2.1 수요반응자원의 관리

수요반응을 자원화하여 발전자원을 절약하고 신뢰도를 높이기 위해서는 규모가 적정량 이상이어야 한다. 즉 수요반응에 적극적으로 참여하는 부하의 수와 감축가능한 용량을 충분히 확보할 필요가 있다. 또한 전력시장에 참여하여 시장운영자(Market Operator: MO) 혹은 발전사업자(Genco)에게 수요자원의 판매를 수행해야 하는데 이러한 역할은 주로 수요관리사업자(DRA)가 담당한다^[5,6].

DR에 참여하는 부하를 대리해서 DRA는 MO와 수요자원을 거래하여 이득을 창출하고 이를 부하와 분배한다. MO에게는 발전자원의 효율적 활용을 부하에게는 부하감축에 대한 금전적 보상을 제공하면서 DRA 자신의 이득 극대화를 시도한다. 이를 모형화하면 다음 그림과 같다^[12].

그림 1. 수요관리사업자와 시장운영자 관계도

Fig. 1. Relation of Market Operator and DRA

본 연구에서는 DRA가 수요자원을 전략적으로 사용할 때 시간적 공간적 측면에서의 특성을 분석한다. Genco의 경쟁모형은 완전경쟁으로 가정한다. DRA는 참여고객의 수요특성(Demand Function: DF)을 기반으로 자신과 고객의 이득을 극대화시키는 전략적 입찰(DF’)을 MO에게 제시한다. 한편 MO는 Genco의 발전비용특성, DRA의 수요자원특성 그리고 부하의 수요함수를 대상으로 사회적후생(SW)을 극대화하는 발전량과 가격 등의 시장거래를 결정한다.

2.2 DRA의 이득과 극대화전략

DRA의 효과적인 목적 달성을 위해 전략변수인 감축량 파라미터($\delta$)를 포함시켜 부하의 수요함수를 다음 식 (1)과 같이 1차함수로 정의한다.

식에서 a, r은 수요함수에서의 계수이고 $d$는 부하전력이다. $\delta$는 DRA가 선택하는 감축에 대한 입찰양이고 k는 비례계수이다. 전략변수 $\delta$로 인해 실제로 적용되는 수요함수의 절편은 $a-k\delta$ 가 된다. 입찰값에 따라 수요함수에서의 기울기는 변함이 없고 절편만 변동하는 모형이다.이 증가할수록 절편은 낮아진다.

시장참여로 인해 DRA가 얻는 이득은 부하감축량에 대한 보상과 수요자원 부하에 대한 비용지불로 구성이 된다. 이를 다음 식 (2)와 같이 정의한다^[5].

여기서 $p_{io}$, $d_{io}$는 부하감축 이전의 노드 i에서의 모선가격과 부하전력이고, $p_{i}(\delta)$, $d_{i}(\delta)$는 DRA의 입찰량 δ에 의해 변화된 가격과 부하전력이다. 따라서 모선 i에서의 부하감축량은 $\Delta d_{i}=d_{io}-d_{i}(\delta)$ 로 정의된다.

DRA의 이득 식 (2)에서 첫째 항은 부하감축에 의해 줄어드는 부하의 지불금액을 의미하고 둘째 항은 감축부하량을 제곱한 것으로서 수요자원 부하에게 지불해야 하는 금액과 관련이 있다. 따라서 식 (2)는 DRA가 받는 금액에서 부하에게 지불하는 비용을 제외한 이득을 나타낸다.

2.3 시장 균형상태와 DRA의 최적선택

전력시장에서는 발전사들의 발전력 공급경쟁과 DRA들의 수요자원 공급경쟁이 벌어진다. 이러한 경쟁은 MO의 사회적후생(SW) 극대화 계산에 의해 마무리 된다. 즉 SW를 가장 크게 하는 발전력과 부하 및 시장가격으로 결정된다. 본 논문에서는 DRA들의 경쟁에 주목하기 위해 발전력 경쟁은 완전경쟁(Perfect Competition) 모형을 가정한다. 이를 반영하면 최적화는 다음식으로 정리된다.

