1. 서 론

전력계통에서의 고조파는 중요한 전력품질 문제 중 하나로 주로 전력변환장치를 포함한 다양한 비선형 부하에 의해 발생한다. 계통에 혼재된 고조파원들로부터 고조파 전류가 유입되고 이는 계통 전압을 왜곡시켜 주변 계통과 인접 수용가에 다양한 피해를 유발한다^[1-3]. 기존의 THD(total harmonic distortion) 및 TDD(total demand distortion)와 같은 고조파 평가 방법은 측정 지점에 대한 고조파 왜곡 정도를 평가하는 수단일 뿐 개별 고조파원이 계통에 미치는 영향이나 파급 정도를 나타내지는 못한다^[4]. 개별 고조파원의 기여 정도를 정량적으로 평가하고 파악할 수 있다면 고조파 왜곡에 대한 기여가 높은 수용가에 대해 우선적 대책 수립 및 패널티(penalty) 부과 등 다양한 관리 방안을 적용할 수 있다. 이러한 정량적 기여도를 평가하기 위해 계통의 PCC(point of common coupling)에서 측정된 데이터와 수치해석에 기반한 다양한 평가 방법들이 연구되어 왔다^[5-10].

참고문헌 ^[5]에서는 고조파 기여도 산출을 위해 중첩 원리(superposition principle) 기반의 전압 고조파 벡터 방법(VHVM: voltage harmonic vector method)을 제안하였다. 그러나 해당 방법은 전원 및 수용가의 고조파 임피던스 정보가 제공되어야 적용이 가능한 단점이 있다. 대부분의 일반적인 방법들은 순환최소자승(RLS: recursive least square) 알고리즘을 이용한 고조파원의 등가 파라미터 추정을 바탕으로 기여도를 산출한다. 참고문헌 ^[6]과 ^[7]에서는 계통의 제약조건과 RLS를 이용한 등가 모델 추정 방법을 제안하였다. 그러나 해당 방법은 파라미터 변화를 고려하지 않고 과거 데이터를 반영하여 성능이 떨어지는 문제가 있다. 이에 참고문헌 ^[8]과 ^[9]에서는 파라미터 변화 감지에 기반한 등가 모델의 파라미터 추정 방법을 제안하였다. 해당 방법은 PCC전압 변화율에 따라 등가 모델의 파라미터 변화를 검출해, 가변 망각인자 순환최소자승(VFFRLS: variable forgetting factor recursive least square)알고리즘을 초기화한다. 이 초기화 과정을 통해 새로운 파라미터 추정 시 과거 데이터를 제외하여 추정의 정확도를 높일 수 있다. 그러나 파라미터 변화 감지 조건에 따라 알고리즘이 빈번하게 초기화되게 되면 성능이 저하될 수 있으므로, 계통 특성에 맞는 적절한 값 설정이 필요하다. 또한, 참고문헌 ^[10]에서는 측정데이터에 존재하는 이상점(outlier) 제거를 위해 RANSAC(random sample consensus)알고리즘 기반의 등가 모델 추정 방법을 제안하였다. 해당 방법은 계통의 원시 데이터에서 이상점을 제거하고 추정에 유효한 데이터(inlier)를 결정한다. 그러나 경계 범위에 따라 편차가 작은 이상점은 제거되지 않을 수 있어 추정 오차가 크게 나타날 수 있다. 이러한 문제를 해결하기 위해 본 논문에서는 EKF(extended kalman filter)와 예측 편차를 이용한 새로운 고조파원의 등가 모델 추정 방법을 제안한다. 기존의 PCC 전압 변화율에 따른 파라미터 변화 감지의 단점을 극복하기 위해 이전 추정 결과와 현재 측정데이터 간의 편차를 이용하여 알고리즘을 초기화하는 방법이다. 또한 EKF를 통해 원시 데이터에 포함된 이상점 크기를 조정하여 추정 오차를 개선하였다^[11-13]. PSCAD/ EMTDC 모의 계통을 이용한 사례연구를 통해 기존 방법과의 비교분석을 수행하였다.

2. 고조파원의 등가 전압과 임피던스 추정

고조파원의 등가 파라미터는 일반적으로 계통에서 측정된 데이터와 다양한 수치해석 방법들을 기반으로 이루어진다. 그림 1은 3rd, 5th 및 7th 고조파 성분을 포함하고 있는 세 개의 수용가에 대한 차수별 등가 모델 구성 예를 나타낸 것이다. 등가 모델 구성을 위해서는 먼저 PCC 전압과 세 수용가에 대한 전류를 측정한다. 다음으로 측정된 전압과 전류를 FFT(fast fourier transform)분석을 통해 고조파 성분으로 분해한다. 차수별 측정데이터와 등가 모델의 선형성을 이용하여 전압 방정식을 도출한 후 개별 고조파 차수에 대한 등가 모델을 구성한다.

