2.1 Random Forest

랜덤 포레스트는 결정 트리(Decision Tree)를 기반으로 한 앙상블 기법으로 여러 예측 모델을 결합하여 단일 예측 모델보다 향상된 성능을 나타내는 것이 특징이다. 앙상블 기법 중 하나인 베깅은 다수의 데이터셋을 생성한 뒤, 각 데이터셋에 대해 독립적으로 예측 모델을 학습시키는 방식이다. 이때, 각 예측 모델은 회귀나 분류 작업을 수행할 수 있으며, 최종 예측 값은 개별 모델의 예측 값을 평균하여 결정된다. 그림 1에서 확인할 수 있듯이, 랜덤 포레스트에서의 부트스트래핑 과정은 주어진 학습 데이터에서 무작위로 샘플을 복원 추출하여 여러 부트스트랩 샘플을 만드는 것으로 시작된다. 이렇게 생성된 각 샘플을 이용해 결정 트리를 학습시킴으로써 모델의 다양성과 강건성을 확보한다. 랜덤 포레스트는 특히 과적합을 방지하고, 데이터의 복잡성과 잡음 처리에 강점을 보여 많은 변수를 다룰 때 효과적인 방법이다^[6]. 본 논문에서는 각 변수값에 따른 설계 제한 조건 만족 여부를 구분하는 분류 모델로써 랜덤 포레스트를 사용하였다.

그림 1. Random Forest를 활용한 분류 모델 구조

Fig. 1. Structure of Random Forest as a Classification Model

2.2 Modified PSO

PSO는 GA과 유사하게 무작위 해를 사용하여 초기 집단을 구성하고, 연속적인 반복을 통해 전역 최적해를 탐색한다^[7]. 그러나 PSO는 교차(crossover)나 돌연변이(mutation) 과정이 없으며, 입자들이 최적의 입자 위치를 따르며 문제 공간을 탐색하는 방식으로 작동한다. PSO의 기본 개념은 입자의 속도가 매 시점마다 개인 최적 위치($p Best$)와 집단 최적 위치($g Best$) 사이에서 변화하여 잠재적인 해를 향해 나아간다는 것이다. 수학적으로, 입자 집단은 탐색 공간 내에 무작위로 초기화되고, $D$차원 공간을 이동하며 최적해를 탐색한다. $x_{k}^{i}$와 $v_{k}^{i}$를 각각 $k$번째 반복에서 $i$번째 입자의 위치와 속도로 정의할 때, $k+1$ 번째 반복에서 속도와 위치는 식 (1)과 식 (2)를 통해 구해진다.

여기서 $w$는 관성 계수(inertia), $c_{1}$과 $c_{2}$는 상수이며, $r_{1}$과 $r_{2}$는 [0 1] 범위의 난수이다. 또한 $p_{k}^{i}$는 $i$번째 입자의 최적 위치, $p_{k}^{g}$은 집단의 전역 최적 위치를 나타낸다. 입자 군집 최적화의 주요 단계는 Algorithm 1의 Pseudo code로 요약될 수 있다.

그러나 Algorithm 1과 같은 기존의 PSO를 통해 IPMSM의 최적화를 수행한다면, 그림 2(a)와 같이 설계 제한 영역에서도 탐색이 진행되게 된다. 그림 2는 t-SNE 방법을 이용하여 최적화 영역을 2차원으로 시각화한 영역의 일부분을 나타낸 것으로, 녹색 영역은 설계 가능 영역, 붉은색 영역은 설계 제한 영역을 나타낸다. 이때 목적함수 계산에 대한 시간비용이 큰 경우에는 이에 따른 최적화 수행 시간이 증가하게 된다.

그림 2. 최적화 방법에 따른 입자 이동 경로

Fig. 2. Particle Trajectories Based on Optimization Methods

그림 2(b)에서 Modified PSO 수행 과정 중, 한 번의 반복 동안의 입자의 이동 경로를 나타내었다. Modified PSO에서 입자가 이동할 때, 랜덤 포레스트를 통해 매 시점마다 입자 위치에 대한 설계 가능 여부를 판단하게 된다. 이때 입자 위치가 설계 제한 영역에 존재한다면 목적함수를 구하지 않고 다음 입자 위치로 이동하게 되며 이 과정은 입자가 설계 가능 영역에 도달할 때까지 반복된다. 이를 통해 Modified PSO 알고리즘의 경우 설계 제한 영역에서 목적함수를 구할 때 발생하는 불필요한 시간 소요를 줄일 수 있다는 장점을 갖는다. 특히 FEM 해석과 같이 목적함수를 구하는데 긴 시간이 소요되는 경우 해석 시간 측면에서 큰 이점을 얻을 수 있다. 아래의 Algorithm 2는 Modified PSO의 Pseudo code를 나타낸다.