여기서 b, m은 발전비용함수에서의 계수이며 q는 발전력이다. 식 (3)은 소비자편익(Benefit)-발전비용(Cost)을 극대화하는 표현이고 식 (4)는 전력수급조건이며 식 (5)는 송전선의 한계용량 조건이다.

선로조류의 부등식조건이 구속(binding)되지 않으면 최적화의 결과는 식 (6)으로 정리된다. 식의 구체적 형태를 알기 위해서 그림 2와 같은 사례계통과 시장조건을 가정한다. 3개의 모선에서 3개의 DRA가 전략적인 경쟁을, 2개의 Genco가 완전경쟁을 하는 모형이다.

여기서 λ는 수급조건에 대한 라그랑지안 승수이다.

그림 2. 3모선 사례계통

Fig. 2. Sample System of 3 busess

한편 DRA는 자신의 이득을 극대화하는 선택을 할 것이고 이는 식 (2)에 대한 최적조건인 $\partial\pi /\partial\delta =0$에 해당된다. 이를 정리하면 다음 식 (7)과 같다.

여기서 우변의 첫째항은 감축의 한계비용에 해당되며 둘째항은 시장에서의 민감도(Sensitivity)에 해당된다. 특히 $s_{i}$는 부하전력 $d_{i}$와 관련된 민감도로서 식 (1)의 미분항인 $-k/(\partial d_{i}/\partial\delta_{i})$를 기호로 나타낸 것이다. 식 (7)에 시장가격 식 (1)이 결합되고 MO의 최적화 조건인 식 (6)과 연립시키면 전력시장과 수요자원시장 경쟁의 결과인 내쉬균형을 얻을 수 있다.

DRA의 부하감축 입찰변수($\delta$)에 대한 부하전력의 변화율($\partial d_{i}/\partial\delta_{i}$)은 입찰을 강하게 할수록 감축량이 증가하고 부하전력이 감소하므로 변화율은 음(negative)의 값을 갖는다. 이는 식 (6)을 이용하면 다음과 같이 확인이 된다. $\partial d_{i}/\partial\delta_{i}$ = -$\partial d_{i}/\partial a_{i}'$ 여기서 a’은 식 (6)의 우변 항을 정의한 것이다.($a_{i}'=a_{i}-k\delta_{i}$) 따라서 $\partial d_{i}/\partial a_{i}'=(M^{-1})_{ii}$이며 여기서 행렬 M은 식 (6)에서 좌변의 계수행렬이다.

임의의 정방행렬 M이 $M=\begin{pmatrix}A&b\\b^{t}&c\end{pmatrix}$의 구조일 때 역행렬은 다음과 같다.

$M^{-1}=\begin{pmatrix}A^{-1}+(1/\epsilon)A^{-1}bb^{t}A^{-1}&(-1/\epsilon)A^{-1}b\\(-1/\epsilon)b^{t}A^{-1}&1/\epsilon\end{pmatrix}$

여기서 $\epsilon =c-b^{t}A^{-1}b$이고 식 (6)에서의 부분행렬을 적용하면 $\epsilon =-(\Sigma 1/r_{i}+\Sigma 1/m_{i})$이다.

또한 $A^{-1}b=[1/r_{1}1/r_{2}1/r_{3}-1/m_{1}-1/m_{2}]^{t}$이며 따라서 역행렬은 $(M^{-1})_{ii}=1/r_{i}+(1/\epsilon)(1/r_{i}^{2})=(r_{i}-\triangle)/r_{i}^{2}$ 로 정리된다. 여기서 $\triangle$($=-1/\epsilon$)는 r과 m의 병렬합성과 동일한 계산이므로 r의 최소값보다 작다. 따라서 $r_{i}-\triangle >0$이고 $(M^{-1})_{ii}>0$이며 결과적으로 $\partial d_{i}/\partial\delta_{i}<0$이다.