그림 1. 고조파원에 대한 차수별 등가 모델 예

Fig. 1. Example of a harmonic equivalent model for harmonic sources

$h$차에 대한 PCC 전압 방정식은 식 (1)~(4)와 같이 행렬 형태로 나타낼 수 있다^[8].

여기서 $Y(t)$와 $A(t)$는 PCC 측정전압과 수용가 $k$전류로 기지 행렬이며, $\Theta(t)$는 고조파 등가 파라미터로 미지 행렬을 의미한다.

그림 2는 RANSAC 알고리즘 기반의 고조파 등가 파라미터 추정 절차를 나타낸 것이다^[10]. 해당 방법은 RANSAC 알고리즘을 이용하여 측정된 $V_{pcc}^{h}$와 $I_{k}^{h}$의 이상점을 제거한 후 $V_{k}^{h}$와 $Z_{k}^{h}$를 추정한다. 이때 PCC전압 변화율($\Delta V_{pcc}^{h}$)에 따라 망각인자를 포함한 모든 알고리즘 인자값을 초기화한다. 그러나 해당 방법은 RANSAC 알고리즘의 경계 범위에 따라 이상점이 결정되기 때문에 그 값이 큰 경우 이상점이 제거되지 않아 추정성능이 떨어질 수 있다. 반면 경계 범위가 너무 작은 경우 유효한 데이터도 같이 제거되어 추정성능이 저하되게 된다.

그림 2. RANSAC 알고리즘 기반의 등가 모델 추정 절차

Fig. 2. The procedure of equivalent model estimation based on RANSAC algorithm

3. 확장된 칼만 필터와 예측 편차에 기반한 고조파 등가 모델 추정 방법

본 연구에서는 EKF를 이용하여 편차가 작은 이상점 데이터의 크기를 조정함으로써 추정성능을 향상시키는 방법을 제안하였다. EKF는 비선형 시스템에서 상태 추정을 위한 칼만필터의 응용형태로 시계열 데이터에 포함된 노이즈 저감에 효과적이다^[12]. EKF는 먼저 현재 상태를 예측하고 공분산을 업데이트한다. 다음으로 실제 입력 데이터를 기반으로 칼만이득 및 새로운 공분산 업데이트를 통해 오차를 보정한다. 업데이트를 통해 예측 상태를 수정하여 입력 데이터의 노이즈를 제거한다. EKF는 예측 상태(predict state)와 업데이트 상태(updata state)로 나누어지며, 예측 상태에 대한 상태전이방정식(state transition matrix)과 프로세스 노이즈 공분산(process noise covariance matrix)은 식 (5)와 (6)과 같다^[13].

여기서 $x(t-1)$와 $P(t-1)$는 EKF의 초기값으로 상태행렬과 공분산 행렬을 나타내며, $F(t)$와 $Q(t)$는 상태전이행렬과 프로세스 노이즈 공분산 행렬을 나타낸다.

업데이트 상태의 칼만이득(kalman gain), 상태 추정 행렬 및 오차 공분산 행렬은 식 (7)~(9)와 같다^[13].

여기서 $K(t)$와 $H(t)$는 칼만이득과 측정 데이터 행렬을 나타내며, $\hat{x}(t)$와 $\hat{P}(t)$는 업데이트된 상태행렬 및 공분산 행렬을 나타낸다. 또한 $R(t)$는 측정데이터의 노이즈 공분산을 의미한다. RANSAC 및 EKF를 포함한 데이터 전처리를 마친 후 VFFRLS를 이용하여 모델을 추정하게 된다. 그림 3은 파라미터 변화 감지법에 의한 알고리즘 초기화 과정을 나타낸 것이다. 그림과 같이 실제 등가 파라미터는 C구간에서 1회 변화하지만 감지 범위에 따라 구간 A, B 및 D에서도 파라미터가 변화한 것으로 판단될 수 있다. 이에 따라 알고리즘이 빈번하게 초기화될 경우 구간 A와 같이 데이터가 불충분하여 추정이 정상적으로 이루어지지 않을 수 있으며, 구간 B와 D같이 오차가 발생하여 추정성능이 떨어질 수 있다.

