2.1 지배방정식의 정의

그림 1은 하나의 선로를 나타낸다. 그 선로는 기본 요소 임피던스($z_{0}= r_{0}+ jx_{0}$)와 어드미턴스($y_{0}= jb_{0}$)로 구성된다. 미소 길이 $dl$에서의 기본 요소 임피던스와 어드미턴스는 다음과 같이 확장 가능하다. 만약, $l_{0}$가 0이라면,

위 두 식을 통합하면 하나의 미분방정식을 유도할 수 있다^[5].

식 (3)을 통해 2계 도함수를 유도하면 다음과 같다.

여기서, $\gamma =\sqrt{z_{0}y_{0}}$, $z_{c}≜\sqrt{\dfrac{z_{0}}{y_{0}}}$, $v_{r}$은 그림 1에서 수전단 전압을 의미하며(즉, $V vert_{l=0}= v_{r}$), $i_{r}$은 수전단 전류를 의미한다(즉, $I vert_{l=0}= i_{r}$). 다음의 2계 도함수 또한 유도 가능하다^[5].

유한 요소법의 지배 방정식(Governing Equation)을 도출할 수 있다.

그림 1. 선로 분포 정수

Fig. 1. Distributed line parameter

2.2 유한 요소법의 필요 요건별 설계

2.2.1 요소망 함수

거리 함수로 표현되는 시스템 응답(예를 들어, 전압 $V(l)$)를 찾기 위한 유한 요소법을 설계하기 위해서 다음 그림 2와 같은 1차원 삼각형 요소망 함수를 가정하였다(함수 $t_{1}$, $t_{2}$, $t_{3}$, $t_{4}$). 즉, 소영역(Subdomain)에서 정의된 함수 $t_{i}(l)$을 사용한다 ($i=1$부터 4까지). 전체 도메인(Domain)은 거리 $l$이다. 그림 2에서 파란색으로 표시된 그래프는 추정값이며, $l_{c}$에서 꼭지점을 가지며 이등변 텐트형 함수로 시스템 응답의 실제 해를 나타낸다.

그림 2. 요소망 함수

Fig. 2. Mesh function

유한 요소법에서 사용할 수 있는 기본 요소망 함수(예를 들어, $t_{i}(l)$)는 다음과 같다.

(6)

$t_{i}(l)= c_{i}l + d_{i}$

(7)

$t_{i}'(l)= c_{i}$

그림 2의 시스템 응답(예 : $V(l)$)은 다음과 같이 요소망 함수와 추정된 시스템 응답(예 : $V_{1}$, $V_{2}$, $V_{3}$, $V_{4}$)의 곱을 통해 추정 가능하다^[12].

(8)

$V(l)\approx\sum_{i=1}^{n}V_{i}t_{i}(l)$

2.3 유한 요소법의 알고리즘 설계

본 연구는 매트랩(Matlab)을 이용하여 유한 요소법을 설계하였다. 다음 그림 3은 1차원 유한 요소법을 설정하고, 이등변 삼각형 함수를 이용하여 요소망을 정의한다. 초기 조건을 계산하기 위해 본 연구에서는 뉴턴-랩슨 조류 해석 방법을 이용하거나 해석적 방법을 이용한다. 선로의 특정 지점에서 이상 전압 등의 특이점이 발견되는 경우에는 뉴턴-랩슨 방법의 상당한 수정이 필요하기 때문에 본 연구에서는 유한 요소법을 적용하여 이를 해결한다. 이러한 유한 요소 해석 알고리즘이 설계되었다. 그림 3의 Galerkin 방법은 수식 (14)에 적용되었다.

그림 3. 유한 요소법 알고리즘의 절차적 단계

Fig. 3. Flowchart of FEM

3.1 2모선 시스템

본 연구는 그림 4에서 기준 용량(Base MVA)은 300 MVA, 기준 선간 전압은 700 kV, 총 거리는 400마일(D=400 miles)의 송전 선로를 모의한다. 선로는 다음의 임피던스를 사용하였다.

그림 4. 2모선 송전선로 예

Fig. 4. Two-bus system

$300+j 100 MVA$의 용량을 가진 정전력 부하가 모선 2에 연결되며, 전압을 $1.0 p.u.$로 유지한다고 가정한다. 요소망에서 사용되는 함수는 이전 항목에서 정의한 이등변 삼각형 함수를 사용하였다.

