 연구들이 많이 진행 되어왔다. 필자도 동일한 방식으로 적용 해본 결과 가장 중요한 점은 파라미터별 제약 조건을 추가 고려하는 것이다. 폐루프 전달함수의 특성방정식 $L(s)$는 $n$차 다항식 $a(s)$와 $m$차 다항식 $b(s)$로 정리할 수 있고, 정상상태 오차가 항상 0인 시스템은 $n>m$이기 때문에 이와 같은 제약 조건을 파라미터 조정 시 반영해야 하고, Lead 제어기의 경우 $z>p$인 조건 그리고 Lag 제어기의 경우 $z<p$인 조건을 각각 제약 조건으로 설정해야 한다. $\alpha$로 기준을 둘 경우에서는 0~1 사이의 값으로 지정한다. 이와 같은 파라미터별 제약 조건이 결과에 가장 큰 영향을 미쳤다.

그러나, 여러 케이스에 대해 모의를 해본 결과 고차항으로 갈수록 점점 최적해를 찾지 못하고 오히려 정반대의 결과를 생성하는 파라미터를 해로 찾는 현상을 볼 수 있었다. 예를 들면 크기는 정확하게 맞추지만 위상 영역까지 같게 맞추지 못하고 trade-off가 존재했다. 본 논문의 의도는 가장 간단한 제어기 구조 1개의 기본 꼴을 제안하고, 빠른 계통 검토와 다양한 시나리오를 보기 위한 하나의 도구로 본 연구 내용을 활용하는 것이므로 간단한 방식으로 파라미터를 조정하는 것을 목표하고 있다. 제조사 제어기와 동일한 응답을 갖기 위해서는 사실상 전달함수의 차수부터 통일되어야 한다. 따라서, 그림 14의 초반 댐핑에 대한 오차는 필연적으로 발생할 수밖에 없으나, 상승시간과 정상상태 도달 시간의 경우 파라미터 조정 전 등가 제어기보다는 많이 개선된 것을 볼 수 있으며, 이 정도의 오차를 감내할 수 있을지에 대한 의견이 모아져야 할 것으로 보인다. 결론적으로 인버터 기반의 복잡한 모델에서 제어 지령치 변경이 필요할 때는 이와 같은 간단한 등가 제어기 구조로 활용한다면 시간 영역 응답에서의 PSS/e 모의는 충분히 적용할 수 있을 것으로 보인다.