그림 3. 파라미터 변화 감지를 이용한 파라미터 추정 예

Fig. 3. Example of parameter estimation using parameter change detection

이러한 문제를 해결하기 위해 예측 편차를 이용한 알고리즘 초기화 방법을 제안한다. 이 방법은 이전 단계($t-1$)에서 추정된 등가 파라미터($\Theta(t-1)$)와 현재 단계($t$)에서 측정된 데이터 ($Y(t)$와 $A(t)$)간의 편차를 바탕으로 식 (10)과 같이 예측 편차율을 계산한다.

여기서 $\Delta\varepsilon(t)$는 측정값과 추정값에 대한 예측 편차율을 나타낸다. 알고리즘의 초기화는 식 (10)에 의해 계산된 $\Delta\varepsilon(t)$와 설정된 임계값($\varepsilon_{th}$)과의 비교를 통해 결정된다. 등가 모델의 파라미터가 일정할 경우 $\Theta(t-1)$과 $\Theta(t)$의 변화가 없어 $Y(t)$와 $A(t)\Theta(t-1)$의 차는 매우 작게 나타난다. 반면 파라미터가 변화하는 경우 $\Theta(t-1)$와 $\Theta(t)$의 차가 발생하여 식 (10)에 의해 $\Delta\varepsilon(t)$가 크게 변화한다. 조건과 같이 $\Delta\varepsilon(t)$가 $\varepsilon_{th}$보다 클 경우 파라미터 변화로 간주하여 모든 알고리즘의 인자를 초기화한다. $\varepsilon_{th}$는 평균적인 예측 편차율을 고려하여 적절한 값을 설정하여야 하며 값이 너무 작을 경우 알고리즘이 빈번하게 초기화되어 추정성능이 떨어질 수 있다.

그림 4는 예측 편차와 EKF 알고리즘을 포함하는 고조파 등가 파라미터 추정의 전체 절차를 나타낸다. 먼저 배전계통에서 측정된 전압과 전류에 대해 FFT분석을 수행하여 차수별 고조파 성분으로 분해한다. 다음으로 알고리즘의 설정값들을 초기화한 후 RANSAC알고리즘을 이용하여 이상점 제거 및 유효점을 결정한다. 임계값 이하의 유효점에 대해 EKF를 이용하여 편차의 크기를 조정한 후 새로운 데이터셋을 구성한다. 다음으로 식 (1)과 같이 차수별 전압 방정식을 수립한 후 VFFRLS를 이용하여 $t_{end}$가 될 때 반복적으로 등가 파라미터를 추정한다. 이때, $\Delta\varepsilon(t)$이 $\varepsilon_{th}$보다 큰 경우에는 알고리즘이 초기화되며, 반면 작은 경우에는 계속적으로 추정하게 된다.

그림 4. EKF와 예측 편차에 기반한 등가 모델 추정 절차

Fig. 4. Procedure of equivalent model estimation based on the EKF and prediction deviation

4. 사례연구

4.1 모의 계통 및 계통 파라미터

사례연구에서는 그림 5와 같이 PSCAD/EMTDC 모의 계통을 이용하여 제안 방법의 추정성능을 검증하였다. 해당 계통은 3상 22.9kV, 60Hz 계통으로 하나의 전원과 3개의 수용가로 구성되어 있다.

표 1과 2는 전원 및 수용가들의 세부적인 등가 파라미터와 변화조건을 나타낸 것이다. 실제 전력 계통 환경에서 전압과 전류 측정 시 다양한 원인으로 인해 비정상적인 데이터가 기록될 수 있으며, 이러한 이상점을 포함한 데이터를 구현하기 위해 시뮬레이션 전압과 전류에 정상값의 1~5% 크기의 랜덤한 이상점을 추가하였다. RANSAC의 경계 범위는 3%로 설정하여 이상점 제거를 수행하였다. 또한, 제안 방법을 적용함에 있어 알고리즘 초기화를 위한 $\varepsilon_{th}$은 3%로 설정하였다. 성능 검증을 위해 참고문헌 ^[10]에서 소개된 방법과 비교분석을 수행하였다. 해당 방법은 이상점이 포함된 데이터 조건에 대해 기존 방법들 중 가장 우수한 성능을 보였다. 기존 방법과 제안 방법 모두 RLS 알고리즘의 초기 망각인자($\lambda_{0}$)를 0.9955로, 가중치($\alpha$)를 0.9911로 설정하였다.

