2.1 축방향 자기베어링 시스템의 수학적 모델링

그림 1은 축방향 자기베어링의 기본 구조를 나타낸다. 그림에서, $F_{1}$, $F_{2}$는 회전자에 발생하는 전자기력을 각각 나타내며, $i_{0}$는 바이어스 (Bias) 전류, $i_{c}$은 제어 전류, $x_{0}$는 공극의 길이를 각각 나타낸다. 축방향 자기베어링에서 발생하는 전자기력 $F_{1}$과 $F_{2}$는 공극 자속밀도의 계산을 통해 얻을 수 있으며, 회전자에 작용하는 합성 전자기력 $F$는 주어진 부피 $V$ 내의 자기장에 저장된 에너지 $W_{\phi}$이며, 식 (1)과 같이 나타낼 수 있다.

식 (1)에서 미소 공극의 길이 변화량 $dg$에 대한 자기에너지 변화량 $d W_{\phi}$는 식 (2)와 같다.

이를 회전자를 이동시키는 데 한 일과 그 물체에 가해진 힘 사이의 관계로 나타내면 식 (3)과 같이 축방향 자기베어링의 전기적‧기계적 사양을 통해 나타낼 수 있다.

여기서, $A$는 자극의 단면적, $B_{g}$는 공극 자속 밀도, $\mu_{0}$는 진공투자율, $N$은 턴수를 각각 나타내며, $i$($=i_{0}\pm i_{c}$)는 인가된 전류의 크기, $g$($= x_{0}\pm x$)는 공극의 길이를 각각 나타낸다.

자기베어링에서는 회전자를 일정한 공극을 갖는 정중앙의 위치에 유지하기 위해 바이어스 전류 $i_{0}$와 제어 전류 $i_{c}$을 이용하여 두 개의 전자기력 $F_{1}$과 $F_{2}$를 생성한다. 기계계의 운동방정식에 의해 외란 $F_{d}$를 고려한 힘의 균형 관계는 식 (4)와 같이 표현된다. 여기서, $K$는 자기베어링의 자기회로 구성 조건에 따라 주어지는 상수로서 $K =\mu_{0}N^{2}A$ 이고, $m$은 회전자의 질량을 각각 나타낸다.

그림 1의 자기베어링에서 전기계와 기계계가 결합된 시스템 방정식을 유도하기 위하여 키르히호프의 전압 법칙과 패러데이 법칙을 적용하면, 상수 $K$를 포함하는 각 코일 그룹에서의 전압 방정식은 식 (5)와 식 (6)과 같다.

여기서, $u_{1}$, $u_{2}$는 각 코일 그룹에 인가되는 전압을 나타내고, $i_{1}$, $i_{2}$는 각 코일 그룹에 흐르는 전류를 각각 가타낸다.

비선형 동역학 특성을 갖는 자기베어링 시스템에서 식 (5)와 식 (6)을 동작점 $(x_{0},\: i_{0},\: F_{d})$에서 선형 근사화 하기위하여 자코비안(Jacobian) 행렬을 이용하여 선형 근사된 상태 공간 모델링을 수행하면 식 (7)과 식 (8)로 표현된다.

여기서, 전압 $u=u_{1}-u_{2}$, 전류 $i=i_{1}-i_{2}$이고, $K_{x}$는 힘-변위(Force-displacement) 강성 계수, $K_{i}$는 힘-전류(Force-current) 강성 계수를 각각 나타낸다.

2.2 유한요소해석을 이용한 파라미터 해석

그림 1의 축 방향 자기베어링에 대하여 공극자속밀도, 힘-변위 계수 $K_{x}$와 힘-전류 계수 $K_{i}$의 값을 계산하기 위하여 유한요소해석(Finite Element Analysis, FEA)을 수행하였다. 그림 2는 축방향 칼라(Thrust collar)의 초기 공극(정중앙, 공극의 길이 400 μm)에서 아래 방향으로 100 μm만큼 변위를 가질 때의 유한요소해석 결과를 나타낸다.

그림 2(a)는 z-축의 음(-)의 방향으로 전자기력이 작용하도록 코일에 바이어스 전류 $i_{0}$=2 A와 최대 제어전류 $i_{c}$=2 A를 인가한 상태에서의 자속밀도 분포를 나타내며, 그림 2(b)는 양(+)의 방향으로 전자기력이 작용하도록 코일에 최대 전류를 인가한 상태에서의 자속밀도를 보여준다. 최대 제어 전류 인가 시 강자성체(S45C)의 포화가 발생하지 않고 선형 제어가 가능할 수 있도록 철심 내부에서의 최대 자속밀도를 약 0.85 T 이하가 되도록 하였다.