3.1 예비력 파라미터와 신뢰도 증가

일반적으로 미시경제학에서는 SW가 극대화되는 결정을 최적이라고 간주한다. 이는 한 시점에서 평가하는 것인데 전력계통에서의 경제성은 신뢰도와 밀접한 관련이 있다. 즉 신뢰도를 높이기 위해 소비자의 편익을 제한할 필요가 존재한다. 부하의 감축이 소비자 편익에는 부정적으로 작용하지만 예비력 확보 혹은 고비용 발전비용의 저감을 통해 신뢰도 확보와 종합적인 경제성 향상을 꾀할 수가 있는 것이다.

이러한 효과를 얻기 위해서 본 연구에서는 SW에 예비력 항을 포함시키고 파라미터로서 이를 조절하도록 개선된 SW 식을 제안한다.

여기서 B-C는 일반적 SW에서의 정의이고, D는 발전용량, ($D-\Sigma d$)는 예비력이며 τ는 예비력의 반영률 파라미터이다.

예비력 확보가 절실한 시점에서 파라미터 τ의 값을 크게 두고 아닌 경우는 0으로 둔다. τ가 양수인 경우 예비력 확보 항이 반영되어 새로운 SW의 최적화 결과에는 부하의 감축 효과가 나타난다. SW의 라그랑지안 변수를 포함한 최적 조건은 다음 식과 같다.

최적조건식(6)과 비교하면 수요함수의 기울기 r이 r+τ 로 변한 것을 알 수 있으며 이외에는 달라지는 것이 없다.

3.2 파라미터 도입의 잉여 분석

예비력 파라미터의 도입은 수요함수의 기울기를 변경하여 최적화에 반영시키는 것이다. 따라서 실제 수요함수에서의 결과와는 다른 결과를 나타낸다. 이러한 차이점을 미시적 관점에서 잉여분석을 하면 다음 그림 3과 같다.

그림 3. 예비력 파라미터의 잉여분석

Fig. 3. Surplus Analysis on the Parameter Effect

그림 3(a)는 τ가 양수일 때 수요함수의 기울기가 증가한 경우이다. 선A는 공급함수, 선B는 수요함수이고 점a는 파라미터 도입 이전의 SW 극대화 상태를 나타낸다. 예비력 파라미터를 반영함으로 인해 변화된 수요함수는 선C로 변경되고 거래량은 감소하게 된다. 반면 가격은 서로 다른 2개의 점으로 이동한다. 점c는 공급곡선과의 교점으로 공급가격을 의미하며 점b는 기존 수요함수에 의한 가격으로 수요가격을 의미한다.

이는 세금(Tax) 부과 시에 자중손실(Deadweight Loss)이 발생하는 상황과 유사하다^[13]. 수요와 공급자에게 다른 가격을 부과함으로써 SW 최대값에서 손실이 발생하는 것이다. 그림에서 자중손실은 점abc로 이루어지는 삼각형의 면적에 해당된다. 또한 면적 S1은 수요 편익의 감소량이 되고 면적 S2는 공급 이득의 감소량이 되며 S1+S2의 잉여량은 시장에 남게 된다.

예비력 파라미터를 도입함으로써 부하가 감소하여 신뢰도가 높아지는 반면 자중손실이 발생하고 잉여량이 시장에 남는 문제가 생긴다. 하지만 이러한 잉여를 사용하여 감축된 부하를 다른 시점으로 이동시킬 수 있다면 잉여에 관한 논란도 불식시키고 감소된 SW를 보충하는 효과를 얻게 된다.

3.3 부하이동과 SW 손실의 보완

예비력 파라미터 τ의 값을 음수로 설정하면 앞에서 상황과 반대의 현상이 발생하게 된다. 이에 대한 것을 그림 3(b)에서 설명한다. 파라미터가 음수이면 수요함수의 기울기가 감소하는 효과가 있고 선C와 같이 완만하게 변경된다. 따라서 거래량은 증가하고 가격은 2개의 점(b와 c)으로 분리된다. 점c는 공급가격으로 점a보다 상승하게 되어 원래의 가격보다 높은 가격으로 구매를 하는 것이고 점b는 수요가격으로 점a보다 낮아지게 되어 원래의 가격보다 낮은 가격으로 판매하는 것이다

그림 3(b)에서 면적 S1은 구매자가 더 낮은 가격으로 더 많은 양을 구매함으로써 얻게 되는 잉여의 증가량이고, 면적 S2는 판매자가 더 높은 가격으로 더 많은 양을 판매함으로써 얻게 되는 잉여의 증가량이다. 이러한 잉여증가량(S1+S2)은 시장에서는 손실에 해당된다. 하지만 앞서 예비력 확보 때에 발생한 잉여를 사용할 수가 있기 때문에 실질적인 손실이 발생하는 것은 아니다. 오히려 신뢰도 확보를 위해 감소했던 SW를 만회할 수가 있기 때문에 전체적으로 보면 신뢰도와 SW를 모두 얻게 되는 장점이 있다.