그림 5. PSCAD/EMTDC 모의계통

Fig. 5. The PSCAD/EMTDC test system

표 1 전원 계통 및 세 수용가의 등가 파라미터

Table 1 Equivalent parameters of the utility system and three customers

고조파 차수		등가 파라미터
		전압[kV]	임피던스[Ω]
Utility System	5th	0.001+j0.001	1.000+j1.885
	7th	0.001+j0.001	1.000+j2.639
Customer 1	5th	0.935+j0.165	2.000+j1.885
	7th	0.000+j0.000	2.000+j2.639
Customer 2	5th	0.729+j0.129	5.000+j9.425
	7th	0.512+j0.090	5.000+j13.195
Customer 3	5th	0.640+j0.113	1.000+j3.770
	7th	0.335+j0.059	1.000+j5.278

표 2 두 수용가 2와 3의 파라미터 변화조건

Table 2 The parameter change conditions of two customers 2 and 3

고조파 차수			Customer 2	Customer 3
전압 [kV]	5th	0~2sec	0.729+j0.129	0.640+j0.113
		2~5sec	1.113+j0.196
	7th	0~2sec	0.512+j0.090	0.335+j0.059
		2~5sec	0.955+j0.168
임피던스 [Ω]	5th	0~3.5sec	5.000+j9.425	1.000+j3.770
		3.5~5sec		3.000+j5.655
	7th	0~3.5sec	5.000+j13.195	1.000+j5.278
		3.5~5sec		3.000+j7.917

4.2 고조파 등가 파라미터 추정 결과 및 분석

제안하는 방법과 기존 방법을 이용한 세 수용가의 등가 파라미터 추정 결과는 그림 6과 7과 같다. 수용가 2의 경우 등가 전압이 2초에 실제 변화함으로 해당 시점에 알고리즘이 초기화되는 것이 바람직하다. 또한 수용가 3은 실제 등가 임피던스 변화조건에 따라 3.5초에 알고리즘이 초기화되어야 한다. 그러나 기존 방법은 파라미터 변화와 관계없이 모든 경우에 대해 2초와 3.5초에 알고리즘이 초기화가 된 것으로 나타났다. 또한 기존 방법은 불필요한 알고리즘 초기화와 경계 범위 이내의 이상점 존재로 인해 추정성능이 전체적으로 불안정하게 나타났다. 반면 제안 방법은 변화조건에 맞게 알고리즘이 초기화되었으며, EKF를 통해 설정값 이하의 이상점을 최소화하여 안정적인 추정성능을 보여 주었다.

그림 6. 5th 고조파 등가 파라미터 추정 결과

Fig. 6. The results of equivalent parameter estimation for 5th harmonic order

그림 7. 7th 고조파 등가 파라미터 추정 결과

Fig. 7. The results of equivalent parameter estimation for 7th harmonic order

표 3과 4는 추정 결과에 대한 구간별 평균값과 오차를 나타낸 것이다.

표 3 5th 고조파 등가 파라미터 추정 결과 및 비교

Table 3 Equivalent parameter estimation results and comparison for 5th harmonic order

등가 파라미터		구간	기존 방법	제안 방법	오차(%)
					기존	제안
C1	R[Ω]	T1	1.376	1.995	31.2	0.2
		T2	1.970	2.000	1.5	0.0
		T3	1.833	1.999	8.4	0.1
	X[Ω]	T1	1.331	1.897	29.4	0.6
		T2	1.740	1.890	7.7	0.3
		T3	1.856	1.891	1.5	0.3
	Vr[kV]	T1	0.794	0.934	15.1	0.1
		T2	0.899	0.934	3.9	0.1
		T3	0.926	0.934	1.0	0.1
	Vi[kV]	T1	0.152	0.162	7.9	1.8
		T2	0.158	0.163	4.2	1.2
		T3	0.159	0.164	3.6	0.6
C2	R[Ω]	T1	1.810	4.969	63.8	0.6
		T2	3.769	4.956	24.6	0.9
		T3	4.717	5.001	5.7	0.0
	X[Ω]	T1	3.343	9.392	64.5	0.3
		T2	7.154	9.378	24.1	0.5
		T3	8.953	9.444	5.0	0.2
	Vr[kV]	T1	0.566	0.725	22.4	0.5
		T2	0.963	1.105	13.5	0.7
		T3	1.077	1.110	3.2	0.3
	Vi[kV]	T1	0.121	0.126	6.2	2.3
		T2	0.175	0.193	10.7	1.5
		T3	0.188	0.192	3.8	2.0
C3	R[Ω]	T1	0.447	0.993	55.3	0.7
		T2	0.847	1.001	15.3	0.1
		T3	2.762	3.001	7.9	0.0
	X[Ω]	T1	1.695	3.782	55.0	0.3
		T2	3.120	3.781	17.2	0.3
		T3	5.177	5.635	8.5	0.4
	Vr[kV]	T1	0.549	0.635	14.2	0.8
		T2	0.616	0.639	3.8	0.2
		T3	0.627	0.638	2.1	0.3
	Vi[kV]	T1	0.116	0.112	2.7	0.9
		T2	0.112	0.111	0.9	1.3
		T3	0.111	0.111	1.8	1.6

