2.1 Lucas 모델

비 정수 거듭제곱 급수를 사용하여 넓은 영역에 걸친 자화 곡선 표현 증분 투자율 곡선을 포함한 자화 곡선을 표현할 수 있다. Lucas 모델의 자화 곡선은 초기 및 고 자속 밀도 영역의 두 영역으로 나눌 수 있다. 초기 영역은 식 (1)로, 고 자속 밀도영역은 식 (2)와 같이 각각 나타낼 수 있다.

여기서, $B$는 자속 밀도, $H$는 자기장, $k_{i}$는 $i^{th}$ 항의 상수이다.

전체 자화 곡선의 근사 표현은 식 (3)과 같은 $B$의 거듭제곱 형태로 나타낼 수 있다.

여기서, 모든 $i$번째에서 $k_{i}<0$, $n_{i}>0$ 일 때이다. $k_{i}$는 $H$와 증분 투자율이 진동 없이 원활하게 변하도록 의도적으로 계수로 선택된다. 자화 곡선을 매끄럽게 연결할 수 있고 점진적인 투자율의 변화를 자연스럽게 반영할 수 있다^[12].

2.2 Jiles-Atherton 모델

Jiles-Atherton(J-A) 모델은 도메인 벽 운동과 고정 효과로 인해 소모되는 에너지 측면에서 재료의 자기적 특성을 정형화한다. $B$, 자기 모멘트 $M$, $H$ 및 유효 자기장 강도 $H_{e}$의 관계는 식 (4)와 같이 나타낼 수 있다^[16-18, ^21].

여기서, $\alpha$는 도메인 결합(interdomain coupling), $\mu_{0}$는 공기 투자율(air permeability)이다.

$M$은 식 (5)와 같이 가역적 항 $M_{rev}$와 비가역적 항 $M_{irr}$로 구성되어, 강자성 재료의 자화 현상을 설명할 수 있다.

$M_{an}$은 $H_{e}$의 함수인 비히스테리시스(anhystertic) 자화 곡선으로서 식 (6)과 같이 나타낼 수 있다.

여기서, $H_{e}$는 유효 자기장 강도, $\delta$는 자기장의 강도 $H$의 방향, $c$는 가역적 자화율(reversible susceptibility), $k$는 손실 계수(hold-down coefficient), $M_{sat}$는 포화 자화, $a$는 히스테리시스 자화 곡선의 모양을 나타내는 계수이다.

개선된 J-A 모델은 식 (7)과 같이 유도되어 히스테리시스 자화를 잘 설명할 수 있다.

여기서, $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$, $b$는 모두 안히스테리시스 자화의 형상 계수이다. B-H 루프의 어깨 영역을 보다 정확하게 모델링하기 위해 새로운 히스테리시스 함수가 ​​요구되었다.

3.1 모델계통

그림 1은 3상 3권선 변압기 모델계통을 나타낸다. 3상 3권선 변압기를 중심으로 1차측에는 345kV 발전기 2기, 2차측에는 발전기 1기와 약 138MVA 부하, 3차측에는 250kVA 부하가 연결된다. 345/161/23kV 600MVA 3상 3권선 변압기 계통의 제반 파라미터를 기반으로 EMT PSCAD를 사용하여 모델링을 수행하였다. 변압기의 각변위는 Ynyn0 d1이며, 파라미터의 %임피던스를 pu값으로 변환한 후, 사용하였다^[11].

그림 1. 3상 3권선 변압기 모델계통

Fig. 1. Model system of three phase three winding transformer

3.2 정상상태 유효성 검증

정상상태 3상 전압 및 전류에서, 3상 전압은 가압 후 약 0.2s 이후 안정화되었으며, 1차측, 2차측, 3차측 전압 RMS는 각각 347.531kV, 161.362kV, 23.021kV이다. 이론치는 각각 347.140kV, 161.310kV, 23.040kV로서 최대 오차가 0.11%이었다. 3상 전류는 가압 후 약 0.2s 이후 안정화되었으며, 1차측, 2차측, 3차측 전류 RMS는 각각 0.508kA, 1.087kA, 0.006kA이다. 이론치는 각각 0.509kA, 1.091kA, 0.006kA로서 최대 오차가 0.93%이었다. 따라서 정상상태 시뮬레이션의 유효성을 확인하였다.