본 연구의 유한 요소법은 강성 행렬 $S$과 우변 벡터$L$의 역행렬을 통해 시스템 반응 함수 $V$를 계산한다. 예를 들어, 총 3개의 소영역이 생성된다면($n=3$), 5×5 강성 행렬의 대각 성분은 0.08이며, 비대각 성분은 −0.04가 된다.

5×1 차원의 행렬 L의 첫 번째 요소를 검증하면 다음과 같다.

그림 5는 전압 크기와 위상각을 각각 나타낸다. 설정 조건에 따라, 수전단에서는 $1.0p.u.$의 전압 크기가 유지되고, 송전단 전압은 $0.85731\angle 6.913^{\circ}p.u.$이다.

그림 5. 송전선로의 거리의 함수로 표현된 전압

Fig. 5. Magnitude and angle of voltage

그림 6처럼 본 연구에서 제시하는 유한 요소법은 전류를 거리의 함수로 표현할 수 있다. 수전단에서는 정전원 부하에 $1.05409\angle −18.435^{\circ}p.u.$의 전류를 공급한다. 수전단에서의 유효 전력과 무효 전력은 다음과 같다.

송전단의 유효 전력과 무효 전력은 다음과 같다.

그림 6. 송전선로의 거리의 함수로 표현된 전류

Fig. 6. Magnitude and angle of current

그림 7은 거리의 함수로 표현된 유효 전력과 무효 전력을 나타낸다. 수전단에서는 $1.0 + j 0.3333p.u. = 300 + j 100MVA$의 유효 전력과 무효 전력을 나타내고, 송전단에서는 1.0316−$j 2.8223p.u. = 309.48 - j 846.69MVA$의 전력을 나타낸다. 송전단에서는 309.48 MW의 유효 전력을 공급하지만, 846.69 $MVA$의 무효 전력을 흡수한다. 이는 선로의 충전 커패시턴스에 기인한다. 이러한 선로의 커패시턴스는 다음 항목에서 다루는 사례 연구에서 과전압을 야기할 수 있다.

그림 7. 거리의 함수로 표시된 유효전력과 무효전력

Fig. 7. Active and reactive power

3.2 3모선 시스템

다음 그림 8과 동기 발전기, 700 kV의 선로, 부하로 구성된 좀더 복잡한 3모선 시스템을 가정한다. 선로의 임피던스와 부하 용량($300+j 100MVA$)은 이전 예와 동일하다. 동기 발전기는 기준 모선 혹은 슬랙 모선으로, 모선 3의 전압은 $V_{set}$을 유지하는 P-V 모선으로 해석한다. 다음 그림 8의 $V_{1}$과 $V_{3}$는 매트랩으로 구현된 단상 뉴턴-랩슨 해석법을 이용하여 계산한다. 거리는 400마일이라고 가정한다(D = 400 miles).

그림 8. 3모선 송전선로

Fig. 8. Three-bus transmission line system

그림 9는 전압 크기와 위상을 거리의 함수로 나타내고 있다. 길이 D를 가진 선로의 중간 지점에서 $1.03964\angle −2.898^{\circ}p.u.$의 고전압이 나타남을 확인할 수 있다.

그림 9. 송전선로의 거리의 함수로 표현된 전압

Fig. 9. Magnitude and angle of voltage

그림 10은 전류 크기와 위상을 거리의 함수로 나타내었다. 수전단에서의 전류는 $0.97056\angle −9.468^{\circ}p.u.$이다.

그림 10. 송전선로의 거리의 함수로 표현된 전류

Fig. 10. Magnitude and angle of current

그림 11은 유효 전력과 무효 전력을 거리의 함수로 나타내었다. 수전단에서의 유효 전력과 무효 전력은 다음 수식으로 나타낼 수 있다.

송전단의 유효 전력과 무효 전력은 다음과 같다.