그림 3은 공극의 변위가 +100 μm, 0 mm, -100 μm 일 때, 공극 중앙에서의 자속밀도의 크기(절댓값)를 나타낸다. 그림에서 x-축은 회전자 축(Shaft)의 중심에서 반경방향 거리를 나타내며, 초기 공극(정중앙, ±400 μm)을 비대칭으로 조정한 두 가지 조건(① +300 μm/-500 μm, ② +500 μm/-300 μm)에서 최대 전류 인가된 상태에서의 공극자속밀도의 크기를 보여준다.

그림 4는 회전자의 위치를 중심에서 –100 μm에서 100 μm까지 100 μm씩 단계적으로 변화시키고 전류는 –2 A에서 2 A까지 0.5 A씩 증가시키면서 얻어진 결과를 그림 4에 나타냈다. 그림에서 보여지는 바와 같이 비대칭 공극 즉, 기본공극을 –100 μm 이동하여 동적 축위치 제어를 하게 되면 축방향의 힘은 최대 약 1000 N에서 약 1500 N으로 약 1.5배 증가하는 효과가 있다.

3.1 전차원 관측기를 이용한 속도 추정

일반적인 자기베어링 시스템은 회전자의 위치를 파악하는 위치 센서만 존재한다. 즉, 속도 ($u(t)$)센서가 존재하지 않기 때문에 슬라이딩 모드 제어기 설계를 위해서는 $\dot{x}$을 추정해야 한다. 이를 위해 상태방정식을 추정하는 방법으로 전차원 관측기를 도입하였다.

그림 5는 전차원 관측기(Full state observer)의 블록 다이어그램을 나타낸다. 그림의 Process 행렬에서 모든 극점이 좌반 평면에 존재하는 안정된 시스템인 경우, 변위의 실제 값 $x$와 속도 추정치 $\dot{x}$ 모두 영(零)으로 수렴하므로, 이로 인한 오차 역시 영으로 수렴하게 된다. 그러나 이 경우에도 상태추정이 실제 값으로 수렴한다고 의미를 두기는 어렵다. 추정 오차를 더 빠르게 영으로 수렴시키고 의미 있는 상태추정이 되기 위해서는, 추정된 상태와 측정된 상태의 오차로부터 상태추정 모델을 연속적으로 수정해 나가는 것이 필요하다^[11]. 그림 5에서 추정치 $\hat{x}$은 식 (9)와 같이 표현된다.

여기서, $L$은 비례 이득으로 만족스러운 추정오차 특성을 얻기 위해서 설계되는 값이며, 식 (10)과 같이 표현된다.

그리고, 식 (11)은 오차에 대한 특성 방정식을 나타낸다.

만약, $L$을 $A-LC$가 안정하고 빠르게 수렴할 수 있는 값으로 정하면, $\hat{x}(t)$가 초기값 $\hat{x}(0)$에 관계없이 $x(t)$에 수렴함을 의미한다. 그림 5에서 관측기(observer -model)의 상태변수는 식 (12)와 같다.

식 (12)를 식 (11)에 대입하여 추정기의 특성방정식을 식 (13)과 같이 얻을 수 있다.

추정기의 특성방정식을 구하여 계수를 비교함으로써 비례이득 $L$의 각 성분을 (15)-(17)과 같이 정할 수 있다.

이를 통해 각 상태 변수의 식을 정리하면 식 (17)과 같다.

3.2 슬라이딩 모드 제어기 모델링

앞서 기술한 전차원 관측기를 이용한 속도 추정 결과를 이용하여 슬라이딩 모드 제어기의 모델링이 가능하다. 먼저, 식 (8)에서 가속도 $\ddot{x}$는 식 (18)과 같다.

슬라이딩 평면 $s$를 식 (19)와 같이 두면, $\dot{s}$은 식 (20)과 같이 나타낼 수 있다.

여기서, $r$은 변위제어기의 지령값이고, $e$는 오차(error)를 각각 나타낸다. 슬라이딩 모드 제어 법칙 식 (19)와 식 (20)을 리아프노프(Lyapunov)함수 식 (21)에 적용하면 $\dot{V}$는 식 (22)로 정리된다.

여기서, 제어전류 $i_{c}$는 식 (23)과 같다.

여기서 $\xi$는 강인 제어 항(robustness gain)으로 슬라이딩 모드 제어에서 일반적으로 사용되는 비선형 제어 항이다. $\xi$를 외란 $F_{d}$를 충분히 극복할 수 있는 값으로 선정하며, 식 (22)에 식 (23)를 대입하고, $\dot{V}$̇에 대해 정리하면 식 (24)를 얻을 수 있다.

식 (24)에서 $\dot{V}$ < 0을 만족하기 위한 $\xi$는 외란 $F_{d}$의 영향을 극복하기 위해 충분히 크게 설계될 수 있으며, $\xi$는 식 (25)의 조건을 만족시켜야 한다. 이때 제어 전류 $i_{c}$는 식 (26)으로 정의될 수 있다.

3.3 시뮬레이션 및 제어 성능 비교