그러나 Algorithm 2에서 확인할 수 있듯이, Modified PSO 알고리즘의 경우 설계 제한 조건 영역을 배제하고 설계 가능 영역으로 단번에 뛰어넘게 된다. 이러한 특성으로 인해, 입자의 수렴 속도가 지나치게 빨라지고 탐색 과정에서 전역 최적해에 도달하지 못하고 지역 최적해로 수렴하는 문제가 발생할 수 있다. 따라서 이와 같은 문제를 해결하기 위해 설계 제한 영역 안에서 입자의 이동 가능 범위를 제한하였다. 또한 Section 2.3에서 소개되는 Modified GA와의 결합을 통해 지역 최적해로의 수렴을 방지하고, 설계 가능 영역으로 입자가 이동할 수 있도록 하였다.

2.3 Modified GA

유전 알고리즘은 해 집단을 반복적으로 진화시킴으로써 전역 최적해를 탐색한다. 알고리즘은 초기 집단을 무작위로 생성한 후, 각 세대에 걸쳐 적합도 함수를 사용하여 개체의 성능을 평가한다. 선택, 교차, 변이 연산을 적용하여 새로운 해를 생성하고, 보다 적합한 해가 다음 세대로 이어지게 한다^[8]. Algorithm 3의 Pseudo code에 제시된 유전 알고리즘의 일반적인 흐름은 다음과 같다. 먼저, 목표 함수와 적합도 함수가 정의되며, 초기 해 집단이 설정된다. 교차 확률($p_{c}$)과 변이 확률($p_{m}$)이 초기화된 후, 교차 및 변이를 통해 새로운 해를 다음 세대에 포함시킨다. 이 과정은 최대 반복 횟수나 최소 오차 기준을 만족할 때까지 반복된다. 이 알고리즘은 탐색의 다양성과 수렴 속도 간의 균형을 유지하면서 복잡한 공학적 문제의 최적화에 유리한 특성을 제공한다.

Section 2.2에서 언급한 Modified PSO의 문제를 해결하기 위해 탐색의 다양성을 중점적으로 하는 Modified GA 방법을 결합하였다. 이를 위해 기존의 적합도 판별을 통한 Selection 과정을 제거하고, Crossover, Mutation 방법을 차례로 적용하였다. Crossover 방법을 우선 사용하여 설계 가능 영역으로 이동할 확률을 높이고자 하였으며, 100번의 반복 후에도 입자가 설계 가능 영역에 도달하지 못했다면, Mutation 과정을 설계 가능 영역에 도달할 때까지 반복하도록 하였다. 아래의 Algorithm 4에서 Modified GA의 Pseudo code를 나타내었다.

2.4 Selection of Global Best Position

Modified PSO-GA Hybrid 알고리즘은 PSO를 중심으로 수행되는 최적화 과정이다. 따라서 전역 최적해인 $g Best$의 위치를 선정하는 것이 중요하다. PSO를 통한 다중 목적함수 최적화 수행의 경우, 각 목적함수에 가중치를 곱한 합을 최종 목적함수로 설정하여 최적화를 진행할 수 있다. 본 논문에서는 Iteration 별로 Pareto Front 위의 입자들 중 최종 목적함수의 값이 가장 큰 입자의 위치를 $g Best$로 설정하였다. 이때 가중치는 토크 0.5, 토크 리플 –0.5로 설정하였다.