4.1 송전선 혼잡비용

송전선 혼잡현상이란 송전선의 물리적 한계로 인해서 경제성에 반하는 운영을 하는 것이다. 즉 낮은 비용의 발전기 대신에 비싼 발전기의 출력을 올림으로써 전체 비용이 상승하게 된다. 이를 송전선 혼잡비용(TCC)이라 한다.

송전선의 한계용량은 MO의 SW 최적화 과정에서 부등식 조건으로 작용하며 식 (10)과 같이 라그랑지안에 포함된다.

여기서 λ는 수급조건에 대한 승수, μ는 선로제약에 대한 승수이고 $T_{l}$은 선로 $l$의 선로조류, $T_{l,\: \max}$은 한계용량이다.

만약 송전선 $l$에서 제약조건에 구속이 발생하면 승수 μ는 영이 아닌 값을 갖게 된다. 선로 $l$을 기준으로 수전단의 노드 가격이 송전단의 노드 가격보다 높아진다. 이러한 편차를 이용해 혼잡비용을 다음과 같이 정의할 수 있다.

여기서 $p_{r}$, $p_{s}$는 각각 수전단과 송전단의 노드가격이며 가격의 편차는 라그랑지안 승수 μ에 비례한다.

4.2 혼잡 파라미터 도입

혼잡비용은 라그랑지안 승수 μ에 비례한다. 따라서 TCC를 줄이기 위해서는 μ의 값을 감소시킬 필요가 있는데 본 연구에서는 부하감축을 통해 μ에 영향을 주고자 한다.

수요자원에 대한 보상 규정으로서 DRA에게 주어지는 이득식은 앞에서의 식 (2)에서 소개하였는데 여기에 혼잡과 관련된 파라미터 $\eta$를 추가하여 다음 식 (12)와 같은 수정된 보상 규칙을 제안한다.

노드 i에서의 DRA에게 주어지는 감축에 대한 보상금액을 보정하는 효과가 있다. $\eta_{i}>1$일 때는 증액을 뜻하고 $\eta_{i}<1$일 때는 감액을 의미한다.

파라미터 도입에 따라 DRA의 최적전략은 식 (7)에서 $\eta_{i}$가 반영되어 다음 식 (13)과 같이 정리된다.

여기서 $c_{i}=c_{d}/\eta_{i}$이며 감축에 따른 비용계수의 변경을 의미한다. 즉 보상액이 증가함은 상대적으로 비용의 비중이 낮아짐을 의미한다. 여기에 식 (1)의 가격특성이 결합되면 식 (14)와 같이 최적의 감축 입찰량($\delta_{i}$) 조건이 도출된다.

파라미터 $\eta_{i}$의 값은 혼잡이 발생한 선로를 기준으로 위치에 따라 다르게 설정함으로써 혼잡의 강도($\mu$)에 영향을 줄 수가 있다. 혼잡이 발생한 경우의 MO의 SW 최적화 조건식과 결합하면 내쉬균형 상태는 식 (15)와 같이 정리된다.

여기서 $h_{i}$는 모선 i에서의 모선의 주입전력이 혼잡선로에 미치는 영향을 나타내는 선로조류분배계수(PTDF)이다^[14].

4.3 혼잡 파라미터와 혼잡의 강도

민감도는 식 (15)에서 계수행렬의 역행렬로 구해지는데 식의 구조로 볼 때 역행렬에서 7행 1열~3열의 원소가 $\partial\mu /\partial c_{i}$에 해당된다. 역행렬을 분석하면 다음과 같다.