그림 11. 거리의 함수로 표시된 유효전력과 무효전력

Fig. 11. Active and reactive power

모선3에 주입되는 유효 전력과 무효 전력은 0 MW와 536.785 MVar이다. 이는 모선 3이 전압 크기를 $1.0p.u.$로 유지하는 P-V 모선으로 간주되므로, 전압을 유지하기 위해 무효 전력을 공급하기 때문이다. 모선 2에 연결된 부하는 약 $300+j 100MVA$의 정전력을 소비한다. 슬랙 모선은 유효 전력을 공급하지만, 556.083 MVar의 무효 전력을 흡수한다. 이는 장거리 선로의 커패시턴스가 작지 않기 때문에 기인한다. 또한, 이러한 장거리 선로의 커패시턴스로 인해 무효 전력이 공급되므로, 모선 2는 $1.04p.u.$의 과전압을 경험한다.

뉴턴-랩슨법으로 선로의 100마일 지점에서 과전압이 어느 정도 인가되는지 분석할 때, 비교적 긴 선로이므로 뉴턴-랩슨 법은 오차가 발생할 수밖에 없다. 이는 뉴턴-랩슨법이 장거리 송전 선로에서 발생하는 과도적 진행파(Transient traveling wave) 효과를 무시하기 때문이다^[5]. 이러한 뉴턴-랩슨법의 오차는 그림 12에서 더 명확히 나타난다. 그림 12에서 선로의 100.99마일 지점에서 유한 요소법과 뉴턴-랩슨 방법은 각각 $1.0324p.u.$와 $1.01969p.u.$의 값을 나타낸다. 그 차이는 $0.01239p.u.$이다. 본 사례 연구를 통해, 본 연구에서 제시하는 유한 요소법이 뉴턴-랩슨법보다 이상 전압 지점을 더 정확하게 찾을 수 있음이 확인되었다.

그림 12. 뉴턴-랩슨 방식의 단순 사용과 유한 요소법의 차이 비교

Fig. 12. Comparison of the FEM design with the N-R method

3.3 거리 증가할 경우 뉴턴-랩슨 방법 개선

본 연구에서 제시하는 유한 요소법의 응용 가능성을 평가하기 위해 그림 8의 사례 연구를 반복하였다. 단순화를 위해, 그림 8의 사례 연구를 (1) 슬랙(Slack) 모선, (2) 중간 지점(수전단으로부터 50% 거리 지점) 모선, 그리고 (3) 수전단을 P-V 모선으로 구성하여 전력 조류 해석을 진행하였다. 모선 1과 2사이의 거리(D/2)를 20마일, 600마일, 700마일로 증가시키면, 600마일까지는 뉴턴-랩슨 방법이 수렴하지만, 700마일에서는 뉴턴-랩슨 방법의 반복 횟수가 22까지 증가하였다. 20마일의 비교적 짧은 송전 선로에서는 $0.99985\angle −0.142^{\circ}p.u.$와 0.99973$\angle −0.141^{\circ}p.u.$의 전압이 거의 일치하였다. 다음으로, 600마일의 경우 수렴하였으므로, 송전단과 수전단의 결과를 초기치로 사용하였다. 그림 13은 뉴턴-랩슨 방식의 단순 사용과 유한 요소법의 차이를 비교하고 있다. 뉴턴-랩슨 방식은 중간 지점(약 302.97 마일)에서 $1.37235\angle −6.161^{\circ}p.u.$의 전압을 추정하였고, 유한 요소법은 $1.53527\angle −6.694^{\circ}p.u.$의 전압을 추정하였다. 두 전압의 차이는 $0.16349\angle −11.175^{\circ}p.u.$로 큰 차이를 보였다.

다음으로, 비정상적으로 수렴하는 700마일의 경우, 마지막 반복한 값을 초기치로 사용하였다. 그림 14는 이러한 거리에서 뉴턴-랩슨 방식의 단순 사용과 유한 요소법의 차이를 비교하고 있다. 가장 큰 차이를 보이는 구간은 304.95 마일 지점 이다.