그림 2는 정상상태 히스테리시스(B-H) 곡선을 나타낸다. 안정화된 정상상태 2주기 동안 1사분면 어깨 영역 루프 끝에서 하향 곡선을 나타내면서, 잔류점을 거쳐 3사분면으로 이동하였다가, 보자점을 통과하여 상승곡선을 보이면서 1사분면의 루프 끝으로 이동하는 궤적을 확인하였다. 이때, 양의 포화점은 (109.936, 1.727) 점이고, 음의 포화점은 (-96.836, -1.678) 이었다.

그림 2. 정상상태 히스테리시스 곡선

Fig. 2. Hysteresis curve during steady state

3.3 J-A 모델 CT 특성

CT의 포화 특성은 공심 리액턴스를 0.1, 0.2, 0.3 [pu]로 가변하면서 자화 전류를 비교한다. 그림 3은 공심 리액턴스 가변에 따른 자화 전류를 나타낸다. 자화 전류 크기는 공심 리액턴스가 증가함에 따라 감소하나 전체적인 형태는 유사한 것을 알 수 있고 공심 리액턴스는 자화 전류 크기를 결정하는 것을 확인하였다.

그림 3. 공심 리액턴스에 따른 자화전류

Fig. 3. Excitation current according to air-core reactance

3.4 히스테리시스 특성

정상상태 1주기 동안 5가지 계수를 가변하면서 히스테리시스 자화를 설명한다. 포화 자화(saturation magetization) Ms를 $1.7\times 10^{6}$, $1.8\times 10^{6}$, $1.9\times 10^{6}$ [A/m]로 가변하면서 히스테리시스 특성을 비교한다. 그림 4는 포화 자화의 변화에 따른 히스테리시스 곡선이다. 재료 자체의 고유한 속성을 나타내는 포화 자화가 감소함에 따라 최대 자화에 영향을 미치는 것을 알 수 있다.

그림 4. 포화 자화에 따른 히스테리시스 곡선

Fig. 4. Hysteresis curve according to saturation magetization

비가역 손실 계수(irreversible loss coefficient) $k$를 4×10-5, 5×10-5, 6×10-5로 가변하면서 히스테리시스 특성을 비교한다. 그림 5는 비가역 손실 계수 변화에 따른 히스테리시스 곡선이다. 코어 손실을 나타내는 루프의 면적에 영향을 미치는 비가역손실 계수가 감소함에 따라 면적이 증가하는 것을 알 수 있다.

그림 5. 비가역 손실 계수에 따른 히스테리시스 곡선

Fig. 5. Hysteresis curve according to irreversible loss coefficient

가역 자화율(reversible magnetic susceptibility) $c$를 0.1, 0.2, 0.3로 가변하면서 히스테리시스 특성을 비교한다. 그림 6은 가역 자화율 변화에 따른 히스테리시스 곡선이다. 가역 자화율이 감소함에 따라 면적이 증가하는 것을 알 수 있다.

그림 6. 가역 자화율에 따른 히스테리시스 곡선

Fig. 6. Hysteresis curve according to reversible magnetic susceptibility

평균 자기장 계수(average field parameter) $\alpha$를 1.325×10-5, 1.325×10-6,1.325×10-7 [m/A]로 가변하면서 히스테리시스 특성을 비교한다. 그림 7은 평균 자기장 계수 변화에 따른 히스테리시스 곡선이다. 자기 도메인 간의 결합을 반영하는 가역 자화율이 증가함에 따라 루프의 경사가 증가하는 것을 알 수 있다.

그림 7. 평균 자기장 계수에 따른 히스테리시스 곡선

Fig. 7. Hysteresis curve according to average field parameter

비히스테리시스 자화 계수 중에서 $a_{2}$를 3209, 3409, 3609로 가변하면서 히스테리시스 특성을 비교한다. 그림 8은 형태 계수$a_{2}$ 변화에 따른 히스테리시스 곡선이다. $a_{2}$ 계수가 증가함에 따라 양극의 포화가 크게 증가하는 것을 알 수 있다.