임의의 정방행렬에 대해 $\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}E&F\\G&H\end{pmatrix}$라 할 때 $G=-(D-CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1}$이 성립한다. 여기서 부분행렬 A는 식 (15)에서 $\sigma$와 m으로 이루어진 5×5 대각행렬이고 D는 2×2의 영행렬이다. B와 C는 비대각에 위치한 5×2, 5×2 행렬에 해당된다.

역행렬의 부분행렬인 G는 2×5 행렬이며 둘째 행에 민감도 $\partial\mu /\partial c_{i}$가 포함된다. 부분행렬 A~D를 G식에 대입하면 $\partial\mu /\partial c_{i}$에 해당되는 원소는 다음과 같이 정리된다.

식에서 민감도 값의 부호는 PTDF에 의해 정해짐을 알 수 있다. 사례를 통해 분석해 보면 식 (16)의 값은 혼잡선로를 기준으로 송전단에서는 음수, 수전단에서는 양수임을 알게 된다. 따라서 수전단에 $\eta_{i}>1$ 값을 설정하고 송전단에 $\eta_{i}<1$ 값을 설정함으로써 $\mu$를 감소시켜 혼잡비용을 줄일 수가 있다.

일례로 그림 2의 계통에서 선로 리액턴스를 동일하다고 가정하고 선로 $T_{12}$를 혼잡선로로 두면 PTDF는 ${h}$=[⅓, -⅓, 0]이고 식 (16)에서 수전단인 i=2를 적용하면 (⅓+⅓)/$\sigma_{1}$+(⅓)/$\sigma_{3}$+(⅓+⅓)/$m_{1}$ 이고 양수임을 알 수 있다. 혼잡의 강도인 $\mu$가 감소하는 결과는 사례연구에서 소개한다

5.1 사례계통과 전력시장

사례계통은 앞서 그림 2와 같은 3개 모선에 3인의 부하와 DRA 그리고 발전 2인이 전력시장에 참여하는 모형이다. 송전선은 저항이 없고 모두 동일 리액턴스를 가정한다. 발전기 한계비용 및 수요함수 특성은 표 1과 같다.

부하감축을 하지 않는 경우 시장에서의 경쟁 결과는 표 2에서의 DR 불포함 데이터와 같다. 이 값은 3인의 DRA가 식 (2)의 극대화 경쟁을 할 때 $d_{o}$, $p_{o}$로 작용하며, 결과는 표 2의 DR 포함 데이터와 같다. 감축량은 13.32이며 이때 사용된 상수는 $c_{d}$=10, $k$=0.3이다.

5.2 예비력 파라미터의 적용

예비력 항을 SW에 포함시킴으로써 부하이동과 신뢰도 개선이 가능함을 보이기 위해서 일일 부하 패턴을 다음과 같이 가정한다. 하루를 2시간 간격 12개 구간으로 나누고 수요함수의 기울기는 표 1에서의 값과 동일하고 절편값은 각 구간에서 다르게 적용한다. 절편값 데이터는 표 3과 같다. 비례값이 1.0이면 표 1에서의 값과 동일한 것이고 1.1이면 10% 큰 절편값을, 0.8이면 20% 작은 값을 갖는 것이다.

그림 4. 부하패턴에 따른 시장의 결과

Fig. 4. Load Pattern from Market Results

수요함수의 절편값에 대한 시장에서의 결과를 나타내면 그림 4와 같다. DR 자원을 포함한 것은 실선으로, 포함하지 않은 것은 점선으로 표시하였다. 만약 발전용량이 260이라면 피크 구간에서 예비력은 12.8, 예비율은 5%가 된다.

전 구간에 대해 DR 시장이 작동한 것으로 가정한 결과, 실선 그래프에서 피크 구간에서 15.57의 부하가 감축하여 예비력은 28.3, 예비율은 10.9%로 증가한다.

DR 시장은 예비력 확보가 필요할 때만 가동되므로 경부하 시에는 가동할 필요가 없다. 본 연구에서 제안하는 예비력 파라미터를 활용하면 DR 시장의 작동과 관계없이 SW의 최적화만으로 부하감축은 물론 부하이동도 가능하다.