그림 3. Pareto Front를 통한 $g Best$ 위치 선정

Fig. 3. Position Selection through Pareto Front

2.5 Random Forest-Based Modified PSO-GA Hybrid Algorithm

Section 2.1~2.3에서 설명한 Random Forest, Modified PSO, Modified GA 알고리즘을 결합하여, 설계 제한 영역이 존재할 때, 효율적인 최적화를 수행할 수 있도록 하였다. 그림 4에서 Random Forest-Based Modified PSO-GA Hybrid 알고리즘의 Flow chart를 통해 제안된 알고리즘의 주요 단계를 시각적으로 표현하였다. 초기화 단계에서 입자들의 초기 위치와 속도를 설정하고, Modified PSO 알고리즘을 통해 초기 탐색을 수행한다. 이 과정에서 랜덤 포레스트 모델은 설계 제한 영역과 설계 가능 영역을 구분하는데 활용되며, 설계 제한 영역에 위치한 입자의 목적함수 계산을 생략함으로써 최적화 수행의 효율을 향상시킬 수 있다. 이때 설계 가능 영역에 도달하지 못한 입자에 대해 Modified GA 알고리즘을 적용하여, Crossover와 Mutation 연산을 통해 설계 가능 영역으로 입자가 이동할 수 있도록 하였다. 이를 통해 제안된 알고리즘은 PSO의 입자간 상호작용을 통한 빠른 탐색 능력과 GA의 전역 탐색 능력을 결합함으로써 최적화 수행 시간을 줄이며 동시에 전역 최적해를 효과적으로 탐색할 수 있는 장점을 가진다.

그림 4. 랜덤 포레스트 기반의 PSO-GA 하이브리드 알고리즘

Fig. 4. Random Forest-Based PSO-GA Hybrid Algorithm

3.1 Test Function

설계 제한 영역을 고려하기 위해 Constrained Test Function 중 하나인 G1 함수를 사용하였다. 이 함수는 복잡한 제약 조건을 포함하여 알고리즘의 탐색 능력과 제약 영역 내의 해를 찾는 능력을 평가할 수 있도록 설계되었다^[9]. 식 (3)은 G1 함수를 나타내며, 식 (4)와 (5)는 각 변수의 범위와 제한 조건을 나타낸다. 이때 G1함수의 전역 최적해 값은 –15이다.

3.2 Performance Evalutation of Modified PSO-GA Algorithm

PSO, GA, 랜덤 포레스트 기반의 Modified PSO-GA Hybrid 방법을 통한 G1 함수의 최적화 수행 결과를 그림 5에 나타내었다.

그림 5. Modified PSO-GA, PSO, GA 방법에 따른 G1 함수의 수렴 속도 비교

Fig. 5. Comparison of Convergence Speeds for G1 Function Using Modified PSO-GA, PSO and GA Methods

이를 통해 제한된 영역이 존재하는 경우에 Modified PSO-GA 알고리즘의 수렴 속도가 PSO, GA 알고리즘에 비해 수렴속도가 더 빠르고, 지역 최적해로 빠지지 않고 전역 최적해로 수렴한 것을 확인할 수 있다.

4.1 Design Constraints

제안된 알고리즘의 효율성을 검증하기 위해 각각의 최적화 방법에 대해서 그림 6에 나타난 동일한 변수를 사용하였으며, 각 변수의 범위는 표 1과 같다. 이때 자석 사용량은 일정하게 유지하였으며, 전압 및 전류 제한 조건, 최대 동작점에 대한 정보를 표 2에 나타내었다.

그림 6. Double V Type IPMSM 설계 변수

Fig. 6. Design Variables of Double V Type IPMSM

그림 7. PSO, GA, Modified PSO-GA 방법에 따른 최적화 수행에 따른 형상 비교

Fig. 7. Comparison of shapes based on optimization performance using PSO, GA and Modified PSO-GA methods

그림 7에서 PSO, GA, Modified PSO를 통한 최적화 수행에 따른 결과 형상을 나타내었다. 최적화 수행 시, 토크 및 토크 리플의 목표치는 각각 $450Nm$이상, $15%$이하로 설정하였으며, 공정한 비교를 위해 모두 동일하게 30개의 입자를 설정하였다. GA 및 Modified PSO-GA 알고리즘의 경우 50번의 반복 이내에 목표 성능에 도달한 반면에, PSO는 목표 성능에 도달하지 못한 것을 표 3을 통해 확인할 수 있다. 이는 PSO 알고리즘이 복잡한 제한 조건이 존재할 경우, 국소 최적해로 수렴할 수 있다는 것을 보여준다. Modified PSO-GA Hybrid 알고리즘의 경우 30번의 반복 동안에 목표 성능에 도달하여 PSO, GA 방법보다 3.3시간 더 빠른 최적화 수행 능력을 보여주었다.