그림 8. 평균 자기장 계수에 따른 히스테리시스 곡선

Fig. 8. Hysteresis curve according to shape parameter $a_{2}$ of anhysteresis magnetization

그림 9는 정상상태 초기 과도상태 3주기 동안 히스테리시스 곡선을 나타낸다. 그림 9(a)와 같이, 히스테리시스 곡선은 원점부터 시작하여 초기 대칭 보조 곡선을 거쳐 가변하면서 비대칭적으로 변화한다. 그림 9(b)와 같이, 초기 3주기 동안, 시간 영역에서의 B, H는 크기만 다르고 유사한 위상을 보이며 가변한다. 그림 9(c)와 같이, 초기 과도 상태 3주기로부터 120주기까지, 원점부터 시작하여 대칭 보조 곡선을 거쳐 가변하면서 비대칭적으로 변화하는 히스테리시스 곡선을 보였다.

그림 9. 정상상태 초기 과도시 히스테리시스 곡선

Fig. 9. Hysteresis curve during initial transient of steady state

그림 10은 여자 돌입시 전압위상각 0° 일때, 가압 직후 3주기 동안 히스테리시스 곡선을 나타낸다. 그림 10(a)와 같이, 1사분면의 어깨 영역 루프 끝 부분의 값이 매우 큰 것을 알 수 있다. (-0.011, -0.025) 점에서부터 변동하여 양의 방향의 (395588.480, 2.656) 점까지 변동, 음의 방향의 (-38.897, -0.664) 점까지 변동되어 포화점에 도달하였다. 그림 10(b)와 같이, 확대한 히스테리시스 곡선으로부터 잔류 자속과 궤적을 알 수 있다. 그림 11(c)와 같이, 시간 영역의 B와 H 곡선으로부터 크기는 다르고 유사한 위상을 보이는 것을 알 수 있다.

그림 10. 무부하 여자 돌입시 히스테리시스 곡선

Fig. 10. Hysteresis curve during magnetizing inrush (3 cycles)

표 1은 여자 돌입시 전압위상각을 0°, 45°, 90°, 135°, 180°로 가변하면서 가압 직후 3주기 동안 히스테리시스 곡선 궤적의 포화점을 나타낸다. 전압위상각이 0°, 45°, 90°인 경우에는 1사분면의 어깨 영역 끝 부분인 양의 포화점을, 전압위상각이 135°, 180°인 경우에는 3사분면의 어깨 영역 끝 부분인 음의 포화점을 각각 보였다.

그림 11은 A상 지락 고장시 전압위상각 0° 일때, 고장 직후 3주기 동안 히스테리시스 곡선을 나타낸다. 그림 11(a)와 같이, 1사분면의 어깨 영역 루프 끝 부분의 값이 작아진 것을 알 수 있다. (-0.011, -0.025) 점에서부터 변동하여 양의 방향의 (56.779, 1.244) 점까지 변동, 음의 방향의 (-62.364, -1.369) 점까지 변동되어 포화점에 도달하였다. 그림 11(b)와 같이, 시간 영역의 B와 H 곡선으로부터 크기는 다르고 유사한 위상을 보이는 것을 알 수 있다.

표 2는 A상 지락 고장시 전압위상각 가변에 따른 고장 직후 3주기까지의 히스테리시스 곡선 궤적의 포화점을 나타낸다. 전압위상각이 0°, 45°, 90°인 경우에는 1사분면의 어깨 영역 끝 부분인 양의 포화점을, 전압위상각이 135°, 180°인 경우에는 3사분면의 어깨 영역 끝 부분인 음의 포화점을 각각 보였다.

그림 11. A상 지락 고장시 히스테리시스 곡선

Fig. 11. Hysteresis curve during A phase ground fault (3 cycles)

그림 12는 3상 단락 고장시 전압위상각 0° 일때, 고장 직후 3주기 동안 히스테리시스 곡선을 나타낸다. 그림 12(a)와 같이, 1사분면의 어깨 영역 루프 끝 부분의 값이 작아진 것을 알 수 있다. (-0.011, -0.025) 점에서부터 변동하여 양의 방향의 (40.946, 0.859) 점까지 변동, 음의 방향의 (-49.954, -1.211) 점까지 변동되어 포화점에 도달하였다. 그림 12(b)와 같이, 시간 영역의 B와 H 곡선으로부터 크기는 다르고 유사한 위상을 보이는 것을 알 수 있다.

표 3은 3상 단락 고장시 전압위상각 가변에 따른 고장 직후 3주기 동안 히스테리시스 곡선 궤적의 포화점을 나타낸다. 전압위상각이 0°, 45°, 90°인 경우에는 1사분면의 어깨 영역 끝 부분인 양의 포화점을, 전압위상각이 135°, 180°인 경우에는 3사분면의 어깨 영역 끝 부분인 음의 포화점을 각각 보였다.