피크부하인 구간8의 부하를 경부하인 구간3으로 이동시키기 위해 예비력 파라미터를 $\tau_{8}$=0.06, $\tau_{3}$=-0.112로 설정하면 결과는 그림 5(a)와 같다. 피크시에 부하는 14.65로 감소하고(예비율 10.6%) 구간3에서는 14.72의 부하가 증가함으로써 피크의 부하가 경부하 구간으로 이동한 것으로 볼 수 있다. 반면 $\tau_{8}$=0.06의 파라미터 도입으로 인한 자중손실의 잉여를 계산하면 1395.6인데 구간3에서 이를 상쇄하고자 한다면 $\tau_{3}$=-0.163으로 설정하면 된다.

그림 5. 파라미터($\tau$)에 의한 부하이동과 부하평준화

Fig. 5. Load Shifting and Load Levelizing

또한 예비율에 따라 파라미터 값을 설정하면 부하 평준화(Levelize) 효과도 만들 수 있다. 다음 표 4와 같이 예비율이 낮은 2개, 높은 구간 2개에 파라미터 값을 차등 적용하면 그림 5(b)와 같은 평준화된 부하패턴을 얻을 수 있다.

5.3 혼잡 파라미터의 적용

지역적 부하의 감축은 송전선 혼잡에 영향을 주므로 DR 자원과 TCC는 관련성이 있다. 본 연구에서는 DRA에게 지급하는 인센티브 개념의 파라미터($\eta$)를 도입하고 이것과 혼잡의 강도를 나타내는 라그랑지안 승수($\mu$)와의 관계에 집중하였다.

표 2의 DR 불포함 결과에서 선로 $T_{12}$의 선로조류는 63.3 이다. 이는 모선별 PTDF h=[⅓, -⅓, 0]을 이용해 구한 것이다. $T_{12}$의 한계용량이 50이면 시장의 결과는 표 2와는 다르게 나타나며 이를 정리하면 표 5와 같다.

DRA가 참여하지 않은 경우 혼잡비용은 50×11.64임에 비해 DRA가 참여하면 10.72의 부하감축이 발생하면서 TCC는 50×13.51로 증가한다.

혼잡 파라미터($\eta$)를 도입하여 승수 $\mu$를 줄이기 위해 식 (16)에서 민감도 $\partial\mu /\partial c_{i}$를 분석하였다. 수전단인 경우(i=2) 양수임을 4.3절에서 확인하였고 송전단인 경우(i=1)를 식 (16)에 적용하면 (-⅓-⅓)/$\sigma_{2}$+(-⅓)/$\sigma_{3}$+(-⅓-⅓)/$m_{2}$로 음수가 된다. 파라미터 $\eta_{i}$와 $c_{i}$는 식 (13)에서 정의한대로 역수의 관계에 있으므로 송전단에서는 양수로 작용, 수전단에서는 음수로 작용함을 알 수 있다. 이를 이용하여 송전단에서는 1보다 작은 값 $\eta_{1}$=0.5를, 수전단에서는 1보다 큰 $\eta_{2}$=1.5를 적용하였다. 계산 결과는 다음 표 6과 같다.

승수 $\mu$가 10.68로 감소하여 파라미터를 도입하지 않은 경우 보다 TCC가 21%가 감소한다. 모선별 부하변화를 보면 송전단에서는 적게 감축하고 수전단에서는 크게 감축함을 알 수 있다. 이런 변화로 인해 혼잡선로의 의존도가 감소하고 두 모선 사이의 가격차이가 완화되는 것이다.

이번에는 혼잡발생 송전선을 $T_{13}$로 두고 한계용량을 50이라 가정하면 PTDF는 h=[⅓, 0, -⅓]이 된다. 제안한 논리에 따라 $\eta_{1}$=0.8, $\eta_{3}$=1.2를 적용하여 계산하면 표 6에서와 같이 라그랑지안 승수가 2.16이 되어 파라미터를 도입하지 않을 때의 6.28에 비해 1/3 정도로 감소한다. 모선3에서의 부하감축이 크게 발생함을 알 수 있다.