그림 13. 거리가 600마일일 때 뉴턴-랩슨 방식의 단순 사용과 유한 요소법의 차이 비교

Fig. 13. Comparison of the FEM design with the N-R method (D/2= 600 miles)

그림 14. 거리가 700마일일 때 뉴턴-랩슨 방식의 단순 사용과 유한 요소법의 차이 비교

Fig. 14. Comparison of the FEM design with the N-R method (D/2= 700 miles)

이때 뉴턴-랩슨 방식은 $0.51730\angle −11.117^{\circ}p.u.$의 전압을 추정하였고, 유한 요소법은 $0.57850\angle −12.371^{\circ}p.u.$의 전압을 추정하였다. 두 전압의 차이는 $0.06236\angle −22.829^{\circ}p.u.$의 차이를 보였다. 즉, 단거리 선로에서는 뉴턴-랩슨 방식을 사용하여 송전 선로의 전압을 비교적 정확하게 추정할 수 있지만, 장거리 선로에서는 뉴턴-랩슨 방식이 오차를 보이므로 선로 세분화, 알고리즘 수정, 반복 횟수 조정 등의 개선이 필요하다.

3.4 참고 문헌의 사례를 통한 검증

본 연구에서 제시하는 유한 요소법의 유효성을 검증하기 위해 수식 (3)의 해를 참고문헌 ^[16]에서 제시된 765 kV, 1000마일 장거리 송전선로에 적용하였다. 이러한 장거리 시스템은 이계 도함수의 분석적(Analytical) 해를 구하면 뉴턴-랩슨 방식을 사용하지 않아도 된다. 분석적 해의 결과는 다음 그림 15와 같다.본 사례 연구에서 제시하는 유한 요소법의 정밀도를 위해 1000개의 요소망을 생성하였다. 이는 참고문헌 ^[16]의 결과와 정확히 일치한다. 즉, 그림 15의 파란색으로 표시된 좌측 Y축에 해당하는 수전단과 송전단의 선간 전압 크기는 765.0∠0.0° kV와 641.81∠93.296° kV로 일치한다. 이는 파란색의 굵은 점선으로 표시되었다. 또한 그림 15에서 적색으로 표시된 우측 Y축은 전력을 나타내며, 송전단과 수전단의 유효전력은 각각 2142.5 MW 및 2000.0 MW로 동일하게 유지되며, 이는 가는 실선(thin solid line)으로 표현되어 있다. 한편, 송전단과 수전단의 무효전력은 각각 −669.7 MVar와 1000.0 MVar로 동일하게 나타나며, 이는 적색의 가는 선-점선(thin dash-dotted line)으로 표시된다.

그림 15. 장거리 송전선로의 거리당 전압, 유효 및 무효 전력의 크기 비교

Fig. 15. Line-to-line actual voltage magnitude, active, and reactive power per mile in the long transmission line

3.5 대규모 송전망 적용

이전 사례연구에서는 본 연구에서 제안한 유한 요소법을 검증하기 위해 비교적 소규모의 시스템에 적용하였다. 본 연구에서는 제안한 유한 요소법의 대규모 송전망 적용 가능성을 평가하고자, IEEE 118 모선 시스템의 모선 69와 70 사이를 대상으로 적용하였다. 유한 요소법 적용에 앞서, 기존 뉴턴-랩슨 해석 결과가 MATPOWER를 이용한 결과와 모든 모선에서 전압 크기 및 위상각이 일치함을 확인하여 정확도를 검증하였다. 본 모의 분석에서 송전선은 Dove 케이블의 표준 제원을 바탕으로 각각 1마일과 100마일의 두 가지 길이를 가정하였다. Fig. 16의 결과에 따르면, 1마일 길이에서는 기존 뉴턴-랩슨 방법과 제안한 본 연구에서 제안한 유한 요소법과 거의 동일한 결과를 나타냈으나, 100마일로 송전선 길이를 증가시킨 경우, 별도의 보상 기법을 적용하지 않은 기존 뉴턴-랩슨 방법과 본 연구에서 제안한 유한 요소법 간의 전압 계산 결과에 유의미한 차이가 발생함을 확인할 수 있었다.

그림 16. IEEE 118 모선 시스템의 모선 69–70 구간에 대해 송전선 길이에 따른 해석 결과 비교: (a) 1마일 송전선, (b) 100마일 송전선. 유한 요소법(FEM)과 뉴턴-랩슨 방식의 전압 결과 차이를 비교함

Fig. 16. Comparison of voltage calculation results between the N-R method and the FEM for the transmission section between buses 69 and 70 in the IEEE 118-bus system.