표 1, 2, 3으로부터 이벤트와 전압의 위상각에 따라 히스테리시스 곡선이 다르며, 여자 돌입시 B와 H는 양극의 방향으로 증가하여 각각의 포화점을 나타내는 비 대칭성 궤적을 보였다.

그림 12. 3상 단락 고장시 히스테리시스 곡선

Fig. 12. Hysteresis curve during three phase short fault (3 cycles)

3.5 과도 전류 분석

그림 13은 여자 돌입시 전압위상각 0° 일때, 가압 직후 3주기 동안 전류를 나타낸다. 투입 직후 1차측 전류는 과도 비대칭 형태를 나타내는 것을 알 수 있다.

그림 13. 여자 돌입시 전류

Fig. 13. Current during magnetizing inrush (3 cycles)

표 4는 여자 돌입시 전압위상각 가변에 따른 가압 직후 3주기 동안 1차 여자 돌입전류 RMS를 나타낸다. A상 전류는, 전압위상각이 0°인 경우 투입후 12.028ms시점에서 1.769kA로 가장 크고, 전압위상각이 증가함에 따라 감소하다가, 전압위상각이 135°인 경우 반전이 되면서 다시 증가하는 경향을 보였다. B상 전류는, 전압위상각이 135°인 경우 투입후 17.174ms시점에서 1.814kA로 가장 작게 흘렀고 C상 전류는, 전압위상각이 90°인 경우 투입후 14.891ms시점에서 1.662kA로 가장 크게 흘렀다.

그림 14는 A상 지락 고장시 전압위상각 0° 일때, 고장 직후 3주기 동안 전류를 나타낸다. 고장 직후 불평형이 되면서 고장이 발생한 A상 전류가 가장 많이 흐르는 것을 알 수 있다.

그림 14. A상 지락 사고시 전류

Fig. 14. Current during A phase ground fault (interest period : 3 cycles)

표 5는 A상 지락 사고시 전압위상각 가변에 따른 고장 직후 3주기 동안의 1차 전류 RMS를 나타낸다. A상 고장전류는, 전압위상각이 0°인 경우 18.478ms시점에서 12.125kA로 가장 크고, 전압위상각이 증가함에 따라 감소하다가, 전압위상각이 90°인 경우 가장 적고, 다시 증가하다가 전압위상각이 180°인 경우 12.125kA로 가장 크게 흘렀다.

그림 15는 3상 단락 고장시 전압위상각 0° 일때, 고장 직후 3주기 동안 전류를 나타낸다. 고장직후 불평형이 되면서 각상은 전압위상각에 따라 과도상태를 보이다가 모두 평형이 되면서 가장 많이 흐르는 것을 알 수 있다.

그림 15. 3상 단락 사고시 전류

Fig. 15. Current during three phase short fault (3 cycles)

표 6는 3상 단락 사고시 전압위상각 가변에 따른 고장 직후 3주기 동안 1차 전류 RMS를 나타낸다. A상 고장전류는, 전압위상각이 0°인 경우 19.347ms시점에서 24.735kA로 가장 크고, 전압위상각이 증가함에 따라 감소하다가, 전압위상각이 90°인 경우 가장 적고, 다시 증가하다가 전압위상각이 180°인 경우 24.735kA로 가장 크게 흘렀다. B상 고장전류는 전압위상각이 135°에서 24.920kA, C상 고장전류는 전압위상각이 90°에서, 24.762kA로 크게 흘렀다.

고장 시 과도 전류의 크기와 형태는 CT 자화 특성, 특히 포화 특성과 밀접하게 연관된다. 고장 발생 직후의 대전류 및 불평형 전류는 CT 코어의 포화를 유도할 수 있으며, 이는 히스테리시스 루프의 왜곡 및 2차 전류의 왜곡을 유발하게 된다. 특히 전압 위상각에 따른 과도 전류의 크기 변화는 CT가 어느 시점에서 포화에 도달하는지를 결정짓는 주요 인자로 작용한다. 이에 따라 고장검출을 위한 보호계전기의 응답과 오동작에도 영향을 줄 수 있기에, 본 연구에서 제시한 Jiles-Atherton 기반 CT 모델을 통한 사전 평가가 중요하다.