파라미터 변화 시점을 기준으로 2초와 3.5초를 각각 T1, T2, T3의 세 구간으로 나누었으며, 각 구간에서 과도 상태를 제외한 평균값을 산출하였다. 기존 방법은 실제값과 비교하여 전반적으로 오차가 컸으며, 특히 수용가 2의 T1구간에서 추정된 저항과 리액턴스 오차는 각각 63.8%와 64.5%로 매우 크게 나타났다. 반면 제안 방법은 5th 및 7th 고조파 성분에 대한 전체 추정 결과에서 오차가 3% 이하로 안정적인 성능을 보였다. 해당 결과는 설정값 이하 이상점이 추정 결과에 미치는 영향을 나타낸 것으로 제안 방법이 변동성이 큰 실계통 환경에 더 효과적인 것을 알 수 있다.

표 4 7th 고조파 등가 파라미터 추정 결과 및 비교

Table 4 Equivalent parameter estimation results and comparison for 7th harmonic order

등가 파라미터		구간	기존 방법	제안 방법	오차(%)
					기존	제안
C1	R[Ω]	T1	1.891	2.000	5.5	0.0
		T2	1.697	1.994	15.2	0.3
		T3	1.666	2.000	16.7	0.0
	X[Ω]	T1	2.507	2.653	5.0	0.5
		T2	2.267	2.663	14.1	0.9
		T3	2.198	2.651	16.7	0.4
	Vr[kV]	T1	0.008	0.000	0.0	0.0
		T2	0.018	0.000	0.0	0.0
		T3	0.026	0.000	0.0	0.0
	Vi[kV]	T1	0.001	0.000	0.0	0.0
		T2	0.002	0.000	0.0	0.0
		T3	0.001	0.000	0.0	0.0
C2	R[Ω]	T1	4.582	4.990	8.4	0.2
		T2	4.495	4.987	10.1	0.3
		T3	4.819	5.001	3.6	0.0
	X[Ω]	T1	12.156	13.241	7.9	0.3
		T2	11.933	13.150	9.6	0.3
		T3	12.838	13.257	2.7	0.5
	Vr[kV]	T1	0.478	0.509	6.7	0.5
		T2	0.871	0.945	8.8	1.0
		T3	0.925	0.951	3.1	0.4
	Vi[kV]	T1	0.076	0.088	15.5	1.13
		T2	0.140	0.164	16.7	1.9
		T3	0.151	0.163	10.1	1.8
C3	R[Ω]	T1	0.824	1.003	17.6	0.3
		T2	0.839	1.002	16.1	0.2
		T3	2.557	2.991	14.8	0.2
	X[Ω]	T1	4.336	5.262	17.6	0.3
		T2	4.215	5.287	20.1	0.2
		T3	6.755	7.927	14.7	0.1
	Vr[kV]	T1	0.296	0.333	11.6	0.6
		T2	0.297	0.334	11.3	0.3
		T3	0.304	0.333	9.3	0.6
	Vi[kV]	T1	0.044	0.058	25.4	1.5
		T2	0.042	0.058	28.8	1.3
		T3	0.047	0.058	20.3	1.1

5. 결 론

본 논문에서는 EKF와 예측 편차에 기반한 새로운 고조파 등가 파라미터 추정 방법을 제안하였다. EKF은 노이즈가 포함된 데이터에 대해 편차를 매우 작게 줄이는 데 용이하지만 이상점을 제거하지 못하는 한계가 존재한다. 이에 RANSAC알고리즘과 함께 이상점 제거 및 편차를 줄여 데이터 전처리 성능을 향상시켰다. 또한 예측 편차를 산출하여 등가 모델 변화조건에 따라 알고리즘을 초기화할 수 있도록 개선하였다. 사례연구를 통해 랜덤한 이상점이 포함된 경우에도 제안 방법이 기존 방법보다 추정성능이 우수함을 확인하였다. 현재 연구 단계에서는 실계통 데이터 확보에 어려움이 있어 실계통과 유사한 시뮬레이션 환경에서 제안 방법의 성능을 검증하였다. 향후 실계통 적용 연구를 통해 제안 방법의 검증과 개선을 수행할 계획이다.